5ᵉ · Chapitre 05 · Nombres et calculs

Puissances : carré et cube

Notation puissance (exposants 2 et 3), carrés des entiers de 0 à 12, cube de 10.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Notation puissance (exposants 2 et 3)
Carrés des entiers de 0 à 12
Cube de 10

Multiplier un nombre par lui-même, cela arrive tout le temps en mathématiques : pour calculer l'aire d'un carré, le volume d'un cube, ou simplement dans les enchaînements d'opérations. Plutôt que d'écrire de longues multiplications, les mathématiciens ont inventé une écriture abrégée : la notation puissance. Dans ce chapitre, tu vas découvrir les deux puissances au programme de cinquième, le carré et le cube, apprendre les carrés à connaître par cœur, et comprendre d'où viennent ces deux mots.

La notation puissance : carré et cube

Définition

Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même :

a^{2} = a \times a .

L'écriture $a^{2}$ se lit « $a$ au carré ». Le petit $2$ écrit en haut à droite s'appelle l'exposant : il indique que le nombre $a$ apparaît deux fois dans la multiplication.

Le cube d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même, puis encore une fois par lui-même :

a^{3} = a \times a \times a .

L'écriture $a^{3}$ se lit « $a$ au cube » : cette fois, l'exposant est $3$ , et le nombre $a$ apparaît trois fois dans la multiplication.

Exemple

Des carrés. Le carré de $7$ vaut $7^{2} = 7 \times 7 = 49$ . Le carré de $12$ vaut $12^{2} = 12 \times 12 = 144$ . Et cela fonctionne aussi avec les décimaux : ${2,5}^{2} = 2,5 \times 2,5 = 6,25$ , et ${0,3}^{2} = 0,3 \times 0,3 = 0,09$ .

Des cubes. Le cube de $4$ vaut $4^{3} = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$ . Le cube de $2$ vaut $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ . Avec un décimal : ${0,5}^{3} = 0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$ .

Deux cas tout simples. Le carré de $1$ vaut $1^{2} = 1 \times 1 = 1$ , et le carré de $0$ vaut $0^{2} = 0 \times 0 = 0$ . Ces deux nombres ne changent pas quand on les élève au carré… ni au cube d'ailleurs : $1^{3} = 1$ et $0^{3} = 0$ .

Attention au piège le plus répandu de ce chapitre ! L'exposant n'est pas un facteur de la multiplication : il compte les facteurs. Ainsi $5^{2}$ ne signifie pas $5 \times 2$ : on a $5^{2} = 5 \times 5 = 25$ , et non $10$ . De même, $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ , et non $6$ . Remarque au passage que l'ordre a de l'importance : $2^{3} = 8$ alors que $3^{2} = 9$ . Ce sont deux nombres différents !

Les carrés à connaître : les carrés parfaits

Le programme demande de connaître par cœur les carrés des nombres entiers de $0$ à $12$ , exactement comme tu connais tes tables de multiplication. C'est un petit investissement qui te fera gagner du temps pendant des années.

Propriété

Les carrés des entiers de $0$ à $12$ , à mémoriser :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$n^{2}$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

Définition

Un carré parfait est un nombre entier qui est le carré d'un nombre entier. Les nombres de la deuxième ligne du tableau ( $0$ ; $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ …) sont donc tous des carrés parfaits.

Par exemple, $49$ est un carré parfait car $49 = 7^{2}$ . En revanche, $50$ n'est pas un carré parfait : il n'apparaît pas dans la liste, car $7^{2} = 49$ et $8^{2} = 64$ .

Méthode

Encadrer un nombre entre deux carrés parfaits consécutifs. Prenons le nombre $90$ .

On parcourt la liste des carrés parfaits jusqu'à dépasser $90$ : … $64$ ; $81$ ; $100$ . Stop !
Le nombre $90$ est compris entre $81$ et $100$ , deux carrés parfaits qui se suivent dans la liste.
On écrit l'encadrement avec la notation puissance :

9^{2} < 90 < 10^{2} .

Exemple

Le nombre $121$ est-il un carré parfait ? Oui : il figure dans le tableau, car $11^{2} = 121$ .

Et le nombre $110$ ? On regarde la liste : $100 = 10^{2}$ et $121 = 11^{2}$ se suivent, et $110$ est entre les deux. Il n'est le carré d'aucun nombre entier : $110$ n'est pas un carré parfait, et on peut écrire $10^{2} < 110 < 11^{2}$ .

Encore un : $130$ . Comme $121 = 11^{2}$ et $144 = 12^{2}$ , on obtient l'encadrement $11^{2} < 130 < 12^{2}$ . Tu vois l'intérêt de connaître le tableau par cœur : la réponse est immédiate.

Le carré et le cube de 10

Le nombre $10$ est la star de notre système de numération : son carré et son cube méritent donc une attention particulière.

Propriété

10^{2} = 10 \times 10 = 100 et 10^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1 000.

Autrement dit : $10$ au carré, c'est cent ; $10$ au cube, c'est mille. Un bon moyen de retenir : l'exposant donne le nombre de zéros ( $10^{2}$ s'écrit avec $2$ zéros, $10^{3}$ avec $3$ zéros).

Exemple

Ces deux puissances permettent d'écrire certains nombres de façon très compacte.

Écrire $4 000$ avec une puissance de $10$ . On remarque que $4 000 = 4 \times 1 000$ , donc :

4 000 = 4 \times 10^{3} .

Écrire $700$ avec une puissance de $10$ . De même, $700 = 7 \times 100$ , donc $700 = 7 \times 10^{2}$ .

Dans l'autre sens. Le nombre $9 \times 10^{2}$ vaut $9 \times 100 = 900$ , et le nombre $6 \times 10^{3}$ vaut $6 \times 1 000 = 6 000$ .

Pour la suite de ta scolarité. En quatrième, tu découvriras les puissances de $10$ avec n'importe quel exposant, et une écriture appelée notation scientifique que les scientifiques utilisent pour manipuler les très grands nombres (la distance Terre-Soleil) comme les très petits (la taille d'un atome). Les écritures de ce paragraphe en sont les toutes premières briques.

Puissances et priorités opératoires

Tu as appris en début d'année, dans le chapitre sur les enchaînements d'opérations, que la multiplication et la division se calculent avant l'addition et la soustraction, et que les parenthèses passent avant tout. Où placer les puissances dans cet ordre ? Tout en haut, juste sous les parenthèses.

Propriété

Dans un calcul sans parenthèses, on effectue :

d'abord les puissances (carrés et cubes) ;
puis les multiplications et divisions ;
enfin les additions et soustractions.

Les parenthèses restent prioritaires sur tout le reste : on commence toujours par calculer ce qu'elles contiennent.

Exemple

La puissance avant la multiplication. Pour calculer $3 \times 5^{2}$ , on commence par la puissance : $5^{2} = 25$ , puis $3 \times 25 = 75$ . Mais dans $(3 \times 5)^{2}$ , les parenthèses passent d'abord : $3 \times 5 = 15$ , puis $15^{2} = 225$ . Deux écritures qui se ressemblent, deux résultats très différents !

La puissance avant l'addition. De même, $2 + 4^{2} = 2 + 16 = 18$ , alors que $(2 + 4)^{2} = 6^{2} = 36$ .

Le piège classique dans $3 \times 5^{2}$ , c'est de calculer $3 \times 5$ d'abord et de trouver $225$ : sans parenthèses, seul le $5$ est élevé au carré.

Méthode

Calculer $A = 40 - 2 \times 3^{2}$ en détaillant les étapes.

On observe le calcul : il contient une soustraction, une multiplication et une puissance, mais aucune parenthèse.
On calcule d'abord la puissance : $3^{2} = 9$ .
Puis la multiplication : $2 \times 9 = 18$ .
Enfin la soustraction : $40 - 18 = 22$ .

On rédige en colonne, une seule opération par ligne :

\begin{aligned} A & = 40 - 2 \times 3^{2} \\ = 40 - 2 \times 9 \\ = 40 - 18 \\ = 22 \end{aligned}

Avec des parenthèses, tout change. Pour $B = (7 - 4)^{3} + 5$ , on calcule d'abord l'intérieur des parenthèses : $7 - 4 = 3$ , puis la puissance : $3^{3} = 27$ , et enfin l'addition : $B = 27 + 5 = 32$ .

Carrés, cubes et géométrie

Pourquoi dit-on « au carré » et « au cube » ? La réponse se trouve en géométrie, et elle est très concrète.

Propriété

L'aire d'un carré de côté $c$ s'obtient en multipliant le côté par lui-même :

Aire = c \times c = c^{2} .

Le volume d'un cube d'arête $c$ s'obtient en multipliant l'arête deux fois par elle-même :

Volume = c \times c \times c = c^{3} .

C'est exactement l'origine des deux mots : élever un nombre au carré, c'est calculer l'aire du carré qui a ce nombre pour côté ; l'élever au cube, c'est calculer le volume du cube qui a ce nombre pour arête.

Regarde ce carré de côté $5$ : chaque ligne contient $5$ carreaux, et il y a $5$ lignes. Il est donc pavé par $5 \times 5 = 5^{2} = 25$ carreaux unité.

Un carré de côté 5 découpé en 25 carreaux unité

Même principe en volume avec ce cube d'arête $3$ : chaque étage contient $3 \times 3 = 9$ petits cubes, et il y a $3$ étages. Le cube est donc rempli par $3 \times 3 \times 3 = 3^{3} = 27$ petits cubes unité.

Un cube d'arête 3 découpé en 27 petits cubes unité

Exemple

Une aire. Un carreau de carrelage est un carré de $2,5 dm$ de côté. Son aire vaut ${2,5}^{2} = 6,25$ , soit $6,25 {dm}^{2}$ . N'oublie pas l'unité : le côté est en décimètres, donc l'aire est en décimètres carrés — le mot « carré » est jusque dans l'unité !

Un volume. Un dé à jouer est un cube de $2 cm$ d'arête. Son volume vaut $2^{3} = 8$ , soit $8 {cm}^{3}$ (des centimètres cubes, là encore le vocabulaire du chapitre).

Les deux réunis. Un cube d'arête $10 cm$ a un volume de $10^{3} = 1 000 {cm}^{3}$ , c'est-à-dire $1 {dm}^{3}$ : c'est exactement le volume d'un litre.

Pour la culture : des cailloux et des grains de riz

Bien avant l'invention de la notation puissance, les mathématiciens grecs de l'école de Pythagore, vers $500$ avant J.-C., étudiaient les nombres en disposant des cailloux sur le sable. Ils avaient remarqué que certaines quantités, comme $1$ , $4$ , $9$ ou $16$ , se rangent exactement en carré : ce sont nos carrés parfaits, qu'ils appelaient déjà nombres carrés. Le mot « exposant », lui, est bien plus récent : la notation avec un petit chiffre surélevé a été popularisée par René Descartes en $1637$ , dans le livre même où il inventait les repères que tu utilises en géométrie. Enfin, une célèbre légende indienne raconte que le sage Sissa, inventeur du jeu d'échecs, demanda comme récompense un grain de riz sur la première case de l'échiquier, puis le double sur chaque case suivante, en doublant ainsi $63$ fois de suite. Le roi accepta en riant… avant de découvrir qu'il devait plus de dix-huit milliards de milliards de grains, de quoi recouvrir son royaume tout entier. Doubler encore et encore fait grandir les nombres à une vitesse vertigineuse : c'est toute la puissance… des puissances.

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