Maths compl. · Chapitre 04 · Analyse

Compléments de dérivation

Dérivées de f(ax + b), exp(u), ln(u), u², études de fonctions, optimisation.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

En première, vous avez découvert la puissance de la dérivation : le signe de la dérivée révèle les variations d'une fonction, ses extremums, l'allure de sa courbe. Mais les fonctions issues des modèles concrets, en économie, en biologie ou en physique, s'écrivent souvent sous des formes composées comme $e^{- 0,5 x^{2} + x}$ ou $\ln (2 x + 5)$ , que les formules de première ne couvrent pas. Ce chapitre enrichit votre catalogue de dérivées avec de nouvelles formes construites autour de l'exponentielle, du logarithme et du carré. Vous pourrez alors étudier ces fonctions de bout en bout, et répondre à des questions d'optimisation : quelle quantité produire pour maximiser un bénéfice, quelles dimensions choisir pour rendre une aire la plus grande possible ?

Ce que l'on sait déjà : rappels de première

Le nombre dérivé de $f$ en $a$ , noté $f^{'} (a)$ , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ . Il mesure la vitesse à laquelle $f$ varie au voisinage de $a$ : une valeur positive signale une fonction qui monte, une valeur négative une fonction qui descend.

Propriété

Équation de la tangente. Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) .

Tangente à la courbe au point A

La figure montre la courbe de la fonction $f (x) = x^{2} - 3 x + 4$ et sa tangente au point $A (1; 2)$ . Comme $f^{'} (x) = 2 x - 3$ , la pente de la tangente vaut $f^{'} (1) = - 1$ : la courbe descend en ce point. L'équation de la tangente s'en déduit : $y = - 1 \times (x - 1) + 2$ , c'est-à-dire $y = - x + 3$ .

Le tableau suivant rassemble les dérivées des fonctions usuelles. La dernière ligne est l'acquis du chapitre précédent : la fonction logarithme népérien a pour dérivée la fonction inverse.

Fonction $f (x)$	Dérivée $f^{'} (x)$	$f$ est dérivable sur
$x^{n}$ ( $n$ entier naturel non nul)	$n x^{n - 1}$	$R$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x^{2}}$	$] - \infty; 0 [$ et $] 0; + \infty [$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$] 0; + \infty [$
$e^{x}$	$e^{x}$	$R$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$] 0; + \infty [$

Propriété

Opérations sur les dérivées. Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ , et $k$ un réel.

Somme : $(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}$ .
Produit par un réel : $(k u)^{'} = k u^{'}$ .
Produit : $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .
Quotient (si $v$ ne s'annule pas sur $I$ ) : ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ .

Propriété

Signe de la dérivée et variations. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f^{'}$ est positive sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ .
Si $f^{'}$ est négative sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ .
Si $f^{'}$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum local en $a$ : un maximum si $f^{'}$ passe du positif au négatif, un minimum dans l'autre sens.

Exemple

Étudions la fonction $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur $R$ . Elle est dérivable sur $R$ et $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ . Ce trinôme, de coefficient dominant positif, est négatif entre ses racines $- 1$ et $1$ , positif à l'extérieur. Comme $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ et $f (1) = 1 - 3 = - 2$ , on obtient le tableau :

x

-\infty

-1

1

+\infty

f'(x)

+

0

-

0

+

f(x)

2

-2

La fonction $f$ admet un maximum local égal à $2$ en $x = - 1$ , et un minimum local égal à $- 2$ en $x = 1$ .

La dérivée de $x \mapsto f (a x + b)$

Première nouveauté de l'année : dériver une fonction usuelle appliquée non plus à $x$ , mais à une expression du premier degré $a x + b$ . C'est le cas de $e^{- 3 x}$ ou de $\ln (2 x + 5)$ , très fréquentes dans les modèles.

Propriété

Dérivée de $x \mapsto f (a x + b)$ (formule admise). Soient $a$ et $b$ deux réels, et $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ . La fonction $g$ définie par $g (x) = f (a x + b)$ est dérivable en tout réel $x$ tel que $a x + b$ appartient à $J$ , et :

g^{'} (x) = a \times f^{'} (a x + b) .

Autrement dit : on dérive $f$ comme d'habitude, on évalue cette dérivée en $a x + b$ , et on multiplie le tout par le coefficient $a$ . C'est ce dernier facteur que l'on oublie le plus souvent.

Exemple

$g (x) = (2 x - 1)^{3}$ . Ici $f (x) = x^{3}$ , de dérivée $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ , avec $a = 2$ . Donc $g$ est dérivable sur $R$ et $g^{'} (x) = 2 \times 3 (2 x - 1)^{2} = 6 (2 x - 1)^{2}$ .
$g (x) = \sqrt{4 x + 1}$ . La racine carrée exige $4 x + 1 ⩾ 0$ , donc $g$ est définie sur $[- \frac{1}{4}; + \infty [$ et dérivable sur $] - \frac{1}{4}; + \infty [$ (la racine n'est pas dérivable en $0$ ). Avec $f (x) = \sqrt{x}$ et $a = 4$ : $g^{'} (x) = 4 \times \frac{1}{2 \sqrt{4 x + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}}$ .
$g (x) = e^{- 3 x}$ . Ici $f (x) = e^{x}$ et $a = - 3$ , donc $g$ est dérivable sur $R$ et $g^{'} (x) = - 3 e^{- 3 x}$ .
$g (x) = \ln (2 x + 5)$ . Le logarithme exige $2 x + 5 > 0$ , donc $g$ est définie et dérivable sur $] - \frac{5}{2}; + \infty [$ , et $g^{'} (x) = 2 \times \frac{1}{2 x + 5} = \frac{2}{2 x + 5}$ .

Dériver $e^{u}$

L'exponentielle intervient dans les modèles avec des exposants bien plus variés que $a x + b$ : croissance freinée, courbe en cloche, etc. La formule suivante couvre tous ces cas.

Propriété

Dérivée de $e^{u}$ (formule admise). Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . La fonction $e^{u}$ , qui à $x$ associe $e^{u (x)}$ , est dérivable sur $I$ et :

{(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u} .

Aucune condition de domaine à vérifier ici : l'exponentielle accepte n'importe quel exposant. On dérive l'exposant, et on le met en facteur devant l'exponentielle, qui reste inchangée.

Exemple

$f (x) = e^{x^{2}}$ . Ici $u (x) = x^{2}$ et $u^{'} (x) = 2 x$ , donc $f$ est dérivable sur $R$ et $f^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}}$ .
$f (x) = e^{- 0,5 x^{2} + x}$ . Ici $u (x) = - 0,5 x^{2} + x$ et $u^{'} (x) = - x + 1$ , donc $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- 0,5 x^{2} + x}$ .
$f (x) = x e^{x^{2}}$ . C'est un produit : celui de $x$ par $e^{x^{2}}$ . On combine la formule du produit et celle de $e^{u}$ : $f^{'} (x) = 1 \times e^{x^{2}} + x \times 2 x e^{x^{2}} = (1 + 2 x^{2}) e^{x^{2}}$ .

Remarquons que $e^{a x + b}$ relève des deux formules du chapitre : comme fonction $f (a x + b)$ avec $f (x) = e^{x}$ , ou comme $e^{u}$ avec $u (x) = a x + b$ . Les deux donnent le même résultat, $a e^{a x + b}$ , ce qui est rassurant.

Dériver $\ln u$

Le logarithme, lui, ne se laisse pas composer avec n'importe quoi : il n'accepte que des valeurs strictement positives. La formule de dérivation en hérite une condition.

Propriété

Dérivée de $\ln u$ (formule admise). Soit $u$ une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ . Alors la fonction $\ln u$ est dérivable sur $I$ et :

{(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u} .

Méthode

Avant de dériver $\ln u$ : vérifier le domaine.

Résoudre l'inéquation $u (x) > 0$ : l'ensemble des solutions est le domaine de définition de $\ln u$ .
Sur ce domaine seulement, appliquer la formule ${(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ .

Sauter l'étape 1 conduit à des calculs dénués de sens : $\ln (3 x - 6)$ n'existe tout simplement pas pour $x ⩽ 2$ , il n'y a donc rien à y dériver.

Exemple

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ . Pour tout réel $x$ , on a $x^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ : la fonction est définie et dérivable sur $R$ . Avec $u (x) = x^{2} + 1$ et $u^{'} (x) = 2 x$ : $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .
$g (x) = \ln (3 x - 6)$ . On résout $3 x - 6 > 0$ , c'est-à-dire $x > 2$ : la fonction est définie et dérivable sur $] 2; + \infty [$ . Avec $u (x) = 3 x - 6$ et $u^{'} (x) = 3$ : $g^{'} (x) = \frac{3}{3 x - 6} = \frac{1}{x - 2}$ .

Dériver $u^{2}$

Dernière forme au programme : le carré d'une fonction. Contrairement aux précédentes, sa formule se démontre en une ligne, car $u^{2}$ n'est autre que le produit $u \times u$ : la formule du produit donne ${(u \times u)}^{'} = u^{'} u + u u^{'} = 2 u^{'} u$ .

Propriété

Dérivée de $u^{2}$ . Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ . Alors la fonction $u^{2}$ est dérivable sur $I$ et :

{(u^{2})}^{'} = 2 u^{'} u .

Exemple

$f (x) = (x^{2} + 3 x)^{2}$ . Ici $u (x) = x^{2} + 3 x$ et $u^{'} (x) = 2 x + 3$ , donc $f$ est dérivable sur $R$ et $f^{'} (x) = 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x)$ .
$g (x) = (\ln x)^{2}$ . Ici $u (x) = \ln x$ , définie et dérivable sur $] 0; + \infty [$ avec $u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ . Donc, sur $] 0; + \infty [$ : $g^{'} (x) = 2 \times \frac{1}{x} \times \ln x = \frac{2 \ln x}{x}$ .

Étudier les variations d'une fonction

Toutes ces formules servent un même but : mener l'étude complète d'une fonction, de son expression à son tableau de variations. La démarche est toujours la même.

Méthode

Plan d'étude des variations d'une fonction $f$ .

Domaine : préciser l'ensemble de définition et de dérivabilité (attention à la condition $u > 0$ pour $\ln u$ ).
Dériver : identifier la forme de $f$ (produit, quotient, $f (a x + b)$ , $e^{u}$ , $\ln u$ , $u^{2}$ ) et calculer $f^{'} (x)$ .
Signe de $f^{'}$ : factoriser si nécessaire, puis étudier le signe de chaque facteur. Rappel précieux : une exponentielle est toujours strictement positive.
Tableau de variations : le dresser, en y portant les valeurs des extremums.
Conclure : énoncer les variations et les extremums locaux.

Exemple

Étudions la fonction $f (x) = e^{- x^{2} + 2 x}$ , définie sur $R$ (une exponentielle est définie pour tout réel).

Dérivée. La fonction est de la forme $e^{u}$ avec $u (x) = - x^{2} + 2 x$ , dérivable sur $R$ , et $u^{'} (x) = - 2 x + 2$ . Donc $f$ est dérivable sur $R$ et :

f^{'} (x) = (- 2 x + 2) e^{- x^{2} + 2 x} .

Signe de $f^{'}$ . Le facteur $e^{- x^{2} + 2 x}$ est strictement positif pour tout réel $x$ : le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $- 2 x + 2$ , qui s'annule en $x = 1$ , est positif avant et négatif après.

Tableau de variations. On calcule $f (1) = e^{- 1 + 2} = e$ .

x

-\infty

1

+\infty

f'(x)

+

0

-

f(x)

e

Conclusion. La fonction $f$ est croissante sur $] - \infty; 1]$ et décroissante sur $[1; + \infty [$ . Elle admet un maximum égal à $e \approx 2,72$ , atteint en $x = 1$ : c'est la fameuse courbe « en cloche » des modèles de diffusion.

Problèmes d'optimisation

Optimiser, c'est chercher la valeur d'une variable qui rend une grandeur la plus grande ou la plus petite possible : le bénéfice maximal, le coût minimal, l'aire maximale. L'étude des variations fournit la réponse, à condition d'avoir d'abord traduit le problème en une fonction.

Méthode

Résoudre un problème d'optimisation.

Identifier la variable : la grandeur sur laquelle on peut agir, et la nommer $x$ .
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $x$ : aire, volume, coût, bénéfice.
Préciser l'intervalle d'étude imposé par le contexte (une longueur est positive, une quantité produite est bornée par la capacité de l'usine...).
Étudier les variations de la fonction obtenue, en suivant le plan de la partie précédente.
Conclure en répondant à la question posée, avec les mots du contexte : donner la valeur optimale et la valeur de la grandeur optimisée.

Exemple

Parmi tous les rectangles de périmètre $20$ , lequel a la plus grande aire ?

Variable. Notons $x$ la longueur d'un côté du rectangle. Le périmètre valant $20$ , le demi-périmètre vaut $10$ : le côté adjacent mesure $10 - x$ .

Grandeur à optimiser. L'aire du rectangle : $A (x) = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$ .

Intervalle d'étude. Les deux côtés doivent être positifs, donc $x \in [0; 10]$ (aux bornes, le rectangle est aplati et son aire est nulle).

Variations. La fonction $A$ est dérivable sur $[0; 10]$ et $A^{'} (x) = 10 - 2 x$ , qui s'annule en $x = 5$ , est positif avant et négatif après. On calcule $A (5) = 5 \times 5 = 25$ .

x

0

5

10

A'(x)

+

0

-

A(x)

0

25

0

Conclusion. L'aire est maximale pour $x = 5$ : les deux côtés mesurent alors $5$ . Parmi tous les rectangles de périmètre $20$ , celui d'aire maximale est le carré de côté $5$ , d'aire $25$ .

Ce chapitre complète la boîte à outils de la dérivation : aux formules de première s'ajoutent désormais les formes $f (a x + b)$ , $e^{u}$ , $\ln u$ et $u^{2}$ , qui suffisent à étudier la plupart des fonctions des modèles concrets. La démarche d'optimisation, elle, reviendra tout au long de l'année : chaque fois qu'un problème demandera « pour quelle valeur est-ce le plus avantageux ? », c'est vers la dérivée qu'il faudra se tourner.

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Ce qu'il faut savoir faire

Ce que l'on sait déjà : rappels de première

La dérivée de x↦f(ax+b)

Dériver eu

Dériver ln⁡u

Dériver u2

Étudier les variations d'une fonction

Problèmes d'optimisation

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La dérivée de $x \mapsto f (a x + b)$

Dériver $e^{u}$

Dériver $\ln u$

Dériver $u^{2}$