Parallélogrammes

Observe une lampe d'architecte : ses bras articulés forment des quadrilatères qui s'ouvrent et se replient sans jamais se déformer. Le pantographe qui relie un tramway à sa ligne électrique, la barrière extensible d'un chantier ou le plateau d'une balance ancienne fonctionnent sur le même principe. À chaque fois, la figure secrète est la même : le parallélogramme, un quadrilatère dont les côtés restent deux à deux parallèles quoi qu'il arrive. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à le reconnaître, à le construire, à démontrer qu'un quadrilatère en est un, et à calculer son aire. Et tu vas retrouver un vieil ami du chapitre précédent : le demi-tour.

Le parallélogramme : définition et vocabulaire

Sur la figure, le parallélogramme $ABCD$ vérifie bien la définition : $(AB)$ est parallèle à $(DC)$, et $(AD)$ est parallèle à $(BC)$. Les chevrons dessinés sur les côtés codent ce parallélisme : un chevron simple pour la première paire de côtés, un chevron double pour la seconde.

Mettons en place le vocabulaire dont tu auras besoin tout au long du chapitre :

• Les sommets opposés sont ceux qui ne sont pas reliés par un côté : $A$ et $C$ d'une part, $B$ et $D$ d'autre part.
• Les sommets consécutifs sont ceux qui se suivent, comme $A$ et $B$.
• Les côtés opposés sont les côtés qui ne se touchent pas : $[AB]$ et $[DC]$, puis $[AD]$ et $[BC]$.
• Les diagonales relient les sommets opposés : ce sont les segments $[AC]$ et $[BD]$, tracés en pointillés sur la figure.

Un point de vigilance essentiel : quand on nomme un parallélogramme $ABCD$, l'ordre des lettres compte. Les sommets doivent se lire en tournant autour de la figure, dans un sens ou dans l'autre, comme si tu suivais son contour avec le doigt.

Le centre du parallélogramme

Au chapitre précédent, tu as appris à faire tourner une figure d'un demi-tour autour d'un point. Le parallélogramme est justement une figure qui adore les demi-tours.

Sur la figure, le point $O$ est marqué d'une croix. Les codages traduisent la propriété : un trait sur $[OA]$ et $[OC]$ pour indiquer $OA=OC$, deux traits sur $[OB]$ et $[OD]$ pour indiquer $OB=OD$. Autrement dit, $O$ est le milieu de $[AC]$ et le milieu de $[BD]$.

Tu peux le vérifier avec du papier calque, exactement comme au chapitre précédent : décalque le parallélogramme, pique la pointe du compas en $O$, fais tourner le calque d'un demi-tour... et la figure retombe sur elle-même. C'est ce demi-tour qui va nous offrir, presque gratuitement, toutes les propriétés de la section suivante.

Les propriétés du parallélogramme

Pourquoi est-ce vrai ? Par le demi-tour autour du centre $O$, le côté $[AB]$ va exactement sur le côté $[CD]$ et l'angle $\widehat{DAB}$ va sur l'angle $\widehat{BCD}$ : comme la symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, côtés opposés et angles opposés sont forcément égaux.

Sur la figure, retrouve les trois propriétés dans les codages : un trait sur $[AB]$ et $[DC]$ (même longueur), deux traits sur $[AD]$ et $[BC]$ (même longueur), un arc simple pour les angles égaux en $A$ et $C$, un arc double pour les angles égaux en $B$ et $D$.

Une remarque qui complète le tableau : deux angles consécutifs d'un parallélogramme (comme $\widehat{DAB}$ et $\widehat{ABC}$) sont supplémentaires, c'est-à-dire que leur somme vaut ${180}^{\circ }$. C'est cohérent avec le chapitre sur les angles et le parallélisme : les droites $(AD)$ et $(BC)$ étant parallèles, la sécante $(AB)$ forme avec elles deux angles dont la somme vaut ${180}^{\circ }$.

Construire un parallélogramme

Tu disposes de trois techniques, à choisir selon le support (quadrillage ou feuille blanche) et selon les informations dont tu disposes.

Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Reconnaître un parallélogramme « à l'œil », c'est bien pour conjecturer ; mais en mathématiques, il faut démontrer. Voici les quatre portes d'entrée officielles.

Ces énoncés sont les réciproques des propriétés vues plus haut : là-bas, on savait que la figure était un parallélogramme et on en déduisait des égalités ; ici, on part des égalités pour conclure que la figure est un parallélogramme. La condition la plus utilisée en pratique est la deuxième, celle des diagonales.

Deux mises en garde avant de continuer :

• « Les côtés ont l'air parallèles » n'est pas un argument : le parallélisme ne se vérifie pas à l'œil ni même à la règle, il se démontre à partir des données de l'énoncé.
• Un quadrilatère qui possède seulement deux côtés parallèles n'est pas forcément un parallélogramme : il faut le parallélisme des deux paires de côtés opposés. Un quadrilatère avec une seule paire de côtés parallèles s'appelle un trapèze, et il n'a aucune des propriétés vues plus haut.

Rectangle, losange, carré : les parallélogrammes particuliers

Tu connais ces trois figures depuis l'école primaire et la 6e. Rappelons leurs définitions :

• un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits ;
• un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur ;
• un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur : c'est à la fois un rectangle et un losange.

La grande nouveauté de la 5e, c'est de comprendre que ces trois figures appartiennent à la famille des parallélogrammes.

Et dans l'autre sens ? Si l'on sait déjà qu'une figure est un parallélogramme, un tout petit indice supplémentaire suffit à reconnaître un rectangle, un losange ou un carré.

Remarque la puissance de ces énoncés : pour montrer qu'un parallélogramme est un rectangle, un seul angle droit suffit (les trois autres suivent automatiquement) ; pour montrer qu'il est un losange, une seule égalité de côtés consécutifs suffit. Le parallélogramme fait tout le reste du travail.

Voici le tableau récapitulatif de la famille :

L'aire du parallélogramme

Comment calculer l'aire d'un parallélogramme ? Grâce à une idée de découpage très maligne. Découpe le triangle qui « dépasse » d'un côté du parallélogramme, fais-le glisser, et recolle-le de l'autre côté : tu obtiens un rectangle, sans avoir ajouté ni enlevé la moindre surface. Le parallélogramme et le rectangle ont donc la même aire.

Sur la figure, le triangle hachuré découpé à gauche vient exactement combler le creux de droite. Le rectangle obtenu a pour largeur la base $b$ du parallélogramme, et pour longueur sa hauteur $h$. Son aire vaut $b\times h$... et celle du parallélogramme aussi.

Petite vérification de cohérence : dans un rectangle, la hauteur relative à un côté est simplement le côté suivant, puisque les côtés consécutifs y sont perpendiculaires. La formule $\mathcal{A}=b\times h$ redonne alors la formule bien connue « longueur $\times$ largeur » de 6e. Tout se recolle !

Un peu d'histoire et de culture

Si le parallélogramme est si présent dans les objets qui nous entourent, c'est grâce à une propriété étonnante : quand on articule quatre tiges rigides aux quatre sommets, les longueurs des côtés ne changent jamais, mais les angles, eux, peuvent varier. La figure est indéformable en longueurs et déformable en angles, et les ingénieurs adorent ça. C'est le secret de la lampe d'architecte, dont les bras articulés maintiennent l'ampoule dans la même orientation quelle que soit la position ; du pantographe des trains et des tramways, ce losange articulé qui s'écrase ou se déplie pour rester collé à la ligne électrique ; ou encore des barrières extensibles et des portails accordéon. Au XVIIe siècle, le mathématicien français Gilles Personne de Roberval a utilisé cette idée pour inventer une balance restée célèbre : grâce à un parallélogramme articulé, les deux plateaux restent toujours horizontaux, et la pesée reste juste même si l'objet n'est pas posé bien au centre. Tu croiseras aussi le parallélogramme dans les pavages et les mosaïques, de l'Alhambra de Grenade aux carrelages de nos cuisines : c'est l'une des rares figures capables de recouvrir tout le plan sans laisser le moindre trou. La prochaine fois qu'une barrière se déplie sous tes yeux, regarde bien : ce sont des mathématiques qui s'étirent.