Proportionnalité et fonctions (introduction)

Imagine que tu prépares un gâteau pour $8$ personnes alors que la recette est prévue pour $4$ : sans réfléchir, tu doubles toutes les quantités. Au marché, si un kilo de pommes coûte $\mathrm{2,50}$ €, tu sais que $3$ kilos coûteront trois fois plus. Et sur une carte routière, $1\text{ cm}$ représente toujours la même distance réelle, que tu mesures un petit trajet ou un grand. Dans toutes ces situations, deux grandeurs sont liées par la même règle du jeu : quand l'une double, l'autre double ; quand l'une triple, l'autre triple.

Cette règle du jeu porte un nom : la proportionnalité. C'est sans doute la notion de mathématiques que tu utiliseras le plus souvent dans la vie de tous les jours, pour faire les courses, cuisiner, comparer des prix ou comprendre un pourcentage de remise. Mais attention : toutes les situations ne sont pas proportionnelles, et une partie du travail de ce chapitre consiste justement à apprendre à faire le tri.

Dans un second temps, nous élargirons le point de vue : nous apprendrons à dire qu'une grandeur s'exprime « **en fonction d'**une autre », à traduire cette dépendance par une formule, un tableau de valeurs ou un graphique, et à reconnaître d'un seul coup d'œil, sur un graphique, si une situation est proportionnelle ou non.

Reconnaître une situation de proportionnalité

Toute la définition tient dans les mots « toujours par le même nombre ». Si le nombre change d'une valeur à l'autre, il n'y a pas proportionnalité.

Quand les valeurs sont rangées dans un tableau, il existe un test très efficace.

Le coefficient de proportionnalité

Dans une situation de proportionnalité, le fameux nombre « toujours le même » mérite un nom.

Dans un tableau de proportionnalité, le coefficient est exactement le quotient commun calculé au paragraphe précédent : c'est le nombre qui fait passer de la première ligne à la deuxième.

Ici, le coefficient de proportionnalité est $\mathrm{2,5}$ : chaque prix s'obtient en multipliant la masse par $\mathrm{2,5}$.

Le coefficient n'est pas un nombre abstrait : il a presque toujours une signification concrète qu'il faut savoir énoncer.

Les propriétés de linéarité

Le coefficient n'est pas toujours la méthode la plus rapide. Les situations de proportionnalité possèdent deux propriétés très naturelles, que tu utilises déjà sans le savoir quand tu adaptes une recette.

Une autre stratégie consiste à se ramener d'abord à une unité : c'est le retour à l'unité.

Les pourcentages

Tu as déjà rencontré les pourcentages en 6e : « $50\mathrm{\%}$ des élèves », « $20\mathrm{\%}$ de remise »… Un pourcentage est une proportion exprimée sur $100$ : dire « $30\mathrm{\%}$ », c'est dire « $30$ pour $100$ », autrement dit la fraction ${\displaystyle \frac{30}{100}}$. Appliquer un pourcentage est donc une situation de proportionnalité.

C'est exactement le calcul « fraction d'une quantité » que tu connais déjà. Certains cas se font de tête :

• $50\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{50}{100}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : prendre $50\mathrm{\%}$, c'est prendre la moitié ;
• $25\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{25}{100}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ : prendre $25\mathrm{\%}$, c'est prendre le quart ;
• $10\mathrm{\%}={\displaystyle \frac{10}{100}}={\displaystyle \frac{1}{10}}$ : prendre $10\mathrm{\%}$, c'est prendre le dixième ;
• $100\mathrm{\%}$, c'est la quantité tout entière.

Inversement, on sait calculer le pourcentage que représente une partie d'un tout.

Terminons par le grand classique des soldes : la remise. En 5e, une remise se calcule toujours en deux temps : d'abord le montant de la remise, puis la soustraction.

Une grandeur « en fonction de » une autre

Reprenons de la hauteur. Dans toutes les situations vues jusqu'ici, une grandeur dépend d'une autre : le prix dépend de la masse, la quantité de riz dépend du nombre de personnes. En mathématiques, on dit que le prix s'exprime en fonction de la masse.

Une formule, c'est bien ; un tableau de valeurs, c'est souvent plus parlant. Tu sais déjà substituer un nombre dans une expression littérale : c'est exactement ce qu'il faut faire ici, plusieurs fois de suite.

Attention, toutes les dépendances ne se valent pas ! Le prix des baguettes est proportionnel à leur nombre (coefficient $\mathrm{1,2}$). Mais le prix de la salle de jeux n'est pas proportionnel à la durée : $5÷1=5$ alors que $7÷2=\mathrm{3,5}$. Une grandeur peut donc dépendre d'une autre sans lui être proportionnelle : « en fonction de » est une idée plus large que la proportionnalité.

Graphiques : représenter et reconnaître

Un tableau de valeurs, c'est une liste de couples de nombres… et tu sais depuis le chapitre sur le repérage que chaque couple de nombres peut devenir un point dans un repère orthogonal. C'est le troisième langage pour décrire une dépendance : après la formule et le tableau, voici le graphique.

Un graphique se lit aussi dans l'autre sens : sur le graphique des cerises, pour connaître le prix de $\mathrm{2,5}\text{ kg}$, on part de $\mathrm{2,5}$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'aux points alignés, puis on lit la valeur sur l'axe vertical : $10$ €. Lire et interpréter un graphique, c'est faire ces allers-retours entre les axes, en n'oubliant jamais de regarder ce que représente chaque axe et ses unités.

Voici maintenant la propriété-phare du chapitre, celle qui permet de reconnaître la proportionnalité d'un seul coup d'œil.

Deux conditions, donc deux pièges possibles. Les voici, un par un.

Te voilà équipé de trois langages pour parler d'une même dépendance entre deux grandeurs : la formule, le tableau de valeurs et le graphique. Savoir passer de l'un à l'autre, et reconnaître au passage si la situation est proportionnelle ou non, voilà tout l'enjeu de ce chapitre… et une compétence que tu réutiliseras chaque année jusqu'au lycée.