Maths compl. · Chapitre 03 · Analyse

Fonction logarithme népérien

Réciproque de l'exponentielle, équation fonctionnelle, dérivée, limites, ln(qⁿ) pour les problèmes de seuil.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Réciproque de l'exponentielle
Équation fonctionnelle
Dérivée
Limites
Ln(qⁿ) pour les problèmes de seuil

Combien d'années faut-il pour qu'un capital placé à $3 %$ par an double ? Au chapitre sur les suites, nous répondions par balayage, en essayant les rangs un par un avec un programme Python. Ce chapitre apporte l'outil qui donne la réponse exacte en deux lignes de calcul : la fonction logarithme népérien, réciproque de la fonction exponentielle. Son nom vient de John Neper, qui inventa les logarithmes au début du XVIIe siècle pour soulager les calculs des astronomes, bien avant l'exponentielle.

La fonction logarithme népérien, réciproque de l'exponentielle

Rappelons ce que nous savons de la fonction exponentielle depuis la première : elle est définie sur $R$ , continue et strictement croissante, à valeurs dans $] 0; + \infty [$ , avec $e^{0} = 1$ et $e^{1} = e \approx 2,718$ . Au chapitre précédent, nous avons vu qu'une fonction continue et strictement monotone admet une réciproque, comme la racine carrée est la réciproque du carré sur $[0; + \infty [$ . L'exponentielle remplit toutes les conditions : pour chaque réel $k > 0$ , l'équation $e^{x} = k$ admet une unique solution. Sa réciproque porte un nom.

Définition

Pour tout réel $x > 0$ , l'équation $e^{t} = x$ admet une unique solution, appelée logarithme népérien de $x$ et notée $\ln x$ . La fonction $\ln$ , définie sur $] 0; + \infty [$ , est la réciproque de la fonction exponentielle :

y = \ln x ⟺ x = e^{y} (avec x > 0 et y r \overset{ˊ}{e} el) .

Autrement dit, $\ln x$ répond à la question « à quelle puissance faut-il élever $e$ pour obtenir $x$ ? ». Ainsi $\ln 1 = 0$ car $e^{0} = 1$ , et une calculatrice donne $\ln 5 \approx 1,609$ : cela signifie que $e^{1,609} \approx 5$ . Insistons sur le point le plus important en pratique : $\ln x$ n'existe que pour $x > 0$ . Écrire $\ln (- 2)$ ou $\ln 0$ n'a aucun sens, puisque l'exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives. Ce sera le premier réflexe de toutes les résolutions d'équations du chapitre.

Propriété

Relations réciproques et valeurs remarquables.

$\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ .
Pour tout réel $x > 0$ : $e^{\ln x} = x$ .
Pour tout réel $x$ : $\ln (e^{x}) = x$ .

Ces deux relations expriment que chaque fonction « défait » ce que fait l'autre : appliquer l'exponentielle puis le logarithme (ou l'inverse) ramène au point de départ. Par exemple $\ln (e^{7}) = 7$ et $e^{\ln 3} = 3$ , sans aucun calcul.

Courbes de ln et exp, symétriques par rapport à la droite y = x

Graphiquement, la propriété des fonctions réciproques vue au chapitre précédent s'applique : dans un repère orthonormé, la courbe $C_{\ln}$ est la symétrique de la courbe $C_{\exp}$ par rapport à la droite d'équation $y = x$ , tracée en pointillés sur la figure. Le point $(0; 1)$ de la courbe de l'exponentielle a pour symétrique le point $(1; 0)$ sur celle du logarithme : on y lit $\ln 1 = 0$ . La symétrie transporte aussi l'allure générale : la courbe de $\ln$ est croissante, située entièrement à droite de l'axe des ordonnées, et plonge vers le bas au voisinage de $0$ , image symétrique de l'asymptote horizontale de l'exponentielle en $- \infty$ .

Propriétés algébriques

La propriété qui a fait la fortune des logarithmes est leur équation fonctionnelle : le logarithme transforme les produits en sommes.

Propriété

Équation fonctionnelle. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

\ln (a b) = \ln a + \ln b .

Démonstration. Comparons les exponentielles des deux membres. D'après les relations réciproques puis la propriété $e^{x + y} = e^{x} \times e^{y}$ vue en première :

e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = a b .

Ainsi $\ln a + \ln b$ est un réel dont l'exponentielle vaut $a b$ : c'est, par définition, le logarithme népérien de $a b$ . $□$

Propriété

Conséquences de l'équation fonctionnelle. Pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :

$\ln (\frac{1}{b}) = - \ln b$ ;
$\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$ ;
$\ln (\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a$ ;
$\ln (a^{n}) = n \ln a$ .

Chaque formule se déduit de l'équation fonctionnelle. Par exemple, $\ln b + \ln (\frac{1}{b}) = \ln (b \times \frac{1}{b}) = \ln 1 = 0$ , d'où la première formule ; et $\ln (\sqrt{a}) + \ln (\sqrt{a}) = \ln (\sqrt{a} \times \sqrt{a}) = \ln a$ , d'où la troisième.

Remarque

C'est précisément pour cette propriété que John Neper publia en 1614 ses premières tables de logarithmes. À une époque sans calculatrice, multiplier deux nombres à dix chiffres était un travail long et périlleux ; grâce aux tables, on remplaçait la multiplication par une addition de logarithmes, puis une lecture inverse de la table. Les astronomes, Kepler en tête, y gagnèrent des années de calcul, et la règle à calcul, fondée sur le même principe, resta l'outil des ingénieurs jusqu'aux années 1970.

Exemple

Exprimons les nombres suivants en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ .

a. $\ln 8 = \ln (2^{3}) = 3 \ln 2$ .
b. $\ln (\frac{3}{2}) = \ln 3 - \ln 2$ .
c. $\ln (\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \ln 2$ .
d. $\ln 72 = \ln (8 \times 9) = \ln (2^{3}) + \ln (3^{2}) = 3 \ln 2 + 2 \ln 3$ .

Ce jeu d'écritures est loin d'être gratuit : savoir regrouper plusieurs logarithmes en un seul (ou l'inverse) est la clé des équations de la cinquième partie.

Étude de la fonction ln

Étudions maintenant la fonction $\ln$ comme n'importe quelle fonction : dérivée, variations, limites, tangentes. Le résultat le plus frappant est la simplicité de sa dérivée.

Propriété

Dérivée. La fonction $\ln$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et, pour tout réel $x > 0$ :

\ln^{'} (x) = \frac{1}{x} .

Démonstration (en admettant que $\ln$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ ). Posons, pour $x > 0$ , $f (x) = e^{\ln x}$ . D'une part, la relation réciproque donne $f (x) = x$ , donc $f^{'} (x) = 1$ . D'autre part, la formule de dérivation ${(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u}$ appliquée avec $u = \ln$ donne $f^{'} (x) = \ln^{'} (x) \times e^{\ln x} = \ln^{'} (x) \times x$ . En égalant les deux expressions : $x \ln^{'} (x) = 1$ , d'où $\ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ . $□$

Pour tout $x > 0$ , on a $\frac{1}{x} > 0$ : la dérivée est strictement positive sur tout l'intervalle de définition.

Propriété

Variations et signe. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . Comme $\ln 1 = 0$ , on en déduit son signe :

$\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$ ;
$\ln x > 0$ pour $x > 1$ .

x

0

1

+\infty

\ln x

-

0

+

Les nombres entre $0$ et $1$ ont donc un logarithme négatif : $\ln 0,5 \approx - 0,69$ , $\ln 0,9 \approx - 0,11$ . Ce simple constat sera décisif dans les problèmes de seuil : diviser une inégalité par $\ln q$ quand $0 < q < 1$ , c'est diviser par un nombre négatif.

Reste le comportement aux bords de l'intervalle de définition. Adoptons la même approche intuitive que pour les suites : observer où vont les valeurs.

Propriété

Limites (admises).

\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty et \lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty .

La courbe de $\ln$ admet donc l'axe des ordonnées, d'équation $x = 0$ , pour asymptote verticale. Elle n'admet en revanche aucune asymptote horizontale.

Ces deux limites se comprennent bien avec les relations réciproques. En $+ \infty$ : pour que $\ln x$ dépasse un seuil $A$ , aussi grand soit-il, il suffit de prendre $x > e^{A}$ , puisque $\ln (e^{A}) = A$ et que $\ln$ est croissante ; les valeurs de $\ln x$ finissent donc par dépasser n'importe quel seuil. En $0^{+}$ : de même, dès que $0 < x < e^{- A}$ , on a $\ln x < - A$ ; la courbe plonge sous n'importe quel plancher en longeant l'axe des ordonnées. Attention toutefois : la croissance vers $+ \infty$ est d'une lenteur remarquable ( $\ln 1 000 \approx 6,9$ et $\ln 1 000 000 \approx 13,8$ ), ce que la courbe traduit par un aplatissement progressif — sans jamais se stabiliser pour autant.

Nous pouvons dresser le tableau de variations complet, limites comprises.

x

0

+\infty

\ln'(x)

+

\ln x

-\infty

+\infty

Terminons par deux tangentes que le programme met en avant. Rappelons que la tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

Propriété

Tangentes remarquables.

Au point d'abscisse $1$ : $y = x - 1$ .
Au point d'abscisse $e$ : $y = \frac{x}{e}$ (droite passant par l'origine).

En effet, en $a = 1$ : $y = \ln^{'} (1) (x - 1) + \ln 1 = 1 \times (x - 1) + 0 = x - 1$ . Et en $a = e$ : $y = \frac{1}{e} (x - e) + 1 = \frac{x}{e} - 1 + 1 = \frac{x}{e}$ .

Courbe de ln et ses tangentes aux points d'abscisses 1 et e

Équations et inéquations

Le logarithme et l'exponentielle permettent de résoudre exactement les équations où l'inconnue est « prisonnière » d'un $\ln$ ou d'un exposant. La démarche est toujours la même, et elle commence avant tout calcul.

Méthode

Résoudre une équation ou une inéquation avec $\ln$ .

Déterminer le domaine de validité : chaque logarithme écrit doit porter sur une quantité strictement positive. Ce domaine se détermine en premier, jamais après coup.
Transformer l'écriture grâce aux propriétés algébriques, pour se ramener à une forme de référence : $\ln A = \ln B$ , $\ln A = k$ ou $e^{A} = k$ .
Résoudre en utilisant la réciprocité et la stricte croissance : $\ln$ et $\exp$ conservent l'ordre et se « retirent » des deux côtés.
Confronter les solutions au domaine de l'étape 1 et conclure.

Propriété

Résolutions de référence. Soit $k$ un réel.

$\ln x = k ⟺ x = e^{k}$ (pour $x > 0$ ) ; en particulier l'équation $\ln x = k$ a toujours une unique solution.
$e^{x} = k ⟺ x = \ln k$ si $k > 0$ ; si $k ⩽ 0$ , l'équation n'a aucune solution.
Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln a = \ln b ⟺ a = b$ , et $\ln a ⩽ \ln b ⟺ a ⩽ b$ .
$\ln x ⩽ k ⟺ 0 < x ⩽ e^{k}$ , et $\ln x ⩾ k ⟺ x ⩾ e^{k}$ .

Exemple

a. Résoudre l'équation $\ln (2 x - 3) = 1$ . Le logarithme n'est défini que si $2 x - 3 > 0$ , c'est-à-dire $x > \frac{3}{2}$ : c'est le domaine de validité. Sur ce domaine, en prenant l'exponentielle des deux membres : $2 x - 3 = e^{1} = e$ , d'où $x = \frac{e + 3}{2} \approx 2,86$ . Cette valeur est bien supérieure à $\frac{3}{2}$ : l'équation admet une unique solution, $x = \frac{e + 3}{2}$ .

b. Un problème de médicament. La quantité de principe actif dans le sang d'un patient, en milligrammes, est modélisée par $m (t) = 10 e^{- 0,2 t}$ , où $t$ est le temps écoulé en heures. À partir de quand reste-t-il moins de $1$ mg ? On résout $10 e^{- 0,2 t} < 1$ , c'est-à-dire $e^{- 0,2 t} < 0,1$ . En prenant le logarithme des deux membres (la stricte croissance de $\ln$ conserve l'ordre) : $- 0,2 t < \ln 0,1$ . On divise alors par $- 0,2$ , qui est négatif : l'inégalité change de sens, et $t > \frac{\ln 0,1}{- 0,2} \approx 11,5$ . Il reste moins de $1$ mg au bout d'environ $11$ heures et $30$ minutes.

Exemple

Résoudre l'équation $\ln x + \ln (x - 1) = \ln 6$ . Les deux logarithmes du membre de gauche exigent $x > 0$ et $x - 1 > 0$ : le domaine de validité est $x > 1$ . Sur ce domaine, l'équation fonctionnelle regroupe le membre de gauche :

\ln (x (x - 1)) = \ln 6.

Comme $\ln a = \ln b$ équivaut à $a = b$ pour des nombres strictement positifs, on obtient $x (x - 1) = 6$ , c'est-à-dire $x^{2} - x - 6 = 0$ . Le discriminant vaut $Δ = 1 + 24 = 25$ , d'où les deux racines $x = \frac{1 + 5}{2} = 3$ et $x = \frac{1 - 5}{2} = - 2$ . Or $- 2$ n'appartient pas au domaine de validité : c'est une solution de l'équation du second degré, pas de l'équation de départ. La seule solution est $x = 3$ . On vérifie : $\ln 3 + \ln 2 = \ln 6$ .

Problèmes de seuil et suites géométriques

Revenons aux suites géométriques du premier chapitre. Un capital, une population, une quantité de médicament qui évolue du même pourcentage à chaque étape suit une loi de la forme $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ , et la question naturelle est celle du seuil : à partir de quel rang $u_{n}$ dépasse-t-elle (ou passe-t-elle sous) une valeur donnée ? Le balayage Python donnait la réponse par essais successifs ; le logarithme la donne par le calcul, grâce à un cas particulier de la formule $\ln (a^{n}) = n \ln a$ .

Propriété

Pour tout réel $q > 0$ et tout entier naturel $n$ :

\ln (q^{n}) = n \ln q .

Le logarithme fait « descendre l'exposant » : l'inconnue $n$ , prisonnière de l'exposant dans $q^{n}$ , devient un simple facteur dans $n \ln q$ . De plus, le signe de $\ln q$ est connu : $\ln q > 0$ si $q > 1$ , et $\ln q < 0$ si $0 < q < 1$ .

Méthode

Résoudre une inéquation du type $q^{n} ⩽ a$ (avec $q > 0$ , $q \neq 1$ et $a > 0$ ).

Appliquer $\ln$ aux deux membres : la stricte croissance du logarithme conserve le sens, d'où $n \ln q ⩽ \ln a$ .
Diviser par $\ln q$ en surveillant son signe : si $q > 1$ , alors $\ln q > 0$ et le sens est conservé ; si $0 < q < 1$ , alors $\ln q < 0$ et le sens de l'inégalité se renverse.
Conclure en cherchant le plus petit entier $n$ vérifiant l'inégalité obtenue, et vérifier numériquement.

Répondons d'abord à la question de l'introduction : un capital placé à $3 %$ par an est multiplié chaque année par $1,03$ , et il a doublé dès que ${1,03}^{n} ⩾ 2$ . En appliquant le logarithme : $n \ln 1,03 ⩾ \ln 2$ . Ici $q = 1,03 > 1$ , donc $\ln 1,03 > 0$ et la division conserve le sens : $n ⩾ \frac{\ln 2}{\ln 1,03} \approx 23,45$ . Le plus petit entier convenable est $n = 24$ : il faut $24$ ans pour doubler le capital.

Exemple

Un cas où l'inégalité se renverse. Une voiture achetée $24 000$ € perd $15 %$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien d'années sa valeur devient-elle inférieure ou égale à la moitié du prix d'achat ?

La valeur après $n$ années est $u_{n} = 24 000 \times {0,85}^{n}$ (coefficient multiplicateur $1 - \frac{15}{100} = 0,85$ ). On cherche le plus petit entier $n$ tel que :

24 000 \times {0,85}^{n} ⩽ 12 000, c’est- \overset{ˋ}{a} -dire {0,85}^{n} ⩽ 0,5.

En appliquant le logarithme aux deux membres (sens conservé, car $\ln$ est strictement croissante) : $n \ln 0,85 ⩽ \ln 0,5$ . Ici $0 < 0,85 < 1$ , donc $\ln 0,85 < 0$ : diviser par $\ln 0,85$ renverse le sens de l'inégalité :

n ⩾ \frac{\ln 0,5}{\ln 0,85} \approx 4,27.

Le plus petit entier convenable est $n = 5$ : c'est au bout de $5$ ans que la voiture vaut au plus la moitié de son prix. Vérification : $24 000 \times {0,85}^{4} \approx 12 528$ € (encore au-dessus de la moitié), et $24 000 \times {0,85}^{5} \approx 10 649$ € (en dessous). Oublier le renversement aurait conduit à $n ⩽ 4,27$ , c'est-à-dire à répondre « pendant les quatre premières années », un contresens complet.

Dérivée de ln(u)

Comme pour l'exponentielle, le programme fournit la dérivée d'une composée du logarithme avec une fonction $u$ , qui élargit considérablement le champ des fonctions que nous savons étudier.

Propriété

Dérivée de $\ln u$ . Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ . La fonction $\ln u : x \mapsto \ln (u (x))$ est dérivable sur $I$ et :

{(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u} .

La structure est la même que pour ${(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u}$ : on dérive la fonction extérieure ( $\frac{1}{u}$ à la place de $\ln$ ) et on multiplie par $u^{'}$ . Comme toujours avec le logarithme, la condition $u > 0$ sur tout l'intervalle est indispensable : elle garantit que $\ln u$ est bien définie. Quelques calculs directs :

a. $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ sur $R$ : ici $u (x) = x^{2} + 1 > 0$ pour tout $x$ , et $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

b. $g (x) = \ln (3 x - 6)$ sur $] 2; + \infty [$ : $u (x) = 3 x - 6 > 0$ sur cet intervalle, et $g^{'} (x) = \frac{3}{3 x - 6} = \frac{1}{x - 2}$ .

c. $h (x) = \ln (5 - x)$ sur $] - \infty; 5 [$ : $u (x) = 5 - x > 0$ sur cet intervalle, et $h^{'} (x) = \frac{- 1}{5 - x}$ .

d. $k (x) = \ln (x^{2} + x + 1)$ sur $R$ : le discriminant de $u$ vaut $- 3 < 0$ , donc $u > 0$ partout, et $k^{'} (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

Exemple

Étude complète. Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 5)$ .

Domaine et dérivabilité. Posons $u (x) = x^{2} - 4 x + 5$ . Le discriminant vaut $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ et le coefficient de $x^{2}$ est positif : $u (x) > 0$ pour tout réel $x$ . La fonction $f$ est donc définie et dérivable sur $R$ .

Dérivée et signe. D'après la formule ${(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ :

f^{'} (x) = \frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 5} .

Le dénominateur est strictement positif sur $R$ : le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $2 x - 4$ , négatif pour $x < 2$ , positif pour $x > 2$ .

Tableau de variations. Le minimum est atteint en $x = 2$ et vaut $f (2) = \ln (4 - 8 + 5) = \ln 1 = 0$ .

x

-\infty

2

+\infty

f'(x)

-

0

+

f(x)

0

Bilan. La fonction $f$ est décroissante sur $] - \infty; 2]$ , croissante sur $[2; + \infty [$ , et son minimum vaut $0$ . On en tire au passage une information gratuite : $f (x) ⩾ 0$ pour tout réel $x$ , c'est-à-dire $\ln (x^{2} - 4 x + 5) ⩾ 0$ , ce qui redonne $x^{2} - 4 x + 5 ⩾ 1$ en prenant l'exponentielle des deux membres.

Avec le logarithme népérien, la panoplie des fonctions de référence est complète : l'exponentielle et sa réciproque se répondent, les problèmes de seuil des suites géométriques se résolvent exactement, et la dérivée $\frac{1}{x}$ jouera un rôle central au chapitre de calcul intégral. Ces outils reviendront dans tous les modèles de l'année, de la démographie à l'économie, chaque fois qu'une évolution en pourcentage rencontrera une question de durée.

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