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5ᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs
Opposé et valeur absolue, repérage sur une droite graduée, comparaison, addition et soustraction (la multiplication et la division sont vues en 4e).
Jusqu'ici, tous les nombres que tu as rencontrés servaient à compter ou à mesurer à partir de zéro. Mais le monde ne s'arrête pas à zéro : en hiver, le thermomètre descend en dessous de °C ; un plongeur nage sous le niveau de la mer ; un compte en banque peut être à découvert. Pour décrire toutes ces situations, les mathématiciens ont inventé des nombres capables de passer « sous zéro » : les nombres relatifs.
Définition
Un nombre relatif est un nombre écrit avec un signe : le signe ou le signe , suivi d'une distance à zéro. Par exemple : ; ; ; .
Les nombres positifs peuvent s'écrire sans leur signe : et désignent exactement le même nombre. Les nombres que tu connais depuis l'école primaire sont donc tous des nombres relatifs positifs.
Définition
Le nombre joue un rôle à part : on peut l'écrire ou , et c'est toujours le même nombre. Le nombre est donc à la fois positif et négatif : c'est le seul nombre dans ce cas.
Pour exclure zéro, on utilise le mot strictement :
Exemple
Les nombres relatifs servent partout où une grandeur peut descendre sous zéro.
Attention au vocabulaire ! Le signe se lit « moins » : se lit « moins trois ». Ne dis pas « négatif trois », et ne confonds pas le signe d'un nombre avec l'opération de soustraction : nous y reviendrons à la fin du chapitre.
Définition
Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils sont à la même distance de zéro et de signes contraires.
Par exemple, et sont opposés : tous les deux sont à une distance de zéro, l'un du côté positif, l'autre du côté négatif. On dit que est l'opposé de , et que est l'opposé de .
L'opposé de l'opposé d'un nombre est le nombre lui-même : l'opposé de est , et l'opposé de est . En prenant deux fois l'opposé, on revient au point de départ. Enfin, l'opposé de est lui-même.
Définition
La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro. C'est donc le nombre « sans son signe » : un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.
On la note entre deux barres verticales : et . Mais l'écriture compte moins que l'idée : la valeur absolue répond à la question « à quelle distance de zéro ce nombre se trouve-t-il ? ».
Exemple
Définition
Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :
À chaque point de la droite correspond alors un nombre relatif, appelé l'abscisse de ce point. Les nombres positifs sont à droite de l'origine, les nombres négatifs à gauche. Si le point a pour abscisse , on note .
Sur cette droite graduée, on lit : , , et .
Méthode
Lire l'abscisse d'un point.
Placer un point d'abscisse donnée. On fait le chemin inverse : le signe indique le côté, la valeur absolue indique la distance à parcourir depuis l'origine.
Exemple
Placer des abscisses décimales. Ici, chaque unité est partagée en deux : les graduations avancent de en .
Le point est à gauche de l'origine, à graduations de : son abscisse est . De même, on lit et .
Propriété
Sur une droite graduée, deux points dont les abscisses sont opposées sont symétriques par rapport à l'origine : ils sont à la même distance de l'origine, de part et d'autre.
Les points et se font face de chaque côté du zéro : leurs abscisses sont deux nombres opposés.
Propriété
Sur une droite graduée, plus un nombre est à gauche, plus il est petit. On en déduit trois règles de comparaison :
Sur la droite graduée, tout devient visible : est le plus à gauche, donc .
Méthode
Ranger des nombres relatifs dans l'ordre croissant.
Exemple
Ranger dans l'ordre croissant : ; ; ; ; ; .
Les négatifs sont ; ; . Le plus éloigné de zéro est , puis , puis : on a donc . Les positifs sont et , avec . En rassemblant tout :
Pour additionner des nombres relatifs, une image mentale suffit : un nombre positif est un gain, un nombre négatif est une perte. Gagner € puis perdre €, c'est gagner € au total : voilà déjà une addition de relatifs !
Propriété
Pour additionner deux nombres relatifs :
Exemple
Méthode
Additionner plusieurs nombres relatifs. Dans une somme, on peut changer l'ordre des termes et les regrouper comme on veut. On en profite pour être astucieux :
Exemple
Calculer .
On repère les opposés et : leur somme vaut , on peut les retirer. Il reste
La somme vaut donc . Sans l'astuce, on aurait trouvé le même résultat, mais avec plus de calculs !
Propriété
Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé.
Par exemple : . Toute soustraction peut ainsi être transformée en addition, et on retombe sur les règles de la section précédente.
Méthode
Soustraire deux nombres relatifs.
Exemple
Vérifier par le sens : un écart de températures. Il fait °C à Nantes et °C à Moscou. L'écart de température vaut , soit degrés. On le vérifie sur un thermomètre : de à , il y a degrés ; de à , il y en a ; au total degrés. Le calcul et le bon sens racontent la même histoire.
Le signe a deux métiers : il indique le signe d'un nombre ( est un nombre négatif) et il note l'opération de soustraction (). C'est pour éviter toute confusion que les parenthèses sont parfois indispensables : deux signes qui se suivent n'ont aucun sens sans elles. L'écriture est interdite ; on écrit .
Propriété
Dans une somme, on peut simplifier l'écriture en supprimant certaines parenthèses :
Méthode
Enchaîner additions et soustractions.
Exemple
Calculer .
On simplifie l'écriture : devient ; devient ; devient . On obtient
On regroupe les positifs () et les négatifs ( du côté des pertes) :
Calculer .
On simplifie : . On repère les opposés et , qui s'éliminent. Il reste
Les nombres négatifs ont mis très longtemps à se faire accepter. Leur première apparition claire remonte au mathématicien indien Brahmagupta, vers l'an : dans ses textes, les nombres positifs représentent des « fortunes » et les négatifs des « dettes », et il énonce déjà des règles pour les additionner et les soustraire. Exactement l'image des gains et des pertes que tu as utilisée dans ce chapitre ! En Europe, en revanche, la méfiance a duré des siècles : comment un nombre pourrait-il être « moins que rien » ? Au XVIIe siècle encore, de grands savants refusaient de considérer les négatifs comme de vrais nombres et les appelaient des quantités « absurdes » ou « fausses ». Il a fallu attendre que leur utilité devienne indiscutable pour qu'ils gagnent leur place. Aujourd'hui, personne ne s'étonne plus d'une température de °C, d'un parking au niveau ou d'un compte à découvert : les nombres « interdits » d'hier sont devenus des compagnons du quotidien.
On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.