Théorème de Thalès et triangles semblables

En 4e, tu as rencontré le théorème de Thalès dans la configuration des triangles emboîtés : un petit triangle glissé dans un grand, avec un sommet commun et deux côtés parallèles, comme le bâton et la pyramide dont Thalès mesurait les ombres. Cette année, le chapitre s'enrichit de deux nouveautés. D'abord, une deuxième configuration où le théorème s'applique : le « papillon », dans lequel les deux triangles ne sont plus emboîtés mais opposés par un sommet. Ensuite, un outil plus général qui capture l'idée essentielle derrière tout cela : les triangles semblables, c'est-à-dire deux triangles qui ont la même forme, sans avoir besoin d'être bien placés l'un par rapport à l'autre.

Les deux configurations de Thalès

Commençons par un rappel express de la configuration que tu connais. Dans un triangle $ABC$, on place un point $M$ sur le côté $[AB]$ et un point $N$ sur le côté $[AC]$, de façon que $(MN)\parallel (BC)$. Les triangles $AMN$ et $ABC$ sont alors emboîtés : le petit est contenu dans le grand, et ils partagent le sommet $A$, le sommet commun. Tu retrouves les trois ingrédients de 4e : un sommet commun, deux alignements ($A$, $M$, $B$ d'une part, $A$, $N$, $C$ d'autre part) et deux droites parallèles.

Voici maintenant la nouveauté de 3e. Imagine que le point $M$, au lieu d'être entre $A$ et $B$, passe « de l'autre côté » de $A$ sur la droite $(AB)$, et que $N$ fasse de même sur la droite $(AC)$. Les deux triangles ne sont plus emboîtés : ils se retrouvent de part et d'autre du point $A$, comme les deux ailes d'un nœud papillon.

Regarde bien la figure : les deux triangles se touchent uniquement au point $A$, et la figure entière ressemble à un nœud papillon. Pour repérer l'une ou l'autre configuration dans un exercice, garde les mêmes trois réflexes qu'en 4e :

1. Chercher le sommet commun. C'est le point d'intersection des deux droites, ici $A$. Tous les rapports du théorème partiront de lui.
2. Vérifier les alignements. Deux droites passent par le sommet commun : sur l'une se trouvent $B$, $A$ et $M$, sur l'autre $C$, $A$ et $N$. L'énoncé dira par exemple « les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$ » ou « les segments $[BM]$ et $[CN]$ se coupent en $A$ ».
3. Repérer les parallèles. L'énoncé ou le codage de la figure doit indiquer que $(MN)\parallel (BC)$.

La seule différence entre les deux configurations, c'est la position du sommet commun sur les alignements. Dans les triangles emboîtés, $A$ est à l'extrémité des deux alignements : on lit $A$, $M$, $B$ et $A$, $N$, $C$. Dans le papillon, $A$ est entre les deux autres points sur chacune des droites : on lit $B$, $A$, $M$ et $C$, $A$, $N$. Prends l'habitude de noter l'ordre des points dès la lecture de l'énoncé : ce détail deviendra crucial au moment de la réciproque.

Le théorème de Thalès

La bonne nouvelle, c'est que le théorème s'énonce exactement de la même façon dans les deux configurations. Un seul énoncé les couvre toutes les deux.

Ce sont exactement les mêmes rapports qu'en 4e, et ils se construisent avec le même réflexe : on part toujours du sommet commun $A$. Au numérateur, les trois côtés du triangle $AMN$ ; au dénominateur, les trois côtés du triangle $ABC$. Autrement dit : en haut les longueurs d'un triangle, en bas celles de l'autre, sans jamais mélanger. L'erreur classique reste la même : écrire ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$ n'a aucun sens ici, car $MB$ n'est le côté d'aucun des deux triangles.

Note que dans le papillon, contrairement aux emboîtés, aucun des deux triangles n'est forcément « le petit » : tout dépend des longueurs. Mais la règle d'écriture des rapports, elle, ne change pas. Et comme en 4e, connaître trois longueurs dans une égalité de deux rapports permet de retrouver la quatrième : c'est la quatrième proportionnelle, obtenue par un produit en croix.

Voyons cette méthode à l'œuvre dans la nouvelle configuration, avec une rédaction modèle pour le brevet.

Retiens la structure de cette rédaction : la configuration d'abord, le théorème ensuite, l'égalité des trois rapports, et seulement après les calculs. Citer la configuration n'est pas une formalité, c'est elle qui te donne le droit d'écrire l'égalité. Jusqu'ici, le parallélisme nous était donné. Renversons maintenant le point de vue.

La réciproque du théorème de Thalès

Que faire quand l'énoncé ne dit pas que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, et que c'est justement ce qu'il faut prouver ? Ni la règle ni l'œil ne constituent une preuve. C'est la réciproque du théorème qui joue ce rôle, et sa version de 3e comporte une condition nouvelle à laquelle il faut faire très attention.

Arrête-toi sur la condition « alignés dans le même ordre », car c'est la nouveauté de 3e. Elle signifie que la position de $A$ doit être la même sur les deux droites. Dans les triangles emboîtés, $A$ est à l'extrémité des deux alignements : on lit $A$, $M$, $B$ sur la première droite et $A$, $N$, $C$ sur la seconde, le même ordre des deux côtés. Dans le papillon, $A$ est entre les deux points sur chacune des droites : $B$, $A$, $M$ et $C$, $A$, $N$, là encore le même ordre. En revanche, si $A$ est à l'extrémité sur une droite mais au milieu sur l'autre, les ordres diffèrent : la réciproque ne s'applique pas, même si les rapports sont égaux. Sur une figure, cela se voit immédiatement : les points $M$ et $N$ ne sont pas du même côté, et les droites se croisent. C'est pourquoi ta rédaction doit toujours mentionner cet ordre avant de conclure.

Tu reconnais la rédaction « d'une part... d'autre part... » déjà croisée avec la réciproque du théorème de Pythagore : tant que la comparaison n'est pas faite, l'égalité n'est qu'un espoir, pas un fait.

Et si les rapports ne sont pas égaux ? La réciproque ne s'applique pas, mais on peut quand même conclure, en s'appuyant sur le théorème direct. Le raisonnement est le suivant : si les droites $(MN)$ et $(BC)$ étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, on aurait ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ ; or ce n'est pas le cas, donc les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Apprends cette phrase, elle est attendue telle quelle au brevet. Un conseil au passage : quand les rapports ne tombent pas juste, compare leurs produits en croix plutôt que des valeurs arrondies, car deux arrondis proches ne prouvent rien.

Les triangles semblables

Le théorème de Thalès est puissant, mais exigeant : il lui faut des points alignés et des droites parallèles, c'est-à-dire des triangles bien positionnés l'un par rapport à l'autre. Or l'idée profonde derrière Thalès, celle du bâton et de la pyramide, est plus simple que cela : deux triangles qui ont la même forme ont des longueurs proportionnelles, peu importe où ils se trouvent et comment ils sont orientés. Les triangles semblables capturent exactement cette idée, débarrassée de toute contrainte de position.

Mais qu'est-ce que « la même forme », mathématiquement ? Ce sont les angles qui donnent sa forme à un triangle : deux triangles ont la même forme quand leurs angles sont les mêmes.

Trois paires d'angles égaux à vérifier ? En réalité, deux suffisent, et voici pourquoi : dans tout triangle, la somme des angles vaut $180\mathrm{°}$. Si deux angles du premier triangle sont égaux à deux angles du second, les troisièmes angles valent chacun $180\mathrm{°}$ moins la somme des deux autres : ils sont donc automatiquement égaux eux aussi.

Observe le codage de la figure : un arc, deux arcs, trois arcs pour repérer les paires d'angles égaux. Pour trouver les côtés homologues, regarde ce qui se trouve en face de chaque paire d'angles égaux : le côté opposé à l'angle « un arc » du premier triangle est homologue au côté opposé à l'angle « un arc » du second, et ainsi de suite. C'est le seul point délicat du chapitre : prends toujours le temps d'identifier les homologues avant tout calcul, surtout quand les triangles sont tournés différemment.

Voici maintenant le résultat qui fait des triangles semblables un outil de calcul, dans les deux sens.

La réciproque est précieuse : elle permet de prouver que deux triangles sont semblables sans mesurer un seul angle, uniquement à partir des longueurs, à la manière de la réciproque de Pythagore. Et le lien avec Thalès s'éclaire : dans une configuration de Thalès, emboîtés ou papillon, les triangles $AMN$ et $ABC$ sont précisément semblables. Leurs angles coïncident en effet deux à deux : en $A$, c'est le même angle dans les emboîtés, et deux angles opposés par le sommet (donc égaux) dans le papillon ; et le parallélisme $(MN)\parallel (BC)$ fait coïncider les autres angles. L'égalité des trois rapports du théorème de Thalès n'est alors rien d'autre que la proportionnalité des côtés homologues. Thalès, c'est des triangles semblables plus une contrainte de position.

Dans cet exemple, le triangle $UVW$ est un agrandissement du triangle $RST$ de rapport $k=2$ : tu retrouves le vocabulaire des agrandissements et des réductions vu en 4e. Tu sais déjà que dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$, toutes les longueurs sont multipliées par $k$, et donc le périmètre aussi. Mais qu'en est-il des aires ? Attention, c'est le piège classique : l'aire n'est pas multipliée par $k$.

Pour t'en convaincre, reprends l'exemple : avec $k=2$, chaque côté double. Si tu imagines le petit triangle pavé de petits carreaux, chaque carreau devient deux fois plus large et deux fois plus haut : il faut $2\times 2=4$ fois plus de surface pour le recouvrir. L'aire du triangle $UVW$ est donc $k^2=4$ fois celle du triangle $RST$, alors que son périmètre n'est que $2$ fois plus grand. De même, une réduction de rapport $k=\mathrm{0,5}$ divise le périmètre par $2$ mais l'aire par $4$.

Pour conclure

Tu disposes désormais de trois outils complémentaires. Le théorème de Thalès, valable dans les deux configurations (emboîtés et papillon), calcule des longueurs quand le parallélisme est connu. Sa réciproque, avec la condition des points alignés dans le même ordre, démontre un parallélisme à partir de l'égalité de deux rapports, et le théorème direct permet au contraire de réfuter un parallélisme quand les rapports diffèrent. Enfin, les triangles semblables généralisent tout cela : deux paires d'angles égaux suffisent à garantir la même forme, donc la proportionnalité des côtés homologues, sans aucune contrainte de position. La fiche d'exercices du chapitre te fera pratiquer ces trois outils, séparément puis ensemble : c'est en identifiant à chaque fois la bonne configuration et le bon outil que tu feras la différence le jour du brevet.