Devoir surveillé — Parallélogrammes

On considère les trois quadrilatères numérotés 1, 2 et 3, tracés sur le quadrillage ci-dessous.

1. (2 pts) Pour chacun des trois quadrilatères, dire s'il s'agit d'un parallélogramme. Justifier chaque réponse à l'aide du quadrillage.

2. (1 pt) Le quadrilatère n°3 porte un nom plus précis que « parallélogramme » : lequel ? Justifier.

3. (1 pt) Vrai ou faux ? Justifier la réponse.

   « Un quadrilatère qui a deux côtés parallèles est forcément un parallélogramme. »

On considère le parallélogramme $ABCD$ ci-dessous. Ses diagonales se coupent au point $O$. On donne : $AB=8$ cm, $BC=5$ cm, $AC=\mathrm{9,4}$ cm et $\widehat{ABC}={110}^{\circ }$.

Répondre aux questions suivantes sans effectuer aucune mesure sur la figure, en citant à chaque fois la propriété du cours utilisée.

1. (1 pt) Donner les longueurs $CD$ et $AD$. Justifier.
2. (1 pt) Calculer le périmètre du parallélogramme $ABCD$.
3. (1,5 pt) Donner la mesure des angles $\widehat{ADC}$, $\widehat{DAB}$ et $\widehat{BCD}$. Justifier.
4. (1,5 pt) Que représente le point $O$ pour la diagonale $[AC]$ ? En déduire la longueur $OA$.

On considère le quadrilatère $RSTU$ ci-dessous. Ses diagonales $[RT]$ et $[SU]$ se coupent au point $O$. Les codages de la figure indiquent que $OR=OT$ et que $OS=OU$. On donne de plus : $RT=SU=9$ cm.

1. (2,5 pts) Démontrer que $RSTU$ est un parallélogramme. Rédiger la démonstration complète : données, propriété du cours, conclusion.
2. (1,5 pt) Démontrer que $RSTU$ est un rectangle.
3. (1 pt) En déduire, sans mesurer, les longueurs $OR$ et $OS$.

Un jardin a la forme d'un parallélogramme. Sa base mesure $12$ m, son côté incliné mesure $9$ m et la hauteur relative à la base mesure $7$ m, comme l'indique la figure ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle.

1. (2 pts) Calculer l'aire du jardin.
2. (1 pt) Un élève propose le calcul $12\times 9$. Expliquer pourquoi ce calcul est faux.
3. (1 pt) On sème du gazon sur tout le jardin, au prix de $\mathrm{4,50}\text{ €}$ le mètre carré. Calculer la dépense.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse en citant une propriété du cours.

1. (1 pt) « Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. »
2. (1 pt) « Si un quadrilatère a ses quatre angles droits, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. »