Devoir surveillé — Suites réelles

On considère la partie de $\mathrm{ℝ}$ formée de toutes les fractions dont le numérateur est strictement plus petit que le dénominateur :

$$A=\left\{{\displaystyle \frac{p}{q}}\right|p\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{\ast },q\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{\ast },p<q\}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) Montrer que $A\subset ]0,1[$.

2. (1,5 pt) Montrer que $A$ est majorée, puis déterminer $\sup A$ en utilisant la caractérisation de la borne supérieure par les $\epsilon$.

3. (0,5 pt) Déterminer $\inf A$ par la même méthode.

4. (0,5 pt) Ces deux bornes sont-elles atteintes ? Qu'en déduit-on sur l'existence d'un maximum et d'un minimum pour $A$ ?

5. (0,25 pt) Exhiber une suite $(u_n)$ dont tous les termes appartiennent à $A$ et qui converge vers $\sup A$.

Pour $n⩾1$, on pose

$$u_n={\displaystyle \frac{2n+(-1{)}^n\sqrt{n}}{n+3}}\mathrm{.}$$

On utilisera si nécessaire les valeurs approchées $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$ et $\sqrt{3}\approx \mathrm{1,732}$.

1. (0,75 pt) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$, chaque résultat étant donné sous forme décimale arrondie au millième. La suite $(u_n)$ est-elle monotone ?

2. (0,75 pt) Vérifier que $u_n-2={\displaystyle \frac{(-1{)}^n\sqrt{n}-6}{n+3}}$ pour tout $n⩾1$, puis en déduire que

$$\mid u_n-2\mid ⩽{\displaystyle \frac{\sqrt{n}+6}{n+3}}\mathrm{.}$$

3. (1 pt) En déduire que $(u_n)$ converge vers $2$. On nommera le théorème employé.

4. (1 pt) Montrer que ${\displaystyle \frac{\sqrt{n}+6}{n+3}}⩽{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$ pour tout $n⩾36$, puis déterminer un rang $N$ explicite à partir duquel $\mid u_n-2\mid ⩽{10}^{-1}$, en rédigeant la démonstration complète du fait que ce rang convient. On ne demande pas le plus petit rang possible.

5. (1 pt) La suite $(u_n)$ est-elle monotone à partir d'un certain rang ? Justifier.

On appelle mot de longueur $n$ toute liste ordonnée de $n$ lettres choisies parmi les quatre lettres $0$, $1$, $2$ et $3$, chaque lettre pouvant être répétée ; il y a donc $4^n$ mots de longueur $n$. Pour $n⩾1$, on note $c_n$ le nombre de mots de longueur $n$ qui contiennent un nombre pair de lettres $0$, et $d_n$ le nombre de ceux qui en contiennent un nombre impair. On rappelle que $0$ est un nombre pair.

1. (0,5 pt) Calculer $c_1$ et $c_2$ en énumérant les mots concernés.

2. (1,25 pt) Justifier que $c_{n+1}=3c_n+d_n$ pour tout $n⩾1$, puis en déduire que $c_{n+1}=2c_n+4^n$.

3. (0,5 pt) En éliminant $4^n$ entre deux rangs consécutifs, montrer que

$$c_{n+2}=6c_{n+1}-8c_n\mathrm{.}$$

4. (1 pt) Résoudre cette récurrence et montrer que $c_n={\displaystyle \frac{4^n+2^n}{2}}$. Vérifier la formule sur $c_3$ et $c_4$, ces deux valeurs étant d'abord calculées par la relation de la question 2.

5. (0,75 pt) Déterminer les limites des suites $\left({\displaystyle \frac{c_{n+1}}{c_n}}\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{c_n}{4^n}}\right)$.

6. (0,25 pt) La suite $(c_n)$ converge-t-elle ? Justifier en une phrase, avec le théorème qui convient.

Sur une droite graduée, deux points mobiles occupent, à l'étape $n$, les abscisses $a_n$ et $b_n$. On part de

$$a_0=0\text{et}{b}_0=1,$$

et, à chaque étape, chacun des deux points avance en direction de l'autre du tiers de la distance qui les sépare :

$$a_{n+1}=a_n+{\displaystyle \frac{b_n-a_n}{3}},b_{n+1}=b_n-{\displaystyle \frac{b_n-a_n}{3}}\mathrm{.}$$

Partie A — Ce que l'on voit (2 points)

1. (0,5 pt) Calculer $a_1$, $b_1$, $a_2$ et $b_2$, en valeurs exactes sous forme de fractions.

2. (0,5 pt) Montrer que $a_n+b_n=1$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

3. (0,5 pt) Montrer que $b_n-a_n={\displaystyle \frac{1}{3^n}}$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

4. (0,5 pt) En déduire que $(a_n)$ est croissante, que $(b_n)$ est décroissante, et que $a_n<b_n$ pour tout $n$.

Partie B — La limite (2,5 points)

5. (0,5 pt) Montrer que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes. Qu'en conclut-on ? On nommera le théorème employé.

6. (0,75 pt) Déduire de la question 2 que $a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}$ pour tout $n$, puis déterminer la limite commune $\mathrm{\ell }$ de deux façons : par la question 2, et par passage à la limite dans cette nouvelle relation.

7. (0,75 pt) Donner l'expression de $a_n$ et de $b_n$ en fonction de $n$, et vérifier les formules obtenues pour $n=0$, $n=1$ et $n=2$.

8. (0,5 pt) À partir de quel rang les deux points sont-ils distants de moins de ${10}^{-4}$ ? On donne $3^8=6561$ et $3^9=19683$.

Partie C — Ce qui change si l'on change le pas (3,5 points)

On reprend $a_0=0$ et $b_0=1$, mais on remplace le tiers par un réel $t$ fixé vérifiant $0<t⩽1$ :

$$a_{n+1}=a_n+t(b_n-a_n),b_{n+1}=b_n-t(b_n-a_n)\mathrm{.}$$

9. (0,5 pt) Montrer que $b_{n+1}-a_{n+1}=(1-2t)(b_n-a_n)$, puis que $b_n-a_n=(1-2t{)}^n$ pour tout $n$.

10. (1,25 pt) Pour quelles valeurs de $t$ les deux suites convergent-elles vers une même limite ? Que vaut alors cette limite ? On traitera à part le cas $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

11. (1,25 pt) On prend $t=1$. Montrer que les deux points échangent leurs positions à chaque étape, que $(a_n)$ ne converge pas, et déterminer l'ensemble de ses valeurs d'adhérence.

12. (0,5 pt) Toujours pour $t=1$ : l'affirmation « si les deux suites convergent vers une même limite, alors cette limite vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ » est-elle fausse ? Que montre exactement ce cas ?