3ᵉ · Chapitre 11 · Espace et géométrie

Trigonométrie

Cosinus, sinus, tangente dans le triangle rectangle, calculs de longueurs et d'angles.

Ce qu'il faut savoir faire

Cosinus
Sinus
Tangente dans le triangle rectangle
Calculs de longueurs et d'angles

Comment mesurer la hauteur d'une falaise sans l'escalader, ou l'angle d'inclinaison d'une rampe sans rapporteur géant ? La trigonométrie répond exactement à ce genre de questions : elle relie les angles et les longueurs dans un triangle rectangle. Tu as déjà fait un premier pas en 4e avec le cosinus ; cette année, deux nouveaux rapports le rejoignent, le sinus et la tangente, et tu apprendras aussi à retrouver un angle à partir des longueurs.

Les trois côtés du triangle rectangle

Tout part d'un triangle rectangle et de l'un de ses angles aigus. Une fois cet angle choisi, chacun des trois côtés reçoit un nom.

Définition

Soit un triangle $A B C$ rectangle en $B$ , et considérons son angle aigu $\hat{A}$ .

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : ici $[A C]$ . C'est le plus grand côté du triangle.
Le côté adjacent à $\hat{A}$ est le côté de l'angle $\hat{A}$ qui n'est pas l'hypoténuse : ici $[A B]$ .
Le côté opposé à $\hat{A}$ est le côté qui fait face à l'angle $\hat{A}$ , celui qui ne le touche pas : ici $[B C]$ .

Triangle ABC rectangle en B ; l'angle aigu de sommet A est marqué d'un arc ; l'hypoténuse [AC], le côté adjacent [AB] et le côté opposé [BC] sont étiquetés

Tu connais l'hypoténuse depuis Pythagore, et le côté adjacent depuis le cosinus de 4e. La nouveauté, c'est le côté opposé. Attention au point le plus important du chapitre : l'hypoténuse ne bouge jamais, mais opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi. Dans le même triangle $A B C$ , si on regarde maintenant l'autre angle aigu $\hat{C}$ , les rôles s'échangent : $[B C]$ devient le côté adjacent à $\hat{C}$ , et $[A B]$ devient le côté opposé à $\hat{C}$ . Avant tout calcul, prends donc le réflexe de repérer l'angle sur la figure, puis de nommer les côtés par rapport à cet angle-là.

Cosinus, sinus et tangente

En 4e, tu as appris que le quotient $\frac{adjacent}{hypoténuse}$ ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle : c'est le cosinus. La même idée fonctionne avec les deux autres quotients possibles, et chacun reçoit un nom.

Définition

Soit un triangle $A B C$ rectangle en $B$ . Pour l'angle aigu $\hat{A}$ :

\cos (\hat{A}) = \frac{côté adjacent}{hypoténuse} = \frac{A B}{A C}

\sin (\hat{A}) = \frac{côté opposé}{hypoténuse} = \frac{B C}{A C}

\tan (\hat{A}) = \frac{côté opposé}{côté adjacent} = \frac{B C}{A B}

Pour retenir les trois formules d'un coup, utilise le moyen mnémotechnique CAH SOH TOA : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse, Sinus = Opposé sur Hypoténuse, Tangente = Opposé sur Adjacent. Répète-le quelques fois, il te servira à chaque exercice du chapitre.

Au passage, tu peux faire une jolie observation : le côté opposé à $\hat{A}$ est aussi le côté adjacent à $\hat{C}$ , et réciproquement. Le sinus d'un angle aigu est donc égal au cosinus de l'autre angle aigu : $\sin (\hat{A}) = \cos (\hat{C}) = \frac{B C}{A C}$ .

Propriété

Pour tout angle aigu $\hat{A}$ d'un triangle rectangle :

0 < \cos (\hat{A}) < 1 et 0 < \sin (\hat{A}) < 1.

En effet, dans ces deux quotients, le dénominateur est l'hypoténuse, qui est le plus grand côté du triangle : le quotient est donc toujours plus petit que $1$ .

En revanche, la tangente peut dépasser $1$ : c'est le quotient des deux côtés de l'angle droit, et rien n'empêche le côté opposé d'être plus grand que le côté adjacent.

C'est un excellent moyen de contrôle : si ta calculatrice affiche un cosinus ou un sinus supérieur à $1$ , il y a forcément une erreur quelque part. En parlant de calculatrice : vérifie toujours qu'elle est en mode degrés (souvent noté « D » ou « DEG » à l'écran) avant d'utiliser les touches cos, sin et tan. C'est l'erreur matérielle la plus fréquente du chapitre. Pour tester, calcule $\cos (60^{\circ})$ : tu dois obtenir exactement $0,5$ .

Calculer une longueur

Premier grand usage de la trigonométrie : connaissant un angle aigu et une longueur, calculer une autre longueur du triangle. Voici la méthode à suivre pas à pas.

Méthode

Calculer une longueur avec la trigonométrie.

On cite le triangle rectangle et son angle droit : c'est ce qui donne le droit d'utiliser cosinus, sinus ou tangente.
On repère l'angle aigu connu, puis on nomme les deux côtés en jeu (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche) par rapport à cet angle : cela détermine le bon rapport grâce à CAH SOH TOA.
On écrit l'égalité, on remplace par les valeurs connues, puis on isole l'inconnue.
On calcule à la calculatrice (mode degrés !) et on arrondit avec le symbole $\approx$ , en concluant par une phrase avec l'unité.

Exemple

Le triangle $M N P$ est rectangle en $P$ , avec $\hat{M} = 37^{\circ}$ et $M N = 9$ cm. Calculer $N P$ , arrondi au millimètre.

Le triangle $M N P$ est rectangle en $P$ : on peut utiliser la trigonométrie avec l'angle $\hat{M}$ .

Par rapport à l'angle $\hat{M}$ : le côté $[M N]$ est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit $\hat{P}$ ), et le côté $[N P]$ , qui fait face à $\hat{M}$ , est le côté opposé. Les deux côtés en jeu sont l'opposé et l'hypoténuse : c'est le sinus (SOH).

\sin (\hat{M}) = \frac{N P}{M N}, c’est-à-dire \sin (37^{\circ}) = \frac{N P}{9} .

On isole l'inconnue :

N P = 9 \times \sin (37^{\circ}) \approx 9 \times 0,6018 \approx 5,416.

Donc $N P \approx 5,4$ cm.

Exemple

Le triangle $R S T$ est rectangle en $S$ , avec $\hat{R} = 52^{\circ}$ et $R S = 4$ cm. Calculer $S T$ , arrondi au millimètre.

Le triangle $R S T$ est rectangle en $S$ : on peut utiliser la trigonométrie avec l'angle $\hat{R}$ .

Par rapport à l'angle $\hat{R}$ : le côté $[R S]$ touche l'angle $\hat{R}$ sans être l'hypoténuse, c'est le côté adjacent ; le côté $[S T]$ , qui fait face à $\hat{R}$ , est le côté opposé. Les deux côtés en jeu sont l'opposé et l'adjacent : c'est la tangente (TOA).

\tan (\hat{R}) = \frac{S T}{R S}, c’est-à-dire \tan (52^{\circ}) = \frac{S T}{4} .

On isole l'inconnue :

S T = 4 \times \tan (52^{\circ}) \approx 4 \times 1,2799 \approx 5,12.

Donc $S T \approx 5,1$ cm.

Dans ces deux exemples, l'inconnue était au numérateur : on isole en multipliant. Mais si c'est l'hypoténuse qu'on cherche, elle est au dénominateur, et on obtient une division. Par exemple, si un triangle rectangle a un côté opposé de $5,4$ cm face à un angle de $37^{\circ}$ , son hypoténuse vaut $5,4 \div \sin (37^{\circ}) \approx 9$ cm.

Calculer un angle

Deuxième grand usage, et c'est la vraie nouveauté de la 3e : retrouver la mesure d'un angle à partir de deux longueurs. Ta calculatrice possède pour cela les touches $\cos^{- 1}$ , $\sin^{- 1}$ et $\tan^{- 1}$ (souvent accessibles par la touche « seconde » ou « shift ») : elles font le chemin inverse, du quotient vers l'angle.

Méthode

Calculer un angle avec la trigonométrie.

On cite le triangle rectangle, puis on nomme les deux côtés connus par rapport à l'angle cherché, et on écrit le rapport correspondant (CAH SOH TOA).
On remplace par les valeurs et on obtient le quotient (on peut le laisser en fraction).
On utilise la touche $\cos^{- 1}$ , $\sin^{- 1}$ ou $\tan^{- 1}$ de la calculatrice, en mode degrés.
On arrondit avec $\approx$ et on conclut avec l'unité (le degré).

Exemple

Le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ , avec $B C = 5$ cm et $A B = 7$ cm. Calculer $\hat{A}$ , arrondi au degré.

Le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ : on peut utiliser la trigonométrie avec l'angle $\hat{A}$ .

Par rapport à l'angle $\hat{A}$ : $[B C]$ est le côté opposé et $[A B]$ est le côté adjacent. Les deux côtés connus sont l'opposé et l'adjacent : c'est la tangente (TOA).

\tan (\hat{A}) = \frac{B C}{A B} = \frac{5}{7} .

Avec la touche $\tan^{- 1}$ de la calculatrice, en mode degrés :

\hat{A} = \tan^{- 1} (\frac{5}{7}) \approx {35,54}^{\circ} .

Donc $\hat{A} \approx 36^{\circ}$ .

Une fois un angle aigu calculé, inutile de recommencer pour l'autre : la somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ , et l'angle droit en occupe déjà $90^{\circ}$ . Ici, $\hat{C} \approx 180 - 90 - 36 = 54$ , donc $\hat{C} \approx 54^{\circ}$ , sans toucher à la calculatrice.

Quel rapport choisir ?

Toute la difficulté du chapitre tient en une question : cosinus, sinus ou tangente ? La réponse ne dépend que d'une chose : quels sont les deux côtés en jeu (connus ou cherchés) par rapport à l'angle considéré. Repère-les, et CAH SOH TOA fait le reste.

Côtés en jeu (par rapport à l'angle)	Rapport à utiliser
adjacent et hypoténuse	cosinus
opposé et hypoténuse	sinus
opposé et adjacent	tangente

Ce qu'il faut retenir

Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu définit son côté opposé et son côté adjacent, l'hypoténuse restant la même pour tout le monde ; c'est toujours par ce repérage des côtés qu'un exercice de trigonométrie commence. Les trois rapports se retiennent avec CAH SOH TOA, et ils travaillent dans les deux sens : connaissant un angle et une longueur, on calcule une autre longueur en isolant l'inconnue dans l'égalité ; connaissant deux longueurs, on retrouve l'angle avec les touches $\cos^{- 1}$ , $\sin^{- 1}$ ou $\tan^{- 1}$ . Garde en tête tes garde-fous : la calculatrice en mode degrés, un cosinus et un sinus toujours compris entre $0$ et $1$ , et une rédaction qui cite le triangle rectangle avant d'écrire le moindre rapport. Avec ces réflexes, mesurer une hauteur inaccessible ou un angle de pente n'est plus qu'une affaire de quelques lignes.

Le cours en PDF(PDF, 57 Ko)

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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Côtés en jeu (par rapport à l'angle)

Rapport à utiliser

adjacent et hypoténuse

cosinus

opposé et hypoténuse

sinus

opposé et adjacent

tangente