Exercices — Dérivation, accroissements finis et développements limités

Les exercices habituels donnent une fonction et demandent sa dérivée. Ici c'est l'inverse : chacune des six limites ci-dessous est un taux d'accroissement, mais l'énoncé ne dit ni de quelle fonction, ni en quel point. C'est cela qu'il faut trouver.

1. Pour chacune des six limites suivantes : identifier une fonction $f$ et un point $a$ tels que l'expression soit le taux d'accroissement de $f$ en $a$, justifier que $f$ est dérivable en $a$, puis calculer la limite.

Dans l'item b, $x^{1\mathrm{/}3}$ désigne la racine cubique, définie sur $\mathbb{R}$ tout entier comme la réciproque de $x\mapsto x^3$.

2. Deux fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ par

la seconde étant celle qu'on note aussi $x^{4\mathrm{/}3}$.

a. Sont-elles dérivables en $0$ ? Si oui, donner le nombre dérivé et l'équation de la tangente.

b. Deux réflexes courants conduisent ici à deux réponses fausses : « il y a une valeur absolue, donc ce n'est pas dérivable » et « il y a un exposant fractionnaire, donc la tangente est verticale ». Dire, pour chacun, sur quel exemple connu il est justifié, et pourquoi il ne l'est pas ici.

Partie A. Lire des nombres dérivés sur une figure

La courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci-dessous est celle d'une fonction $f$ dérivable sur $[-3,4]$. Elle passe par les points de coordonnées $(-3,-2)$, $(-1,2)$, $(0,3)$, $(2,0)$, $(3,-1)$ et $(4,0)$. Quatre tangentes ont été tracées : deux tangentes obliques, aux points d'abscisses $-1$ et $2$, et deux tangentes horizontales, aux points d'abscisses $0$ et $3$.

1. Lire sur la figure les quatre nombres $f(-1)$, $f^{\mathrm{\prime }}(-1)$, $f(2)$ et $f^{\mathrm{\prime }}(2)$.

2. Donner les deux réels de $]-3,4[$ en lesquels $f^{\mathrm{\prime }}$ s'annule. Pour chacun, dire si $f$ y admet un maximum local ou un minimum local, et justifier par la lecture de la courbe.

3. Écrire l'équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $2$.

4. En déduire une valeur approchée de $f(\mathrm{2,1})$. En regardant la courbe au voisinage du point d'abscisse $2$, dire si cette approximation est par excès ou par défaut.

Partie B. Trois courbes, aucune étiquette

On a tracé sur un même repère une fonction $g$, sa dérivée $g^{\mathrm{\prime }}$ et sa dérivée seconde $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$. Les trois courbes sont numérotées $(1)$, $(2)$ et $(3)$, dans un ordre quelconque : rien ne dit que $(1)$ soit $g$.

5. Dire laquelle des trois courbes représente $g$, laquelle $g^{\mathrm{\prime }}$ et laquelle $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$.

La justification attendue ne passe par aucun calcul : elle s'appuie uniquement sur les zéros des courbes et sur leurs changements de signe, confrontés aux tangentes horizontales et aux variations des deux autres. On énoncera d'abord, en une phrase, la propriété de lecture utilisée.

6. Une fois l'identification faite, proposer une expression possible pour $g$, et vérifier par le calcul que les trois courbes s'accordent avec ce choix.

Soient $a$, $b$, $c$, $d$ quatre réels et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

1. Justifier que, quels que soient les quatre paramètres, $f$ est dérivable en tout point de $\mathbb{R}\setminus \{0,1\}$. En déduire que toute l'étude se concentre sur deux points, et lesquels.

2. Déterminer à quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Combien de paramètres restent-ils libres ?

3. Déterminer à quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On demande, avant de résoudre quoi que ce soit, de compter d'un côté le nombre de paramètres disponibles, de l'autre le nombre de conditions imposées, et de dire ce que ce comptage laisse espérer. On dira aussi ce qu'il ne prouve pas.

4. Pour les valeurs trouvées à la question 3, expliciter $f$ et $f^{\mathrm{\prime }}$, et vérifier que $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

5. Peut-on, en plus, imposer que $f$ soit deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ ? Répondre en reprenant le comptage de la question 3, puis en examinant séparément chacune des deux jonctions.

Pour un entier naturel $\alpha$, on note $f_{\alpha }$ la fonction définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par

prolongée en $0$ par $f_{\alpha }(0)=0$. On étudie ce qui se passe quand $\alpha$ augmente : chaque question a pour réponse un seuil sur $\alpha$, et les trois seuils sont différents.

1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la fonction $f_{\alpha }$ est-elle continue en $0$ ? Dans le cas où elle ne l'est pas, on exhibera deux suites de réels non nuls tendant vers $0$ le long desquelles $f_{\alpha }$ prend des valeurs de limites différentes.

2. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la fonction $f_{\alpha }$ est-elle dérivable en $0$ ? Donner alors $f_{\alpha }^{\mathrm{\prime }}(0)$.

3. Calculer $f_2^{\mathrm{\prime }}(x)$ pour $x\mathrm{\ne }0$, puis démontrer que $f_2^{\mathrm{\prime }}$ n'a pas de limite en $0$. On donnera explicitement deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ de réels non nuls tendant vers $0$ telles que $f_2^{\mathrm{\prime }}(x_n)$ et $f_2^{\mathrm{\prime }}(y_n)$ tendent vers deux valeurs différentes.

4. Conclure : que peut-on dire de $f_2$ sur $\mathbb{R}$, et que ne peut-on pas en dire ? Préciser quel énoncé du cours cet exemple met en défaut, et dans quel sens exactement.

5. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la fonction $f_{\alpha }$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ ?

Pour chacune des dix fonctions ci-dessous, on demande le couple formé par son ensemble de définition $D_f$ et son ensemble de dérivabilité $D_{f^{\mathrm{\prime }}}$, puis l'expression de la dérivée sur $D_{f^{\mathrm{\prime }}}$.

La dérivée n'est donc pas le but : elle est le moyen. Ce qui est évalué, c'est le couple $(D_f,D_{f^{\mathrm{\prime }}})$, et chaque inclusion stricte $D_{f^{\mathrm{\prime }}}⊊D_f$ doit être justifiée, c'est-à-dire qu'il faut dire ce qui se passe aux points de $D_f$ qui ne sont pas dans $D_{f^{\mathrm{\prime }}}$.

Conventions de notation, à lire avant de commencer, car deux items en dépendent :

• pour un exposant réel $\beta$ quelconque, $x^{\beta }$ désigne $e^{\beta \ln x}$, qui n'a de sens que pour $x>0$ ;
• en revanche $x^{1\mathrm{/}3}$ désigne la racine cubique, réciproque de $x\mapsto x^3$, définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, et $x^{2\mathrm{/}3}$ désigne $(x^{1\mathrm{/}3}{)}^2$, également définie sur $\mathbb{R}$ ;
• ${\log }_3$ est le logarithme de base $3$, c'est-à-dire ${\log }_{3}x={\displaystyle \frac{\ln x}{\ln 3}}$.

Toutes les fonctions réciproques de cet exercice ont été construites au chapitre précédent par le théorème de la bijection : leur existence et leur continuité sont acquises, et on ne les redémontre pas. Ce qui reste à faire, et qui est l'objet du chapitre, c'est de les dériver, au moyen du théorème de la section 8.

1. Arccosinus.

a. Rappeler la restriction du cosinus dont $\mathrm{Arccos}$ est la réciproque, et déterminer les points où la dérivée de cette restriction s'annule. En déduire l'ensemble des réels en lesquels le théorème de dérivation d'une réciproque s'applique.

b. Établir que ${\mathrm{Arccos}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-y^2}}}$ pour tout $y\in ]-1,1[$. On détaillera la levée de la valeur absolue, qui est le seul point délicat.

c. Que peut-on dire de la courbe de $\mathrm{Arccos}$ aux deux points d'abscisses $-1$ et $1$ ?

2. Le chapitre précédent a établi l'identité $\mathrm{Arcsin}y+\mathrm{Arccos}y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ pour tout $y\in [-1,1]$. En déduire ${\mathrm{Arcsin}}^{\mathrm{\prime }}$ sur $]-1,1[$, et dire ce que cette déduction suppose acquis.

3. Racine $n$-ième. Soit $n$ un entier, $n⩾2$, et ${\phi }_n:x\mapsto x^n$ définie sur $[0,+\mathrm{\infty }[$.

a. Justifier que ${\phi }_n$ réalise une bijection de $[0,+\mathrm{\infty }[$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et nommer le théorème employé.

b. Démontrer, par le théorème de dérivation d'une réciproque, que la fonction $y\mapsto y^{1\mathrm{/}n}$ est dérivable sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ et que

On n'utilisera à aucun moment la formule des puissances réelles : c'est elle qu'on démontre, sur ces exposants.

c. En déduire, pour $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la dérivée de $x\mapsto x^{p\mathrm{/}q}$ sur $]0,+\mathrm{\infty }[$.

4. Argument sinus hyperbolique. La fonction $\mathrm{sh}$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, de réciproque notée $\mathrm{argsh}$. Établir que $\mathrm{argsh}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que ${\mathrm{argsh}}^{\mathrm{\prime }}(y)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+y^2}}}$. Dire pourquoi, cette fois, aucune discussion de signe n'est nécessaire.

5. Le point où la dérivée s'annule. Le théorème exige $f^{\mathrm{\prime }}(a)\mathrm{\ne }0$.

a. Que dit-il, exactement, lorsque $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ ?

b. Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, dérivable en un point $a$ de $I$ avec $f^{\mathrm{\prime }}(a)=0$, et soit $b=f(a)$. Démontrer que $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$. On raisonnera par l'absurde, en dérivant l'identité $f^{-1}\circ f=\mathrm{id}$.

c. Illustrer sur $f:x\mapsto x^5$, définie sur $\mathbb{R}$, et sur le point $a=0$ : retrouver le résultat par le calcul direct du taux d'accroissement de $f^{-1}$ en $0$, et décrire la courbe de $f^{-1}$ en ce point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

Aucune des questions ci-dessous ne demande d'expression explicite de la réciproque de $f$ : il n'en existe pas au moyen des fonctions usuelles, et c'est précisément ce qui rend l'exercice intéressant. Tout s'obtient à partir de $f$ elle-même.

1. Démontrer que $f^{\mathrm{\prime }}(x)⩾1$ pour tout réel $x$. En déduire que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, en citant le théorème employé et en vérifiant ses hypothèses.

On note désormais $g$ la bijection réciproque de $f$.

2. Calculer $f(0)$ et $f(\pi )$. En déduire $g(0)$, $g(2\pi )$, puis $g^{\mathrm{\prime }}(0)$ et $g^{\mathrm{\prime }}(2\pi )$.

3. Démontrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que

4. En déduire, par l'inégalité des accroissements finis appliquée à $g$, que $g$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. Sachant que $g(0)=0$, quel encadrement de $g(1)$ obtient-on ? On donnera d'abord celui que fournit le caractère lipschitzien, puis le meilleur encadrement que permet la question 3.

5. L'équation $2x+\sin x=1$ admet-elle des solutions réelles ? Si oui, combien ? Encadrer chacune d'elles entre deux rationnels.

On rappelle deux définitions de la section 10 du cours. La fonction $f$, définie sur un intervalle $I$, admet un maximum local en $c\in I$ lorsqu'il existe $r>0$ tel que $f(x)⩽f(c)$ pour tout $x$ de $I\cap ]c-r,c+r[$ ; et le point $c$ est intérieur à $I$ lorsqu'il existe $r>0$ tel que $]c-r,c+r[\subset I$.

1. Démontrer le lemme de Fermat : si $f$ est définie sur un intervalle $I$, si $c$ est un point intérieur à $I$, si $f$ admet un extremum local en $c$ et si $f$ est dérivable en $c$, alors $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

On traitera le cas d'un maximum local, en écrivant séparément le taux d'accroissement à droite et le taux d'accroissement à gauche, et en passant à la limite dans chacun des deux. On indiquera comment le cas d'un minimum s'en déduit.

2. Relire sa propre démonstration et répondre précisément : où l'hypothèse « $c$ est intérieur à $I$ » a-t-elle servi, exactement ? Une seule ligne de la preuve doit être citée.

3. Que devient l'énoncé si l'on suppose seulement que $f$ est dérivable à droite en $c$ ? Énoncer ce qui subsiste, pour un maximum puis pour un minimum, et montrer sur un exemple que l'égalité, elle, est perdue.

4. Deux contre-exemples à construire.

a. Exhiber une fonction monotone sur $[0,1]$, dérivable sur $[0,1]$, dont le maximum et le minimum sont atteints et dont la dérivée ne s'annule nulle part. Dire pourquoi il n'y a aucune contradiction avec le lemme, et ce que le lemme dit encore en $0$ et en $1$.

b. Montrer que la réciproque du lemme est fausse, sur la fonction $x\mapsto x^5$.

5. Une question de vocabulaire. Donner une fonction majorée qui n'atteint pas sa borne supérieure, et dire ce que le lemme de Fermat a, ou n'a pas, à en dire.

Le théorème de Rolle s'énonce ainsi. Soient $a<b$ deux réels et $f$ définie sur $[a,b]$ telle que

1. $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ ;
2. $f$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a,b[$ ;
3. $f(a)=f(b)$.

Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

1. Construire trois contre-exemples, un par hypothèse mise en défaut. Pour chacun, on demande :

• la fonction et l'intervalle ;
• la vérification que les deux autres hypothèses sont bien satisfaites ;
• la vérification que la conclusion est fausse, c'est-à-dire qu'aucun point $c$ de $]a,b[$ ne vérifie $f^{\mathrm{\prime }}(c)=0$.

Le deuxième point est le cœur de l'exercice : un exemple qui viole deux hypothèses à la fois ne démontre rien du tout, et on dira pourquoi.

2. Pour chacun des trois, indiquer à quel endroit précis la démonstration du cours se casse. On rappelle qu'elle se déroule en trois temps : le théorème des bornes atteintes fournit deux points $x_m$ et $x_M$ où le minimum $m$ et le maximum $M$ sont atteints ; on traite à part le cas $m=M$ ; sinon on montre que l'un des deux points est intérieur, et l'on y applique le lemme de Fermat.

3. Le théorème de Rolle donne-t-il l'unicité du point $c$ ? Exhiber une fonction vérifiant les trois hypothèses sur un segment et pour laquelle il existe au moins trois points $c$ convenables. Que faut-il en conclure sur la façon de rédiger l'emploi du théorème ?

Partie A. Par le théorème de Rolle

1. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et dérivable sur son intérieur.

a. Démontrer que entre deux racines de $f$, il y a au moins une racine de $f^{\mathrm{\prime }}$.

b. En déduire que si $f^{\mathrm{\prime }}$ admet au plus $n$ racines sur $I$, alors $f$ en admet au plus $n+1$. On soignera l'argument qui garantit que les racines de $f^{\mathrm{\prime }}$ obtenues sont deux à deux distinctes.

2. Soit $m$ un réel et $P_m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

a. Majorer, par la question 1, le nombre de solutions réelles de l'équation $P_m(x)=0$.

b. Déterminer ensuite le nombre exact de solutions, en discutant selon la valeur de $m$.

Partie B. Par les variations

3. Pour $k\in \mathbb{Z}$, on note $I_k=]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi ,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi [$.

a. Démontrer que l'équation $\tan x=x$ admet exactement une solution dans chaque $I_k$.

b. Encadrer celle qui appartient à $]{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}[$, d'abord entre deux multiples de $\pi$, puis entre deux décimaux à un chiffre.

Partie C. Comparer les deux approches

4. Répondre aux trois questions suivantes, en s'appuyant sur les parties A et B.

a. Laquelle des deux méthodes fournit une majoration, laquelle fournit le compte exact ?

b. Que coûte chacune, c'est-à-dire de quelles informations sur la fonction a-t-elle besoin ?

c. Sur la partie B, que donnerait la méthode de la partie A ? Le résultat serait-il optimal ?

Partie A. Le théorème des accroissements finis généralisés

Soient $a<b$ deux réels, et $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$. On suppose de plus que $g^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule en aucun point de $]a,b[$.

1. Démontrer que $g(a)\mathrm{\ne }g(b)$.

2. On pose, pour $x\in [a,b]$,

Vérifier une par une les trois hypothèses du théorème de Rolle pour $h$, puis en déduire qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que

3. Que devient cet énoncé lorsque $g$ est la fonction $x\mapsto x$ ?

Partie B. La règle de L'Hôpital

4. Soient $I$ un intervalle, $a$ un point de $I$, et $u$, $v$ deux fonctions continues sur $I$, dérivables sur $I\setminus \{a\}$, telles que

et telles que $v^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule en aucun point de $I\setminus \{a\}$. On suppose enfin que ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{v^{\mathrm{\prime }}(x)}}$ tend vers un réel $\mathrm{\ell }$ quand $x$ tend vers $a$.

a. Démontrer que $v(x)\mathrm{\ne }0$ pour tout $x\in I\setminus \{a\}$, de sorte que le quotient ${\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}$ a un sens.

b. Démontrer que ${\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}$ tend vers $\mathrm{\ell }$ quand $x$ tend vers $a$.

5. Calculer les trois limites suivantes en appliquant la règle, et en vérifiant à chaque étape que la forme est bien indéterminée :

a. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x^3}}$ ;

b. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\cos 2x-{\cos }^{2}x}{x^2}}$ ;

c. $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(1+x{)}^{1\mathrm{/}3}-1-\frac{x}{3}}{x^2}}$.

Partie C. Deux façons d'échouer, et deux fautes de copie

6. La réciproque est fausse. On pose, sur $\mathbb{R}$,

Démontrer que ${\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}$ admet une limite en $0$, alors que ${\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)}{v^{\mathrm{\prime }}(x)}}$ n'en admet aucune. Que faut-il en conclure sur le sens de lecture de la règle ?

7. Un calcul qui tourne en rond. On considère ${\displaystyle q(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$.

a. Étudier la limite de $q$ en $0$. La règle de L'Hôpital s'applique-t-elle ? Que donnerait son application aveugle ?

b. Étudier la limite de $q$ en $+\mathrm{\infty }$. Que produit l'application répétée de la règle ? Conclure par une autre méthode.

8. Citer deux erreurs fréquentes dans l'emploi de cette règle, et les illustrer sur les exemples de l'exercice.

L'égalité des accroissements finis affirme, pour $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, qu'il existe au moins un réel $c\in ]a,b[$ tel que

Tout l'exercice consiste à regarder ce que ce réel $c$ est, et surtout ce qu'il n'est pas.

1. Pour chacune des trois situations suivantes, vérifier les hypothèses du théorème, puis déterminer tous les réels $c$ qu'il fournit.

   a. $f(x)=x^2$ sur $[1,4]$. Où se situe le point obtenu par rapport aux deux extrémités ? Refaire le calcul sur un segment $[a,b]$ quelconque.

   b. $g(x)=\ln x$ sur $[1,e]$. Comparer le point obtenu à la moyenne arithmétique et à la moyenne géométrique des deux extrémités, c'est-à-dire à ${\displaystyle \frac{1+e}{2}}$ et à $\sqrt{e}$.

   c. $h(x)=x^3$ sur $[-1,2]$. L'équation obtenue a deux solutions réelles : combien en retient-on, et pourquoi ?

2. Exhiber une fonction et un segment pour lesquels le théorème fournit au moins deux valeurs de $c$, puis une situation où il en fournit une infinité. Qu'en conclure sur l'expression « le point $c$ donné par le théorème » ?

3. Un radar tronçon mesure le temps mis par un véhicule pour parcourir une portion d'autoroute de $40$ kilomètres, limitée à $110$ km/h. Un véhicule met $20$ minutes.

   a. Modéliser la situation par une fonction, et énoncer les hypothèses que l'on suppose vérifiées.

   b. Qu'affirme exactement l'égalité des accroissements finis ici ? Rédiger la conclusion en une phrase, sans rien affirmer de plus que le théorème.

   c. L'automobiliste plaide qu'il n'a « pas forcément » dépassé la limite, le radar ne mesurant qu'une moyenne. Que lui répondre ?

4. Voici une rédaction telle qu'on la lit sur une copie.

   1. Soit $f$ dérivable sur $[a,b]$.
   2. D'après l'égalité des accroissements finis, $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\mathrm{\prime }}(c)$.
   3. Le point $c$ est le milieu de $[a,b]$, donc $f(b)-f(a)=(b-a)f^{\mathrm{\prime }}(m)$ avec $m={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$.
   4. On en déduit $f(b)$ dès que l'on connaît $f(a)$ et l'expression de $f^{\mathrm{\prime }}$.

   Relever toutes les fautes, ligne par ligne, et dire ce que le théorème autorise réellement à faire du réel $c$.

L'inégalité des accroissements finis dit que si $f$ est continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, et si $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }⩽M$ sur $]a,b[$, alors

C'est l'outil qui transforme une information sur la dérivée en une majoration d'écart. Cet exercice l'emploie là où il sert vraiment : contrôler l'erreur d'une approximation.

1. Propagation d'une incertitude de mesure. Dans les deux situations suivantes, une grandeur est mesurée avec une incertitude de ${10}^{-3}$, puis on lui applique une fonction. Majorer l'incertitude sur le résultat, et comparer l'incertitude relative d'entrée à celle de sortie.

   a. L'arête d'un cube est mesurée à $\mathrm{5,000}$ cm près à ${10}^{-3}$ cm. On en calcule le volume.

   b. La durée d'une période est mesurée à $\mathrm{0,250}$ s près à ${10}^{-3}$ s. On en calcule la fréquence, c'est-à-dire l'inverse de cette durée.

2. Majorer $\mid \sin (\mathrm{1,01})-\sin (1)\mid$, puis comparer la majoration obtenue à l'écart exact donné par la calculatrice.

3. De combien la fonction $\mathrm{Arctan}$ varie-t-elle entre $1$ et $\mathrm{1,1}$ ? En donner un encadrement sans calculatrice, puis le vérifier.

4. La linéarisation du physicien. Justifier proprement l'approximation $\sin \theta \approx \theta$ pour un petit angle $\theta$ exprimé en radians, puis majorer l'erreur commise pour $\theta =\mathrm{0,1}$ rad, puis pour $\theta =\mathrm{0,3}$ rad. Comparer aux erreurs réelles.

5. Question de rigueur. La majoration employée dans tout l'exercice exige-t-elle que $f$ soit dérivable partout, ou seulement sur l'intervalle considéré ? Que se passe-t-il si l'intervalle contient un point où $f$ n'est pas dérivable ? Et si $f^{\mathrm{\prime }}$ existe sur l'intervalle ouvert mais n'y est pas bornée ?

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

et soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. Montrer que l'intervalle $[1,2]$ est stable par $f$, et en déduire que la suite est bien définie et que $u_n\in [1,2]$ pour tout $n$.

2. Montrer que l'équation $x=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin x$ admet une unique solution $\mathrm{\ell }$ dans $[1,2]$, et préciser un intervalle plus court la contenant.

3. Montrer que $\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid ⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $[1,2]$, puis, en appliquant l'inégalité des accroissements finis entre $u_n$ et $\mathrm{\ell }$, établir

   $$\mid u_n-\mathrm{\ell }\mid ⩽{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\mid u_0-\mathrm{\ell }\mid \text{pour tout }n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

4. En déduire que $(u_n)$ converge, et préciser sa limite.

5. Déterminer, à partir de l'inégalité de la question 3, un rang à partir duquel les trois premières décimales de $u_n$ sont celles de $\mathrm{\ell }$. Calculer ensuite $u_1,u_2,u_3,u_4,u_5$ à ${10}^{-6}$ près et comparer.

6. Question de méthode. La monotonie aurait aussi permis de démontrer la convergence. Qu'apporte l'inégalité des accroissements finis de plus ?

Le chapitre fournit trois outils pour démontrer une inégalité entre deux expressions.

• Outil A, l'étude de la différence. On pose $\phi$ égale au membre de gauche moins celui de droite, on détermine le signe de ${\phi }^{\mathrm{\prime }}$, et on conclut par les variations et une valeur.
• Outil B, les accroissements finis. Utilisable quand un membre est une variation $f(b)-f(a)$ et l'autre le produit de la longueur $b-a$ par une borne de $f^{\mathrm{\prime }}$.
• Outil C, la convexité. Utilisable quand un membre est une tangente ou une corde de la courbe de l'autre.

Pour chacune des quatre inégalités ci-dessous, la consigne est double : dire d'abord lequel des trois outils est le plus court, en justifiant l'élimination des deux autres, puis rédiger la démonstration complète avec l'outil retenu.

1. $x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}⩽\sin x$ pour tout $x⩾0$.

2. $\tan x⩾x$ pour tout $x\in [0,\pi \mathrm{/}2[$.

3. $e^x⩾1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ pour tout $x⩾0$.

4. $\ln (1+x)⩾x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ pour tout $x⩾0$.

5. Reprendre l'inégalité 2 par les deux autres outils, et comparer la longueur des trois démonstrations.

6. Dégager une règle de décision : à quoi reconnaît-on, avant de commencer, lequel des trois outils va marcher, et combien il va coûter ?

Deux énoncés du cours sont employés si souvent qu'on finit par les croire évidents : « si $f^{\mathrm{\prime }}=0$ sur un intervalle, alors $f$ est constante » et « si $f^{\mathrm{\prime }}>0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante ». Cet exercice les démontre, puis démonte le mot intervalle.

1. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction dérivable sur $I$ telle que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ pour tout $x\in I$. Démontrer que $f$ est constante sur $I$, en utilisant l'égalité des accroissements finis. Rédiger complètement, et signaler l'endroit exact où la nature d'intervalle de $I$ intervient.

2. Reprendre la démonstration ligne à ligne et dire précisément où elle casse si $I$ n'est pas un intervalle. Quelle propriété caractéristique des intervalles a-t-on utilisée ?

3. Construire un contre-exemple : une partie $D$ de $\mathbb{R}$ réunion de deux intervalles disjoints, et une fonction dérivable sur $D$, de dérivée nulle sur $D$, qui n'est pas constante.

4. Faire le même travail, démonstration puis contre-exemple sur une réunion, pour l'énoncé « si $f^{\mathrm{\prime }}>0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$ ».

5. Application. Établir que

   $$\mathrm{Arcsin}x+\mathrm{Arccos}x=\frac{\pi }{2}\text{pour tout }x\in [-1,1]\mathrm{.}$$

   Sur quel ensemble exactement l'argument de la question 1 s'applique-t-il ? Comment traite-t-on alors les deux extrémités, et comment détermine-t-on la constante ?

6. La version fine. Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, telle que $f^{\mathrm{\prime }}⩾0$ sur $I$ et que $f^{\mathrm{\prime }}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points de $I$. La fonction $f$ est-elle strictement croissante sur $I$ ? Démontrer la réponse.

1. Énoncer le théorème de la limite de la dérivée avec ses hypothèses exactes, puis le démontrer à l'aide de l'égalité des accroissements finis. Dire en particulier à quoi sert l'hypothèse de continuité au point étudié.

2. Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$\phi (x)=\frac{1-\cos x}{x}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em} si }x\mathrm{\ne }0,\phi (0)=0.$$

   Ce prolongement est-il dérivable en $0$ ? La fonction $\phi$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$ ?

3. Soit $\lambda >0$ et $h_{\lambda }$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$h_{\lambda }(x)=\sin x\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em} si }x⩽0,h_{\lambda }(x)=\ln (1+\lambda x)\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em} si }x>0.$$

   Étudier selon $\lambda$ la dérivabilité de $h_{\lambda }$ en $0$, en déterminant ses dérivées latérales. Pour la valeur de $\lambda$ qui rend $h_{\lambda }$ dérivable en $0$, la fonction obtenue est-elle de classe ${\mathcal{C}}^2$ ?

4. Soit $g$ la fonction racine cubique, réciproque de $x\mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$. Étudier la limite de $g^{\mathrm{\prime }}$ en $0$. Le théorème s'applique-t-il ? Que peut-on affirmer malgré tout sur la courbe de $g$ au point d'abscisse $0$ ?

5. Soit $\psi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$\psi (x)=x\mathrm{Arctan}\frac{1}{x}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em} si }x\mathrm{\ne }0,\psi (0)=0.$$

   Montrer que $\psi$ est continue en $0$, calculer ${\psi }^{\mathrm{\prime }}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, et montrer que ${\psi }^{\mathrm{\prime }}$ n'a pas de limite en $0$. Que peut-on néanmoins conclure ?

6. La question de rigueur. Le théorème est une condition suffisante de dérivabilité. Peut-on en déduire l'énoncé « si $f^{\mathrm{\prime }}$ n'a pas de limite en $a$, alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ » ? Justifier.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

C'est une étude complète, avec une consigne supplémentaire qui en est le véritable objet : chaque réponse doit commencer par nommer l'outil qu'elle emploie et vérifier ses hypothèses. Une réponse juste dont l'outil n'est pas nommé sera considérée comme incomplète.

1. Déterminer les ensembles de définition, de continuité et de dérivabilité de $f$. Étudier la parité, et dire ce qu'elle permet d'économiser.

2. Déterminer les limites de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ et en $+\mathrm{\infty }$.

3. Calculer $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, la mettre sous forme d'une fraction, et déterminer son signe.

4. Dresser le tableau de variations complet, avec les valeurs exactes des extremums locaux. Ces extremums sont-ils globaux ?

5. Montrer que la restriction de $f$ à $[1,+\mathrm{\infty }[$ réalise une bijection sur un intervalle à préciser. Que dire de la dérivabilité de la bijection réciproque à l'extrémité gauche de cet intervalle ?

6. Calculer $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$, en déduire les intervalles de convexité et de concavité, et le point d'inflexion.

7. Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$, et déterminer la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de $0$.

8. Étudier le comportement de la courbe en $+\mathrm{\infty }$ puis en $-\mathrm{\infty }$ : y a-t-il une asymptote ? Préciser la position de la courbe par rapport à elle. Quel outil suffit ici, et quel outil serait inutile ?

9. Décrire l'allure de la courbe en quelques phrases, en y plaçant tous les éléments obtenus. Déterminer au passage le nombre de solutions de $f(x)=0$ et un encadrement de la plus grande.

10. Discuter, selon le réel $\lambda$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=\lambda$.

1. Énoncer la formule de Leibniz, en précisant ses hypothèses.

2. En déduire, pour tout $n\in \mathbb{N}$ et tout réel $x$, l'expression de $f^{(n)}(x)$, où

   $$f(x)=x^3{e}^{-x}\mathrm{.}$$

   Vérifier le résultat aux rangs $1$, $2$ et $3$ par un calcul direct.

3. Même travail pour la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(x^2+1)\sin x$.

4. On note $y$ la fonction définie sur $]-1,1[$ par $y(x)=(\mathrm{Arcsin}x{)}^2$.

   a. Montrer que $y$ est deux fois dérivable sur $]-1,1[$ et que

   $$(1-x^2)y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)-x{y}^{\mathrm{\prime }}(x)=2\text{pour tout }x\in ]-1,1[\mathrm{.}$$

   b. Dériver cette relation $n$ fois par la formule de Leibniz, puis l'évaluer en $0$ : en déduire, pour tout $n⩾1$, une relation de récurrence entre $y^{(n+2)}(0)$ et $y^{(n)}(0)$.

   c. Calculer $y(0)$, $y^{\mathrm{\prime }}(0)$ et $y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)$, puis déterminer $y^{(n)}(0)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

5. Question de méthode. Pourquoi obtenir les nombres $f^{(n)}(0)$ sans calculer la fonction $f^{(n)}$ est-il précieux ? Illustrer sur la fonction de la question 4.

Pour $p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note $f_p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

1. Traiter à la main les cas $p=1$, $p=2$ et $p=3$ : dans chacun, déterminer la classe exacte de $f_p$ sur $\mathbb{R}$, c'est-à-dire le plus grand entier $k$ tel que $f_p$ soit de classe ${\mathcal{C}}^k$.

2. Conjecturer le résultat général, puis démontrer que pour tout $p⩾1$ la fonction $f_p$ est de classe ${\mathcal{C}}^{p-1}$ sur $\mathbb{R}$ et n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^p$. On calculera $f_p^{(k)}$ pour $k⩽p$ et on examinera le raccord en $0$.

3. En déduire le résultat suivant : si $P$ est un polynôme non nul et si $g$ est définie par $g(x)=P(x)$ pour $x⩾0$ et $g(x)=0$ pour $x<0$, alors $g$ n'est jamais de classe ${\mathcal{C}}^{\mathrm{\infty }}$. Préciser sa classe exacte.

4. Une variante. Soient $a$, $b$, $c$ trois réels et $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

   $$h(x)=e^{ax}\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em} si }x<0,h(x)=b+cx+x^2\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em} si }x⩾0.$$

   À quelle condition sur $a$, $b$, $c$ la fonction $h$ est-elle de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$ ? Peut-elle être de classe ${\mathcal{C}}^3$ ?

1. Écrire la formule de Taylor-Young appliquée à la fonction $\exp$ en $0$ à l'ordre $3$, après avoir vérifié ses hypothèses. On note $P_3$ la partie régulière obtenue, et l'on rappellera ce que signifie exactement le symbole $o(x^3)$.

2. Calculer l'écart $e^x-P_3(x)$ pour $x=1$, puis $x=\mathrm{0,5}$, puis $x=\mathrm{0,1}$, puis $x=\mathrm{0,01}$, et présenter les résultats dans un tableau de valeurs. Les valeurs de $e^x$ sont prises à la calculatrice.

3. Observer : quand $x$ est divisé par $10$, par combien l'écart est-il divisé ? Relier cette observation au symbole $o(x^3)$.

4. La formule de Taylor-Young permet-elle de majorer l'écart pour $x=1$ ? Répondre en revenant à la définition du symbole $o$, et dire précisément ce qui manque.

5. La question 4 affirme qu'aucune majoration ne se tire du symbole $o$. Voici de quoi le prouver, plutôt que de le croire. Construire explicitement deux fonctions $g$ et $h$, définies sur $\mathbb{R}$, qui admettent en $0$ le même développement limité d'ordre $3$ que $\exp$, et qui vérifient

   $$g(1)-P_3(1)=1\text{et}h(1)-P_3(1)=-100.$$

   Que confirme cette construction ? Aurait-on pu imposer n'importe quelles deux valeurs ?

6. Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ admet en $0$ le développement limité

   $$f(x)=3-2x+5x^2+o(x^2)\mathrm{.}$$

   Peut-on en déduire que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=10$ ? Justifier, puis exhiber une fonction qui admet un développement limité d'ordre $2$ en $0$ sans être deux fois dérivable en $0$. Quelle hypothèse rendrait la lecture légitime ?

   La lecture des deux premiers coefficients, elle, fait l'objet de l'exercice 25 : on ne la refait pas ici.

Pour chacune des quatre valeurs numériques ci-dessous, le travail demandé est le même, et il comporte quatre étapes qu'il faut toutes rédiger :

• choisir une fonction, un point de départ et un ordre, puis écrire la formule de Taylor-Lagrange en vérifiant ses hypothèses ;
• majorer honnêtement le reste, en majorant $\mid f^{(n+1)}\mid$ sur le bon intervalle, et en disant sur lequel ;
• en déduire un encadrement de la valeur cherchée, et dire combien de décimales il garantit ;
• comparer à la valeur donnée par la calculatrice.

1. $e^{\mathrm{0,1}}$, à l'ordre $3$ en partant de $0$.

2. $\sin (\mathrm{0,5})$, à l'ordre $4$ en partant de $0$.

3. $\sqrt[3]{28}$, à l'ordre $2$ en partant de $27$.

4. $\mathrm{Arctan}(\mathrm{0,3})$, à l'ordre $3$ en partant de $0$.

5. Reprendre le même nombre qu'à la question 4 en utilisant cette fois le seul développement limité usuel de $\mathrm{Arctan}$ en $0$. Que constate-t-on sur la valeur approchée obtenue, et sur l'erreur ? Énoncer en une phrase la différence de nature entre les deux formules de Taylor.

Les formules de Taylor servent d'ordinaire à écrire un développement. On les emploie ici dans l'autre sens : la précision est fixée à l'avance, et c'est le nombre de termes qui devient l'inconnue. C'est la question que se pose n'importe quel logiciel de calcul avant d'évaluer une fonction, et elle se traite entièrement avec l'inégalité de Taylor-Lagrange, démontrée à la section 19 du cours.

On notera $P_n$ le polynôme de Taylor d'ordre $n$ en $a=0$, et l'on appellera termes ses monômes de coefficient non nul : ce sont eux qu'une machine additionne réellement.

Partie A. Calculer $e$ à ${10}^{-6}$ près

On travaille avec $f=\exp$ sur $[0,1]$, et l'on utilise le seul encadrement numérique acquis du cours sur l'exponentielle : $2<e<3$.

1. Écrire l'inégalité de Taylor-Lagrange pour $f=\exp$, en $a=0$, à l'ordre $n$, sur l'intervalle $[0,1]$. En déduire une majoration de

qui ne dépende que de $n$. On dira pourquoi on ne prend pas $M_{n+1}=e$.

2. Résoudre l'inéquation obtenue pour une précision de ${10}^{-6}$, et conclure : combien de termes faut-il additionner ?

3. Vérification numérique. On donne

Calculer l'écart réel et le comparer à la majoration. Le rang trouvé à la question 2 était-il le plus petit possible ?

Partie B. Le sinus, et le prix de la largeur de l'intervalle

4. Majorer $\mid \sin x-x+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\mid$ pour $x\in [-1,1]$. On prendra soin de choisir l'ordre le plus avantageux : le polynôme $x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$ est le polynôme de Taylor du sinus à deux ordres différents, et les deux majorations qui en découlent ne se valent pas.

5. Reprendre la même majoration sur $[-\pi ,\pi ]$. Que vaut-elle ? Est-elle utilisable ?

6. Combien de termes du développement du sinus en $0$ faut-il pour obtenir $\sin x$ à ${10}^{-6}$ près, uniformément sur $[-1,1]$ ? Puis uniformément sur $[-\pi ,\pi ]$ ? On donne les valeurs suivantes, à lire dans la table.

Conclure en une phrase sur ce dont dépend le coût du calcul.

Partie C. La majoration est-elle optimale ?

7. On reprend la question 4 au point $x=1$. L'écart réel vaut

Le comparer à la majoration. Celle-ci est-elle atteinte ? Expliquer précisément à quel endroit du raisonnement on a perdu quelque chose, en écrivant l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $4$ en $x=1$ et en déterminant le point $c$ qu'elle fournit.

8. Exhiber une fonction, un ordre et un point pour lesquels l'inégalité de Taylor-Lagrange est une égalité. Quelle condition générale faut-il pour cela ? Que garantit alors l'inégalité, et que ne garantit-elle pas ?

Le cours démontre la formule de Taylor-Lagrange à la section 19. On reprend ici cette démonstration pas à pas, parce qu'elle est le modèle d'une technique qu'on retrouvera partout : fabriquer une fonction auxiliaire qui s'annule aux deux bouts, pour pouvoir lui appliquer le théorème de Rolle. L'énoncé à établir est le suivant.

Aucune intégrale n'apparaît dans cette démonstration : les primitives relèvent du chapitre « Calcul intégral élémentaire », et la formule de Taylor avec reste intégral y est traitée. Ici, tout vient de Rolle.

1. Installer l'idée sur le cas $n=1$. On suppose $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ et deux fois dérivable sur $]a,b[$, et l'on veut produire $c\in ]a,b[$ tel que

a. On pose, pour $t\in [a,b]$,

où $K$ est un réel à choisir. Calculer $\phi (b)$, puis déterminer l'unique valeur de $K$ pour laquelle $\phi (a)=0$.

b. Vérifier les hypothèses du théorème de Rolle pour $\phi$, calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$, et conclure.

c. Que devient cette construction si l'on refait le même travail avec $n=0$, c'est-à-dire avec $\phi (t)=f(b)-f(t)-K(b-t)$ ? Quel théorème du cours retrouve-t-on ?

2. Le cas général. On garde $b$ fixé et l'on pose, pour $t\in [a,b]$,

a. Calculer $\phi (b)$. On précisera quels termes de la somme survivent en $t=b$.

b. Déterminer l'unique réel $K$ tel que $\phi (a)=0$, et dire pourquoi il existe et est unique.

c. Vérifier une par une les trois hypothèses du théorème de Rolle pour $\phi$ sur $[a,b]$.

d. Calculer ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ pour $t\in ]a,b[$. C'est l'étape décisive : la somme dérivée se télescope, et il faut le faire apparaître, pas l'affirmer.

e. Conclure.

3. Lecture des hypothèses. Où intervient exactement l'hypothèse « $f$ de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $[a,b]$ », et où intervient exactement « $f$ est $n+1$ fois dérivable sur $]a,b[$ » ? Pourquoi ces deux hypothèses ne portent-elles pas sur le même ensemble ?

4. L'inégalité. En déduire en une ligne l'inégalité de Taylor-Lagrange : si de plus $\mid f^{(n+1)}\mid ⩽M_{n+1}$ sur $]a,b[$, alors

5. Le point $c$ n'est pas un objet fixe. Le théorème affirme l'existence de $c$, il n'en donne ni la valeur ni l'unicité, et ce $c$ dépend de $n$ et de $b$.

a. Sur l'exemple $f(x)=x^3$, $a=0$, calculer explicitement le point $c$ fourni par la formule pour $n=0$, puis pour $n=1$. Comparer.

b. Voici deux conclusions tirées par des copies. Dire pour chacune quelle propriété inexistante de $c$ elle utilise, et la réfuter sur l'exemple de la question 5.a.

(i) « Écrivons la formule à l'ordre $0$ puis à l'ordre $1$ et retranchons ces deux égalités membre à membre. »

(ii) « Pour tout $x>0$, $f(x)=f(0)+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(c)$. Dérivons cette égalité par rapport à $x$. »

Aucun calcul de développement limité dans cet exercice, et aucune démonstration : l'unicité, la troncature et la règle de parité ont été établies aux sections 19 et 20 du cours. On les utilise, et on vérifie qu'on sait lire un développement limité, ce qui est une compétence à part entière et le premier obstacle du chapitre.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $0$, dont on sait seulement qu'elle admet en $0$ le développement limité d'ordre $3$

Le terme nul est écrit exprès, pour que la place de chaque coefficient soit visible.

Partie A. Six questions de lecture

Répondre par la valeur demandée, ou par « on ne peut pas savoir », en justifiant à chaque fois par la propriété du cours utilisée.

1. Que vaut $f(0)$ ?

2. Que vaut $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ ?

3. La fonction $f$ est-elle croissante au voisinage de $0$ ?

4. Quel est le développement limité de $f$ à l'ordre $1$ en $0$ ?

5. Quel est son développement limité à l'ordre $4$ en $0$ ?

6. Peut-on affirmer que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$ ?

Partie B. Cinq écritures

On propose les cinq écritures ci-dessous. Dire lesquelles sont des développements limités d'ordre $3$ en $0$ de $f$, et pour chacune des autres, dire ce qui cloche exactement : ou bien l'écriture est fausse, ou bien elle est vraie mais n'est pas un développement limité d'ordre $3$.

a. $f(x)=2-3x+4x^3+o(x^3)$

b. $f(x)=2-3x+4x^3+o(x^2)$

c. $f(x)=4x^3-3x+2+o(x^3)$

d. $f(x)=2+4x-3x^3+o(x^3)$

e. $f(x)=2-3x+0\cdot x^2+4x^3+0\cdot x^4+o(x^4)$

Partie C. La parité, vérifiée sur trois exemples

Le cours a démontré à la section 20 que le développement limité d'une fonction paire ne comporte que des puissances paires, et celui d'une fonction impaire que des puissances impaires. On ne redémontre rien : on constate.

7. Pour chacune des trois fonctions suivantes, dire si elle est paire, écrire son développement limité à l'ordre $5$ en $0$ à partir du tableau des développements usuels, et vérifier la règle.

8. La fonction $\mathrm{sh}$ est impaire. Que prévoit la règle pour son développement limité, et est-ce vérifié à l'ordre $5$ ?

9. Une copie écrit : « $g$ est paire, donc son développement limité d'ordre $4$ s'écrit $g(x)=a_0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+o(x^4)$, ce qui prouve que $g^{\mathrm{\prime }}(0)=0$. » Le résultat est-il correct ? Le raisonnement est-il complet ?

Le tableau des développements limités usuels de la section 21 compte une dizaine de lignes, et l'on entend souvent qu'il faut l'apprendre par cœur. C'est à moitié vrai : deux lignes suffisent, et le reste se reconstitue en trois lignes de calcul. Cet exercice fait la part des deux, et se termine sur le seul théorème du chapitre qui permette de fabriquer un développement limité nouveau à partir d'un ancien.

Partie A. Ce qu'il faut savoir

1. Compléter le tableau ci-dessous, tous les développements étant pris en $0$. Les quatre premières lignes sont données, les quatre dernières sont à écrire.

Partie B. Ce qu'il ne faut surtout pas apprendre

On ne dispose plus que de deux développements, celui de $e^x$ et celui de ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$. Tout le reste est oublié.

2. Retrouver, à l'ordre $n$ et en moins de cinq lignes chacun, sans dériver et sans dresser aucun tableau de dérivées successives :

a. le développement de ${\displaystyle \frac{1}{1+x}}$ ;

b. celui de $\mathrm{ch}x$ ;

c. celui de $\mathrm{sh}x$ ;

d. celui de $\cos x$. Ce dernier demande un argument d'une autre nature que les trois précédents : on cherchera ce qui distingue $\cos$ de $\mathrm{ch}$ du point de vue de la dérivée seconde, et l'on dira honnêtement pourquoi la simple substitution ne suffit pas ici.

On indiquera à chaque fois lequel des trois procédés on emploie : substitution d'une expression dans un développement connu, parité, ou combinaison de deux développements.

Partie C. Un seul calcul par Taylor-Young

3. Déterminer le développement limité de $\mathrm{th}$ à l'ordre $5$ en $0$. Deux voies sont possibles : dresser le tableau des dérivées successives ${\mathrm{th}}^{(k)}(0)$ pour $k⩽5$, ou exploiter la relation ${\mathrm{th}}^{\mathrm{\prime }}=1-{\mathrm{th}}^2$. Choisir la plus courte, la mener, et dire en une phrase pourquoi elle est la plus courte. On justifiera d'abord l'existence du développement.

Partie D. Le seul théorème qui fabrique du neuf

4. Le cours établit à la section 21 le résultat suivant, énoncé sans aucun symbole d'intégrale.

a. L'appliquer à $f=\mathrm{Arctan}$ pour obtenir son développement limité à l'ordre $2n+1$ en $0$. On partira de la dérivée, acquise à la section 8.

b. L'avertissement. La réciproque est fausse : si $f$ admet un développement limité d'ordre $n+1$ en $0$, sa dérivée n'admet pas nécessairement de développement limité d'ordre $n$, et on ne dérive jamais un développement limité. Le démontrer sur la fonction

On montrera que $h$ admet un développement limité d'ordre $1$ en $0$, et que $h^{\mathrm{\prime }}$ n'admet même pas de développement limité d'ordre $0$.

Un calcul de développement limité échoue rarement sur la table des usuels. Il échoue sur l'ordre auquel on développe chaque morceau : trop bas, il manque des termes ; trop haut, on calcule pour rien et on se trompe. Cet exercice ne fait que cela, et le fait sur un cas où l'erreur est visible au chiffre près.

Partie A. Un produit, mal puis bien

On veut le développement limité d'ordre $3$ en $0$ de

1. Avant tout calcul. À quel ordre faut-il développer $e^{-x}$ ? À quel ordre faut-il développer $(1+2x{)}^{-1\mathrm{/}2}$ ? Justifier, en regardant la valeur de chaque facteur en $0$.

2. L'erreur, pour la voir. Développer chacun des deux facteurs à l'ordre $2$ seulement, multiplier les deux polynômes entièrement, et écrire le coefficient de $x^3$ ainsi obtenu. On le gardera de côté.

3. Reprendre le calcul correctement et donner le développement limité d'ordre $3$ de $F$. Comparer au coefficient de la question 2 : quelle est la différence, et d'où viennent précisément les termes qui manquaient ?

Partie B. Quand la division coûte des ordres

4. On considère

À quel ordre faut-il développer le numérateur pour obtenir le développement limité d'ordre $2$ de $G$ en $0$ ? Énoncer la règle générale pour une division par $x^p$, puis mener le calcul.

5. Deux quotients dont le dénominateur ne vaut pas $1$ en $0$. Les traiter en factorisant le dénominateur par sa valeur en $0$, puis en composant avec le développement de ${\displaystyle \frac{1}{1-u}}$. On indiquera à chaque fois l'ordre auquel chaque morceau est développé, et pourquoi.

Partie C. Diagnostic seul

6. Pour chacune des cinq expressions suivantes, dire à quel ordre développer chaque morceau, et rien de plus : aucun calcul ne doit être mené à terme. Une des cinq n'admet pas de développement limité en $0$ ; il faudra le repérer et le dire.

a. $\sqrt[3]{1+x}\ln (1+2x)$, à l'ordre $3$

b. ${\displaystyle \frac{\mathrm{sh}x-x}{x^5}}$, à l'ordre $2$

c. $\ln (1+{\sin }^{2}x)$, à l'ordre $6$

d. ${\displaystyle \frac{\mathrm{ch}x-\sqrt{1+x^2}}{x^4}}$, à l'ordre $2$

e. $\sqrt{1+\mathrm{Arctan}x}$, à l'ordre $3$

Les développements limités du tableau des usuels sont tous écrits en $0$. Deux opérations permettent de sortir de ce cadre : la composition, qui remplace $x$ par une expression qui tend vers $0$, et le changement de variable $x=a+h$, qui ramène un point quelconque en $0$. Elles reposent sur la même idée et se rédigent de la même façon, à condition de dire à chaque fois quelle quantité tend vers $0$.

Les développements limités en l'infini se traitent par un troisième changement de variable, et ils font l'objet de l'exercice 30.

Partie A. La règle de composition

1. Soit $f$ admettant un développement limité d'ordre $n$ en $0$, et soit $u$ une fonction définie au voisinage de $0$. On veut le développement limité de $f\circ u$ en $0$.

a. Pourquoi la condition $u(0)=0$ est-elle nécessaire pour substituer $u(x)$ dans le développement de $f$ ? On expliquera ce qui, dans l'écriture $o(u^n)$, cesse d'avoir un sens sinon.

b. Que faire lorsque $u(0)=b\mathrm{\ne }0$ ? Décrire la marche à suivre.

Partie B. Trois développements par composition

2. Déterminer les développements limités suivants, tous en $0$. On écrira à chaque fois quelle est la quantité substituée et pourquoi elle tend vers $0$.

a. $e^{\mathrm{Arctan}x}$ à l'ordre $3$

b. $\sqrt{\mathrm{ch}x}$ à l'ordre $4$

c. $\mathrm{Arctan}(\mathrm{sh}x)$ à l'ordre $5$. Comparer le résultat au développement de $\sin$ : que remarque-t-on, et à partir de quel ordre les deux fonctions se distinguent-elles ?

Partie C. Trois développements en un point $a\mathrm{\ne }0$

3. Pour chacune des trois fonctions, écrire explicitement le changement de variable $x=a+h$, avec $h\to 0$, puis donner le développement limité demandé, en la variable $h$.

a. $\cos$ en $a={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, à l'ordre $2$