Exercices — Suites réelles

On considère les cinq parties de $\mathbb{R}$ suivantes.

1. Chacune de ces parties est-elle majorée ? minorée ? bornée ? Donner deux majorants distincts lorsqu'il en existe, et deux minorants distincts lorsqu'il en existe.

2. Pour chacune, dire si le maximum et le minimum existent, et les donner le cas échéant. Une non-existence se démontre.

3. Écrire en symboles la proposition « $A_5$ n'est pas majorée », puis la démontrer.

On considère les trois parties de $\mathbb{R}$ suivantes :

1. Montrer que $\sup A=1$ en utilisant la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$. Déterminer également $\inf A$.

2. Déterminer $\sup B$ et $\inf B$. L'une des deux bornes s'obtient sans les $\epsilon$ : dire laquelle, et pourquoi.

3. Montrer que $\sup C=\sqrt{3}$. On utilisera la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ démontrée dans le cours, et l'on admettra que $\sqrt{3}$ est irrationnel. La partie $C$ admet-elle une borne inférieure ?

4. Pour chacune des bornes obtenues, dire si elle est atteinte. Expliquer pourquoi la question « cette borne supérieure est-elle atteinte ? » est exactement la question « appartient-elle à la partie ? ».

1. Calculer :

Expliquer ensuite pourquoi $\lfloor -\mathrm{3,4}\rfloor$ n'est pas égal à $-3$, et donner sa valeur.

2. Démontrer que pour tous réels $x$ et $y$,

Donner un couple $(x,y)$ pour lequel la première inégalité est une égalité, et un couple pour lequel c'est la seconde.

3. Déterminer, par encadrement, la limite de la suite définie pour $n⩾1$ par $u_n={\displaystyle \frac{\lfloor n\sqrt{2}\rfloor }{n}}$.

4. Soit $v_n=\lfloor {\displaystyle \frac{n}{3}}\rfloor -{\displaystyle \frac{n}{3}}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Calculer $v_{3k}$ et $v_{3k+1}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, puis démontrer que la suite $(v_n)$ ne converge pas.

Dans tout l'exercice, on considère la partie

et l'on admet qu'aucun rationnel n'a pour carré $2$.

1. Montrer que $B$ est non vide et majorée par $2$.

2. Soit $r\in \mathbb{Q}$ vérifiant $r>0$ et $r^2<2$. On pose

Montrer que $r^{\mathrm{\prime }}$ est un rationnel, que $r^{\mathrm{\prime }}>r$, et que $r^{\mathrm{\prime }2}<2$. Qu'a-t-on démontré sur $B$ ?

3. Soit $s\in \mathbb{Q}$ vérifiant $s>0$ et $s^2>2$. On pose

Montrer que $s^{\mathrm{\prime }}$ est un rationnel strictement positif, que $s^{\mathrm{\prime }}<s$, et que $s^{\mathrm{\prime }2}>2$. En déduire que $s^{\mathrm{\prime }}$ est encore un majorant de $B$.

4. Conclure que $B$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$, alors qu'elle en admet une dans $\mathbb{R}$. Expliquer en une phrase ce que l'axiome de la borne supérieure ajoute à $\mathbb{Q}$, et rien d'autre.

Pour une suite réelle $(u_n)$, on note $A=\{u_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ l'ensemble de ses valeurs.

1. Donner un exemple de suite bornée pour laquelle $\sup A$ est atteinte, puis un exemple de suite bornée pour laquelle elle ne l'est pas. Justifier dans les deux cas.

2. On suppose $(u_n)$ croissante et majorée.

2.a. Justifier que le réel $S=\sup A$ existe.

2.b. Soit $\epsilon >0$. Montrer qu'il existe un rang $N$ tel que $u_N>S-\epsilon$.

2.c. En déduire que $0⩽S-u_n<\epsilon$ pour tout $n⩾N$.

2.d. Conclure que $u_n\to S$. À quel endroit exact l'hypothèse de croissance a-t-elle servi ?

3. Donner une suite bornée et convergente dont la limite n'est ni $\sup A$, ni $\inf A$.

4. Soit $u_n={\displaystyle \frac{3n-1}{n+2}}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Déterminer $\sup A$ et $\inf A$, dire lesquelles sont atteintes, et comparer avec $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n$.

On considère les six suites suivantes, l'angle $n$ étant exprimé en radians dans la cinquième.

1. Pour chacune de ces suites : est-elle majorée ? minorée ? bornée ? monotone ? Lorsque la monotonie n'est vraie qu'à partir d'un certain rang, préciser ce rang.

2. Donner une suite bornée qui n'est pas monotone, et une suite monotone qui n'est pas bornée. Justifier les quatre affirmations.

Soit $(u_n)$ une suite réelle et soit $\mathrm{\ell }$ un réel. On considère les quatre propositions suivantes, qui ne diffèrent que par la place ou la portée d'un quantificateur.

1. Traduire chacune des quatre propositions par une phrase en français, sans employer aucun quantificateur.
2. Pour chacune, dire si elle équivaut à « $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$ ». Lorsque ce n'est pas le cas, donner une suite explicite qui la vérifie sans converger vers $\mathrm{\ell }$, ou une suite qui converge vers $\mathrm{\ell }$ sans la vérifier.
3. Ranger les quatre propositions de la plus forte à la plus faible, et justifier que chacune des implications obtenues est stricte.

Soit $(u_n)$ une suite réelle et soit $\mathrm{\ell }$ un réel.

1. Écrire la négation de chacune des cinq propositions suivantes, d'abord en symboles, puis en français. On écrira à chaque fois la proposition de départ en symboles avant de la nier.

   a. $(u_n)$ est majorée. b. $(u_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$. c. $(u_n)$ converge. d. $u_n\to +\mathrm{\infty }$. e. $(u_n)$ est croissante.

2. Soit $u_n=(-1{)}^n$. a. Démontrer, à l'aide de la négation écrite en 1.b, que $(u_n)$ ne converge pas vers $0$. b. Démontrer, à l'aide de la négation écrite en 1.c, que $(u_n)$ ne converge vers aucun réel. On prendra $\epsilon ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et l'on utilisera l'inégalité triangulaire sur $\mid u_{2N}-u_{2N+1}\mid$.

3. Expliquer pourquoi « $(u_n)$ n'est pas croissante » ne signifie pas « $(u_n)$ est décroissante ». Donner une suite qui n'est ni croissante ni décroissante et qui tend pourtant vers $+\mathrm{\infty }$.

Les quatre textes ci-dessous sont des démonstrations rédigées, telles qu'on les lit sur une copie. Chacune est fausse ou incomplète. Pour chacune, répondre aux quatre questions suivantes.

• La conclusion annoncée est-elle vraie ?
• Quelle ligne exactement est fautive ?
• De quel type d'erreur s'agit-il ?
• Écrire la rédaction correcte si la conclusion est vraie, ou donner un contre-exemple si elle est fausse.

(a) Affirmation : la suite de terme général $u_n={\displaystyle \frac{2n+1}{n+2}}$ converge vers $2$.

1. Posons $N=100$.
2. Soit $\epsilon >0$ et soit $n⩾N$.
3. On calcule $u_n-2={\displaystyle \frac{2n+1-2(n+2)}{n+2}}={\displaystyle \frac{-3}{n+2}}$, donc $\mid u_n-2\mid ={\displaystyle \frac{3}{n+2}}$.
4. Comme $n⩾100$, on a ${\displaystyle \frac{3}{n+2}}⩽{\displaystyle \frac{3}{102}}$, quantité inférieure à $\mathrm{0,03}$, donc $\mid u_n-2\mid ⩽\epsilon$.
5. Ainsi $\mid u_n-2\mid ⩽\epsilon$ pour tout $n⩾N$ : la suite $(u_n)$ converge vers $2$.

(b) Affirmation : si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et si $u_n<v_n$ pour tout $n$, alors $\lim u_n<\lim v_n$.

1. Notons $\mathrm{\ell }=\lim u_n$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}=\lim v_n$.
2. Posons $w_n=v_n-u_n$. D'après le théorème des opérations, $(w_n)$ converge vers ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }$.
3. Par hypothèse, $w_n>0$ pour tout $n$.
4. Une suite à termes strictement positifs a une limite strictement positive, donc ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}-\mathrm{\ell }>0$.
5. D'où $\mathrm{\ell }<{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$.

(c) Affirmation : si $(u_n)$ est croissante et si $u_n⩽7$ pour tout $n$, alors $u_n\to 7$.

1. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $7$ : d'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\mathrm{\ell }$.
2. Or la limite d'une suite croissante et majorée est égale à son majorant.
3. Le majorant est ici $7$, donc $\mathrm{\ell }=7$.

(d) Affirmation : la suite définie par $u_0=8$ et $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n+6}{2}}$ vérifie $u_n⩽6$ pour tout entier $n$.

1. Notons $P(n)$ la propriété « $u_n⩽6$ », et démontrons-la par récurrence.
2. Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un certain entier $n$, c'est-à-dire $u_n⩽6$.
3. Alors $u_n+6⩽12$, donc $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n+6}{2}}⩽6$ : la propriété $P(n+1)$ est vraie.
4. La propriété est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier $n$.

Pour cette dernière, calculer de plus $u_0,u_1,u_2,u_3,u_4$, puis déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et en déduire à quels rangs la propriété $P(n)$ est vraie.

Dans tout l'exercice, $(u_n)$ désigne une suite réelle. Pour chacune des huit affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse : démontrer celles qui sont vraies, réfuter les autres par un contre-exemple explicite dont on vérifiera toutes les propriétés annoncées.

1. Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent, alors $(u_n)$ converge.
2. Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite, alors $(u_n)$ converge.
3. Toute suite bornée admet au moins une valeur d'adhérence.
4. Toute suite qui admet une seule valeur d'adhérence converge.
5. Toute suite de Cauchy est bornée.
6. Si $u_{n+1}-u_n\to 0$, alors $(u_n)$ est de Cauchy.
7. Toute suite convergente est de Cauchy.
8. Toute suite extraite d'une suite divergente diverge.

Dernière question : pour chacune des affirmations fausses, indiquer l'hypothèse qu'il faut ajouter, ou la modification qu'il faut apporter à l'énoncé, pour obtenir une affirmation vraie.

Déterminer la limite de la suite dont le terme général est donné ci-dessous, pour $n⩾1$. Chaque réponse doit citer, en une ligne, le théorème ou la limite de référence qui l'autorise.

Dernière question : parmi ces dix calculs, lesquels présentaient une forme indéterminée ? Expliquer, en s'appuyant sur des exemples, la différence entre « c'est une forme indéterminée » et « la suite n'a pas de limite ».

Chacune des six suites ci-dessous est définie pour $n⩾1$. Calculer sa limite en mettant en facteur le terme dominant, en passant s'il le faut par la quantité conjuguée ou par un encadrement, et justifier chaque étape.

Dernière question : ranger les sept suites de termes généraux $\ln n$, $\sqrt{n}$, $n$, $n\ln n$, $n^2$, $2^n$ et $n!$, toutes définies pour $n⩾1$, de la moins rapide à la plus rapide, en justifiant chaque comparaison par une limite de quotient.

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes. À chaque fois, la rédaction attendue est la même : écrire les deux inégalités de l'encadrement, nommer le théorème utilisé, conclure.

1. $u_n={\displaystyle \frac{\sin (n^2)}{n}}$, pour $n⩾1$.

2. $v_n={\displaystyle \frac{n+\cos n}{n+\sin n}}$, pour $n⩾2$. Établir d'abord que $n+\sin n>0$ pour tout $n⩾2$, puis dire pourquoi cette vérification doit précéder tout encadrement du quotient.

3. $w_n={\displaystyle \frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }{\sqrt{n}}}$, pour $n⩾1$, en citant l'encadrement fondamental de la partie entière.

4. Reprendre la question 2 : quelle inégalité écrirait-on, à tort, si l'on encadrait le quotient sans avoir vérifié le signe du dénominateur ? Donner un exemple numérique où ce genre d'écriture est faux.

Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs telle que la suite des rapports $\left({\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}\right)$ converge vers un réel $\mathrm{\ell }$ vérifiant $0⩽\mathrm{\ell }<1$.

1. On se propose de démontrer que $u_n\to 0$.

   a. Justifier qu'il existe un réel $k$ tel que $\mathrm{\ell }<k<1$, et en exhiber un.

   b. Montrer qu'il existe un rang $N$ tel que $u_{n+1}⩽k{u}_n$ pour tout $n⩾N$. Préciser où sert l'hypothèse « termes strictement positifs ».

   c. En déduire par récurrence que $u_n⩽u_N{k}^{n-N}$ pour tout $n⩾N$.

   d. Conclure.

2. Appliquer le critère à $u_n={\displaystyle \frac{3^n}{n!}}$ et à $v_n={\displaystyle \frac{n^5}{2^n}}$.

3. Montrer, par deux exemples dont l'un converge et l'autre diverge, que le cas $\mathrm{\ell }=1$ ne permet aucune conclusion.

4. Que donne le même raisonnement lorsque le rapport converge vers un réel $\mathrm{\ell }>1$ ?

Dans tout l'exercice, $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ désignent des suites réelles.

1. On suppose $(u_n)$ et $(v_n)$ convergentes, de limites respectives $\mathrm{\ell }$ et ${\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$, et $u_n⩽v_n$ à partir d'un certain rang. Montrer que $\mathrm{\ell }⩽{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$. On pourra commencer par le cas particulier d'une suite à termes positifs ou nuls.

2. On suppose de plus l'inégalité stricte : $u_n<v_n$ pour tout $n$. Peut-on en conclure $\mathrm{\ell }<{\mathrm{\ell }}^{\mathrm{\prime }}$ ? Démontrer, ou donner un contre-exemple.

3. On suppose seulement $u_n⩽v_n$ pour tout $n$, et $(v_n)$ convergente. La suite $(u_n)$ converge-t-elle nécessairement ? Donner deux contre-exemples de natures différentes, et écrire, pour l'un des deux, la phrase quantifiée qui exprime sa non-convergence.

4. On suppose $u_n⩽v_n⩽w_n$ pour tout $n$, et $(u_n)$, $(w_n)$ convergentes de même limite $\mathrm{\ell }$. Démontrer que $(v_n)$ converge vers $\mathrm{\ell }$, sans invoquer le théorème d'encadrement : c'est lui qu'on redémontre.

5. Énoncer proprement le théorème de comparaison pour la divergence vers $+\mathrm{\infty }$, le démontrer, et dire ce que l'on peut conclure, ou non, de $u_n⩽v_n$ lorsque c'est $(v_n)$ qui tend vers $+\mathrm{\infty }$.

On rappelle qu'une extractrice est une application $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ strictement croissante, et que la suite extraite associée à $(u_n)$ est $(u_{\phi (n)})$.

1. Montrer par récurrence que toute extractrice $\phi$ vérifie $\phi (n)⩾n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

2. Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers un réel $\mathrm{\ell }$, et $\phi$ une extractrice. Démontrer que $u_{\phi (n)}\to \mathrm{\ell }$. On précisera quel rang la démonstration fournit pour la suite extraite, et d'où il vient.

3. On suppose $u_n\to 5$. Donner, en justifiant à chaque fois que l'application des rangs est bien une extractrice, les limites de $(u_{2n})$, de $(u_{n^2})$ et de $(u_{n+3})$.

4. Étudier la réciproque de la question 2 sous ses deux formes. a. Si $(u_{2n})$ converge, la suite $(u_n)$ converge-t-elle ? b. Si toute suite extraite de $(u_n)$ converge, la suite $(u_n)$ converge-t-elle ? Commenter la démonstration obtenue en b.

Chacune des trois suites suivantes doit être traitée par le théorème de la limite monotone.

1. $u_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k{2}^k}}}$, pour $n⩾1$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, puis qu'elle est majorée par $1$ en comparant ${\displaystyle \frac{1}{k{2}^k}}$ à ${\displaystyle \frac{1}{2^k}}$. Que peut-on dire de sa limite ?

2. $v_n={\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$, pour $n⩾1$. Calculer ${\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}}$ et en déduire le sens de variation de $(v_n)$. Conclure à l'existence de la limite, puis la déterminer en établissant $v_n⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}$.

3. $w_n=2^n-n$, pour $n⩾0$. Montrer que $(w_n)$ est croissante et non majorée, et conclure.

4. Pour chacune des trois suites, dire ce que le théorème de la limite monotone a donné, et ce qu'il a fallu obtenir autrement.

Pour $n\in \mathbb{N}$, on pose

1. Calculer $S_0$, $S_1$, $S_2$, $S_3$ et $S_4$ en valeurs exactes, puis en valeurs décimales arrondies à ${10}^{-3}$.

2. Montrer que la suite $(S_{2n})$ est décroissante et que la suite $(S_{2n+1})$ est croissante. On regroupera deux termes consécutifs.

3. Calculer $S_{2n}-S_{2n+1}$ et montrer que cette différence tend vers $0$. En déduire que les deux suites sont adjacentes, et qu'elles convergent vers une même limite $\mathrm{\ell }$.

4. Donner un encadrement de $\mathrm{\ell }$ d'amplitude au plus ${10}^{-2}$, et le rang qui le garantit. On admettra, sans le démontrer, que $\mathrm{\ell }={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

5. Pourquoi le théorème de la limite monotone, appliqué séparément aux deux suites, ne suffisait-il pas à conclure qu'elles ont la même limite ?

Une suite $(I_n)$ d'intervalles de $\mathbb{R}$ est dite emboîtée lorsque $I_{n+1}\subset I_n$ pour tout $n$.

1. Soit $(I_n)$ une suite emboîtée de segments, $I_n=[a_n,b_n]$ avec $a_n⩽b_n$, dont les longueurs vérifient $b_n-a_n\to 0$.

   a. Montrer que l'inclusion $I_{n+1}\subset I_n$ équivaut aux deux inégalités $a_n⩽a_{n+1}$ et $b_{n+1}⩽b_n$.

   b. En déduire que $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers un même réel $\mathrm{\ell }$, et que $\mathrm{\ell }$ appartient à $I_n$ pour tout $n$.

   c. Montrer que ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n}$ ne contient aucun autre point que $\mathrm{\ell }$, puis énoncer le théorème que l'on vient de démontrer.

2. Pour $n⩾1$, on pose $I_n=]0,{\displaystyle \frac{1}{n}}[$. Vérifier que ces intervalles sont emboîtés, bornés, et que leurs longueurs tendent vers $0$ ; montrer que leur intersection est vide. Quelle hypothèse du théorème a été perdue ?

3. Pour $n⩾1$, on pose $J_n=]-{\displaystyle \frac{1}{n}},{\displaystyle \frac{1}{n}}[$. Déterminer ${\displaystyle \bigcap _{n⩾1}{J}_n}$. Que faut-il en conclure sur ce qu'un contre-exemple démontre exactement ?

4. Pour $n⩾1$, on pose $K_n=[n,+\mathrm{\infty }[$. Ces intervalles sont fermés et emboîtés ; montrer que leur intersection est vide, et dire quelle hypothèse manque cette fois.

5. Donner une suite emboîtée de segments dont l'intersection contient plus d'un point, et déterminer cette intersection.

6. Conclure par une phrase pour chacune des trois hypothèses du théorème, en citant à chaque fois le contre-exemple qui montre qu'on ne peut pas s'en passer.

Déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence de chacune des trois suites suivantes. Chaque réponse demande deux temps : exhiber une extractrice pour chaque valeur annoncée, puis démontrer qu'il n'y en a pas d'autre.

1. $u_n=(-1{)}^n+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, pour $n\in \mathbb{N}$.

2. $v_n=\cos \text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{n\pi }{3}}\right)$, pour $n\in \mathbb{N}$.

3. $w_n=n(1+(-1{)}^n)$, pour $n\in \mathbb{N}$.

4. Pour laquelle de ces trois suites le théorème de Bolzano-Weierstrass s'applique-t-il ? Dire ce qu'il garantit, ce qu'il ne garantit pas, et laquelle des trois suites converge.

Dans tout l'exercice, $(u_n)$ est une suite réelle bornée : il existe deux réels $m⩽M$ tels que $u_n\in [m,M]$ pour tout $n$. Pour tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, on note

l'ensemble des rangs dont le terme tombe dans $I$.

1. Démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass par dichotomie.

   a. Construire par récurrence une suite de segments $(I_k)$ telle que $I_0=[m,M]$, que $I_{k+1}$ soit l'une des deux moitiés de $I_k$, et que $E(I_k)$ soit infini pour tout $k$. On énoncera précisément l'argument qui autorise le choix de la moitié.

   b. Donner la longueur de $I_k$ et en déduire qu'il existe un réel $\mathrm{\ell }$ tel que ${\displaystyle \bigcap _k{I}_k=\{\mathrm{\ell }\}}$, ainsi que les limites des deux suites d'extrémités.

   c. Construire par récurrence une extractrice $\phi$ telle que $u_{\phi (k)}\in I_k$ pour tout $k$. Dire à quel endroit exact sert le fait que $E(I_k)$ est infini, et ce qui se passerait si l'on savait seulement que $I_k$ contient un terme de la suite.

   d. Conclure.

2. On suppose maintenant que toutes les suites extraites convergentes de $(u_n)$ ont la même limite $\mathrm{\ell }$. Montrer que $u_n\to \mathrm{\ell }$. On raisonnera par l'absurde, et l'on considérera l'ensemble des rangs $n$ tels que $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid >{\epsilon }_0$, où ${\epsilon }_0$ est fourni par la négation.

3. À quel endroit l'hypothèse « bornée » sert-elle dans la question 1 ? dans la question 2 ? Que devient l'énoncé de la question 1 si on la retire, et que peut-on tout de même sauver ?

Pour une suite réelle $(u_n)$, on note $\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{h}(u)$ l'ensemble de ses valeurs d'adhérence.

1. Soit $(u_n)$ une suite bornée telle que $\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{h}(u)=\{a\}$. Montrer que $(u_n)$ converge vers $a$. On se ramènera à la question 2 de l'exercice 21, en comparant soigneusement les deux hypothèses.

2. Montrer que l'hypothèse « bornée » ne peut pas être retirée de l'énoncé de la question 1. Montrer qu'elle ne peut pas non plus être affaiblie en « majorée », ni en « minorée ».

3. Soit $(u_n)$ une suite bornée.

   a. Montrer que $\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{h}(u)$ est non vide et borné.

   b. Soit $(t_n)$ la suite obtenue en écrivant à la suite les blocs

   $$1\mid 1,{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid 1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}}\mid 1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{4}}\mid \cdots$$

   le bloc numéro $m$ étant la liste $1,{\displaystyle \frac{1}{2}},\dots ,{\displaystyle \frac{1}{m}}$. Déterminer $\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{h}(t)$.

   c. L'ensemble $\mathrm{A}\mathrm{d}\mathrm{h}(u)$ est-il fermé, c'est-à-dire contient-il les limites des suites convergentes formées de ses éléments ? On demande une intuition appuyée sur la question b, et une réponse à la question : l'intervalle $]0,1]$ peut-il être l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite ?

4. a. Construire une suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est exactement $\{0,1,2\}$.

   b. Construire une suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est exactement $\mathbb{N}$, et le démontrer.

1. Rappeler la définition d'une suite de Cauchy, puis écrire sa négation, d'abord en symboles, ensuite en français.

2. Soit $u_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Montrer directement, sans invoquer la convergence de $(u_n)$, que cette suite est de Cauchy. On majorera $\mid u_p-u_q\mid$ par ${\displaystyle \frac{1}{N+1}}$ pour $p$ et $q$ supérieurs ou égaux à $N$.

3. Soit $v_n=(-1{)}^n$. Montrer, en utilisant la négation de la question 1, que $(v_n)$ n'est pas de Cauchy.

4. Soit $w_n=\sqrt{n}$ pour $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $w_{n+1}-w_n\to 0$, et pourtant que $(w_n)$ n'est pas de Cauchy.

5. Que peut-on dire d'une suite de Cauchy dont tous les termes sont des entiers ?

1. Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que

   $$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mid u_{n+1}-u_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{3^n}}\mathrm{.}$$

   a. Montrer que pour tous entiers $q>p⩾0$, $\mid u_q-u_p\mid ⩽{\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3^p}}$.

   b. En déduire que $(u_n)$ est de Cauchy, puis qu'elle converge.

2. Application. Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{3^n}}$. Vérifier que l'hypothèse de la question 1 est satisfaite. Peut-on donner la limite de cette suite ?

3. On remplace l'hypothèse de la question 1 par

   $$\mathrm{\forall }n⩾1,\mid u_{n+1}-u_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}},$$

   dont le membre de droite tend lui aussi vers $0$. Montrer que la suite $w_n=\sqrt{n}$ vérifie cette majoration et ne converge pas. Que faut-il en conclure sur ce qui, dans l'hypothèse de la question 1, produit réellement la convergence ?

4. En une phrase : à quoi sert un critère de convergence qui ne mentionne pas la limite ?

1. Démontrer que toute suite de Cauchy est bornée.

Les questions 2 à 4 démontrent le théorème de complétude de $\mathbb{R}$ : toute suite de Cauchy de réels converge. Dans ces trois questions, $(u_n)$ désigne une suite de Cauchy.

2. Justifier qu'il existe une extractrice $\phi$ et un réel $\mathrm{\ell }$ tels que $u_{\phi (k)}\to \mathrm{\ell }$. Nommer le théorème employé, et dire précisément ce qui n'est pas encore démontré à ce stade.

3. Soit $\epsilon >0$. Écrire ce que fournissent, appliqués l'un et l'autre à ${\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}$, le critère de Cauchy d'une part, la convergence de l'extraite d'autre part. On notera $N_1$ et $N_2$ les deux rangs ainsi obtenus.

4. On pose $N=\max (N_1,N_2)$ et l'on se donne $n⩾N$. Majorer $\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid$ en passant par le terme $u_{\phi (N)}$, puis conclure. On dira à quel endroit exact sert l'inégalité $\phi (N)⩾N$.

5. Démontrer la réciproque : toute suite convergente est de Cauchy.

Dans les questions 6 et 7, on pose $r_p={\displaystyle \frac{\lfloor {10}^p\sqrt{2}\rfloor }{{10}^p}}$ pour tout $p\in \mathbb{N}$, de sorte que $r_0=1$, $r_1=\mathrm{1,4}$ et $r_2=\mathrm{1,41}$. Chaque $r_p$ est un nombre rationnel.

6. Montrer que $\mid r_p-r_q\mid ⩽{10}^{-\min (p,q)}$ pour tous $p$ et $q$, puis que $(r_p)$ est de Cauchy.

7. On admet que $\sqrt{2}$ est irrationnel. Montrer qu'aucun nombre rationnel n'est limite de $(r_p)$. Qu'est-ce que cela dit de $\mathbb{Q}$ ?

8. Le théorème démontré aux questions 2 à 4 s'appuie sur le théorème de Bolzano-Weierstrass. En remontant la chaîne des théorèmes d'existence du chapitre, dire de quelle propriété de $\mathbb{R}$ il descend, et relier cette réponse aux questions 6 et 7.

On considère les quatre suites suivantes.

1. Pour chacune, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre. La réponse doit s'appuyer sur le calcul de $u_{n+1}-u_n$ ou de ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$, et non sur la lecture des premiers termes.

2. Donner le terme général de chacune en fonction de $n$.

3. Donner, pour chacune, la somme $S_n$ de ses termes de rang $0$ à $n$, puis vérifier la formule obtenue sur un petit rang.

4. Déterminer la limite de chacune de ces quatre suites.

5. Les suites $(b_n)$ et $(d_n)$ sont toutes deux géométriques. Pourquoi la suite de leurs sommes a-t-elle une limite finie dans un cas et pas dans l'autre ?

Un échantillon liquide, sorti d'un réfrigérateur à $2$ degrés Celsius, est placé dans une enceinte thermostatée. Un capteur relève sa température chaque minute. Le modèle retenu par le laboratoire donne, en degrés Celsius,

où $u_n$ désigne la température relevée à la minute $n$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sous forme de fractions, puis en décimales arrondies à ${10}^{-3}$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?

2. Déterminer l'unique réel $r$ vérifiant $r={\displaystyle \frac{r}{3}}+4$. Que représente-t-il pour le modèle ?

3. On pose $v_n=u_n-6$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique, et donner sa raison ainsi que son premier terme.

4. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, et vérifier la formule sur $u_1$ et $u_2$.

5. Déterminer la limite de $(u_n)$, et l'interpréter pour l'échantillon.

6. Déterminer le plus petit rang $n$ à partir duquel $\mid u_n-6\mid ⩽{10}^{-3}$. On mènera le calcul par le logarithme, puis on vérifiera la réponse par un encadrement de puissances de $3$.

Partie A. Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$, $u_1=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$.

1. Écrire l'équation caractéristique, la résoudre, et donner la forme générale des solutions.

2. Déterminer $u_n$ en fonction de $n$, puis vérifier la formule sur $u_2$, calculé des deux façons.

3. Déterminer la limite de $(u_n)$ en factorisant le terme dominant.

Partie B. Soit $(v_n)$ définie par $v_0=1$, $v_1=3$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $v_{n+2}=4v_{n+1}-4v_n$.

4. Résoudre l'équation caractéristique. Pourquoi les suites de la forme $A\times 2^n$ ne peuvent-elles pas suffire à décrire toutes les solutions ?

5. Déterminer $v_n$ en fonction de $n$, puis calculer $v_0$ à $v_5$ par la relation de récurrence et par la formule.

6. Déterminer la limite de $(v_n)$.

Partie C. Soit $(w_n)$ une suite réelle vérifiant, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $w_{n+2}=-2w_{n+1}-4w_n$. Aucune valeur initiale n'est fixée.

7. Résoudre l'équation caractéristique dans $\mathbb{C}$, puis mettre les racines sous forme exponentielle.

8. En déduire la forme générale des suites réelles vérifiant cette relation. Qu'est-ce qui détermine les deux constantes ?

9. Montrer que la seule suite bornée vérifiant cette relation est la suite nulle.

10. Dans la partie A, laquelle des deux racines impose le comportement de $(u_n)$ à l'infini ? Cette réponse vaut-elle pour toutes les valeurs initiales ?

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$,

1. Calculer $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$, $u_6$ et $u_7$. Que constate-t-on ?

2. Écrire l'équation caractéristique et la résoudre dans $\mathbb{C}$. Donner le module et un argument de chaque racine.

3. Expliquer comment on passe de ces racines complexes à une forme générale ne contenant que des réels, puis écrire cette forme générale.

4. Déterminer les deux constantes et montrer que $u_n={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin \left(\frac{n\pi }{3}\right)$ pour tout $n$. Vérifier la formule sur $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$.

5. Démontrer que $u_{n+3}=-u_n$ pour tout $n$, en n'utilisant que la relation de récurrence. En déduire que $(u_n)$ est périodique de période $6$, et vérifier qu'aucun entier strictement inférieur à $6$ n'est une période.

6. En déduire que $(u_n)$ ne converge pas.

7. Déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$.

8. Le module des racines vaut ici $1$. Qu'observerait-on, pour une récurrence du même type, si ce module était strictement inférieur à $1$ ? strictement supérieur à $1$ ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+8}{6}}$, et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Résoudre l'équation $f(x)=x$ d'inconnue $x\in \mathbb{R}$.

2. Montrer que $f$ est croissante sur $[0,2]$, puis que l'intervalle $[0,2]$ est stable par $f$. Qu'en déduit-on immédiatement sur $(u_n)$ ?

3. Calculer $u_1$ et $u_2$ sous forme de fractions irréductibles, puis $u_3$, $u_4$, $u_5$ et $u_6$ en valeurs décimales arrondies à ${10}^{-4}$. Expliquer pourquoi on renonce aux fractions à partir de $u_4$.

4. Montrer que $(u_n)$ est croissante, et en déduire qu'elle converge.

5. Déterminer sa limite $\mathrm{\ell }$.

6. Montrer que pour tout $n⩾1$,

   $$\mid u_{n+1}-u_n\mid ⩽\frac{2}{3}\mid u_n-u_{n-1}\mid ,$$

   puis en déduire que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\mid u_{n+1}-u_n\mid ⩽{\displaystyle \frac{4}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$.

7. Retrouver la convergence de $(u_n)$ par le critère de Cauchy, en suivant le schéma établi à l'exercice 24. Quel avantage cette seconde méthode a-t-elle sur celle des questions 4 et 5 ?

8. On remplace la valeur initiale par $u_0=5$, la relation de récurrence restant la même. Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis déterminer le comportement de la suite. Que faut-il en conclure ?

Soit $f$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par $f(x)={\displaystyle \frac{10}{x}}$, et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Justifier que la suite est bien définie, calculer ses six premiers termes et formuler une conjecture.

2. Démontrer que $(u_n)$ est périodique de période $2$, et donner l'expression de $u_n$ selon la parité de $n$.

3. Déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$, et en déduire qu'elle ne converge pas.

4. Résoudre l'équation $f(x)=x$. Que devient la suite si l'on prend $u_0=\sqrt{10}$ ? Et si l'on prend $u_0=-\sqrt{10}$ ?

5. Pour quelles valeurs de $u_0>0$ la suite converge-t-elle ? On démontrera la réponse dans les deux sens.

6. En une phrase appuyée sur les calculs de cet exercice, dire pourquoi l'affirmation « la limite, si elle existe, est un point fixe de $f$ » ne prouve jamais qu'une limite existe.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose

1. Montrer que $(u_n)$ est croissante.

2. Vérifier que ${\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+2}})$ pour tout entier $k⩾1$, en déduire que $u_n⩽{\displaystyle \frac{3}{4}}$ pour tout $n⩾1$, et conclure par le théorème de la limite monotone.

3. Reprendre le calcul de la question 2 sans rien négliger : donner l'expression exacte de $u_n$, puis la limite $\mathrm{\ell }$ de la suite. Vérifier la cohérence avec la question 2.

4. On pose $v_n=u_n+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ pour $n⩾1$. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. Qu'obtient-on de plus que par la question 2 ? Donner l'encadrement de $\mathrm{\ell }$ obtenu au rang $3$, puis le rang à partir duquel il est d'amplitude au plus ${10}^{-2}$.

5. Démontrer directement que $(u_n)$ est de Cauchy, en majorant $\mid u_q-u_p\mid$ pour $q>p⩾1$. On n'utilisera ni la valeur de $\mathrm{\ell }$, ni le résultat de la question 3.

6. Comparer les quatre chemins suivis. Lequel donne l'existence de la limite ? Lequel en donne la valeur ? Lequel ne réclame aucune information préalable sur cette limite ?

1. Pour chacune des six suites ci-dessous, répondre à l'unique question : converge-t-elle ? La consigne de rédaction est la même dans les six cas : annoncer d'abord, en une phrase, l'outil du chapitre que l'on va employer, puis l'appliquer. Un outil nommé après coup ne compte pas. Les suites $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$ et $(f_n)$ sont définies pour $n⩾1$.

   a. $a_n={\displaystyle \frac{2^n}{3^n+n}}$

   b. $b_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n}{n+1}}$

   c. $c_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

   d. $d_n={\displaystyle \frac{\lfloor n\mathrm{/}2\rfloor }{n}}$

   e. $e_0=1$ et $e_{n+1}={\displaystyle \frac{e_n}{2}}+1$

   f. $f_n=\cos (n\pi )+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

2. Récapituler le travail dans un tableau à trois colonnes : la suite, l'outil employé, la conclusion.