Exercices — Statistiques et probabilités

On a demandé aux élèves d'une classe de 5e quelle était leur couleur préférée. Les réponses sont regroupées dans le tableau suivant.

1. Calculer l'effectif total de la classe.

2. Quelle est la fréquence de la couleur bleue ? Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée, puis en écriture décimale, puis en pourcentage.

3. Donner de même la fréquence de la couleur jaune sous ces trois formes.

À la cantine, on a demandé à $50$ élèves quel était leur plat préféré parmi quatre propositions. Voici les résultats.

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant, pour chaque plat, la fréquence sous forme de fraction, en écriture décimale et en pourcentage.

   Plat	Pâtes	Pizza	Poisson	Légumes
   Fréquence (fraction)	…	…	…	…
   Fréquence (décimale)	…	…	…	…
   Fréquence (pourcentage)	…	…	…	…

2. Vérifier que la somme des quatre fréquences est égale à $1$ (c'est-à-dire à $100\mathrm{\%}$).

3. Un élève affirme : « Plus d'un quart des élèves interrogés préfèrent la pizza. » A-t-il raison ? Justifier.

Le diagramme en barres ci-dessous indique le nombre de livres lus en un mois par les $25$ élèves d'une classe de 5e.

1. Combien d'élèves ont lu exactement $2$ livres ?

2. Quel est le nombre de livres lus le plus fréquent dans cette classe ?

3. Combien d'élèves ont lu au moins $3$ livres ?

4. Vérifier, à l'aide du diagramme, que l'effectif total de la classe est bien $25$.

5. Quelle est la fréquence des élèves qui n'ont lu aucun livre ? Donner le résultat sous forme de fraction, en écriture décimale et en pourcentage.

Le diagramme circulaire ci-dessous représente les moyens de transport utilisés par les $40$ élèves d'un collège pour venir en classe. Le secteur « Bus » mesure ${135}^{\circ }$ ; les secteurs « À pied » et « Voiture » sont des quarts de disque.

1. Quel est le moyen de transport le plus utilisé ?

2. Expliquer pourquoi la catégorie « À pied » correspond à $10$ élèves.

3. Combien d'élèves viennent en vélo ?

4. Quelle est la fréquence, en pourcentage, des élèves qui viennent en bus ?

Le maître-nageur d'une piscine municipale a compté le nombre de baigneurs présents chaque heure, de $9$ h à $18$ h. Ses relevés sont représentés par le graphique cartésien ci-dessous.

1. Combien y avait-il de baigneurs à $11$ h ?

2. À quelle heure l'affluence a-t-elle été maximale ? Combien de baigneurs y avait-il alors ?

3. Décrire l'évolution du nombre de baigneurs entre $11$ h et $13$ h. Proposer une explication.

4. Entre quelles heures consécutives le nombre de baigneurs a-t-il le plus augmenté ? Justifier par un calcul.

Une boulangerie a compté ses ventes de viennoiseries samedi matin. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant.

Construire le diagramme en barres représentant ces ventes. On conseille de graduer l'axe vertical de $5$ en $5$.

Un club multisports compte $60$ adhérents, répartis dans quatre activités.

On veut représenter cette répartition par un diagramme circulaire.

1. Un disque complet mesure ${360}^{\circ }$. Combien de degrés représentent un adhérent ?

2. Recopier et compléter le tableau des angles, puis vérifier que la somme des angles vaut ${360}^{\circ }$.

   Activité	Football	Tennis	Natation	Gymnastique
   Angle	…	…	…	…

3. Construire le diagramme circulaire (utiliser un compas et un rapporteur).

Pour chacune des situations suivantes, indiquer quelle représentation est la plus adaptée : un diagramme en barres, un diagramme circulaire ou un graphique cartésien. Justifier chaque réponse en une phrase.

a. Comparer le nombre de médailles remportées par $5$ pays aux Jeux olympiques.

b. Visualiser la part du budget d'une famille consacrée à chaque poste de dépense (logement, nourriture, loisirs…).

c. Suivre la taille d'une plante mesurée chaque semaine pendant deux mois.

d. Présenter la répartition des votes entre les $3$ candidats à l'élection des délégués de classe.

1. Voici les notes de Camille en mathématiques ce trimestre :

   $12$ ; $15$ ; $9$ ; $14$ ; $10$.

   Calculer la moyenne de Camille ce trimestre.

2. Voici les températures relevées à midi dans une cour de collège, du lundi au vendredi, en ${}^{\circ }\text{C}$ :

   $18$ ; $21$ ; $19$ ; $24$ ; $23$.

   Calculer la température moyenne à midi sur ces cinq jours.

3. Que signifie concrètement la moyenne trouvée à la question 2 ? Répondre par une phrase.

1. Après quatre contrôles de mathématiques, la moyenne de Tom est exactement $12$. Ses trois premières notes étaient $10$ ; $11$ ; $14$. Quelle est sa quatrième note ?

2. Léa a mesuré la hauteur de cinq plants de tomates, en cm, et a calculé leur hauteur moyenne : $\mathrm{11,6}$ cm. Mais une tache d'encre a effacé la cinquième valeur de son carnet ! On lit seulement :

   $8$ ; $12$ ; $15$ ; $10$ ; $\dots$

   Retrouver la valeur effacée.

3. Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

   « Si la moyenne d'une série de valeurs vaut $12$, alors toutes les valeurs de la série sont inférieures à $24$. »

On lance un dé équilibré à six faces, numérotées de $1$ à $6$, et on note le nombre obtenu sur la face du dessus.

1. Pourquoi dit-on que ce lancer est une expérience aléatoire ?
2. Citer toutes les issues possibles de cette expérience.
3. Citer les issues qui réalisent l'évènement « obtenir un nombre pair », puis celles qui réalisent l'évènement « obtenir un multiple de $3$ ».
4. Donner un exemple d'évènement impossible et un exemple d'évènement certain pour cette expérience.

1. Reproduire une échelle de probabilité graduée de $0$ à $1$, puis y placer les lettres correspondant aux évènements suivants :

   A. « Obtenir pile en lançant une pièce équilibrée. »

   B. « Obtenir un $3$ en lançant un dé équilibré à six faces. »

   C. « Il fera nuit cette nuit. »

   D. « Obtenir un $7$ en lançant un dé à six faces. »

   E. « Tirer une boule rouge dans une urne qui contient $3$ boules rouges et $1$ boule bleue, indiscernables au toucher. »

2. Donner la probabilité des évènements A, B et E sous trois formes : fraction, écriture décimale et pourcentage. Si l'écriture décimale exacte n'existe pas, donner une valeur approchée au centième.

3. Compléter la phrase : « une chance sur quatre » correspond à la probabilité $\dots$

À la kermesse du collège, on fait tourner la roue de loterie ci-dessous, partagée en huit secteurs égaux marqués R (rouge), B (bleu), V (vert) ou J (jaune). Quand la roue s'arrête, on note la lettre du secteur désigné par la flèche.

1. Expliquer pourquoi les huit secteurs ont tous la même probabilité d'être désignés.
2. Quelle est la probabilité d'obtenir la lettre J ?
3. Quelle est la probabilité d'obtenir la lettre R ?
4. Quelle est la probabilité d'obtenir la lettre V ou la lettre B ?
5. Exprimer la probabilité d'obtenir la lettre R en pourcentage.

Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $5$ boules rouges, $3$ boules vertes et $2$ boules jaunes. On tire une boule au hasard et on note sa couleur.

1. Combien y a-t-il d'issues possibles si on s'intéresse à la couleur de la boule tirée ? Ces issues ont-elles toutes la même probabilité d'être obtenues ? Justifier.
2. Donner la probabilité de tirer une boule rouge, puis une boule verte, puis une boule jaune.
3. Exprimer la probabilité de tirer une boule jaune sous trois formes : fraction, écriture décimale et pourcentage.
4. Combien de boules rouges faudrait-il retirer de l'urne pour que la probabilité de tirer une boule rouge devienne « deux chances sur sept » ?

On a demandé aux $24$ élèves d'une classe de 5e combien ils ont de frères et sœurs. Voici les réponses, dans l'ordre où elles ont été recueillies :

$1$ ; $2$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $1$ ; $0$ ; $2$ ; $1$ ; $2$ ; $4$ ;

$1$ ; $2$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $1$ ; $2$ ; $0$ ; $2$ ; $1$ ; $2$.

1. Regrouper ces réponses dans un tableau d'effectifs.
2. Quelle est la fréquence des élèves ayant exactement $2$ frères et sœurs ? Donner le résultat sous forme de fraction, d'écriture décimale et de pourcentage.
3. Construire le diagramme en barres représentant cette série.
4. Calculer le nombre moyen de frères et sœurs par élève, puis interpréter ce résultat par une phrase.

En classe, trois élèves lancent chacun le même dé équilibré à six faces $60$ fois de suite et notent leurs résultats. Voici le tableau d'effectifs obtenu par Maya :

1. Quelle est la probabilité théorique d'obtenir la face $4$ en lançant un dé équilibré ?
2. Calculer la fréquence de la face $4$ observée par Maya. Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée et d'écriture décimale.
3. La fréquence observée est-elle égale à la probabilité théorique ? Est-ce surprenant ? Expliquer.
4. Léo, lui, affirme : « Mon dé est truqué, j'ai obtenu quinze fois la face $6$ sur mes $60$ lancers ! » Calculer la fréquence de la face $6$ observée par Léo, la comparer à la probabilité théorique, puis discuter son affirmation en une ou deux phrases.
5. Bonus. Si on lançait ce dé équilibré $600$ fois, environ combien de fois peut-on s'attendre à obtenir la face $4$ ?