Repérage dans le plan

Tu as sûrement déjà joué à la bataille navale : pour annoncer un tir, tu dis « B4 », c'est-à-dire une lettre pour la colonne et un chiffre pour la ligne. Deux informations suffisent pour désigner une case sans jamais se tromper. C'est exactement le même principe qui permet à un GPS de te localiser n'importe où sur Terre avec deux nombres (la latitude et la longitude), à ton écran d'allumer précisément un pixel parmi des millions, ou à un jeu vidéo de savoir où se trouve ton personnage sur la carte. Repérer une position avec des nombres : voilà tout le programme de ce chapitre.

Cette idée simple et géniale est attribuée au mathématicien et philosophe français René Descartes, au XVIIe siècle : c'est en son honneur qu'on parle encore aujourd'hui de repère « cartésien ».

Nous allons procéder en deux temps : d'abord se repérer sur une droite (un seul nombre suffit), puis dans le plan tout entier (il en faut deux).

L'abscisse d'un point sur une droite graduée

Tu connais déjà la droite graduée depuis le chapitre sur les nombres relatifs. Commençons par remettre en place le vocabulaire, car tout le reste du chapitre repose dessus.

Toutes les droites graduées ne sont pas graduées de $1$ en $1$. Selon les nombres à placer, on choisit un pas de graduation adapté : de $1$ en $1$, de $\mathrm{0,5}$ en $\mathrm{0,5}$, de $10$ en $10$… C'est une question de bon sens : pour placer $-\mathrm{2,5}$, une graduation tous les $\mathrm{0,5}$ est idéale ; pour placer $40$, on préférera une graduation tous les $10$. Avant toute lecture, la première question à se poser est donc : combien vaut une graduation ?

Sur une droite graduée, un seul nombre suffit pour repérer un point : c'est très efficace, mais cela ne fonctionne que si tous les points sont alignés sur la droite. Pour repérer un point n'importe où dans le plan (une case de bataille navale, une ville sur une carte, un pixel sur un écran), il va falloir enrichir l'outil.

Le repère orthogonal

L'idée de Descartes est d'une simplicité désarmante : au lieu d'une seule droite graduée, on en croise deux.

Prends le temps d'observer cette figure, car tout le vocabulaire du chapitre y est rassemblé :

• l'axe des abscisses est horizontal : ses nombres se lisent comme sur une droite graduée ordinaire, positifs à droite de $O$, négatifs à gauche ;
• l'axe des ordonnées est vertical : positifs au-dessus de $O$, négatifs en dessous ;
• les deux axes se croisent à angle droit en l'origine $O$, qui porte le nombre $0$ sur chacun des deux axes ;
• les flèches au bout des axes indiquent le sens des nombres croissants.

Le mot « orthogonal » signifie simplement « à angle droit » : les deux axes sont perpendiculaires. Sur la figure, un point $M$ est déjà placé, avec des pointillés qui le relient aux deux axes : c'est justement grâce à ces pointillés qu'on va pouvoir le repérer par des nombres.

Une dernière remarque de vocabulaire : chaque axe est une droite graduée à part entière, avec sa propre unité. Les deux unités sont souvent égales, mais rien ne l'oblige : sur un graphique, l'axe horizontal peut avancer de $1$ en $1$ pendant que l'axe vertical avance de $10$ en $10$. Il faudra donc toujours vérifier les graduations des deux axes.

Les coordonnées d'un point

Nous y voilà : comment repérer le point $M$ de la figure précédente avec des nombres ?

Reprends la figure du repère : le pointillé vertical qui part de $M$ tombe sur le $3$ de l'axe des abscisses, et le pointillé horizontal tombe sur le $2$ de l'axe des ordonnées. C'est pour cela que $M$ a pour coordonnées $(3;2)$.

L'ordre des coordonnées est une convention absolue : tout le monde, partout dans le monde, écrit l'abscisse en premier. Deux moyens mnémotechniques pour ne jamais te tromper :

• l'ordre alphabétique : abscisse avant ordonnée, comme la lettre a avant la lettre o dans l'alphabet ;
• le déplacement : pour atteindre un point depuis l'origine, « on marche avant de monter ». D'abord le déplacement horizontal (l'abscisse), ensuite le déplacement vertical (l'ordonnée).

Un conseil de rédaction pour tes copies : quand un exercice demande les coordonnées d'un point, réponds toujours par le couple complet, par exemple « $B(-3;1)$ », et non par un nombre isolé. Une coordonnée seule ne suffit jamais à repérer un point du plan, exactement comme « colonne B » ne suffit pas à couler un navire à la bataille navale.

Des coordonnées décimales

Comme sur une droite graduée, les axes d'un repère ne sont pas toujours gradués de $1$ en $1$. Quand les points à repérer ne tombent pas sur des nombres entiers, on choisit un pas plus fin, par exemple $\mathrm{0,5}$. Le réflexe reste exactement le même que sur la droite graduée : avant toute lecture, je regarde combien vaut une graduation sur chaque axe.

Points particuliers et pièges à éviter

Certains points du repère occupent des positions spéciales : sur les axes, ou à l'origine. Leurs coordonnées ont alors une forme bien reconnaissable, qu'il faut connaître par cœur.

Les deux axes partagent le plan en quatre régions. Connaître le signe des coordonnées dans chaque région permet de vérifier une lecture d'un simple coup d'œil. Reprends la figure de la section « Les coordonnées d'un point » : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ occupent justement les quatre régions du repère.

Avant de rendre une copie, ce tableau te donne un test de cohérence gratuit : si tu as lu des coordonnées toutes deux négatives pour un point situé en haut à droite du repère, il y a forcément une erreur quelque part. Inversement, si on te demande de placer un point d'abscisse négative et d'ordonnée positive, tu sais avant même de dessiner qu'il atterrira en haut à gauche.

Attention aux confusions fréquentes.

• L'ordre compte : $(2;3)$ et $(3;2)$ sont deux points différents. Le premier est à $2$ vers la droite et $3$ vers le haut, le second à $3$ vers la droite et $2$ vers le haut. Échanger l'abscisse et l'ordonnée est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
• Le signe fait partie de la coordonnée : oublier un signe $-$ envoie le point dans une autre région du repère.
• Un point sur un axe n'est pas un cas à part : il a deux coordonnées comme tout le monde, simplement l'une des deux vaut $0$. Et pour l'origine, les deux valent $0$.
• Vérifie le pas des graduations sur chaque axe avant de lire ou de placer quoi que ce soit : c'est le premier réflexe, et il évite la moitié des erreurs.

Des figures dans un repère

Le repère ne sert pas qu'à placer des points isolés : c'est aussi une façon très précise de décrire des figures. Au lieu de dessiner un rectangle « à peu près », on donne les coordonnées de ses sommets, et n'importe qui peut le reconstruire exactement. C'est d'ailleurs ainsi que les jeux vidéo, les logiciels de dessin et les cartes enregistrent les formes : uniquement avec des listes de coordonnées.

Symétrie et coordonnées : une belle observation

Pour finir, un joli réinvestissement de la symétrie axiale que tu connais depuis la 6e. Les deux axes du repère sont des droites comme les autres : on peut donc chercher le symétrique d'un point par rapport à l'un d'eux, et observer ce que deviennent ses coordonnées.

Ce que nous venons de constater sur des exemples s'appelle une conjecture : une règle que l'on devine en observant, sans l'avoir encore démontrée. Tu apprendras plus tard à la justifier rigoureusement ; en attendant, elle te permet déjà de prévoir des coordonnées sans dessiner, et de vérifier tes constructions de symétriques dans un repère. Si ton symétrique par rapport à un axe ne change pas exactement un signe des coordonnées, c'est que la construction est à revoir.

Pour la culture : Descartes et la mouche au plafond

Une célèbre légende raconte comment René Descartes aurait eu l'idée des coordonnées. Malade et alité, il observait une mouche se promener au plafond de sa chambre et se demanda comment décrire précisément sa position à chaque instant. Sa réponse : il suffit de mesurer la distance de la mouche à deux murs perpendiculaires. Deux nombres, et la position est connue sans ambiguïté ! L'anecdote est probablement embellie, mais l'idée, elle, est bien réelle : en publiant sa Géométrie en $1637$, Descartes a jeté un pont entre deux mondes que l'on croyait séparés, les nombres et les figures. Grâce au repère, une figure géométrique peut se décrire par des nombres, et des calculs sur les nombres peuvent démontrer des propriétés géométriques. Cette rencontre a tellement transformé les mathématiques qu'on lui a donné un nom en son honneur : la géométrie cartésienne. Chaque fois que tu utilises un GPS, que tu déplaces un personnage dans un jeu vidéo ou que tu lis un graphique, c'est un peu la mouche de Descartes qui se promène encore.

Ce qu'il faut retenir

• Sur une droite graduée, un point est repéré par un seul nombre, son abscisse : $A(-4)$. Toujours vérifier le pas de la graduation avant de lire ou de placer.
• Un repère orthogonal est formé de deux droites graduées perpendiculaires de même origine $O$ : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical).
• Dans le plan, un point est repéré par ses coordonnées : le couple (abscisse ; ordonnée), dans cet ordre. On note $M(3;2)$.
• Pour lire : pointillé vertical vers l'axe des abscisses, pointillé horizontal vers l'axe des ordonnées. Pour placer : « on marche avant de monter ».
• L'origine a pour coordonnées $O(0;0)$ ; un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle, un point de l'axe des ordonnées a une abscisse nulle.
• Les signes des coordonnées indiquent la région du repère où se trouve le point : un excellent moyen de vérifier sa lecture.

Tu sais maintenant repérer n'importe quel point du plan avec deux nombres, comme Descartes. C'est un outil que tu retrouveras partout : dans les cartes et les plans, dans les jeux vidéo, et dans presque tous les chapitres de mathématiques des années à venir.