5ᵉ · Chapitre 12 · Espace et géométrie

Parallélogrammes

Définition, constructions, propriétés caractéristiques, cas particuliers (rectangle, losange, carré), aire.

Ce qu'il faut savoir faire

Définition
Constructions
Propriétés caractéristiques
Cas particuliers (rectangle, losange, carré)
Aire

Observe une lampe d'architecte : ses bras articulés forment des quadrilatères qui s'ouvrent et se replient sans jamais se déformer. Le pantographe qui relie un tramway à sa ligne électrique, la barrière extensible d'un chantier ou le plateau d'une balance ancienne fonctionnent sur le même principe. À chaque fois, la figure secrète est la même : le parallélogramme, un quadrilatère dont les côtés restent deux à deux parallèles quoi qu'il arrive. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à le reconnaître, à le construire, à démontrer qu'un quadrilatère en est un, et à calculer son aire. Et tu vas retrouver un vieil ami du chapitre précédent : le demi-tour.

Le parallélogramme : définition et vocabulaire

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Le parallélogramme ABCD et ses diagonales

Sur la figure, le parallélogramme $A B C D$ vérifie bien la définition : $(A B)$ est parallèle à $(D C)$ , et $(A D)$ est parallèle à $(B C)$ . Les chevrons dessinés sur les côtés codent ce parallélisme : un chevron simple pour la première paire de côtés, un chevron double pour la seconde.

Mettons en place le vocabulaire dont tu auras besoin tout au long du chapitre :

Les sommets opposés sont ceux qui ne sont pas reliés par un côté : $A$ et $C$ d'une part, $B$ et $D$ d'autre part.
Les sommets consécutifs sont ceux qui se suivent, comme $A$ et $B$ .
Les côtés opposés sont les côtés qui ne se touchent pas : $[A B]$ et $[D C]$ , puis $[A D]$ et $[B C]$ .
Les diagonales relient les sommets opposés : ce sont les segments $[A C]$ et $[B D]$ , tracés en pointillés sur la figure.

Un point de vigilance essentiel : quand on nomme un parallélogramme $A B C D$ , l'ordre des lettres compte. Les sommets doivent se lire en tournant autour de la figure, dans un sens ou dans l'autre, comme si tu suivais son contour avec le doigt.

Exemple

Sur la figure ci-dessus, la figure peut se nommer $A B C D$ , $B C D A$ , ou encore $D C B A$ si on tourne dans l'autre sens : dans tous les cas, on suit le contour.

En revanche, $A B D C$ ne convient pas : en reliant les points dans cet ordre, on saute de $B$ à $D$ en traversant la figure, et on obtient un quadrilatère croisé qui n'a plus rien d'un parallélogramme. Dire « $A B C D$ est un parallélogramme » et « $A B D C$ est un parallélogramme », ce n'est donc pas du tout la même chose !

Le centre du parallélogramme

Au chapitre précédent, tu as appris à faire tourner une figure d'un demi-tour autour d'un point. Le parallélogramme est justement une figure qui adore les demi-tours.

Propriété

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Ce point d'intersection $O$ est le centre de symétrie du parallélogramme : par le demi-tour autour de $O$ , le point $A$ va sur $C$ , le point $B$ va sur $D$ , et la figure se superpose exactement à elle-même.

Les diagonales se coupent en leur milieu O, centre de symétrie

Sur la figure, le point $O$ est marqué d'une croix. Les codages traduisent la propriété : un trait sur $[O A]$ et $[O C]$ pour indiquer $O A = O C$ , deux traits sur $[O B]$ et $[O D]$ pour indiquer $O B = O D$ . Autrement dit, $O$ est le milieu de $[A C]$ et le milieu de $[B D]$ .

Tu peux le vérifier avec du papier calque, exactement comme au chapitre précédent : décalque le parallélogramme, pique la pointe du compas en $O$ , fais tourner le calque d'un demi-tour... et la figure retombe sur elle-même. C'est ce demi-tour qui va nous offrir, presque gratuitement, toutes les propriétés de la section suivante.

Les propriétés du parallélogramme

Propriété

Dans un parallélogramme :

les côtés opposés ont la même longueur ;
les angles opposés ont la même mesure ;
les diagonales se coupent en leur milieu.

Pourquoi est-ce vrai ? Par le demi-tour autour du centre $O$ , le côté $[A B]$ va exactement sur le côté $[C D]$ et l'angle $\hat{D A B}$ va sur l'angle $\hat{B C D}$ : comme la symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, côtés opposés et angles opposés sont forcément égaux.

Codage des propriétés du parallélogramme

Sur la figure, retrouve les trois propriétés dans les codages : un trait sur $[A B]$ et $[D C]$ (même longueur), deux traits sur $[A D]$ et $[B C]$ (même longueur), un arc simple pour les angles égaux en $A$ et $C$ , un arc double pour les angles égaux en $B$ et $D$ .

Une remarque qui complète le tableau : deux angles consécutifs d'un parallélogramme (comme $\hat{D A B}$ et $\hat{A B C}$ ) sont supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme vaut $180^{\circ}$ . C'est cohérent avec le chapitre sur les angles et le parallélisme : les droites $(A D)$ et $(B C)$ étant parallèles, la sécante $(A B)$ forme avec elles deux angles dont la somme vaut $180^{\circ}$ .

Exemple

$A B C D$ est un parallélogramme tel que $A B = 6$ cm, $B C = 3,5$ cm et $\hat{D A B} = 75^{\circ}$ . Que peut-on en déduire, sans rien mesurer ?

Les côtés opposés ont la même longueur, donc $C D = A B = 6$ cm et $A D = B C = 3,5$ cm.
Les angles opposés ont la même mesure, donc $\hat{B C D} = \hat{D A B} = 75^{\circ}$ .
Deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc $\hat{A B C} = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$ (et de même $\hat{A D C} = 105^{\circ}$ ).
Le périmètre vaut $6 + 3,5 + 6 + 3,5 = 19$ cm.

Quatre longueurs, quatre angles et un périmètre... obtenus à partir de trois informations seulement !

Construire un parallélogramme

Tu disposes de trois techniques, à choisir selon le support (quadrillage ou feuille blanche) et selon les informations dont tu disposes.

Méthode

Sur quadrillage : le chemin de carreaux. Pour construire le parallélogramme $A B C D$ connaissant les trois sommets $A$ , $B$ et $D$ :

Décris le chemin de carreaux qui mène de $B$ à $A$ . Par exemple : « $4$ carreaux vers la gauche et $1$ carreau vers le bas ».
Pour placer le quatrième sommet $C$ , pars de $D$ et prends le chemin exactement inverse : $4$ carreaux vers la droite et $1$ carreau vers le haut. Autrement dit, on va de $D$ à $C$ comme on va de $A$ à $B$ .
Relie les sommets dans l'ordre $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Les côtés $[A B]$ et $[D C]$ suivent le même chemin de carreaux : ils sont bien parallèles et de même longueur.

Méthode

Sur feuille blanche : la règle et le compas. Pour construire le parallélogramme $A B C D$ connaissant les trois sommets $A$ , $B$ et $D$ , on utilise la propriété « les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur » : le point $C$ cherché vérifie $B C = A D$ et $D C = A B$ .

Pique le compas en $B$ avec pour écartement la longueur $A D$ , et trace un arc de cercle dans la zone où doit se trouver $C$ .
Pique le compas en $D$ avec pour écartement la longueur $A B$ , et trace un second arc qui coupe le premier.
Le point d'intersection des deux arcs, situé du bon côté (à l'opposé de $A$ ), est le point $C$ . Relie les sommets dans l'ordre.

Méthode

Avec le demi-tour. Cette technique est idéale quand on connaît le centre du parallélogramme. Pour construire un parallélogramme de centre $O$ à partir de deux sommets consécutifs $A$ et $B$ :

Construis le symétrique de $A$ par rapport à $O$ : c'est le sommet opposé $C$ .
Construis le symétrique de $B$ par rapport à $O$ : c'est le sommet opposé $D$ .
Relie $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dans cet ordre. Les diagonales $[A C]$ et $[B D]$ se coupent en leur milieu $O$ par construction : la figure est bien un parallélogramme.

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Reconnaître un parallélogramme « à l'œil », c'est bien pour conjecturer ; mais en mathématiques, il faut démontrer. Voici les quatre portes d'entrée officielles.

Propriété

Un quadrilatère est un parallélogramme dès que l'une des conditions suivantes est vérifiée :

ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (c'est la définition) ;
ses diagonales se coupent en leur milieu ;
il est non croisé et ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur ;
il est non croisé et deux côtés opposés sont parallèles ET de même longueur.

Ces énoncés sont les réciproques des propriétés vues plus haut : là-bas, on savait que la figure était un parallélogramme et on en déduisait des égalités ; ici, on part des égalités pour conclure que la figure est un parallélogramme. La condition la plus utilisée en pratique est la deuxième, celle des diagonales.

Méthode

Rédiger la démonstration en trois temps.

Les données : cite les informations de l'énoncé (ou déjà démontrées) dont tu vas te servir.
La propriété : énonce la propriété caractéristique utilisée, avec ses mots exacts.
La conclusion : conclus en nommant le parallélogramme avec les lettres dans le bon ordre.

Exemple

Énoncé. Les diagonales $[R T]$ et $[S U]$ du quadrilatère $R S T U$ se coupent en un point $O$ qui est à la fois le milieu de $[R T]$ et le milieu de $[S U]$ . Démontrer que $R S T U$ est un parallélogramme.

Démonstration rédigée.

Données : on sait que les diagonales $[R T]$ et $[S U]$ du quadrilatère $R S T U$ se coupent en $O$ , et que $O$ est le milieu de $[R T]$ et le milieu de $[S U]$ .

Propriété : or, si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Conclusion : donc $R S T U$ est un parallélogramme.

Deux mises en garde avant de continuer :

« Les côtés ont l'air parallèles » n'est pas un argument : le parallélisme ne se vérifie pas à l'œil ni même à la règle, il se démontre à partir des données de l'énoncé.
Un quadrilatère qui possède seulement deux côtés parallèles n'est pas forcément un parallélogramme : il faut le parallélisme des deux paires de côtés opposés. Un quadrilatère avec une seule paire de côtés parallèles s'appelle un trapèze, et il n'a aucune des propriétés vues plus haut.

Rectangle, losange, carré : les parallélogrammes particuliers

Tu connais ces trois figures depuis l'école primaire et la 6e. Rappelons leurs définitions :

un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits ;
un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur ;
un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur : c'est à la fois un rectangle et un losange.

La grande nouveauté de la 5e, c'est de comprendre que ces trois figures appartiennent à la famille des parallélogrammes.

Propriété

Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes : leurs côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Ils possèdent donc toutes les propriétés du parallélogramme : côtés opposés de même longueur, angles opposés de même mesure, diagonales qui se coupent en leur milieu (et un centre de symétrie).

Chacun a en plus sa spécialité :

les diagonales d'un rectangle ont la même longueur ;
les diagonales d'un losange sont perpendiculaires ;
les diagonales d'un carré cumulent les deux : même longueur et perpendiculaires.

Rectangle, losange et carré : les diagonales

Et dans l'autre sens ? Si l'on sait déjà qu'une figure est un parallélogramme, un tout petit indice supplémentaire suffit à reconnaître un rectangle, un losange ou un carré.

Propriété

Reconnaître un parallélogramme particulier. Soit un quadrilatère dont on a déjà démontré qu'il est un parallélogramme.

S'il a des diagonales de même longueur, ou s'il possède un angle droit, alors c'est un rectangle.
S'il a des diagonales perpendiculaires, ou si deux côtés consécutifs ont la même longueur, alors c'est un losange.
S'il vérifie à la fois une condition « rectangle » et une condition « losange », alors c'est un carré.

Remarque la puissance de ces énoncés : pour montrer qu'un parallélogramme est un rectangle, un seul angle droit suffit (les trois autres suivent automatiquement) ; pour montrer qu'il est un losange, une seule égalité de côtés consécutifs suffit. Le parallélogramme fait tout le reste du travail.

Voici le tableau récapitulatif de la famille :

Quadrilatère	Côtés	Angles	Diagonales
Parallélogramme	opposés parallèles, égaux	opposés égaux	milieu commun
Rectangle	opposés parallèles, égaux	quatre angles droits	milieu commun, même longueur
Losange	quatre côtés égaux	opposés égaux	milieu commun, perpendiculaires
Carré	quatre côtés égaux	quatre angles droits	milieu commun, les deux à la fois

L'aire du parallélogramme

Comment calculer l'aire d'un parallélogramme ? Grâce à une idée de découpage très maligne. Découpe le triangle qui « dépasse » d'un côté du parallélogramme, fais-le glisser, et recolle-le de l'autre côté : tu obtiens un rectangle, sans avoir ajouté ni enlevé la moindre surface. Le parallélogramme et le rectangle ont donc la même aire.

Du parallélogramme au rectangle : même aire

Sur la figure, le triangle hachuré découpé à gauche vient exactement combler le creux de droite. Le rectangle obtenu a pour largeur la base $b$ du parallélogramme, et pour longueur sa hauteur $h$ . Son aire vaut $b \times h$ ... et celle du parallélogramme aussi.

Propriété

L'aire d'un parallélogramme est donnée par la formule

A = b \times h

où $b$ est la longueur d'un côté (appelé la base) et $h$ la hauteur relative à ce côté : la distance entre la base et le côté opposé, mesurée perpendiculairement à la base.

Méthode

Éviter le piège de la hauteur. La hauteur n'est pas le côté incliné du parallélogramme ! Avant tout calcul d'aire :

Choisis la base $b$ : un côté dont tu connais la longueur.
Repère la hauteur $h$ : le segment perpendiculaire à la base (souvent codé par un petit angle droit, parfois en pointillés), qui rejoint le côté opposé. Le côté oblique, lui, ne sert à rien pour l'aire.
Applique $A = b \times h$ , sans oublier l'unité d'aire.

Exemple. Un parallélogramme a une base de $8$ cm, un côté incliné de $5$ cm et une hauteur de $4,5$ cm relative à cette base. Son aire vaut $A = 8 \times 4,5 = 36 {cm}^{2}$ . Le calcul $8 \times 5 = 40$ est faux : $5$ cm est la longueur du côté oblique, pas la hauteur.

Petite vérification de cohérence : dans un rectangle, la hauteur relative à un côté est simplement le côté suivant, puisque les côtés consécutifs y sont perpendiculaires. La formule $A = b \times h$ redonne alors la formule bien connue « longueur $\times$ largeur » de 6e. Tout se recolle !

Un peu d'histoire et de culture

Si le parallélogramme est si présent dans les objets qui nous entourent, c'est grâce à une propriété étonnante : quand on articule quatre tiges rigides aux quatre sommets, les longueurs des côtés ne changent jamais, mais les angles, eux, peuvent varier. La figure est indéformable en longueurs et déformable en angles, et les ingénieurs adorent ça. C'est le secret de la lampe d'architecte, dont les bras articulés maintiennent l'ampoule dans la même orientation quelle que soit la position ; du pantographe des trains et des tramways, ce losange articulé qui s'écrase ou se déplie pour rester collé à la ligne électrique ; ou encore des barrières extensibles et des portails accordéon. Au XVIIe siècle, le mathématicien français Gilles Personne de Roberval a utilisé cette idée pour inventer une balance restée célèbre : grâce à un parallélogramme articulé, les deux plateaux restent toujours horizontaux, et la pesée reste juste même si l'objet n'est pas posé bien au centre. Tu croiseras aussi le parallélogramme dans les pavages et les mosaïques, de l'Alhambra de Grenade aux carrelages de nos cuisines : c'est l'une des rares figures capables de recouvrir tout le plan sans laisser le moindre trou. La prochaine fois qu'une barrière se déplie sous tes yeux, regarde bien : ce sont des mathématiques qui s'étirent.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Quadrilatère

Côtés

Angles

Diagonales

Parallélogramme

opposés parallèles, égaux

opposés égaux

milieu commun

Rectangle

opposés parallèles, égaux

quatre angles droits

milieu commun, même longueur

Losange

quatre côtés égaux

opposés égaux

milieu commun, perpendiculaires

Carré

quatre côtés égaux

quatre angles droits

milieu commun, les deux à la fois