5ᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs

Nombres relatifs

Opposé et valeur absolue, repérage sur une droite graduée, comparaison, addition et soustraction (la multiplication et la division sont vues en 4e).

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Opposé et valeur absolue
Repérage sur une droite graduée
Comparaison
Addition et soustraction (la multiplication et la division sont vues en 4e)

Jusqu'ici, tous les nombres que tu as rencontrés servaient à compter ou à mesurer à partir de zéro. Mais le monde ne s'arrête pas à zéro : en hiver, le thermomètre descend en dessous de $0$ °C ; un plongeur nage sous le niveau de la mer ; un compte en banque peut être à découvert. Pour décrire toutes ces situations, les mathématiciens ont inventé des nombres capables de passer « sous zéro » : les nombres relatifs.

Les nombres relatifs

Définition

Un nombre relatif est un nombre écrit avec un signe : le signe $+$ ou le signe $-$ , suivi d'une distance à zéro. Par exemple : $+ 5$ ; $- 3$ ; $+ 2,5$ ; $- 0,7$ .

Les nombres qui s'écrivent avec le signe $+$ sont les nombres positifs.
Les nombres qui s'écrivent avec le signe $-$ sont les nombres négatifs.

Les nombres positifs peuvent s'écrire sans leur signe : $+ 5$ et $5$ désignent exactement le même nombre. Les nombres que tu connais depuis l'école primaire sont donc tous des nombres relatifs positifs.

Définition

Le nombre $0$ joue un rôle à part : on peut l'écrire $+ 0$ ou $- 0$ , et c'est toujours le même nombre. Le nombre $0$ est donc à la fois positif et négatif : c'est le seul nombre dans ce cas.

Pour exclure zéro, on utilise le mot strictement :

un nombre est strictement positif lorsqu'il est positif et différent de zéro ;
un nombre est strictement négatif lorsqu'il est négatif et différent de zéro.

Exemple

Les nombres relatifs servent partout où une grandeur peut descendre sous zéro.

Température : il fait $- 5$ °C ce matin, c'est-à-dire $5$ degrés en dessous de zéro.
Altitude : le sommet du mont Blanc culmine à $+ 4 806$ m, tandis que la rive de la mer Morte se trouve à $- 430$ m, c'est-à-dire $430$ m sous le niveau de la mer.
Chronologie : Jules César est né en l'an $- 100$ , c'est-à-dire $100$ ans avant l'an zéro de notre calendrier.
Solde bancaire : un compte à découvert de $25,50$ € affiche un solde de $- 25,50$ €.

Attention au vocabulaire ! Le signe $-$ se lit « moins » : $- 3$ se lit « moins trois ». Ne dis pas « négatif trois », et ne confonds pas le signe d'un nombre avec l'opération de soustraction : nous y reviendrons à la fin du chapitre.

Opposé et valeur absolue

Définition

Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils sont à la même distance de zéro et de signes contraires.

Par exemple, $+ 7$ et $- 7$ sont opposés : tous les deux sont à une distance $7$ de zéro, l'un du côté positif, l'autre du côté négatif. On dit que $- 7$ est l'opposé de $+ 7$ , et que $+ 7$ est l'opposé de $- 7$ .

L'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même : l'opposé de $- 7$ est $+ 7$ , et l'opposé de $+ 7$ est $- 7$ . En prenant deux fois l'opposé, on revient au point de départ. Enfin, l'opposé de $0$ est $0$ lui-même.

Définition

La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro. C'est donc le nombre « sans son signe » : un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.

On la note entre deux barres verticales : $∣ - 3 ∣ = 3$ et $∣ + 3 ∣ = 3$ . Mais l'écriture compte moins que l'idée : la valeur absolue répond à la question « à quelle distance de zéro ce nombre se trouve-t-il ? ».

Exemple

L'opposé de $- 8,5$ est $+ 8,5$ ; l'opposé de $+ 0,3$ est $- 0,3$ .
La valeur absolue de $- 8,5$ est $8,5$ : le nombre $- 8,5$ est à une distance $8,5$ de zéro.
Les nombres $- 4$ et $+ 4$ ont tous les deux $4$ pour valeur absolue : ce sont deux nombres opposés.
$∣ - 12,7 ∣ = 12,7$ et $∣ + 12,7 ∣ = 12,7$ .

La droite graduée

Définition

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

un point appelé origine, qui correspond au nombre $0$ ;
un sens (en général vers la droite) ;
une unité de longueur, reportée régulièrement de part et d'autre de l'origine.

À chaque point de la droite correspond alors un nombre relatif, appelé l'abscisse de ce point. Les nombres positifs sont à droite de l'origine, les nombres négatifs à gauche. Si le point $A$ a pour abscisse $- 3$ , on note $A (- 3)$ .

Sur cette droite graduée, on lit : $A (- 3)$ , $B (+ 2)$ , $C (+ 4)$ et $D (- 1)$ .

Méthode

Lire l'abscisse d'un point.

On repère l'origine (le zéro) et la longueur d'une unité.
On compte le nombre d'unités entre l'origine et le point.
On détermine le signe : $+$ si le point est à droite de l'origine, $-$ s'il est à gauche.

Placer un point d'abscisse donnée. On fait le chemin inverse : le signe indique le côté, la valeur absolue indique la distance à parcourir depuis l'origine.

Exemple

Placer des abscisses décimales. Ici, chaque unité est partagée en deux : les graduations avancent de $0,5$ en $0,5$ .

Le point $E$ est à gauche de l'origine, à $5$ graduations de $0,5$ : son abscisse est $- 2,5$ . De même, on lit $F (+ 1,5)$ et $G (- 0,5)$ .

Propriété

Sur une droite graduée, deux points dont les abscisses sont opposées sont symétriques par rapport à l'origine : ils sont à la même distance de l'origine, de part et d'autre.

Les points $M (- 3)$ et $N (+ 3)$ se font face de chaque côté du zéro : leurs abscisses sont deux nombres opposés.

Comparer et ranger

Propriété

Sur une droite graduée, plus un nombre est à gauche, plus il est petit. On en déduit trois règles de comparaison :

Deux nombres positifs se comparent comme d'habitude : $2,5 < 4$ .
Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif (et inférieur à zéro) : $- 100 < 3$ .
Deux nombres négatifs : le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue, c'est-à-dire le plus éloigné de zéro. Par exemple $- 7 < - 2$ , car $- 7$ est plus loin de zéro que $- 2$ .

Sur la droite graduée, tout devient visible : $R$ est le plus à gauche, donc $- 4,5 < - 1,5 < 2,5$ .

Méthode

Ranger des nombres relatifs dans l'ordre croissant.

On sépare les nombres négatifs et les nombres positifs : tous les négatifs seront placés avant zéro, tous les positifs après.
On range les négatifs entre eux : le plus petit est celui qui a la plus grande valeur absolue.
On range les positifs entre eux, dans l'ordre habituel.
On rassemble : d'abord les négatifs, puis éventuellement zéro, puis les positifs. (Pour l'ordre décroissant, on lit la liste à l'envers.)

Exemple

Ranger dans l'ordre croissant : $- 3$ ; $2,5$ ; $- 0,5$ ; $4$ ; $- 4,5$ ; $0$ .

Les négatifs sont $- 3$ ; $- 0,5$ ; $- 4,5$ . Le plus éloigné de zéro est $- 4,5$ , puis $- 3$ , puis $- 0,5$ : on a donc $- 4,5 < - 3 < - 0,5$ . Les positifs sont $2,5$ et $4$ , avec $2,5 < 4$ . En rassemblant tout :

- 4,5 < - 3 < - 0,5 < 0 < 2,5 < 4.

Additionner des nombres relatifs

Pour additionner des nombres relatifs, une image mentale suffit : un nombre positif est un gain, un nombre négatif est une perte. Gagner $5$ € puis perdre $3$ €, c'est gagner $2$ € au total : voilà déjà une addition de relatifs !

Propriété

Pour additionner deux nombres relatifs :

S'ils ont le même signe : on additionne leurs distances à zéro, et on garde le signe commun.
S'ils ont des signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
La somme de deux nombres opposés est nulle : $(+ 7) + (- 7) = 0$ . Gagner $7$ € puis perdre $7$ €, il ne reste rien !

Exemple

$(- 3) + (- 4) = - 7$ : deux pertes s'additionnent, on perd $3$ puis $4$ , soit $7$ en tout. Même signe, on garde le $-$ .
$(+ 9) + (- 4) = + 5$ : un gain de $9$ et une perte de $4$ . Signes contraires : $9 - 4 = 5$ , et le gain l'emporte car $9 > 4$ .
$(- 9) + (+ 4) = - 5$ : cette fois c'est la perte qui l'emporte, le résultat est négatif.
$(+ 2,5) + (- 6) = - 3,5$ : signes contraires, $6 - 2,5 = 3,5$ , et le signe est celui de $- 6$ , le plus éloigné de zéro.

Méthode

Additionner plusieurs nombres relatifs. Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut. On en profite pour être astucieux :

On repère les opposés, dont la somme vaut $0$ : ils s'éliminent deux à deux.
On regroupe les termes de même signe : tous les positifs ensemble, tous les négatifs ensemble.
Il ne reste plus qu'une addition de deux nombres, un positif et un négatif.

Exemple

Calculer $(+ 7) + (- 12) + (+ 3) + (- 7)$ .

On repère les opposés $(+ 7)$ et $(- 7)$ : leur somme vaut $0$ , on peut les retirer. Il reste

(- 12) + (+ 3) = - 9.

La somme vaut donc $- 9$ . Sans l'astuce, on aurait trouvé le même résultat, mais avec plus de calculs !

Soustraire un nombre relatif

Propriété

Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé.

Par exemple : $(+ 5) - (- 3) = (+ 5) + (+ 3) = + 8$ . Toute soustraction peut ainsi être transformée en addition, et on retombe sur les règles de la section précédente.

Méthode

Soustraire deux nombres relatifs.

On repère le nombre soustrait (celui qui est après le signe $-$ d'opération).
On remplace la soustraction par l'addition de l'opposé de ce nombre.
On applique les règles de l'addition (même signe ou signes contraires).

Exemple

$(- 4) - (+ 6) = (- 4) + (- 6) = - 10$ .
$(+ 3) - (+ 8) = (+ 3) + (- 8) = - 5$ .
$(- 2,5) - (- 4) = (- 2,5) + (+ 4) = + 1,5$ .

Vérifier par le sens : un écart de températures. Il fait $+ 3$ °C à Nantes et $- 4$ °C à Moscou. L'écart de température vaut $(+ 3) - (- 4) = (+ 3) + (+ 4) = + 7$ , soit $7$ degrés. On le vérifie sur un thermomètre : de $- 4$ à $0$ , il y a $4$ degrés ; de $0$ à $+ 3$ , il y en a $3$ ; au total $4 + 3 = 7$ degrés. Le calcul et le bon sens racontent la même histoire.

Écritures simplifiées et enchaînements

Le signe $-$ a deux métiers : il indique le signe d'un nombre ( $- 3$ est un nombre négatif) et il note l'opération de soustraction ( $8 - 3$ ). C'est pour éviter toute confusion que les parenthèses sont parfois indispensables : deux signes qui se suivent n'ont aucun sens sans elles. L'écriture $5 + - 3$ est interdite ; on écrit $5 + (- 3)$ .

Propriété

Dans une somme, on peut simplifier l'écriture en supprimant certaines parenthèses :

deux signes identiques qui se suivent donnent un $+$ : ainsi $7 + (+ 3) = 7 + 3$ et $7 - (- 3) = 7 + 3$ ;
deux signes contraires qui se suivent donnent un $-$ : ainsi $7 + (- 3) = 7 - 3$ et $7 - (+ 3) = 7 - 3$ ;
en tête d'un calcul, un nombre positif peut perdre son signe et ses parenthèses : $(+ 5) + (- 3)$ s'écrit simplement $5 - 3$ .

Méthode

Enchaîner additions et soustractions.

On simplifie l'écriture : chaque paire de signes qui se suivent est remplacée par un seul signe ( $+$ si les signes sont identiques, $-$ s'ils sont contraires).
On regroupe astucieusement : on élimine les opposés, puis on rassemble les termes positifs d'un côté et les termes négatifs de l'autre.
On termine par une seule addition de deux nombres de signes contraires.

Exemple

Calculer $A = (- 5) + (+ 8) - (- 2) - (+ 6)$ .

On simplifie l'écriture : $+ (+ 8)$ devient $+ 8$ ; $- (- 2)$ devient $+ 2$ ; $- (+ 6)$ devient $- 6$ . On obtient

A = - 5 + 8 + 2 - 6.

On regroupe les positifs ( $8 + 2 = 10$ ) et les négatifs ( $5 + 6 = 11$ du côté des pertes) :

A = 10 - 11 = - 1.

Calculer $B = (+ 4,5) - (+ 7) + (- 3) - (- 7)$ .

On simplifie : $B = 4,5 - 7 - 3 + 7$ . On repère les opposés $- 7$ et $+ 7$ , qui s'éliminent. Il reste

B = 4,5 - 3 = 1,5.

Pour la culture : des nombres longtemps interdits

Les nombres négatifs ont mis très longtemps à se faire accepter. Leur première apparition claire remonte au mathématicien indien Brahmagupta, vers l'an $600$ : dans ses textes, les nombres positifs représentent des « fortunes » et les négatifs des « dettes », et il énonce déjà des règles pour les additionner et les soustraire. Exactement l'image des gains et des pertes que tu as utilisée dans ce chapitre ! En Europe, en revanche, la méfiance a duré des siècles : comment un nombre pourrait-il être « moins que rien » ? Au XVIIe siècle encore, de grands savants refusaient de considérer les négatifs comme de vrais nombres et les appelaient des quantités « absurdes » ou « fausses ». Il a fallu attendre que leur utilité devienne indiscutable pour qu'ils gagnent leur place. Aujourd'hui, personne ne s'étonne plus d'une température de $- 10$ °C, d'un parking au niveau $- 2$ ou d'un compte à découvert : les nombres « interdits » d'hier sont devenus des compagnons du quotidien.

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