5ᵉ · Chapitre 02 · Nombres et calculs

Multiples, diviseurs et divisibilité

Multiples et diviseurs, critères de divisibilité par 3 et 9, division euclidienne, factorisations simples.

Ce qu'il faut savoir faire

Multiples et diviseurs
Critères de divisibilité par 3 et 9
Division euclidienne
Factorisations simples

Dans ce chapitre, on s'intéresse à une question toute simple sur les nombres entiers : quand est-ce qu'une division « tombe juste » ? Pour y répondre, on va apprendre un vocabulaire précis (multiple, diviseur, divisible), revoir la division posée, et découvrir des astuces qui permettent de répondre sans calculer.

Multiples et diviseurs

Définition

Observons l'égalité $56 = 8 \times 7$ . Le nombre $56$ s'écrit comme un produit de deux nombres entiers. On peut alors dire, au choix :

$56$ est un multiple de $8$ (et $56$ est aussi un multiple de $7$ ) ;
$8$ est un diviseur de $56$ (et $7$ est aussi un diviseur de $56$ ) ;
$56$ est divisible par $8$ (et $56$ est aussi divisible par $7$ ).

Ces trois formulations expriment exactement la même chose : la division de $56$ par $8$ (ou par $7$ ) tombe juste.

De façon générale, un nombre entier est un multiple d'un autre lorsqu'il est égal à cet autre nombre multiplié par un nombre entier. Autrement dit : les multiples de $8$ sont les résultats de la table de $8$ , prolongée aussi loin que l'on veut ; et il en va de même pour n'importe quel nombre.

Propriété

Un nombre entier non nul a une infinité de multiples : il suffit de le multiplier par $0$ , $1$ , $2$ , $3$ … pour les obtenir les uns après les autres.
Un nombre entier non nul n'a qu'un nombre fini de diviseurs : on peut tous les trouver, et la liste s'arrête.
Le nombre $1$ divise tous les nombres entiers : $1$ est un diviseur de n'importe quel nombre.
Tout nombre entier non nul est à la fois un multiple et un diviseur de lui-même.

Exemple

Les multiples de $7$ . Pour les obtenir, on parcourt la table de $7$ : $0$ ; $7$ ; $14$ ; $21$ ; $28$ ; $35$ … (le nombre $0$ en fait partie, car $7 \times 0 = 0$ ). Cette liste ne s'arrête jamais.

Le nombre $84$ est-il un multiple de $7$ ? On cherche si $84$ apparaît dans la table de $7$ . Comme $7 \times 12 = 84$ , la réponse est oui : $84$ est un multiple de $7$ .

Et le nombre $100$ ? On encadre $100$ par deux multiples de $7$ qui se suivent : $7 \times 14 = 98$ et $7 \times 15 = 105$ . Le nombre $100$ est entre les deux, il n'apparaît donc pas dans la table de $7$ : $100$ n'est pas un multiple de $7$ .

Exemple

Trouver tous les diviseurs de $30$ . On cherche toutes les façons d'écrire $30$ comme un produit de deux nombres entiers :

30 = 1 \times 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6.

Le nombre $4$ n'apparaît pas dans la liste : en effet $4 \times 7 = 28$ et $4 \times 8 = 32$ , donc la division de $30$ par $4$ ne tombe pas juste.

Chaque produit fournit deux diviseurs. La liste complète des diviseurs de $30$ est donc :

1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.

Le nombre $30$ a exactement huit diviseurs : la liste est finie, comme annoncé dans la propriété.

Attention au vocabulaire ! Ne confonds pas multiple et diviseur : le multiple est le « grand » nombre, le diviseur est le « petit ». Ainsi, $56$ est un multiple de $8$ , et $8$ est un diviseur de $56$ . Dire « $56$ est un diviseur de $8$ » est une erreur classique… à ne plus jamais commettre.

La division euclidienne

Que se passe-t-il quand la division ne tombe pas juste ? Il reste… un reste ! C'est tout l'objet de la division euclidienne.

Définition

Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un nombre entier non nul (le diviseur), c'est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste, tels que :

dividende = diviseur \times quotient + reste,

avec une condition essentielle : le reste est strictement inférieur au diviseur.

Avec des lettres : si $a$ est le dividende et $b$ le diviseur, alors

a = b \times q + r avec r < b,

où $q$ est le quotient et $r$ le reste.

Par exemple, la division euclidienne de $47$ par $6$ s'écrit :

\underset{dividende}{\underset{⏟}{47}} = \underset{diviseur}{\underset{⏟}{6}} \times \underset{quotient}{\underset{⏟}{7}} + \underset{reste}{\underset{⏟}{5}},

et on vérifie que le reste convient : $5 < 6$ .

Méthode

Poser la division euclidienne de $847$ par $6$ .

  8 4 7 | 6
- 6     |--------
  2 4   | 1 4 1
- 2 4
    0 7
  -   6
      1

On écrit le dividende $847$ à gauche et le diviseur $6$ à droite, dans la « potence ».
On commence par le chiffre de gauche : en $8$ , combien de fois $6$ ? Une fois. On écrit $1$ au quotient, on calcule $1 \times 6 = 6$ , puis $8 - 6 = 2$ .
On abaisse le chiffre suivant, $4$ , à côté du $2$ : on obtient $24$ . En $24$ , combien de fois $6$ ? Quatre fois, car $4 \times 6 = 24$ . On écrit $4$ au quotient, et $24 - 24 = 0$ .
On abaisse le dernier chiffre, $7$ . En $7$ , combien de fois $6$ ? Une fois. On écrit $1$ au quotient, on calcule $1 \times 6 = 6$ , puis $7 - 6 = 1$ .
Il n'y a plus de chiffre à abaisser : la division est terminée. Le quotient est $141$ et le reste est $1$ .
On vérifie toujours : $6 \times 141 + 1 = 846 + 1 = 847$ , on retrouve bien le dividende, et le reste vérifie $1 < 6$ . On peut donc écrire :

847 = 6 \times 141 + 1.

Propriété

Un nombre entier est divisible par un nombre entier non nul exactement lorsque le reste de la division euclidienne vaut $0$ .

Autrement dit : « la division tombe juste » et « le reste est nul » signifient la même chose.

Remarque : le mot « diviseur » a deux sens. Dans toute division euclidienne, le nombre par lequel on divise s'appelle le diviseur de la division, même si le reste n'est pas nul. Mais dire qu'un nombre est un diviseur d'un autre signifie que le reste vaut $0$ . Par exemple, dans la division euclidienne de $17$ par $5$ , le nombre $5$ est le diviseur de la division ; pourtant $5$ n'est pas un diviseur de $17$ , car le reste vaut $2$ .

Exemple

Lire une division euclidienne dans une égalité. On sait que $17 = 3 \times 5 + 2$ . Comme $2 < 5$ , cette égalité est celle de la division euclidienne de $17$ par $5$ : le quotient est $3$ et le reste est $2$ .

Petit bonus : comme on a aussi $2 < 3$ , la même égalité, lue $17 = 3 \times 5 + 2$ , donne également la division euclidienne de $17$ par $3$ : le quotient est alors $5$ et le reste toujours $2$ . Une seule égalité, deux divisions !

Exemple

Le piège du reste trop grand. L'égalité $58 = 6 \times 8 + 10$ est correcte, car $6 \times 8 + 10 = 48 + 10 = 58$ . Pourtant, ce n'est pas l'égalité de la division euclidienne de $58$ par $8$ : le reste proposé, $10$ , est plus grand que le diviseur $8$ . Or le reste doit être strictement inférieur au diviseur.

Pour corriger, on remarque que $10 = 8 + 2$ : on peut donc caser une fois de plus le nombre $8$ . On obtient

58 = 8 \times 7 + 2,

et cette fois $2 < 8$ : dans la division euclidienne de $58$ par $8$ , le quotient est $7$ et le reste est $2$ .

Exemple

Une année en semaines. Une année ordinaire compte $365$ jours. Combien de semaines complètes cela représente-t-il ? On effectue la division euclidienne de $365$ par $7$ . Comme $7 \times 52 = 364$ , on obtient

365 = 7 \times 52 + 1 avec 1 < 7.

Une année ordinaire, c'est donc $52$ semaines complètes et il reste $1$ jour. Le reste n'est pas nul : $365$ n'est pas divisible par $7$ .

Les critères de divisibilité

Pas besoin de poser une division pour savoir si elle tombe juste : il existe des règles très rapides, appelées critères de divisibilité, qui se lisent directement sur les chiffres du nombre.

Propriété

Un nombre entier est divisible :

par $2$ lorsque son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ ;
par $5$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
par $10$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ;
par $3$ lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
par $9$ lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Ces critères fonctionnent dans les deux sens : si la condition n'est pas remplie, alors le nombre n'est pas divisible.

Méthode

Tester un grand nombre, par exemple $7 254$ .

On regarde le chiffre des unités : c'est $4$ . Donc $7 254$ est divisible par $2$ , mais pas par $5$ ni par $10$ (il faudrait un $0$ ou un $5$ ).
On calcule la somme des chiffres : $7 + 2 + 5 + 4 = 18$ .
On teste cette somme. Comme $18 = 3 \times 6$ , la somme est divisible par $3$ : donc $7 254$ est divisible par $3$ . Comme $18 = 9 \times 2$ , la somme est aussi divisible par $9$ : donc $7 254$ est divisible par $9$ .
Conclusion : $7 254$ est divisible par $2$ , par $3$ et par $9$ , mais pas par $5$ ni par $10$ . Et tout cela sans poser une seule division !

Exemple

Étudions $1 785$ . Son chiffre des unités est $5$ : donc $1 785$ est divisible par $5$ , mais pas par $2$ (il faudrait $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ ) ni par $10$ (il faudrait $0$ ). La somme de ses chiffres vaut $1 + 7 + 8 + 5 = 21$ . Comme $21 = 3 \times 7$ , le nombre $1 785$ est divisible par $3$ . En revanche, $21$ n'est pas dans la table de $9$ (car $9 \times 2 = 18$ et $9 \times 3 = 27$ ) : donc $1 785$ n'est pas divisible par $9$ .

Étudions $640$ . Son chiffre des unités est $0$ : donc $640$ est divisible par $2$ , par $5$ et par $10$ d'un seul coup. La somme de ses chiffres vaut $6 + 4 + 0 = 10$ , qui n'est divisible ni par $3$ ni par $9$ : donc $640$ n'est divisible ni par $3$ ni par $9$ .

Remarque. Un nombre divisible par $9$ est toujours divisible par $3$ : si la somme des chiffres est dans la table de $9$ , elle est forcément aussi dans la table de $3$ . Mais l'inverse est faux ! Par exemple, $15$ est divisible par $3$ (car $1 + 5 = 6$ et $6 = 3 \times 2$ ), mais $15$ n'est pas divisible par $9$ . Divisible par $3$ ne suffit donc pas pour être divisible par $9$ .

Factoriser un nombre entier

Définition

Factoriser un nombre entier, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de deux facteurs, chacun différent de $1$ . Les nombres qui composent le produit s'appellent les facteurs.

Par exemple, $21 = 3 \times 7$ est une factorisation de $21$ : les facteurs sont $3$ et $7$ .

Un même nombre peut souvent se factoriser de plusieurs façons :

36 = 4 \times 9 = 6 \times 6 = 2 \times 18 = 3 \times 12.

(L'écriture $36 = 1 \times 36$ existe toujours, mais elle n'apprend rien : c'est pour cela qu'on demande des facteurs différents de $1$ .)

Méthode

Trouver toutes les factorisations d'un nombre entier. On balaye les tables de multiplication dans l'ordre, en s'aidant des critères de divisibilité :

Le nombre est-il divisible par $2$ ? (critère du chiffre des unités) Si oui, on écrit le produit correspondant.
Est-il divisible par $3$ ? (critère de la somme des chiffres)
Puis on teste $4$ , $5$ (critère des unités), $6$ , $7$ … à l'aide des tables.
On s'arrête dès que les deux facteurs « se croisent » : au-delà, on retomberait sur des produits déjà écrits, dans l'autre sens.

Exemple

Toutes les factorisations de $36$ . Appliquons la méthode :

Par $2$ ? Le chiffre des unités est $6$ : oui. Comme $36 = 2 \times 18$ , on tient une première factorisation.
Par $3$ ? La somme des chiffres vaut $3 + 6 = 9$ , divisible par $3$ : oui. Comme $3 \times 12 = 36$ , on écrit $36 = 3 \times 12$ .
Par $4$ ? Dans la table de $4$ : $4 \times 9 = 36$ , oui. On écrit $36 = 4 \times 9$ .
Par $5$ ? Le chiffre des unités est $6$ , ni $0$ ni $5$ : non.
Par $6$ ? Dans la table de $6$ : $6 \times 6 = 36$ , oui. On écrit $36 = 6 \times 6$ .
Par $7$ ? Dans la table de $7$ : $7 \times 5 = 35$ et $7 \times 6 = 42$ , le nombre $36$ est entre les deux : non. Les facteurs se sont croisés (après $6 \times 6$ , on retrouverait $9 \times 4$ , $12 \times 3$ , $18 \times 2$ ) : la recherche est terminée.

Bilan : les factorisations de $36$ en deux facteurs différents de $1$ sont

36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6.

Le lien avec les diviseurs. En ajoutant l'écriture $1 \times 36$ , chaque produit fournit des diviseurs de $36$ . On obtient ainsi la liste complète des diviseurs de $36$ :

1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.

Factoriser un nombre et chercher ses diviseurs, c'est donc le même travail vu sous deux angles différents.

Pour la culture : les nombres premiers

En cherchant les diviseurs des nombres, on remarque que certains sont particulièrement « résistants » : impossible de les factoriser ! C'est le cas de $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ ou $13$ : chacun n'a que deux diviseurs, $1$ et lui-même. On les appelle les nombres premiers, et ils jouent un rôle immense en mathématiques : tu les étudieras en classe de quatrième. Leur histoire est très ancienne. Vers $230$ avant J.-C., le savant grec Ératosthène, bibliothécaire de la grande bibliothèque d'Alexandrie, inventa une méthode astucieuse pour les repérer : on écrit la liste des nombres, puis on barre tous les multiples de $2$ , puis tous les multiples de $3$ , et ainsi de suite. Les nombres qui échappent au « filet » sont les nombres premiers — on appelle encore aujourd'hui ce procédé le crible d'Ératosthène. Plus de deux mille ans plus tard, les mathématiciens leur découvrent toujours de nouveaux secrets.

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Multiples, diviseurs et divisibilité

Multiples et diviseurs, critères de divisibilité par 3 et 9, division euclidienne, factorisations simples.

Ce qu'il faut savoir faire

Multiples et diviseurs
Critères de divisibilité par 3 et 9
Division euclidienne
Factorisations simples

Multiples et diviseurs

Définition

Observons l'égalité $56 = 8 \times 7$ . Le nombre $56$ s'écrit comme un produit de deux nombres entiers. On peut alors dire, au choix :

$56$ est un multiple de $8$ (et $56$ est aussi un multiple de $7$ ) ;
$8$ est un diviseur de $56$ (et $7$ est aussi un diviseur de $56$ ) ;
$56$ est divisible par $8$ (et $56$ est aussi divisible par $7$ ).

Ces trois formulations expriment exactement la même chose : la division de $56$ par $8$ (ou par $7$ ) tombe juste.

Propriété

Un nombre entier non nul a une infinité de multiples : il suffit de le multiplier par $0$ , $1$ , $2$ , $3$ … pour les obtenir les uns après les autres.
Un nombre entier non nul n'a qu'un nombre fini de diviseurs : on peut tous les trouver, et la liste s'arrête.
Le nombre $1$ divise tous les nombres entiers : $1$ est un diviseur de n'importe quel nombre.
Tout nombre entier non nul est à la fois un multiple et un diviseur de lui-même.

Exemple

Le nombre $84$ est-il un multiple de $7$ ? On cherche si $84$ apparaît dans la table de $7$ . Comme $7 \times 12 = 84$ , la réponse est oui : $84$ est un multiple de $7$ .

Exemple

Trouver tous les diviseurs de $30$ . On cherche toutes les façons d'écrire $30$ comme un produit de deux nombres entiers :

30 = 1 \times 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6.

Le nombre $4$ n'apparaît pas dans la liste : en effet $4 \times 7 = 28$ et $4 \times 8 = 32$ , donc la division de $30$ par $4$ ne tombe pas juste.

Chaque produit fournit deux diviseurs. La liste complète des diviseurs de $30$ est donc :

1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.

Le nombre $30$ a exactement huit diviseurs : la liste est finie, comme annoncé dans la propriété.

La division euclidienne

Que se passe-t-il quand la division ne tombe pas juste ? Il reste… un reste ! C'est tout l'objet de la division euclidienne.

Définition

dividende = diviseur \times quotient + reste,

avec une condition essentielle : le reste est strictement inférieur au diviseur.

Avec des lettres : si $a$ est le dividende et $b$ le diviseur, alors

a = b \times q + r avec r < b,

où $q$ est le quotient et $r$ le reste.

Par exemple, la division euclidienne de $47$ par $6$ s'écrit :

\underset{dividende}{\underset{⏟}{47}} = \underset{diviseur}{\underset{⏟}{6}} \times \underset{quotient}{\underset{⏟}{7}} + \underset{reste}{\underset{⏟}{5}},

et on vérifie que le reste convient : $5 < 6$ .

Méthode

Poser la division euclidienne de $847$ par $6$ .

  8 4 7 | 6
- 6     |--------
  2 4   | 1 4 1
- 2 4
    0 7
  -   6
      1

On écrit le dividende $847$ à gauche et le diviseur $6$ à droite, dans la « potence ».
On commence par le chiffre de gauche : en $8$ , combien de fois $6$ ? Une fois. On écrit $1$ au quotient, on calcule $1 \times 6 = 6$ , puis $8 - 6 = 2$ .
On abaisse le chiffre suivant, $4$ , à côté du $2$ : on obtient $24$ . En $24$ , combien de fois $6$ ? Quatre fois, car $4 \times 6 = 24$ . On écrit $4$ au quotient, et $24 - 24 = 0$ .
On abaisse le dernier chiffre, $7$ . En $7$ , combien de fois $6$ ? Une fois. On écrit $1$ au quotient, on calcule $1 \times 6 = 6$ , puis $7 - 6 = 1$ .
Il n'y a plus de chiffre à abaisser : la division est terminée. Le quotient est $141$ et le reste est $1$ .
On vérifie toujours : $6 \times 141 + 1 = 846 + 1 = 847$ , on retrouve bien le dividende, et le reste vérifie $1 < 6$ . On peut donc écrire :

847 = 6 \times 141 + 1.

Propriété

Un nombre entier est divisible par un nombre entier non nul exactement lorsque le reste de la division euclidienne vaut $0$ .

Autrement dit : « la division tombe juste » et « le reste est nul » signifient la même chose.

Exemple

Pour corriger, on remarque que $10 = 8 + 2$ : on peut donc caser une fois de plus le nombre $8$ . On obtient

58 = 8 \times 7 + 2,

et cette fois $2 < 8$ : dans la division euclidienne de $58$ par $8$ , le quotient est $7$ et le reste est $2$ .

Exemple

365 = 7 \times 52 + 1 avec 1 < 7.

Une année ordinaire, c'est donc $52$ semaines complètes et il reste $1$ jour. Le reste n'est pas nul : $365$ n'est pas divisible par $7$ .

Les critères de divisibilité

Pas besoin de poser une division pour savoir si elle tombe juste : il existe des règles très rapides, appelées critères de divisibilité, qui se lisent directement sur les chiffres du nombre.

Propriété

Un nombre entier est divisible :

par $2$ lorsque son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ ;
par $5$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
par $10$ lorsque son chiffre des unités est $0$ ;
par $3$ lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
par $9$ lorsque la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Ces critères fonctionnent dans les deux sens : si la condition n'est pas remplie, alors le nombre n'est pas divisible.

Méthode

Tester un grand nombre, par exemple $7 254$ .

On regarde le chiffre des unités : c'est $4$ . Donc $7 254$ est divisible par $2$ , mais pas par $5$ ni par $10$ (il faudrait un $0$ ou un $5$ ).
On calcule la somme des chiffres : $7 + 2 + 5 + 4 = 18$ .
On teste cette somme. Comme $18 = 3 \times 6$ , la somme est divisible par $3$ : donc $7 254$ est divisible par $3$ . Comme $18 = 9 \times 2$ , la somme est aussi divisible par $9$ : donc $7 254$ est divisible par $9$ .
Conclusion : $7 254$ est divisible par $2$ , par $3$ et par $9$ , mais pas par $5$ ni par $10$ . Et tout cela sans poser une seule division !

Exemple

Factoriser un nombre entier

Définition

Factoriser un nombre entier, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de deux facteurs, chacun différent de $1$ . Les nombres qui composent le produit s'appellent les facteurs.

Par exemple, $21 = 3 \times 7$ est une factorisation de $21$ : les facteurs sont $3$ et $7$ .

Un même nombre peut souvent se factoriser de plusieurs façons :

36 = 4 \times 9 = 6 \times 6 = 2 \times 18 = 3 \times 12.

(L'écriture $36 = 1 \times 36$ existe toujours, mais elle n'apprend rien : c'est pour cela qu'on demande des facteurs différents de $1$ .)

Méthode

Trouver toutes les factorisations d'un nombre entier. On balaye les tables de multiplication dans l'ordre, en s'aidant des critères de divisibilité :

Le nombre est-il divisible par $2$ ? (critère du chiffre des unités) Si oui, on écrit le produit correspondant.
Est-il divisible par $3$ ? (critère de la somme des chiffres)
Puis on teste $4$ , $5$ (critère des unités), $6$ , $7$ … à l'aide des tables.
On s'arrête dès que les deux facteurs « se croisent » : au-delà, on retomberait sur des produits déjà écrits, dans l'autre sens.

Exemple

Toutes les factorisations de $36$ . Appliquons la méthode :

Par $2$ ? Le chiffre des unités est $6$ : oui. Comme $36 = 2 \times 18$ , on tient une première factorisation.
Par $3$ ? La somme des chiffres vaut $3 + 6 = 9$ , divisible par $3$ : oui. Comme $3 \times 12 = 36$ , on écrit $36 = 3 \times 12$ .
Par $4$ ? Dans la table de $4$ : $4 \times 9 = 36$ , oui. On écrit $36 = 4 \times 9$ .
Par $5$ ? Le chiffre des unités est $6$ , ni $0$ ni $5$ : non.
Par $6$ ? Dans la table de $6$ : $6 \times 6 = 36$ , oui. On écrit $36 = 6 \times 6$ .
Par $7$ ? Dans la table de $7$ : $7 \times 5 = 35$ et $7 \times 6 = 42$ , le nombre $36$ est entre les deux : non. Les facteurs se sont croisés (après $6 \times 6$ , on retrouverait $9 \times 4$ , $12 \times 3$ , $18 \times 2$ ) : la recherche est terminée.

Bilan : les factorisations de $36$ en deux facteurs différents de $1$ sont

36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6.

Le lien avec les diviseurs. En ajoutant l'écriture $1 \times 36$ , chaque produit fournit des diviseurs de $36$ . On obtient ainsi la liste complète des diviseurs de $36$ :

1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.

Factoriser un nombre et chercher ses diviseurs, c'est donc le même travail vu sous deux angles différents.

Pour la culture : les nombres premiers

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