5ᵉ · Chapitre 06 · Nombres et calculs

Calcul littéral et équations

Formules, substitution, k(a+b) pour développer et factoriser, équations ax = c et x + b = c.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Formules
Substitution
K(a+b) pour développer et factoriser
Équations ax = c et x + b = c

Jusqu'ici, tu as toujours calculé avec des nombres. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à calculer avec des lettres. Pourquoi faire ? Parce qu'une lettre permet de dire quelque chose de tous les nombres à la fois : une formule écrite une seule fois fonctionne pour une infinité de valeurs. C'est l'un des outils les plus puissants des mathématiques, et tu vas voir qu'il sert aussi à résoudre des énigmes du type « je pense à un nombre… ».

Des lettres pour généraliser : produire une formule

Observe cette suite de motifs formés de points disposés en L :

Suite de motifs en L : étapes 1, 2 et 3

À l'étape 1, le motif compte $3$ points. À l'étape 2, il en compte $5$ . À l'étape 3, il en compte $7$ . Combien de points à l'étape 10 ? À l'étape 100 ? Dessiner tous les motifs serait interminable : cherchons plutôt une régularité.

Regarde bien comment chaque motif est construit : à l'étape numéro $n$ , il y a $n$ points sur la branche horizontale, $n$ points sur la branche verticale, et $1$ point dans le coin. Le nombre total de points est donc :

n + n + 1 = 2 n + 1

Vérifions : à l'étape 3, la formule donne $2 \times 3 + 1 = 7$ points. C'est bien ce que montre la figure ! Et à l'étape 100, sans rien dessiner, on sait qu'il y aura $2 \times 100 + 1 = 201$ points.

Définition

Une expression littérale est une expression qui contient une ou plusieurs lettres. Chaque lettre désigne un nombre : soit n'importe quel nombre (on parle de variable), soit un nombre précis que l'on cherche (tu verras ce cas à la fin du chapitre).

L'intérêt d'une expression littérale, c'est de décrire une situation en général, pour toutes les valeurs possibles à la fois.

Exemple

Si $n$ désigne un nombre quelconque, on peut produire les formules suivantes :

le double de $n$ s'écrit $2 \times n$ , c'est-à-dire $2 n$ ;
le triple de $n$ s'écrit $3 n$ ;
la moitié de $n$ s'écrit $n \div 2$ ou $\frac{n}{2}$ ;
le successeur de $n$ (le nombre juste après) s'écrit $n + 1$ ;
le prédécesseur de $n$ (le nombre juste avant) s'écrit $n - 1$ ;
le carré de $n$ s'écrit $n \times n$ , c'est-à-dire $n^{2}$ .

Et en géométrie, si $c$ désigne la longueur du côté d'un carré : son périmètre vaut $4 c$ et son aire vaut $c^{2}$ . Pour un rectangle de longueur $L$ et de largeur $l$ : le périmètre vaut $2 \times (L + l)$ et l'aire vaut $L \times l$ .

Une même formule sert donc pour tous les carrés, tous les rectangles, toutes les étapes d'une suite de motifs : voilà ce que « généraliser » veut dire.

Les conventions d'écriture

Écrire $2 \times n + 1$ , $4 \times c$ , $L \times l$ … tous ces signes $\times$ alourdissent les expressions. Les mathématiciens ont adopté des conventions pour alléger l'écriture.

Méthode

Simplifier l'écriture d'une expression littérale. On supprime le signe $\times$ :

entre un nombre et une lettre : $3 \times x$ s'écrit $3 x$ ;
entre un nombre et une parenthèse : $5 \times (a + 2)$ s'écrit $5 (a + 2)$ ;
entre deux lettres : $L \times l$ s'écrit $L l$ .

De plus :

$x \times x$ s'écrit $x^{2}$ (« $x$ au carré ») ;
le nombre s'écrit toujours devant la lettre : on écrit $3 x$ et jamais $x 3$ ;
$1 \times x$ s'écrit tout simplement $x$ (le facteur $1$ est invisible).

En revanche, on ne supprime jamais le signe $\times$ entre deux nombres : $3 \times 5$ ne s'écrit pas $35$ !

Exemple

$7 \times a = 7 a$
$b \times 9 = 9 b$ (le nombre passe devant la lettre)
$2 \times (x + 5) = 2 (x + 5)$
$a \times b \times 4 = 4 a b$
$x \times x \times 3 = 3 x^{2}$
$1 \times y = y$

Attention ! L'écriture $3 x$ signifie $3 \times x$ , c'est-à-dire « trois fois le nombre $x$ ». Ce n'est pas « le chiffre 3 suivi du chiffre $x$ » : si $x = 5$ , alors $3 x = 3 \times 5 = 15$ , et surtout pas $35$ !

Calculer la valeur d'une expression : la substitution

Une expression littérale prend une valeur différente pour chaque valeur de la lettre. Calculer cette valeur, c'est faire une substitution : on remplace la lettre par le nombre choisi.

Méthode

Calculer la valeur d'une expression littérale pour une valeur donnée de la lettre :

On réécrit les signes $\times$ invisibles : $3 x + 2$ redevient $3 \times x + 2$ .
On remplace la lettre par sa valeur, partout où elle apparaît.
On calcule en respectant les priorités opératoires (parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions).

Exemple

Calculer $5 x + 3$ pour $x = 4$ .

\begin{aligned} 5 x + 3 & = 5 \times x + 3 \\ = 5 \times 4 + 3 \\ = 20 + 3 \\ = 23 \end{aligned}

La multiplication a bien été effectuée avant l'addition : calculer $5 \times 4$ d'abord, et non $4 + 3$ .

Calculer $2 (a + 7)$ pour $a = 3$ .

\begin{aligned} 2 (a + 7) & = 2 \times (a + 7) \\ = 2 \times (3 + 7) \\ = 2 \times 10 \\ = 20 \end{aligned}

Calculer $x^{2} + 4 x$ pour $x = 3$ .

\begin{aligned} x^{2} + 4 x & = x \times x + 4 \times x \\ = 3 \times 3 + 4 \times 3 \\ = 9 + 12 \\ = 21 \end{aligned}

Attention ! Ne confonds pas $x^{2}$ et $2 x$ : le carré $x^{2}$ veut dire $x \times x$ , tandis que $2 x$ veut dire $2 \times x$ . Pour $x = 3$ : $x^{2} = 9$ mais $2 x = 6$ . Ces deux expressions ne donnent presque jamais le même résultat.

Somme ou produit ?

Toute expression littérale a une nature : c'est une somme, une différence, un produit ou un quotient. Savoir la reconnaître te sera indispensable dans la section suivante.

Méthode

Déterminer la nature d'une expression littérale. La nature d'une expression est donnée par la dernière opération effectuée, en respectant les priorités opératoires.

Pour la trouver, imagine que tu substitues une valeur à la lettre et que tu calcules : quelle serait la toute dernière opération ? C'est elle qui donne son nom à l'expression.

Exemple

$3 x + 2$ : la multiplication $3 \times x$ est prioritaire, l'addition vient en dernier. C'est une somme, dont les termes sont $3 x$ et $2$ .
$5 (x + 4)$ : la parenthèse se calcule d'abord, la multiplication vient en dernier. C'est un produit, dont les facteurs sont $5$ et $(x + 4)$ .
$7 x$ : une seule opération, la multiplication $7 \times x$ . C'est un produit.
$x^{2} - 5$ : le carré se calcule d'abord, la soustraction vient en dernier. C'est une différence.

Pourquoi est-ce si important ? Parce que développer et factoriser, que tu vas découvrir maintenant, consistent précisément à transformer un produit en somme, et inversement. Impossible de transformer une expression si on ne sait pas dire ce qu'elle est au départ !

Développer, factoriser, réduire

Tu connais déjà la distributivité avec des nombres, vue dans le chapitre sur les priorités. La voici maintenant écrite en toute généralité, grâce aux lettres.

Propriété

Distributivité simple. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

k (a + b) = k a + k b

et, lorsque $a > b$ :

k (a - b) = k a - k b

Passer de $k (a + b)$ à $k a + k b$ , c'est-à-dire transformer un produit en somme, s'appelle développer.
Passer de $k a + k b$ à $k (a + b)$ , c'est-à-dire transformer une somme en produit en repérant le facteur commun $k$ , s'appelle factoriser.

Méthode

Développer une expression. On distribue le facteur devant la parenthèse à chaque terme de la parenthèse :

4 (x + 6) = 4 \times x + 4 \times 6 = 4 x + 24

3 (2 x - 5) = 3 \times 2 x - 3 \times 5 = 6 x - 15

Factoriser une expression. On repère le facteur commun aux deux termes et on le met en évidence devant une parenthèse :

7 x + 21 = 7 \times x + 7 \times 3 = 7 (x + 3)

5 x - 10 = 5 \times x - 5 \times 2 = 5 (x - 2)

Dans les deux sens, on peut vérifier son résultat en développant à nouveau, ou en substituant une valeur simple à $x$ dans les deux expressions.

Propriété

Réduire une expression de la forme $a x + b x$ . Grâce à la factorisation, on peut regrouper des termes qui contiennent la même lettre :

a x + b x = (a + b) x

Par exemple : $3 x + 5 x = (3 + 5) x = 8 x$ . Cela fonctionne aussi avec des coefficients décimaux : $2,5 x + 1,5 x = (2,5 + 1,5) x = 4 x$ , ou avec trois termes : $2 x + 3 x + 4 x = 9 x$ .

Exemple

Des calculs mentaux astucieux. La distributivité n'est pas qu'une affaire de lettres : elle rend des calculs redoutablement rapides.

$7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 7 \times 100 + 7 \times 3 = 700 + 21 = 721$
$25 \times 98 = 25 \times (100 - 2) = 25 \times 100 - 25 \times 2 = 2 500 - 50 = 2 450$

Découpe le nombre « pas rond » en une somme ou une différence avec un nombre rond, distribue, et le tour est joué.

Attention ! Quand tu développes, le facteur se distribue à tous les termes de la parenthèse, sans en oublier un seul. Écrire $3 (x + 2) = 3 x + 2$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre : le $2$ aussi doit être multiplié par $3$ , et le bon résultat est $3 x + 6$ .

Tester une égalité, démontrer, trouver un contre-exemple

Deux expressions littérales sont-elles égales ? Voici comment mener l'enquête, comme un vrai mathématicien.

Méthode

Tester une égalité pour une valeur donnée de la lettre.

On calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite, en substituant la valeur choisie.
On compare les deux résultats : s'ils sont égaux, l'égalité est vraie pour cette valeur ; sinon, elle est fausse pour cette valeur.

On ne calcule jamais « en travers » de l'égalité : deux calculs bien séparés, puis une comparaison.

Exemple

L'égalité $4 x + 1 = 2 x + 7$ est-elle vraie pour $x = 3$ ?

Membre de gauche : $4 \times 3 + 1 = 12 + 1 = 13$ .
Membre de droite : $2 \times 3 + 7 = 6 + 7 = 13$ .

Les deux membres valent $13$ : l'égalité est vraie pour $x = 3$ .

Et pour $x = 5$ ?

Membre de gauche : $4 \times 5 + 1 = 21$ .
Membre de droite : $2 \times 5 + 7 = 17$ .

$21 \neq 17$ : l'égalité est fausse pour $x = 5$ . Une égalité peut donc être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres !

Propriété

Une égalité vraie pour quelques valeurs testées n'est pas forcément vraie pour toutes les valeurs : tester ne suffit jamais à démontrer qu'une égalité est toujours vraie.
En revanche, un seul contre-exemple suffit à démontrer qu'une assertion est fausse : si on trouve une valeur pour laquelle l'égalité ne marche pas, l'affaire est réglée.
Pour démontrer qu'une égalité est vraie pour toutes les valeurs de la lettre, on utilise le calcul littéral : on transforme un membre (par exemple en développant) jusqu'à obtenir exactement l'autre membre.

Exemple

Démontrer que $5 (x + 2) = 5 x + 10$ pour tout nombre $x$ . On développe le membre de gauche :

5 (x + 2) = 5 \times x + 5 \times 2 = 5 x + 10

On obtient exactement le membre de droite : l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de $x$ , sans avoir besoin d'en tester aucune. C'est ça, la puissance du calcul littéral : un seul calcul remplace une infinité de vérifications.

Démontrer que l'assertion « $3 (x + 2) = 3 x + 2$ pour tout $x$ » est fausse. Cherchons un contre-exemple, par exemple $x = 1$ :

Membre de gauche : $3 \times (1 + 2) = 3 \times 3 = 9$ .
Membre de droite : $3 \times 1 + 2 = 5$ .

$9 \neq 5$ : l'égalité est fausse pour $x = 1$ , donc l'assertion est fausse. Un seul contre-exemple a suffi.

Pour conjecturer si une égalité semble toujours vraie, un tableur est un allié précieux : une colonne pour les valeurs de $x$ , une colonne qui calcule le membre de gauche, une colonne pour le membre de droite. Si les deux colonnes coïncident sur des dizaines de valeurs, on peut formuler la conjecture « l'égalité semble vraie pour tout $x$ »… mais seule une démonstration par le calcul littéral transforme cette conjecture en certitude. Un programme qui teste automatiquement de nombreuses valeurs joue exactement le même rôle.

La lettre inconnue : résoudre une équation

Jusqu'ici, la lettre désignait « n'importe quel nombre ». Elle change maintenant de statut : elle désigne un nombre précis mais caché, que l'on cherche. On l'appelle l'inconnue.

Tu résous déjà ce genre de problème depuis longtemps, sous forme d'opérations à trous : compléter $3 \times ? = 51$ , c'est chercher le nombre caché derrière le point d'interrogation. En remplaçant le trou par une lettre, on obtient l'équation $3 x = 51$ .

Définition

Une équation est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre, appelée l'inconnue.

Une solution de l'équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.

Méthode

Résoudre une équation par les opérations inverses.

Équation du type $a x = c$ : le nombre $x$ a été multiplié par $a$ . Pour le retrouver, on effectue l'opération inverse : on divise $c$ par $a$ , donc $x = c \div a$ .
Équation du type $x + b = c$ : on a ajouté $b$ au nombre $x$ . Pour le retrouver, on effectue l'opération inverse : on soustrait $b$ à $c$ , donc $x = c - b$ .

Dans tous les cas, on termine par une vérification : on remplace $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ, et on contrôle que l'égalité est vraie.

Exemple

Résoudre l'équation $3 x = 51$ .

Le nombre $x$ a été multiplié par $3$ et le résultat est $51$ . L'opération inverse de la multiplication par $3$ est la division par $3$ :

x = 51 \div 3 = 17

Vérification : $3 \times 17 = 51$ . C'est bien l'égalité de départ : la solution de l'équation est $17$ .

Résoudre l'équation $x + 8 = 20$ .

On a ajouté $8$ au nombre $x$ et le résultat est $20$ . L'opération inverse de l'addition de $8$ est la soustraction de $8$ :

x = 20 - 8 = 12

Vérification : $12 + 8 = 20$ . L'égalité est vraie : la solution de l'équation est $12$ .

Attention ! La vérification n'est pas une option : c'est elle qui te garantit que tu n'as pas confondu les opérations inverses. Prends le réflexe : « j'ai trouvé une valeur, je la remets dans l'équation, je vérifie que l'égalité est vraie. » Dix secondes qui sauvent bien des points.

Les équations servent à modéliser des problèmes concrets. Par exemple : « Un lot de $3$ places de cinéma identiques coûte $25,50$ €. Quel est le prix d'une place ? » Si $x$ désigne le prix d'une place, la situation se traduit par l'équation $3 x = 25,50$ , dont la solution est $x = 25,50 \div 3 = 8,50$ . Une place coûte $8,50$ €.

Un peu d'histoire. Au IXe siècle, à Bagdad, le savant persan Al-Khwarizmi rédige un traité consacré à la résolution des équations. Il y décrit des méthodes systématiques, dont une opération appelée al-jabr (« la restauration »), qui traite les équations du type $x + b = c$ , et une autre appelée al-hatt, qui permet de ramener une équation du type $a x = c$ à la valeur de l'inconnue. Le mot al-jabr, passé en latin puis en français, a donné… algèbre ! Et le nom d'Al-Khwarizmi lui-même, déformé au fil des traductions, est à l'origine du mot algorithme. Quand tu résous $x + 8 = 20$ , tu utilises donc une méthode vieille de plus de mille ans, mise au point bien avant l'invention des notations $x$ et $=$ que tu utilises aujourd'hui : à l'époque, tout s'écrivait en toutes lettres, en arabe.

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