Devoir surveillé — Calcul littéral et équations

Les trois questions sont indépendantes.

1. (2 pts) Simplifier chaque écriture en supprimant les signes $\times$ inutiles :

   a. $3\times x$

   b. $x\times x$

   c. $5\times (a+3)$

   d. $y\times 8$

2. (1,5 pt) Pour chaque expression, indiquer s'il s'agit d'une somme ou d'un produit, en justifiant par la dernière opération effectuée :

   a. $4x+1$

   b. $7(x-2)$

   c. $9x$

3. (0,5 pt) Calculer la valeur de $2n+5$ puis de $n^2$ pour $n=6$.

Un jardin rectangulaire a pour longueur $L$ et pour largeur $l$ (en mètres).

1. (1,5 pt) Écrire une formule donnant le périmètre $P$ du jardin en fonction de $L$ et $l$. Vérifier ensuite, en développant $2(L+l)$, que les deux formules $2(L+l)$ et $2L+2l$ donnent toujours le même résultat.
2. (0,5 pt) Écrire une formule donnant l'aire $A$ du jardin en fonction de $L$ et $l$.
3. (1 pt) Calculer le périmètre puis l'aire du jardin pour $L=\mathrm{8,5}$ m et $l=6$ m.
4. (1 pt) On note $n$ un nombre entier. Écrire en fonction de $n$ une expression du successeur du double de $n$.

1. (1,5 pt) Développer :

   a. $5(x+7)$

   b. $4(3a-2)$

   c. $9(2+t)$

2. (1,5 pt) Factoriser :

   a. $6x+18$

   b. $7y-28$

   c. $15+5b$

3. (1 pt) Réduire :

   a. $8x+3x$

   b. $\mathrm{5,5}t-\mathrm{2,5}t$

4. (1 pt) Calculer astucieusement, sans calculatrice, en détaillant la méthode :

   a. $7\times 104$ (en développant)

   b. $23\times 15+77\times 15$ (en factorisant)

1. (2,5 pts) Résoudre chaque équation en utilisant l'opération inverse, puis vérifier la solution trouvée :

   a. $6x=78$

   b. $x+\mathrm{4,5}=12$

   c. $5x=7$

2. (1,5 pt) Un lot de $8$ cahiers identiques coûte $14$ €. On note $x$ le prix d'un cahier, en euros. Écrire une équation traduisant la situation, la résoudre, vérifier la solution, puis conclure par une phrase.

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisis un nombre.
• Ajoute $5$.
• Multiplie le résultat par $4$.

1. (1 pt) Appliquer le programme au nombre $3$, puis au nombre $\mathrm{2,5}$.
2. (1 pt) Yanis affirme : « quel que soit le nombre $x$ choisi au départ, le résultat du programme est égal à $4x+20$ ». Écrire le résultat du programme en fonction de $x$, puis démontrer que Yanis a raison en développant.
3. (1 pt) Léna affirme : « le résultat du programme est toujours égal à $4x+5$ ». Démontrer que cette affirmation est fausse à l'aide d'un contre-exemple.