Fractions et nombres rationnels

Prendre une fraction d'une quantité (rappel de 6e). Pour calculer les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de $20$ euros, on divise par le dénominateur puis on multiplie par le numérateur :

1. On partage : $20÷4=5$. Un quart de $20$ euros vaut $5$ euros.
2. On prend trois parts : $5\times 3=15$.

Les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de $20$ euros valent donc $15$ euros.

Simplifier une fraction grâce aux critères de divisibilité (vus au chapitre précédent) :

1. Les deux nombres se terminent par $0$ ? On divise en haut et en bas par $10$.
2. Les deux nombres sont pairs ? On divise par $2$. Ils se terminent par $0$ ou $5$ ? On divise par $5$.
3. La somme des chiffres de chacun est divisible par $3$ (ou par $9$) ? On divise par $3$ (ou par $9$).
4. On recommence sur la nouvelle fraction, jusqu'à ce qu'aucun critère ne s'applique plus.

Simplifier en plusieurs petites étapes est tout à fait normal : c'est même la méthode la plus sûre.

Comparer des fractions de dénominateurs quelconques.

1. Lister les premiers multiples de chaque dénominateur (comme au chapitre précédent).
2. Repérer un multiple commun aux deux listes : le plus petit donne les calculs les plus simples.
3. Transformer chaque fraction en une fraction égale ayant ce dénominateur (règle fondamentale).
4. Comparer les numérateurs.

Exemple : comparer ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{8}}$. Multiples de $6$ : $6$ ; $12$ ; $18$ ; $24$ ; $30$… Multiples de $8$ : $8$ ; $16$ ; $24$ ; $32$… Le plus petit multiple commun est $24$. On transforme : ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5\times 4}{6\times 4}}={\displaystyle \frac{20}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{7\times 3}{8\times 3}}={\displaystyle \frac{21}{24}}$. Comme $20<21$, on conclut : ${\displaystyle \frac{5}{6}}<{\displaystyle \frac{7}{8}}$.

Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs. On cherche les deux multiples du dénominateur qui encadrent le numérateur.

Exemple : encadrer ${\displaystyle \frac{17}{5}}$. Dans la table de $5$ : $5\times 3=15$ et $5\times 4=20$, et le numérateur $17$ est entre les deux. Donc ${\displaystyle \frac{15}{5}}<{\displaystyle \frac{17}{5}}<{\displaystyle \frac{20}{5}}$, c'est-à-dire

On peut aller plus loin et écrire la fraction sous la forme entier $+$ fraction : comme $17=15+2$, on a

Tu reconnais la division euclidienne du chapitre précédent : $17=5\times 3+2$, le quotient $3$ donne la partie entière et le reste $2$ donne le numérateur de la fraction restante.

Dénominateurs multiples l'un de l'autre (rappel de 6e, méthode rapide). Quand l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre, une seule fraction a besoin d'être transformée : celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple : ${\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}$. Comme $12=4\times 3$, on transforme uniquement la première fraction : ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3\times 3}{4\times 3}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$. Alors

Dénominateurs quelconques : la méthode générale (la grande nouveauté de 5e).

1. Lister les premiers multiples de chaque dénominateur.
2. Choisir le plus petit multiple commun aux deux listes.
3. Transformer chaque fraction en une fraction égale ayant ce dénominateur.
4. Calculer avec la règle du même dénominateur, puis simplifier le résultat si possible.

Additionner ou soustraire un entier et une fraction. On écrit l'entier sous forme de fraction avec le bon dénominateur, puis on calcule comme d'habitude.

Exemple : $2+{\displaystyle \frac{3}{7}}$. Comme $2={\displaystyle \frac{14}{7}}$, on obtient

Dans l'autre sens, cette même égalité ${\displaystyle \frac{17}{7}}=2+{\displaystyle \frac{3}{7}}$ redonne l'écriture « entier $+$ fraction » de la section précédente : tout se recoupe.

Traduire, calculer, conclure.

1. Identifier l'unité, c'est-à-dire le « tout » dont parlent les fractions : le budget entier, la tablette de chocolat entière, la journée complète… Ce tout vaut $1$.
2. Traduire chaque information de l'énoncé en fraction de cette unité (« les ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ du budget » signifie que le budget est partagé en $8$ parts égales et que ce poste en occupe $3$).
3. Mettre les fractions au même dénominateur pour pouvoir les additionner, les soustraire ou les comparer.
4. Pour la part restante, écrire $1$ sous forme de fraction, par exemple $1={\displaystyle \frac{8}{8}}$ si le dénominateur commun est $8$, puis soustraire.
5. Conclure par une phrase qui répond exactement à la question posée.