5ᵉ · Chapitre 13 · Organisation et gestion de données et probabilités

Statistiques et probabilités

Effectifs, fréquences, diagrammes, moyenne simple ; vocabulaire des probabilités, équiprobabilité.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Résultats sportifs, sondages, relevés météo : nous sommes entourés de données. Les statistiques servent à recueillir, organiser et résumer ces données pour décrire le monde réel. Les probabilités, elles, mesurent les chances qu'un résultat se produise quand le hasard s'en mêle. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à faire parler les nombres… et à apprivoiser le hasard.

Recueillir et organiser des données

Définition

Faire une enquête, c'est recueillir des informations en posant une question aux personnes d'un groupe, ou en effectuant des mesures. La liste de toutes les réponses (ou de toutes les mesures) obtenues s'appelle une série de données.

Définition

L'effectif d'une réponse est le nombre de fois où cette réponse apparaît dans la série.
L'effectif total est le nombre total de données de la série.

Un tableau d'effectifs regroupe, pour chaque réponse possible, son effectif. La somme de tous les effectifs est égale à l'effectif total : c'est un bon moyen de vérifier qu'on n'a rien oublié.

Exemple

On a demandé aux $24$ élèves d'une classe de 5e quel est leur sport préféré. Voici la série de données brutes, dans l'ordre des réponses :

Football, Natation, Football, Basket, Danse, Football, Judo, Natation, Basket, Football, Natation, Danse, Football, Basket, Natation, Football, Judo, Basket, Natation, Football, Danse, Basket, Natation, Football.

Sous cette forme, la série est difficile à lire. On compte alors l'effectif de chaque sport et on organise le tout dans un tableau d'effectifs :

Sport	Football	Natation	Basket	Danse	Judo	Total
Effectif	$8$	$6$	$5$	$3$	$2$	$24$

Vérification : $8 + 6 + 5 + 3 + 2 = 24$ , on retrouve bien l'effectif total. D'un seul coup d'œil, on voit maintenant que le football est le sport le plus choisi.

Les fréquences

Comparer des effectifs ne suffit pas toujours : $8$ élèves sur $24$ , est-ce beaucoup ? Pour répondre, on ramène l'effectif à l'effectif total : c'est l'idée de fréquence.

Définition

La fréquence d'une réponse est le quotient de son effectif par l'effectif total :

fr \overset{ˊ}{e} quence = \frac{effectif}{effectif total} .

Une fréquence peut s'écrire sous trois formes : en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. Par exemple : $\frac{1}{4} = 0,25 = 25 %$ .

Propriété

Une fréquence est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$ .
La somme de toutes les fréquences d'une série est égale à $1$ , c'est-à-dire $100 %$ .

Méthode

Calculer une fréquence.

On repère l'effectif de la réponse et l'effectif total.
On écrit la fraction $\frac{effectif}{effectif total}$ , et on la simplifie si possible.
Si besoin, on donne l'écriture décimale (exacte ou arrondie), puis le pourcentage en multipliant l'écriture décimale par $100$ .

Exemple

Les fréquences des sports de la classe (effectif total : $24$ ).

a. Football : $\frac{8}{24} = \frac{1}{3} \approx 0,33$ , soit environ $33 %$ .

b. Natation : $\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0,25$ , soit $25 %$ .

c. Basket : $\frac{5}{24} \approx 0,21$ , soit environ $21 %$ .

d. Danse : $\frac{3}{24} = \frac{1}{8} = 0,125$ , soit $12,5 %$ .

e. Judo : $\frac{2}{24} = \frac{1}{12} \approx 0,08$ , soit environ $8 %$ .

Vérification avec les fractions exactes : $\frac{8}{24} + \frac{6}{24} + \frac{5}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{24}{24} = 1$ . La somme des fréquences vaut bien $1$ .

Attention ! Si tu additionnes des pourcentages arrondis, tu peux trouver un total légèrement différent de $100 %$ : c'est normal, cela vient des arrondis. La vérification exacte se fait toujours avec les fractions.

Représenter des données

Un tableau contient toute l'information, mais un dessin la rend visible d'un seul coup d'œil. Voici trois représentations à connaître.

Le diagramme en barres

Méthode

Construire un diagramme en barres.

On trace un axe horizontal et on y écrit les catégories (une par barre).
On trace un axe vertical gradué régulièrement en effectifs.
Pour chaque catégorie, on dessine une barre dont la hauteur est égale à l'effectif. Toutes les barres ont la même largeur.

Diagramme en barres des sports préférés des 24 élèves de la classe

Sur ce diagramme, la barre la plus haute est celle du football : c'est le sport préféré de la classe. On lit aussi directement que la natation ( $6$ élèves) devance le basket ( $5$ élèves).

Le diagramme circulaire

Propriété

Dans un diagramme circulaire, chaque catégorie est représentée par un secteur du disque. La mesure de l'angle de chaque secteur est proportionnelle à l'effectif de la catégorie. Le disque entier ( $360^{\circ}$ ) représente l'effectif total.

Méthode

Construire un diagramme circulaire.

On calcule l'angle qui correspond à une donnée : on partage $360^{\circ}$ entre toutes les données, c'est-à-dire qu'on calcule $360^{\circ} \div effectif total$ .
On multiplie cet angle par l'effectif de chaque catégorie.
On vérifie que la somme des angles vaut $360^{\circ}$ .
On construit les secteurs au rapporteur, puis on ajoute une légende ou des étiquettes.

Exemple

Le diagramme circulaire des sports de la classe. L'effectif total est $24$ , donc chaque élève correspond à un angle de $360^{\circ} \div 24 = 15^{\circ}$ . Il suffit ensuite de multiplier :

Sport	Football	Natation	Basket	Danse	Judo	Total
Effectif	$8$	$6$	$5$	$3$	$2$	$24$
Angle	$120^{\circ}$	$90^{\circ}$	$75^{\circ}$	$45^{\circ}$	$30^{\circ}$	$360^{\circ}$

Par exemple, pour le football : $8 \times 15^{\circ} = 120^{\circ}$ . Vérification : $120 + 90 + 75 + 45 + 30 = 360$ , le disque est bien complet.

Le graphique cartésien

Définition

Un graphique cartésien représente une grandeur qui évolue, souvent au fil du temps. On place le temps sur l'axe horizontal et la grandeur mesurée sur l'axe vertical ; chaque mesure donne un point, et on relie les points pour visualiser l'évolution.

Graphique cartésien de la température relevée au fil d'une journée

Exemple

Lecture du graphique. On a relevé la température toutes les deux heures. À $8$ h, il faisait $12^{\circ}$ C ; la température monte jusqu'à $22^{\circ}$ C à $14$ h, le maximum de la journée, puis elle redescend : $17^{\circ}$ C à $18$ h et $14^{\circ}$ C à $20$ h. Le graphique montre d'un seul regard la montée du matin et la baisse du soir.

Propriété

Choisir la représentation adaptée. Chaque représentation a sa spécialité :

le diagramme en barres est idéal pour comparer des catégories entre elles ;
le diagramme circulaire montre la part de chaque catégorie dans le total ;
le graphique cartésien sert à suivre l'évolution d'une grandeur, souvent au cours du temps.

Avant de représenter des données, demande-toi ce que tu veux mettre en avant !

La moyenne simple

Définition

La moyenne d'une série de données numériques est le quotient de la somme de toutes les valeurs par le nombre de valeurs :

moyenne = \frac{somme des valeurs}{nombre de valeurs} .

Méthode

Calculer une moyenne.

On additionne toutes les valeurs de la série.
On compte le nombre de valeurs.
On divise la somme par ce nombre.

Exemple

Les notes de Lina. Ce trimestre, Lina a obtenu quatre notes en mathématiques : $8$ ; $11$ ; $14$ ; $15$ .

La somme des valeurs est $8 + 11 + 14 + 15 = 48$ , et il y a $4$ valeurs. La moyenne de Lina est donc

48 \div 4 = 12.

Interprétation : si Lina avait obtenu exactement $12$ à chacun des quatre contrôles, son total de points serait le même, car $4 \times 12 = 48$ . La moyenne « lisse » la série : elle remplace toutes les valeurs par une seule valeur équitable.

Exemple

La température moyenne de la journée. Reprenons les sept relevés du graphique cartésien : $12$ ; $15$ ; $19$ ; $22$ ; $21$ ; $17$ ; $14$ (en degrés Celsius).

La somme vaut $12 + 15 + 19 + 22 + 21 + 17 + 14 = 120$ . La moyenne est donc $120 \div 7 \approx 17,1$ , soit environ $17,1^{\circ}$ C sur la journée.

Remarque. La moyenne n'est pas forcément une valeur de la série : Lina a une moyenne de $12$ alors qu'aucune de ses notes ne vaut $12$ . Elle peut aussi être un nombre décimal même quand toutes les valeurs sont entières, comme pour les températures.

Les probabilités

Expérience aléatoire, issues, évènement

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir lequel va se produire. Chaque résultat possible s'appelle une issue.

Exemple

Lancer un dé à six faces : il y a six issues possibles, les nombres $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .
Lancer une pièce de monnaie : il y a deux issues possibles, « pile » et « face ».
Tirer une boule au hasard dans une urne : chaque boule de l'urne est une issue possible.

Définition

Un évènement est une condition portant sur le résultat de l'expérience : une fois l'expérience terminée, l'évènement est soit réalisé, soit non réalisé. Un évènement peut être réalisé par une ou plusieurs issues.

Un évènement qui ne peut jamais se réaliser est dit impossible.
Un évènement qui se réalise à tous les coups est dit certain.

Exemple

On lance un dé à six faces.

L'évènement « obtenir un nombre pair » est réalisé par trois issues : $2$ , $4$ et $6$ .
L'évènement « obtenir un $7$ » est impossible : aucune face ne porte le nombre $7$ .
L'évènement « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain : il est réalisé quelle que soit l'issue.

L'échelle des probabilités

Définition

La probabilité d'un évènement est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure ses chances de se réaliser.

Un évènement impossible a une probabilité égale à $0$ .
Un évènement certain a une probabilité égale à $1$ .
Plus la probabilité est proche de $1$ , plus l'évènement a de chances de se réaliser.

Comme les fréquences, une probabilité peut s'écrire en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. Dire qu'un évènement a « une chance sur quatre » de se réaliser, c'est dire que sa probabilité est $\frac{1}{4}$ , c'est-à-dire $0,25$ ou encore $25 %$ .

Exemple

Plaçons quelques évènements sur l'échelle des probabilités, imaginée comme une règle graduée de $0$ à $1$ .

Obtenir un $7$ en lançant un dé : probabilité $0$ (impossible).
Obtenir dix fois de suite un $1$ en lançant un dé équilibré : probabilité très proche de $0$ (extrêmement improbable, mais pas impossible).
Obtenir un $3$ avec un dé équilibré : probabilité $\frac{1}{6}$ , un peu moins de $17 %$ .
Tirer une boule rouge dans une urne qui contient une boule rouge et trois boules bleues : probabilité $\frac{1}{4}$ , une chance sur quatre.
Obtenir « pile » avec une pièce équilibrée : probabilité $\frac{1}{2}$ , une chance sur deux, exactement au milieu de l'échelle.
Ne pas obtenir la bonne combinaison au loto : probabilité très proche de $1$ (presque certain, hélas pour les joueurs !).
Obtenir un nombre entre $1$ et $6$ en lançant un dé : probabilité $1$ (certain).

L'équiprobabilité

Définition

Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité. C'est un argument de symétrie qui le garantit : un dé équilibré a six faces identiques, une pièce équilibrée a deux côtés qui jouent le même rôle, des boules indiscernables au toucher ont toutes la même chance d'être tirées.

Propriété

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement se calcule en divisant le nombre d'issues qui réalisent l'évènement (les issues favorables) par le nombre total d'issues :

probabilit \overset{ˊ}{e} = \frac{nombre d’issues favorables}{nombre total d’issues} .

Méthode

Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.

On vérifie l'équiprobabilité (dé équilibré, pièce équilibrée, boules indiscernables au toucher…).
On compte le nombre total d'issues de l'expérience.
On compte le nombre d'issues qui réalisent l'évènement.
On écrit le quotient, on le simplifie, et on peut le convertir en écriture décimale ou en pourcentage.

Exemple

Avec un dé équilibré. Le dé est équilibré : les six issues ont la même probabilité.

La probabilité d'obtenir un $6$ est $\frac{1}{6}$ : une seule issue favorable sur six.
La probabilité d'obtenir un nombre pair est $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ : trois issues favorables ( $2$ , $4$ et $6$ ) sur six. Autrement dit, une chance sur deux.

Exemple

Avec une urne. Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $3$ rouges, $5$ bleues et $2$ vertes. On tire une boule au hasard.

La probabilité de tirer une boule rouge est $\frac{3}{10} = 0,3$ , soit $30 %$ .
La probabilité de tirer une boule bleue est $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ , soit une chance sur deux.
La probabilité de tirer une boule verte est $\frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2$ , soit $20 %$ .

Fréquences et probabilité : place à l'expérience !

Que se passe-t-il si on lance vraiment un dé, un grand nombre de fois ? On peut enregistrer les résultats observés dans un tableau d'effectifs et de fréquences, exactement comme dans une enquête statistique.

Exemple

Une classe a lancé un dé équilibré $600$ fois et a noté la face obtenue à chaque lancer. Voici le tableau des résultats (fréquences arrondies au millième) :

Face	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Effectif	$105$	$98$	$92$	$110$	$99$	$96$
Fréquence	$0,175$	$0,163$	$0,153$	$0,183$	$0,165$	$0,160$

Toutes les fréquences observées sont proches de $\frac{1}{6} \approx 0,167$ , la probabilité de chaque face, sans lui être exactement égales.

Remarque. Quand on répète réellement une expérience aléatoire un grand nombre de fois, les fréquences observées se rapprochent de la probabilité, mais le hasard reste le hasard : une autre classe qui lancerait le même dé $600$ fois obtiendrait un tableau légèrement différent. C'est justement ce qui rend l'expérience intéressante : fais-la toi-même, tu ne trouveras jamais exactement les mêmes nombres que ton voisin !

Pour la culture : Florence Nightingale

Florence Nightingale (1820-1910) était une infirmière et statisticienne britannique. Envoyée en 1854 dans les hôpitaux militaires de la guerre de Crimée, elle fait un constat glaçant : la plupart des soldats ne meurent pas de leurs blessures, mais de maladies dues au manque d'hygiène. Pour convaincre la reine Victoria et les autorités, elle ne rédige pas un long rapport indigeste : elle invente des diagrammes spectaculaires, ses fameux « diagrammes en rose », ancêtres de nos diagrammes circulaires, où chaque secteur colorié montre les morts évitables mois après mois. Le message saute aux yeux, les réformes d'hygiène sont adoptées et des milliers de vies sont sauvées. En 1858, elle devient la première femme admise à la Royal Statistical Society. Son histoire illustre une idée que tu peux retenir de ce chapitre : un bon diagramme, choisi et construit avec soin, peut convaincre bien mieux qu'un long discours.

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