5ᵉ · Chapitre 14 · Proportionnalité, fonctions

Proportionnalité et fonctions (introduction)

Coefficient de proportionnalité, pourcentages, « en fonction de », tableaux de valeurs et graphiques.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Coefficient de proportionnalité
Pourcentages
« en fonction de »
Tableaux de valeurs et graphiques

Imagine que tu prépares un gâteau pour $8$ personnes alors que la recette est prévue pour $4$ : sans réfléchir, tu doubles toutes les quantités. Au marché, si un kilo de pommes coûte $2,50$ €, tu sais que $3$ kilos coûteront trois fois plus. Et sur une carte routière, $1 cm$ représente toujours la même distance réelle, que tu mesures un petit trajet ou un grand. Dans toutes ces situations, deux grandeurs sont liées par la même règle du jeu : quand l'une double, l'autre double ; quand l'une triple, l'autre triple.

Cette règle du jeu porte un nom : la proportionnalité. C'est sans doute la notion de mathématiques que tu utiliseras le plus souvent dans la vie de tous les jours, pour faire les courses, cuisiner, comparer des prix ou comprendre un pourcentage de remise. Mais attention : toutes les situations ne sont pas proportionnelles, et une partie du travail de ce chapitre consiste justement à apprendre à faire le tri.

Dans un second temps, nous élargirons le point de vue : nous apprendrons à dire qu'une grandeur s'exprime « **en fonction d'**une autre », à traduire cette dépendance par une formule, un tableau de valeurs ou un graphique, et à reconnaître d'un seul coup d'œil, sur un graphique, si une situation est proportionnelle ou non.

Reconnaître une situation de proportionnalité

Définition

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre toujours par le même nombre.

Toute la définition tient dans les mots « toujours par le même nombre ». Si le nombre change d'une valeur à l'autre, il n'y a pas proportionnalité.

Exemple

Une situation proportionnelle. Au marché, les pommes coûtent $2,50$ € le kilo. Pour connaître le prix, on multiplie toujours la masse par $2,5$ :

Masse (en kg)	$1$	$2$	$3$	$5$
Prix (en €)	$2,50$	$5$	$7,50$	$12,50$

Le prix est proportionnel à la masse : on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par $2,5$ .

Exemple

Deux situations qui ne sont PAS proportionnelles.

L'âge et la taille. À $2$ ans, Lina mesurait $85 cm$ . Si la taille était proportionnelle à l'âge, elle mesurerait $170 cm$ à $4$ ans et $4,25 m$ à $10$ ans ! On grandit, mais pas proportionnellement à son âge.
Un forfait avec des frais fixes. Un club de sport demande $20$ € d'inscription puis $5$ € par séance. Pour $1$ séance on paie $25$ € ; pour $2$ séances on paie $30$ €, et non $50$ €. Le nombre de séances double, mais le prix ne double pas : les frais fixes cassent la proportionnalité.

Quand les valeurs sont rangées dans un tableau, il existe un test très efficace.

Propriété

Un tableau à deux lignes est un tableau de proportionnalité lorsque tous les quotients d'une valeur de la deuxième ligne par la valeur correspondante de la première ligne sont égaux.

Méthode

Vérifier si un tableau est un tableau de proportionnalité.

Pour chaque colonne, je calcule le quotient : valeur du bas divisée par valeur du haut.
Si tous les quotients sont égaux, c'est un tableau de proportionnalité.
Si un seul quotient est différent des autres, ce n'en est pas un : inutile de continuer les calculs.

Exemple

Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?

Durée (en h)	$2$	$3$	$5$
Distance (en km)	$30$	$45$	$80$

Je calcule les quotients : $30 \div 2 = 15$ , puis $45 \div 3 = 15$ , mais $80 \div 5 = 16$ . Les quotients ne sont pas tous égaux : ce n'est pas un tableau de proportionnalité. Le cycliste a sans doute accéléré sur la fin !

Le coefficient de proportionnalité

Dans une situation de proportionnalité, le fameux nombre « toujours le même » mérite un nom.

Définition

Dans une situation de proportionnalité, le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir celles de la seconde s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient est exactement le quotient commun calculé au paragraphe précédent : c'est le nombre qui fait passer de la première ligne à la deuxième.

Masse (en kg)	$1$	$2$	$3$	$5$
Prix (en €)	$2,50$	$5$	$7,50$	$12,50$

Ici, le coefficient de proportionnalité est $2,5$ : chaque prix s'obtient en multipliant la masse par $2,5$ .

Le coefficient n'est pas un nombre abstrait : il a presque toujours une signification concrète qu'il faut savoir énoncer.

Exemple

Dans le tableau des pommes, le coefficient $2,5$ est le prix d'un kilo : $2,50$ € par kilogramme.
Sur une carte, si $1 cm$ sur le papier représente $250 m$ dans la réalité, alors la distance réelle en mètres est proportionnelle à la distance sur la carte en centimètres, et le coefficient de proportionnalité est $250$ : c'est l'échelle de la carte.

Méthode

Compléter un tableau de proportionnalité avec le coefficient.

Je cherche une colonne où les deux valeurs sont connues.
Je calcule le coefficient : valeur du bas divisée par valeur du haut.
Pour compléter la deuxième ligne, je multiplie par le coefficient.
Pour compléter la première ligne, je divise par le coefficient.

Exemple

Complétons ce tableau de proportionnalité :

Nombre de cahiers	$4$	$7$	$?$
Prix (en €)	$9$	$?$	$22,50$

Le coefficient vaut $9 \div 4 = 2,25$ (un cahier coûte $2,25$ €). Alors $7$ cahiers coûtent $7 \times 2,25 = 15,75$ , soit $15,75$ €. Et avec $22,50$ €, on achète $22,5 \div 2,25 = 10$ cahiers.

Les propriétés de linéarité

Le coefficient n'est pas toujours la méthode la plus rapide. Les situations de proportionnalité possèdent deux propriétés très naturelles, que tu utilises déjà sans le savoir quand tu adaptes une recette.

Propriété

Dans une situation de proportionnalité :

on peut additionner : si on connaît les valeurs correspondant à deux quantités, la somme des quantités correspond à la somme des valeurs ;
on peut multiplier (ou diviser) par un nombre : si une quantité est multipliée par $2$ , par $3$ , par $10$ … la grandeur correspondante est multipliée par le même nombre.

Ces deux propriétés s'appellent les propriétés de linéarité.

Exemple

Une recette de riz au lait pour $4$ personnes demande $120 g$ de riz. La quantité de riz est proportionnelle au nombre de personnes.

Pour $2$ personnes ( $4$ divisé par $2$ ) : $120 \div 2 = 60$ , soit $60 g$ de riz.
Pour $8$ personnes ( $4$ multiplié par $2$ ) : $120 \times 2 = 240$ , soit $240 g$ de riz.
Pour $6$ personnes, aucun coefficient évident… mais $6 = 4 + 2$ ! J'additionne donc les quantités pour $4$ et pour $2$ personnes : $120 + 60 = 180$ , soit $180 g$ de riz.

Une autre stratégie consiste à se ramener d'abord à une unité : c'est le retour à l'unité.

Méthode

Le retour à l'unité.

Je calcule la valeur correspondant à une unité (1 personne, 1 kilo, 1 objet…) en divisant.
Je multiplie ensuite cette valeur unitaire par la quantité demandée.

Exemple

$5$ croissants coûtent $4$ €. Combien coûtent $7$ croissants ?

Un croissant coûte $4 \div 5 = 0,80$ , soit $0,80$ €.
Donc $7$ croissants coûtent $7 \times 0,80 = 5,60$ , soit $5,60$ €.

Méthode

Choisir la procédure la plus simple. Devant une situation de proportionnalité, je me demande dans l'ordre :

Puis-je passer d'une quantité connue à celle cherchée en multipliant ou divisant par un nombre simple ( $2$ , $3$ , $10$ …) ?
Puis-je obtenir la quantité cherchée en additionnant deux quantités connues ?
Sinon, je passe par le retour à l'unité ou par le coefficient de proportionnalité.

Il n'y a jamais une seule bonne méthode : toutes donnent le même résultat, choisis celle qui rend le calcul le plus simple.

Les pourcentages

Tu as déjà rencontré les pourcentages en 6e : « $50 %$ des élèves », « $20 %$ de remise »… Un pourcentage est une proportion exprimée sur $100$ : dire « $30 %$ », c'est dire « $30$ pour $100$ », autrement dit la fraction $\frac{30}{100}$ . Appliquer un pourcentage est donc une situation de proportionnalité.

Propriété

Prendre $p %$ d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par $\frac{p}{100}$ .

C'est exactement le calcul « fraction d'une quantité » que tu connais déjà. Certains cas se font de tête :

$50 % = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ : prendre $50 %$ , c'est prendre la moitié ;
$25 % = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ : prendre $25 %$ , c'est prendre le quart ;
$10 % = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ : prendre $10 %$ , c'est prendre le dixième ;
$100 %$ , c'est la quantité tout entière.

Exemple

Un pot de $250 g$ de fromage blanc contient $30 %$ de fruits. Quelle masse de fruits contient-il ?

\frac{30}{100} \times 250 = 0,3 \times 250 = 75

Le pot contient $75 g$ de fruits.

Inversement, on sait calculer le pourcentage que représente une partie d'un tout.

Méthode

Calculer un pourcentage à partir d'effectifs.

J'écris la fraction : $\frac{effectif de la partie}{effectif total}$ .
Je cherche la fraction égale dont le dénominateur est $100$ (ou je calcule le quotient).
Le numérateur obtenu est le pourcentage.

Exemple

Élection des délégués. Dans une classe de $25$ élèves, Maëlle a obtenu $15$ voix. Quel pourcentage des voix a-t-elle recueilli ?

La proportion de voix est $\frac{15}{25}$ . Pour passer de $25$ à $100$ , je multiplie par $4$ :

\frac{15}{25} = \frac{15 \times 4}{25 \times 4} = \frac{60}{100}

Maëlle a obtenu $60 %$ des voix.

Terminons par le grand classique des soldes : la remise. En 5e, une remise se calcule toujours en deux temps : d'abord le montant de la remise, puis la soustraction.

Exemple

Un jean coûte $40$ €. Le magasin affiche « $- 30 %$ ». Quel est le nouveau prix ?

Montant de la remise : $\frac{30}{100} \times 40 = 12$ , soit $12$ € de réduction.
Nouveau prix : $40 - 12 = 28$ , soit $28$ €.

Une grandeur « en fonction de » une autre

Reprenons de la hauteur. Dans toutes les situations vues jusqu'ici, une grandeur dépend d'une autre : le prix dépend de la masse, la quantité de riz dépend du nombre de personnes. En mathématiques, on dit que le prix s'exprime en fonction de la masse.

Définition

Dire qu'une grandeur s'exprime **en fonction d'**une autre signifie que sa valeur dépend de la valeur de l'autre : dès qu'on connaît la seconde, on peut calculer la première.

Cette dépendance peut souvent se traduire par une formule.

Exemple

Le périmètre d'un carré s'exprime en fonction de son côté $c$ : $P = 4 \times c$ .
Une baguette coûte $1,20$ €. Le prix de $n$ baguettes s'exprime en fonction de $n$ : $prix = 1,20 \times n$ .
Une salle de jeux demande $3$ € d'entrée puis $2$ € par heure. Le prix pour $h$ heures s'exprime en fonction de $h$ : $prix = 3 + 2 \times h$ .

Une formule, c'est bien ; un tableau de valeurs, c'est souvent plus parlant. Tu sais déjà substituer un nombre dans une expression littérale : c'est exactement ce qu'il faut faire ici, plusieurs fois de suite.

Méthode

Produire un tableau de valeurs à partir d'une formule.

Je choisis quelques valeurs pour la grandeur de départ (souvent données par l'énoncé).
Pour chacune, je remplace la lettre par la valeur dans la formule et je calcule.
Je range les résultats dans un tableau : première ligne pour la grandeur de départ, deuxième ligne pour la grandeur calculée.

Exemple

Dressons le tableau de valeurs de la salle de jeux ( $prix = 3 + 2 \times h$ ) pour $1$ , $2$ , $3$ et $4$ heures. Par exemple pour $h = 3$ : $3 + 2 \times 3 = 3 + 6 = 9$ .

Durée $h$ (en h)	$1$	$2$	$3$	$4$
Prix (en €)	$5$	$7$	$9$	$11$

Attention, toutes les dépendances ne se valent pas ! Le prix des baguettes est proportionnel à leur nombre (coefficient $1,2$ ). Mais le prix de la salle de jeux n'est pas proportionnel à la durée : $5 \div 1 = 5$ alors que $7 \div 2 = 3,5$ . Une grandeur peut donc dépendre d'une autre sans lui être proportionnelle : « en fonction de » est une idée plus large que la proportionnalité.

Graphiques : représenter et reconnaître

Un tableau de valeurs, c'est une liste de couples de nombres… et tu sais depuis le chapitre sur le repérage que chaque couple de nombres peut devenir un point dans un repère orthogonal. C'est le troisième langage pour décrire une dépendance : après la formule et le tableau, voici le graphique.

Méthode

Placer les points d'un tableau de valeurs dans un repère.

Je trace un repère orthogonal : la grandeur de départ en abscisse (axe horizontal), la grandeur qui en dépend en ordonnée (axe vertical).
Je choisis des graduations adaptées aux valeurs du tableau.
Chaque colonne du tableau donne un point : première ligne pour l'abscisse, deuxième ligne pour l'ordonnée.

Exemple

Au marché, les cerises coûtent $4$ € le kilo. Le tableau de valeurs (proportionnel, coefficient $4$ ) est :

Masse (en kg)	$1$	$2$	$3$	$4$
Prix (en €)	$4$	$8$	$12$	$16$

On place les points de coordonnées $(1; 4)$ , $(2; 8)$ , $(3; 12)$ et $(4; 16)$ :

Regarde bien le dessin : les points sont alignés, et la droite qui les porte passe par l'origine du repère. Ce n'est pas un hasard.

Un graphique se lit aussi dans l'autre sens : sur le graphique des cerises, pour connaître le prix de $2,5 kg$ , on part de $2,5$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'aux points alignés, puis on lit la valeur sur l'axe vertical : $10$ €. Lire et interpréter un graphique, c'est faire ces allers-retours entre les axes, en n'oubliant jamais de regarder ce que représente chaque axe et ses unités.

Voici maintenant la propriété-phare du chapitre, celle qui permet de reconnaître la proportionnalité d'un seul coup d'œil.

Propriété

Une situation est une situation de proportionnalité exactement lorsque, sur le graphique, les points sont alignés avec l'origine du repère.

Autrement dit, il faut vérifier deux conditions à la fois : les points sont alignés, et la droite qui les porte passe par l'origine.

Deux conditions, donc deux pièges possibles. Les voici, un par un.

Exemple

Piège n°1 : des points alignés… mais pas avec l'origine. Une trottinette électrique en libre-service coûte $1$ € de déblocage puis $0,50$ € par minute.

Les points sont parfaitement alignés, mais la droite ne passe pas par l'origine (à $0$ minute, on paie déjà $1$ €). Et de fait, ce n'est pas proportionnel : $2$ minutes coûtent $2$ €, mais $4$ minutes coûtent $3$ € et non $4$ €. La durée double, le prix ne double pas.

Exemple

Piège n°2 : des points qui passent par l'origine… mais non alignés. Observons l'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté ( $aire = c \times c$ ).

Le graphique passe bien par l'origine (un carré de côté nul a une aire nulle), mais les points ne sont pas alignés : quand le côté double, de $1$ à $2$ , l'aire passe de $1$ à $4$ , elle est multipliée par $4$ et non par $2$ . L'aire d'un carré n'est pas proportionnelle à son côté.

Méthode

Reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité.

Les points sont-ils alignés ? Si non, ce n'est pas proportionnel.
La droite qui les porte passe-t-elle par l'origine du repère ? Si non, ce n'est pas proportionnel.
Si les deux réponses sont « oui », la situation est proportionnelle. Le prix d'une unité (le coefficient de proportionnalité) se lit alors sur le graphique : c'est l'ordonnée du point d'abscisse $1$ .

Te voilà équipé de trois langages pour parler d'une même dépendance entre deux grandeurs : la formule, le tableau de valeurs et le graphique. Savoir passer de l'un à l'autre, et reconnaître au passage si la situation est proportionnelle ou non, voilà tout l'enjeu de ce chapitre… et une compétence que tu réutiliseras chaque année jusqu'au lycée.

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