5ᵉ · Chapitre 12 · Espace et géométrie

Devoir surveillé — Parallélogrammes

Sujet type, 55 min, barème sur 20 points. À faire en conditions réelles avant de regarder le corrigé.

Sujet type DS — 55 min, barème sur 20 points. Faites-le en conditions réelles avant de regarder le corrigé (PDF).

Exercice 1 (4 points) — Reconnaître et nommer

On considère les trois quadrilatères numérotés 1, 2 et 3, tracés sur le quadrillage ci-dessous.

Trois quadrilatères numérotés 1, 2 et 3 tracés sur un quadrillage : le n°1 est un parallélogramme penché, le n°2 est un trapèze avec une seule paire de côtés parallèles, le n°3 est un losange

(2 pts) Pour chacun des trois quadrilatères, dire s'il s'agit d'un parallélogramme. Justifier chaque réponse à l'aide du quadrillage.
(1 pt) Le quadrilatère n°3 porte un nom plus précis que « parallélogramme » : lequel ? Justifier.
(1 pt) Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

« Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est forcément un parallélogramme. »

Exercice 2 (5 points) — Calculs dans un parallélogramme

On considère le parallélogramme $A B C D$ ci-dessous. Ses diagonales se coupent au point $O$ . On donne : $A B = 8$ cm, $B C = 5$ cm, $A C = 9,4$ cm et $\hat{A B C} = 110^{\circ}$ .

Parallélogramme ABCD avec A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite et D en haut à gauche ; les diagonales sont tracées et se coupent au centre O ; l'angle ABC de 110 degrés est marqué

Répondre aux questions suivantes sans effectuer aucune mesure sur la figure, en citant à chaque fois la propriété du cours utilisée.

(1 pt) Donner les longueurs $C D$ et $A D$ . Justifier.
(1 pt) Calculer le périmètre du parallélogramme $A B C D$ .
(1,5 pt) Donner la mesure des angles $\hat{A D C}$ , $\hat{D A B}$ et $\hat{B C D}$ . Justifier.
(1,5 pt) Que représente le point $O$ pour la diagonale $[A C]$ ? En déduire la longueur $O A$ .

Exercice 3 (5 points) — Démonstration

On considère le quadrilatère $R S T U$ ci-dessous. Ses diagonales $[R T]$ et $[S U]$ se coupent au point $O$ . Les codages de la figure indiquent que $O R = O T$ et que $O S = O U$ . On donne de plus : $R T = S U = 9$ cm.

Quadrilatère RSTU dont les diagonales RT et SU se coupent en O ; les segments OR et OT portent un codage à un trait, les segments OS et OU portent un codage à deux traits

(2,5 pts) Démontrer que $R S T U$ est un parallélogramme. Rédiger la démonstration complète : données, propriété du cours, conclusion.
(1,5 pt) Démontrer que $R S T U$ est un rectangle.
(1 pt) En déduire, sans mesurer, les longueurs $O R$ et $O S$ .

Exercice 4 (4 points) — L'aire du jardin

Un jardin a la forme d'un parallélogramme. Sa base mesure $12$ m, son côté incliné mesure $9$ m et la hauteur relative à la base mesure $7$ m, comme l'indique la figure ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle.

Parallélogramme représentant un jardin : la base est cotée 12 m, le côté incliné est coté 9 m, la hauteur en pointillés est cotée 7 m avec un angle droit marqué au pied de la hauteur

(2 pts) Calculer l'aire du jardin.
(1 pt) Un élève propose le calcul $12 \times 9$ . Expliquer pourquoi ce calcul est faux.
(1 pt) On sème du gazon sur tout le jardin, au prix de $4,50 €$ le mètre carré. Calculer la dépense.

Exercice 5 (2 points) — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse en citant une propriété du cours.

(1 pt) « Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. »
(1 pt) « Si un quadrilatère a ses quatre angles droits, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. »

Le sujet du DS(PDF, 52 Ko)Le corrigé du DS(PDF, 68 Ko)

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