Triangles

Lève les yeux vers la charpente d'une maison, un pylône électrique ou le tablier d'un pont métallique : partout, des triangles. Ce n'est pas un hasard. Le triangle est la seule figure polygonale indéformable : une fois ses trois côtés fixés, sa forme ne peut plus changer, alors qu'un cadre rectangulaire articulé peut s'affaisser en parallélogramme. C'est pour cela que les ingénieurs « triangulent » leurs structures depuis des siècles. Dans ce chapitre, tu vas démontrer la célèbre propriété de la somme des angles, apprendre à construire un triangle à partir de quelques données seulement, puis partir à la découverte de ses droites remarquables : médiatrices, hauteurs et médianes, sans oublier le calcul de son aire.

Des triangles particuliers

Commençons par remettre en place le vocabulaire que tu as rencontré en 6e. Certains triangles portent un nom particulier parce que leurs côtés ou leurs angles ont quelque chose de spécial.

Sur une figure, on n'écrit pas toujours les longueurs : on utilise des codages. De petits traits identiques posés sur des segments signifient que ces segments ont la même longueur, et un petit carré dessiné dans un angle signale un angle droit. Savoir lire ces codages, c'est reconnaître un triangle particulier d'un seul coup d'œil, sans rien mesurer.

Les côtés de ces triangles ne sont pas les seuls à avoir des propriétés : leurs angles aussi.

Une remarque au passage : un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur, donc il en a en particulier deux de même longueur. Un triangle équilatéral est donc un cas particulier de triangle isocèle : il est isocèle « en chacun de ses sommets ».

La somme des angles d'un triangle

Tu connais cette propriété depuis la 6e : tu l'avais alors constatée en découpant les trois coins d'un triangle et en les recollant côte à côte. La grande nouveauté de cette année, c'est que tu vas enfin savoir pourquoi elle est toujours vraie : nous allons la démontrer.

Démonstration. Soit $ABC$ un triangle quelconque, disposé comme sur la figure. Traçons la droite $d$ parallèle à $(BC)$ passant par $A$. La droite $(AB)$ est une sécante qui coupe les deux droites parallèles $d$ et $(BC)$ : l'angle rouge $\widehat{ABC}$ et l'angle rouge formé en $A$ entre $d$ et $[AB]$ sont alternes-internes. Or, d'après le chapitre « Angles et parallélisme », lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes qu'elles forment ont la même mesure : l'angle rouge en $A$ mesure donc autant que $\widehat{ABC}$. Le même raisonnement avec la sécante $(AC)$ montre que l'angle vert en $A$, entre $d$ et $[AC]$, mesure autant que $\widehat{ACB}$. Observons enfin ce qui se passe au sommet $A$ : l'angle rouge, l'angle $\widehat{BAC}$ et l'angle vert sont posés côte à côte le long de la droite $d$, et forment ensemble un angle plat, c'est-à-dire ${180}^{\circ }$. On en conclut que $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}={180}^{\circ }$. C'est démontré !

Combinée avec les propriétés de la première partie, la somme des angles devient très efficace dans les triangles particuliers.

Construire un triangle

Faut-il connaître les trois côtés et les trois angles d'un triangle pour pouvoir le construire ? Non : trois données bien choisies suffisent. Avant toute construction, prends un réflexe indispensable : fais un croquis à main levée sur lequel tu reportes les données avec leurs codages. Ce croquis est ton plan de construction, il t'évitera bien des erreurs.

Deux remarques pour finir. D'abord, si un énoncé te donne deux angles quelconques d'un triangle, tu peux toujours calculer le troisième grâce à la somme des angles, et te ramener au cas « un côté et ses deux angles adjacents ». Ensuite, il arrive que des données ne permettent pas de terminer la construction : avec $AB=10$ cm, $AC=3$ cm et $BC=4$ cm, par exemple, les deux arcs de compas ne se croisent jamais, ils sont trop courts pour se rejoindre. Quand cela se produit, constate-le simplement sur ta figure : la construction demandée est impossible.

Médiatrices et cercle circonscrit

Retrouvons maintenant une droite que tu connais bien depuis la 6e, et qui va jouer le premier rôle de cette partie.

Pourquoi est-ce toujours vrai ? Appelons $O$ le point où se coupent les médiatrices de $[AB]$ et de $[BC]$. Comme $O$ est sur la médiatrice de $[AB]$, il est équidistant de $A$ et de $B$ : $OA=OB$. Comme $O$ est sur la médiatrice de $[BC]$, on a aussi $OB=OC$. Donc $OA=OB=OC$ : en particulier, $O$ est équidistant de $A$ et de $C$, ce qui prouve qu'il appartient aussi à la médiatrice de $[AC]$. Les trois médiatrices passent bien par un même point, et le cercle de centre $O$ passant par $A$ passe aussi par $B$ et par $C$ : c'est le cercle circonscrit.

Que deviennent les médiatrices dans les triangles particuliers ? Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, on a $AB=AC$ : le sommet $A$ est équidistant de $B$ et de $C$, donc il appartient à la médiatrice de la base $[BC]$. Cette médiatrice passe par le sommet principal, et c'est un axe de symétrie du triangle. Dans un triangle équilatéral, c'est encore mieux : les trois médiatrices sont les trois axes de symétrie du triangle. Dernière observation, à faire toi-même en traçant quelques exemples : selon la forme du triangle, le centre $O$ du cercle circonscrit peut se trouver à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle.

Les hauteurs d'un triangle

Pour tracer une hauteur, sors ton équerre : place un côté de son angle droit le long du côté opposé, puis fais-la glisser jusqu'à ce que l'autre côté atteigne le sommet. Un triangle a trois sommets, donc trois hauteurs, et elles aussi se donnent rendez-vous en un point.

Ce point de concours porte un joli nom : c'est l'orthocentre du triangle. Attention maintenant à un cas qui piège beaucoup d'élèves : quand le triangle possède un angle obtus, certaines hauteurs tombent à l'extérieur du triangle. Sur la figure ci-dessous, pour tracer la hauteur issue de $A$, il faut d'abord prolonger le côté opposé en pointillés : le pied de la hauteur se trouve sur ce prolongement, en dehors du triangle.

Et dans un triangle rectangle ? Bonne nouvelle : deux des trois hauteurs sont déjà tracées ! Ce sont les deux côtés de l'angle droit, puisque chacun passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.

L'aire d'un triangle

Tu sais calculer l'aire d'un rectangle depuis longtemps. La formule de l'aire d'un triangle s'en déduit naturellement.

D'où vient cette formule ? Commence par un triangle rectangle : en l'assemblant avec une copie de lui-même, tu formes exactement un rectangle. Un triangle rectangle est donc un demi-rectangle, et son aire vaut la moitié du produit de ses deux côtés de l'angle droit. Pour un triangle quelconque, une hauteur le découpe en deux triangles rectangles, chacun étant la moitié d'un petit rectangle : en ajoutant les deux morceaux, on retrouve la moitié du produit de la base entière par la hauteur.

Les médianes d'un triangle

Voici la dernière famille de droites remarquables du chapitre, et avec elle ta deuxième démonstration.

Un triangle possède donc trois médianes, une par sommet. Contrairement à la hauteur, la médiane ne réclame pas d'équerre : il suffit de savoir placer un milieu, à la règle graduée ou au compas.

Démonstration. Dans le triangle $ABC$, notons $M$ le milieu de $[BC]$ et traçons la médiane $[AM]$ : elle découpe $ABC$ en deux triangles, $ABM$ et $ACM$. Choisissons $[BM]$ comme base du triangle $ABM$, et $[MC]$ comme base du triangle $ACM$. Ces deux bases ont la même longueur, puisque $M$ est le milieu de $[BC]$ : on a $BM=MC$. Comparons maintenant les hauteurs : dans chacun des deux triangles, la hauteur relative à la base choisie est la distance du sommet $A$ à la droite $(BC)$. C'est donc la même longueur $h$ pour les deux, celle tracée en pointillés sur la figure. D'après la formule de l'aire, l'aire de $ABM$ vaut ${\displaystyle \frac{BM\times h}{2}}$ et l'aire de $ACM$ vaut ${\displaystyle \frac{MC\times h}{2}}$. Comme $BM=MC$, ces deux aires sont égales : la médiane partage bien le triangle en deux triangles de même aire.

Cette propriété a des applications très concrètes : pour partager équitablement un champ triangulaire entre deux personnes, il suffit de planter la clôture le long d'une médiane.

Un peu d'histoire et de culture

Le triangle est probablement la figure la plus étudiée de toute l'histoire des mathématiques, et l'une des plus utiles. Aux XVIIe et XVIIIe siècles, la famille Cassini a dressé la première carte complète de la France en couvrant le royaume d'un gigantesque réseau de triangles imaginaires : connaissant un côté et deux angles, les géographes pouvaient calculer toutes les autres distances sans jamais les mesurer sur le terrain. Tu reconnais là ta troisième méthode de construction ! Ce principe, la triangulation, servait déjà aux arpenteurs de l'Antiquité pour retracer les limites des champs après les crues du Nil. Quant à la rigidité du triangle évoquée en ouverture, elle est partout sous tes yeux : les fermes des charpentes qui portent les toits depuis le Moyen Âge, les ponts métalliques, les pylônes et les grues sont d'immenses assemblages de triangles, seule figure qui ne se déforme pas quand on la charge.

Et le triangle n'a pas fini de te surprendre. Au XVIIIe siècle, le mathématicien Leonhard Euler a découvert que dans n'importe quel triangle, trois points remarquables sont toujours parfaitement alignés, dont deux que tu connais désormais : le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre. Cette droite mystérieuse porte son nom, la droite d'Euler, et tu la découvriras dans quelques années. En attendant, cherche des images du triangle de Reuleaux : un « triangle » aux côtés bombés qui, comme un cercle, garde la même largeur dans toutes les directions, au point qu'on l'utilise pour des pièces de monnaie et même pour des forets capables de percer des trous presque carrés.