3ᵉ · Chapitre 12 · Espace et géométrie

Rotation et homothétie

Transformations de figures, effets sur longueurs, angles, aires et volumes, lien avec Thalès.

Ce qu'il faut savoir faire

Transformations de figures
Effets sur longueurs
Angles
Aires et volumes
Lien avec Thalès

Regarde la grande aiguille d'une horloge : en un quart d'heure, elle tourne d'un quart de tour autour du centre du cadran. Regarde maintenant une photo sur ton téléphone : en écartant deux doigts, tu l'agrandis sans la déformer. Ces deux gestes du quotidien correspondent aux deux transformations de ce chapitre : la rotation, qui fait tourner les figures autour d'un point, et l'homothétie, qui les agrandit ou les réduit à partir d'un point. Aucune des deux ne déforme vraiment les figures : elles changent leur position ou leur taille, mais respectent leur forme.

La rotation

Une figure qui tourne autour d'un point

En 5e, tu as étudié la symétrie centrale : faire tourner une figure d'un demi-tour autour d'un point. La rotation généralise cette idée : on tourne toujours autour d'un point, mais d'un angle quelconque, dans un sens qu'il faut préciser.

Définition

Une rotation est définie par trois éléments :

un centre : le point $O$ autour duquel on tourne ;
un angle, mesuré en degrés (par exemple $60^{\circ}$ ) ;
un sens de rotation : le sens des aiguilles d'une montre, ou le sens inverse des aiguilles d'une montre.

L'image d'un point $M$ (distinct de $O$ ) par la rotation de centre $O$ et d'angle $60^{\circ}$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, est le point $M^{'}$ tel que :

$O M^{'} = O M$ ;
$\hat{M O M^{'}} = 60^{\circ}$ ;
on passe de $M$ à $M^{'}$ en tournant autour de $O$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

La définition est la même pour n'importe quel angle et n'importe quel sens.

Image du point M par la rotation de centre O et d'angle 60 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : M' est sur le cercle de centre O passant par M, l'arc fléché indique le sens de rotation, l'angle MOM' est marqué 60 degrés et les codages indiquent OM = OM'

Sur la figure, le point $M^{'}$ se trouve sur le cercle de centre $O$ passant par $M$ : c'est le sens de la condition $O M^{'} = O M$ , codée par les petits traits sur $[O M]$ et $[O M^{'}]$ . Le point $M$ a « glissé » le long de ce cercle d'un angle de $60^{\circ}$ , dans le sens indiqué par la flèche.

Deux remarques importantes :

Le centre $O$ est le seul point qui ne bouge pas : son image est lui-même.
Pour un angle de $180^{\circ}$ , préciser le sens est inutile : dans les deux sens, on arrive au même point.

Construire l'image d'un point au compas et au rapporteur

Méthode

Pour construire l'image $M^{'}$ d'un point $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $60^{\circ}$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

Trace légèrement, au crayon, la demi-droite $[O M)$ .
Place le centre du rapporteur sur $O$ et fais coïncider la graduation zéro avec $[O M)$ . Marque un repère à $60^{\circ}$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, puis trace la demi-droite qui part de $O$ et passe par ce repère.
Pique le compas en $O$ , prends pour écartement la longueur $O M$ , et trace un arc de cercle qui coupe cette nouvelle demi-droite : le point d'intersection est $M^{'}$ .
Contrôle ta construction : on doit avoir $O M^{'} = O M$ (le compas ne doit pas avoir bougé !).

Pour une figure entière (un triangle par exemple), on construit l'image de chaque sommet, puis on relie les points images dans le même ordre.

Cas particuliers : demi-tour et quart de tour

Propriété

La rotation d'angle $180^{\circ}$ et de centre $O$ est le demi-tour de centre $O$ : c'est exactement la symétrie centrale de centre $O$ , étudiée en 5e.
La rotation d'angle $90^{\circ}$ s'appelle un quart de tour. Pour un même centre, il en existe deux : dans le sens des aiguilles d'une montre, et dans le sens inverse.

Sur quadrillage, les demi-tours et les quarts de tour se construisent sans rapporteur ni compas, en comptant les carreaux.

Méthode

Quart de tour sur quadrillage. Pour construire l'image $A^{'}$ d'un point $A$ par le quart de tour de centre $O$ dans le sens des aiguilles d'une montre :

Décris le chemin qui mène de $O$ à $A$ en suivant les carreaux. Par exemple : « $4$ carreaux vers la gauche, puis $1$ carreau vers le bas ».
Fais tourner ce chemin d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre : la gauche devient le haut, le haut devient la droite, la droite devient le bas, le bas devient la gauche. Le chemin devient : « $4$ carreaux vers le haut, puis $1$ carreau vers la gauche ».
Applique ce nouveau chemin en partant de $O$ : tu arrives au point $A^{'}$ .

Un triangle ABC sur quadrillage et son image A'B'C' par le quart de tour de centre O dans le sens des aiguilles d'une montre ; l'arc fléché autour de O indique la rotation de 90 degrés et les pointillés joignent O à A et à A'

Sur la figure, le triangle $A B C$ a tourné d'un quart de tour autour de $O$ : le chemin de $O$ à $A$ (« $4$ carreaux vers la gauche, $1$ vers le bas ») est devenu « $4$ carreaux vers le haut, $1$ vers la gauche », ce qui mène à $A^{'}$ . Tu peux vérifier que l'angle $\hat{A O A^{'}}$ mesure bien $90^{\circ}$ , et que la même règle fonctionne pour $B$ et $C$ .

Les propriétés de la rotation

Comme la symétrie centrale, la rotation déplace les figures sans les déformer. Les propriétés suivantes sont admises : on les observe et on les vérifie sur les constructions.

Propriété

Une rotation conserve :

les longueurs ;
l'alignement des points ;
les angles ;
les périmètres et les aires.

En particulier :

l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
l'image d'une droite est une droite ;
l'image d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l'image du centre.

Une figure et son image par une rotation sont donc superposables.

Exemple

Le triangle $A B C$ vérifie $A B = 5$ cm et $\hat{B A C} = 40^{\circ}$ , et son périmètre vaut $12$ cm. Si $A^{'} B^{'} C^{'}$ est l'image de $A B C$ par une rotation, alors, sans rien mesurer, on peut affirmer que $A^{'} B^{'} = 5$ cm, que $\hat{B^{'} A^{'} C^{'}} = 40^{\circ}$ et que le périmètre de $A^{'} B^{'} C^{'}$ vaut $12$ cm.

Rosaces, frises et pavages

Les rotations sont partout dans les arts décoratifs. Une rosace s'obtient en faisant tourner un même motif autour d'un centre, par rotations successives d'un même angle.

Rosace à six pétales : un pétale en forme de losange, en bleu foncé, est reproduit autour du centre O par rotations successives de 60 degrés, indiquées par un arc fléché marqué 60 degrés

Exemple

Sur la rosace ci-dessus, le pétale foncé est reproduit par rotations successives de $60^{\circ}$ autour du centre $O$ . Il faut $6$ pétales pour boucler le tour complet, car $6 \times 60^{\circ} = 360^{\circ}$ : une rotation de plus ramènerait le motif exactement sur sa position de départ.

On retrouve la même idée dans les frises (un motif répété le long d'une bande, parfois retourné par des demi-tours) et dans les pavages (un motif qui remplit le plan sans trou ni chevauchement, comme un carrelage) : beaucoup de pavages utilisent des quarts de tour ou des demi-tours pour faire tourner le motif d'une case à l'autre.

L'homothétie

Agrandir ou réduire à partir d'un point

Changeons de geste : au lieu de faire tourner une figure, on va l'agrandir ou la réduire, comme avec un zoom. Il faut pour cela un point de départ (le centre) et un coefficient (le rapport).

Définition

Soit $O$ un point et $k$ un nombre positif. L'image d'un point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est le point $M^{'}$ tel que :

$M^{'}$ appartient à la demi-droite $[O M)$ ;
$O M^{'} = k \times O M$ .

Le centre $O$ est son propre image.

Triangle ABC et son image A'B'C' par l'homothétie de centre O et de rapport 2 : les demi-droites en pointillés issues de O passent par A et A', par B et B', par C et C', et le triangle image est deux fois plus grand

Sur la figure, l'homothétie a pour centre $O$ et pour rapport $2$ : chaque point image se trouve sur la demi-droite issue de $O$ qui passe par le point de départ, mais deux fois plus loin de $O$ . Ainsi $O A^{'} = 2 \times O A$ , $O B^{'} = 2 \times O B$ et $O C^{'} = 2 \times O C$ . Le triangle $A^{'} B^{'} C^{'}$ a exactement la même forme que $A B C$ , avec des côtés deux fois plus longs.

Définition

Soit $k$ un nombre positif. L'homothétie de rapport $k$ réalise :

un agrandissement lorsque $k > 1$ ;
une réduction lorsque $0 < k < 1$ .

Lorsque $k = 1$ , chaque point reste sur place : la figure ne bouge pas.

Exemple

On applique au point $A$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\frac{1}{2}$ , avec $O A = 6$ cm. L'image $A^{'}$ est le point de la demi-droite $[O A)$ tel que $O A^{'} = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ cm : c'est le milieu du segment $[O A]$ . Toutes les longueurs de la figure sont divisées par $2$ : c'est une réduction.

Homothétie de rapport négatif

En 3e, le rapport d'une homothétie peut aussi être négatif. Dans ce cas, l'image passe de l'autre côté du centre.

Définition

Soit $O$ un point et $k$ un nombre négatif. L'image d'un point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est le point $M^{'}$ tel que :

$M^{'}$ appartient à la demi-droite opposée à la demi-droite $[O M)$ : les points $M$ et $M^{'}$ sont de part et d'autre de $O$ , et $M$ , $O$ , $M^{'}$ sont alignés ;
$O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M$ , où $∣ k ∣$ désigne le nombre $k$ sans son signe (par exemple $∣ - 1,5 ∣ = 1,5$ ).

Triangle ABC et son image A'B'C' par l'homothétie de centre O et de rapport moins 1,5 : les pointillés joignent chaque point à son image en passant par O, et le triangle image, de l'autre côté de O, est agrandi et retourné

Sur la figure, le rapport vaut $- 1,5$ : chaque point image est de l'autre côté de $O$ , à une distance $1,5$ fois plus grande ( $O A^{'} = 1,5 \times O A$ , et de même pour $B$ et $C$ ). Résultat : le triangle image est $1,5$ fois plus grand et il a la tête en bas, comme s'il avait aussi fait un demi-tour.

Un cas particulier mérite le détour : l'homothétie de centre $O$ et de rapport $- 1$ envoie chaque point $M$ sur le point $M^{'}$ situé de l'autre côté de $O$ , à la même distance. C'est exactement le demi-tour de centre $O$ , c'est-à-dire la symétrie centrale !

Les propriétés de l'homothétie

Propriété

Une homothétie de rapport $k$ (positif ou négatif) conserve :

l'alignement des points ;
les angles.

De plus :

l'image d'une droite est une droite parallèle à la droite de départ ;
l'image d'un segment est un segment, et toutes les longueurs sont multipliées par $∣ k ∣$ ;
l'image d'un cercle est un cercle, dont le rayon est multiplié par $∣ k ∣$ .

Attention : contrairement à la rotation, l'homothétie ne conserve pas les longueurs dès que $∣ k ∣ \neq 1$ . Une figure et son image ne sont alors pas superposables (elles n'ont pas la même taille), mais elles ont la même forme : c'est tout l'intérêt d'un agrandissement ou d'une réduction réussis.

Agrandissements, réductions et grandeurs

Que deviennent les aires et les volumes dans un agrandissement ou une réduction ? Attention, ils ne sont pas multipliés par le rapport $k$ ! Pour le comprendre, imagine un carré de côté $1$ cm : un agrandissement de rapport $3$ en fait un carré de côté $3$ cm, dont l'aire vaut $9 {cm}^{2}$ . L'aire a été multipliée par $9 = 3^{2}$ , et non par $3$ .

Propriété

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ (avec $k > 0$ ) :

les longueurs sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^{2}$ ;
les volumes sont multipliés par $k^{3}$ .

Les angles, eux, ne changent pas.

Exemple

Un solide a une base d'aire $45 {cm}^{2}$ et un volume de $54 {cm}^{3}$ . On le réduit avec le rapport $k = \frac{1}{3}$ .

Chaque longueur est multipliée par $\frac{1}{3}$ : une arête de $6$ cm devient une arête de $2$ cm.
L'aire de la base est multipliée par $k^{2} = \frac{1}{9}$ : elle devient $45 \times \frac{1}{9} = 5 {cm}^{2}$ .
Le volume est multiplié par $k^{3} = \frac{1}{27}$ : il devient $54 \times \frac{1}{27} = 2 {cm}^{3}$ .

Homothétie et théorème de Thalès

Tu connais bien la configuration du théorème de Thalès : deux triangles emboîtés qui partagent un sommet. Cette configuration cache en réalité... une homothétie.

Dans un triangle $A B C$ , plaçons un point $M$ sur le segment $[A B]$ et un point $N$ sur le segment $[A C]$ , de sorte que $(M N)$ soit parallèle à $(B C)$ .

Configuration de Thalès vue comme une homothétie : dans le triangle ABC, M est sur le côté AB et N sur le côté AC, la droite MN est parallèle à la droite BC (parallélisme codé par des chevrons), et le petit triangle AMN, colorié, est l'image du grand triangle ABC par l'homothétie de centre A

Le petit triangle $A M N$ est alors l'image du grand triangle $A B C$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = \frac{A M}{A B}$ : le centre $A$ ne bouge pas, l'image de $B$ est $M$ , et l'image de $C$ est $N$ . Comme l'homothétie multiplie toutes les longueurs par le même rapport, on retrouve exactement les égalités du théorème de Thalès :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Et la configuration « papillon », où $M$ et $N$ sont de l'autre côté de $A$ ? C'est la même histoire, avec une homothétie de centre $A$ et de rapport négatif : le triangle image est de l'autre côté du centre, retourné. Voilà pourquoi les rapports de Thalès s'écrivent de la même façon dans les deux configurations.

Méthode

Calculer une longueur avec une homothétie. Dans la configuration ci-dessus, on donne $A M = 3$ cm, $A B = 5$ cm et $B C = 7$ cm, et on cherche $M N$ .

Repère le centre de l'homothétie : c'est le sommet commun $A$ . Le triangle $A M N$ est l'image du triangle $A B C$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = \frac{A M}{A B} = \frac{3}{5} = 0,6$ .
Toutes les longueurs du triangle $A B C$ sont multipliées par $0,6$ : donc $M N = 0,6 \times B C = 0,6 \times 7 = 4,2$ cm.

Symétrie axiale, symétrie centrale, rotation, homothétie : tu disposes maintenant d'une belle collection de transformations. Retiens l'essentiel : la rotation déplace les figures sans changer leurs dimensions, l'homothétie change leurs dimensions sans changer leur forme, et toutes les deux respectent les angles.

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Transformations de figures, effets sur longueurs, angles, aires et volumes, lien avec Thalès.

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Transformations de figures
Effets sur longueurs
Angles
Aires et volumes
Lien avec Thalès

La rotation

Une figure qui tourne autour d'un point

Définition

Une rotation est définie par trois éléments :

un centre : le point $O$ autour duquel on tourne ;
un angle, mesuré en degrés (par exemple $60^{\circ}$ ) ;
un sens de rotation : le sens des aiguilles d'une montre, ou le sens inverse des aiguilles d'une montre.

L'image d'un point $M$ (distinct de $O$ ) par la rotation de centre $O$ et d'angle $60^{\circ}$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, est le point $M^{'}$ tel que :

$O M^{'} = O M$ ;
$\hat{M O M^{'}} = 60^{\circ}$ ;
on passe de $M$ à $M^{'}$ en tournant autour de $O$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

La définition est la même pour n'importe quel angle et n'importe quel sens.

Deux remarques importantes :

Le centre $O$ est le seul point qui ne bouge pas : son image est lui-même.
Pour un angle de $180^{\circ}$ , préciser le sens est inutile : dans les deux sens, on arrive au même point.

Construire l'image d'un point au compas et au rapporteur

Méthode

Pour construire l'image $M^{'}$ d'un point $M$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $60^{\circ}$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre :

Trace légèrement, au crayon, la demi-droite $[O M)$ .
Place le centre du rapporteur sur $O$ et fais coïncider la graduation zéro avec $[O M)$ . Marque un repère à $60^{\circ}$ , dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, puis trace la demi-droite qui part de $O$ et passe par ce repère.
Pique le compas en $O$ , prends pour écartement la longueur $O M$ , et trace un arc de cercle qui coupe cette nouvelle demi-droite : le point d'intersection est $M^{'}$ .
Contrôle ta construction : on doit avoir $O M^{'} = O M$ (le compas ne doit pas avoir bougé !).

Pour une figure entière (un triangle par exemple), on construit l'image de chaque sommet, puis on relie les points images dans le même ordre.

Cas particuliers : demi-tour et quart de tour

Propriété

La rotation d'angle $180^{\circ}$ et de centre $O$ est le demi-tour de centre $O$ : c'est exactement la symétrie centrale de centre $O$ , étudiée en 5e.
La rotation d'angle $90^{\circ}$ s'appelle un quart de tour. Pour un même centre, il en existe deux : dans le sens des aiguilles d'une montre, et dans le sens inverse.

Sur quadrillage, les demi-tours et les quarts de tour se construisent sans rapporteur ni compas, en comptant les carreaux.

Méthode

Quart de tour sur quadrillage. Pour construire l'image $A^{'}$ d'un point $A$ par le quart de tour de centre $O$ dans le sens des aiguilles d'une montre :

Décris le chemin qui mène de $O$ à $A$ en suivant les carreaux. Par exemple : « $4$ carreaux vers la gauche, puis $1$ carreau vers le bas ».
Fais tourner ce chemin d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre : la gauche devient le haut, le haut devient la droite, la droite devient le bas, le bas devient la gauche. Le chemin devient : « $4$ carreaux vers le haut, puis $1$ carreau vers la gauche ».
Applique ce nouveau chemin en partant de $O$ : tu arrives au point $A^{'}$ .

Les propriétés de la rotation

Comme la symétrie centrale, la rotation déplace les figures sans les déformer. Les propriétés suivantes sont admises : on les observe et on les vérifie sur les constructions.

Propriété

Une rotation conserve :

les longueurs ;
l'alignement des points ;
les angles ;
les périmètres et les aires.

En particulier :

l'image d'un segment est un segment de même longueur ;
l'image d'une droite est une droite ;
l'image d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l'image du centre.

Une figure et son image par une rotation sont donc superposables.

Exemple

Rosaces, frises et pavages

Les rotations sont partout dans les arts décoratifs. Une rosace s'obtient en faisant tourner un même motif autour d'un centre, par rotations successives d'un même angle.

Rosace à six pétales : un pétale en forme de losange, en bleu foncé, est reproduit autour du centre O par rotations successives de 60 degrés, indiquées par un arc fléché marqué 60 degrés

Exemple

L'homothétie

Agrandir ou réduire à partir d'un point

Changeons de geste : au lieu de faire tourner une figure, on va l'agrandir ou la réduire, comme avec un zoom. Il faut pour cela un point de départ (le centre) et un coefficient (le rapport).

Définition

Soit $O$ un point et $k$ un nombre positif. L'image d'un point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est le point $M^{'}$ tel que :

$M^{'}$ appartient à la demi-droite $[O M)$ ;
$O M^{'} = k \times O M$ .

Le centre $O$ est son propre image.

Définition

Soit $k$ un nombre positif. L'homothétie de rapport $k$ réalise :

un agrandissement lorsque $k > 1$ ;
une réduction lorsque $0 < k < 1$ .

Lorsque $k = 1$ , chaque point reste sur place : la figure ne bouge pas.

Exemple

Homothétie de rapport négatif

En 3e, le rapport d'une homothétie peut aussi être négatif. Dans ce cas, l'image passe de l'autre côté du centre.

Définition

Soit $O$ un point et $k$ un nombre négatif. L'image d'un point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est le point $M^{'}$ tel que :

$M^{'}$ appartient à la demi-droite opposée à la demi-droite $[O M)$ : les points $M$ et $M^{'}$ sont de part et d'autre de $O$ , et $M$ , $O$ , $M^{'}$ sont alignés ;
$O M^{'} = ∣ k ∣ \times O M$ , où $∣ k ∣$ désigne le nombre $k$ sans son signe (par exemple $∣ - 1,5 ∣ = 1,5$ ).

Les propriétés de l'homothétie

Propriété

Une homothétie de rapport $k$ (positif ou négatif) conserve :

l'alignement des points ;
les angles.

De plus :

l'image d'une droite est une droite parallèle à la droite de départ ;
l'image d'un segment est un segment, et toutes les longueurs sont multipliées par $∣ k ∣$ ;
l'image d'un cercle est un cercle, dont le rayon est multiplié par $∣ k ∣$ .

Agrandissements, réductions et grandeurs

Propriété

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ (avec $k > 0$ ) :

les longueurs sont multipliées par $k$ ;
les aires sont multipliées par $k^{2}$ ;
les volumes sont multipliés par $k^{3}$ .

Les angles, eux, ne changent pas.

Exemple

Un solide a une base d'aire $45 {cm}^{2}$ et un volume de $54 {cm}^{3}$ . On le réduit avec le rapport $k = \frac{1}{3}$ .

Chaque longueur est multipliée par $\frac{1}{3}$ : une arête de $6$ cm devient une arête de $2$ cm.
L'aire de la base est multipliée par $k^{2} = \frac{1}{9}$ : elle devient $45 \times \frac{1}{9} = 5 {cm}^{2}$ .
Le volume est multiplié par $k^{3} = \frac{1}{27}$ : il devient $54 \times \frac{1}{27} = 2 {cm}^{3}$ .

Homothétie et théorème de Thalès

Tu connais bien la configuration du théorème de Thalès : deux triangles emboîtés qui partagent un sommet. Cette configuration cache en réalité... une homothétie.

Dans un triangle $A B C$ , plaçons un point $M$ sur le segment $[A B]$ et un point $N$ sur le segment $[A C]$ , de sorte que $(M N)$ soit parallèle à $(B C)$ .

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Méthode

Calculer une longueur avec une homothétie. Dans la configuration ci-dessus, on donne $A M = 3$ cm, $A B = 5$ cm et $B C = 7$ cm, et on cherche $M N$ .

Repère le centre de l'homothétie : c'est le sommet commun $A$ . Le triangle $A M N$ est l'image du triangle $A B C$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = \frac{A M}{A B} = \frac{3}{5} = 0,6$ .
Toutes les longueurs du triangle $A B C$ sont multipliées par $0,6$ : donc $M N = 0,6 \times B C = 0,6 \times 7 = 4,2$ cm.

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