3ᵉ · Chapitre 09 · Organisation et gestion de données, fonctions

Probabilités

Lien fréquence-probabilité, expériences à une ou deux épreuves, tableaux à double entrée.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Lien fréquence-probabilité
Expériences à une ou deux épreuves
Tableaux à double entrée

Vas-tu gagner au prochain jeu de société ? Quelle chance as-tu de tomber sur la bonne réponse en répondant au hasard ? Le hasard est partout, et les mathématiques ont inventé un outil pour le mesurer : les probabilités. Tu as déjà rencontré ce vocabulaire en quatrième, avec les expériences aléatoires, les événements et les événements contraires. Cette année, tu consolides tout cela et tu ajoutes deux outils puissants : le lien entre fréquence et probabilité (que se passe-t-il quand on répète une expérience des centaines de fois ?) et les expériences à deux épreuves, que l'on dénombre avec un arbre ou un tableau. C'est un grand classique du brevet : presque chaque année, un exercice de probabilités tombe, souvent avec un tirage dans une urne ou deux lancers de dés. Bonne nouvelle : c'est aussi l'un des chapitres où les points sont les plus accessibles, à condition de connaître les définitions et de rédiger proprement.

Expérience aléatoire, issues et événements

Tout commence par une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat. Lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue de loterie : tu connais les règles du jeu, tu connais tous les résultats possibles, mais impossible de dire à l'avance lequel va sortir. C'est exactement ce qui définit une expérience aléatoire.

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avant de la réaliser.
Chaque résultat possible s'appelle une issue de l'expérience.
Un événement est un ensemble d'issues. Un événement est réalisé lorsque l'issue obtenue fait partie de cet ensemble.

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces et on regarde le nombre obtenu. C'est une expérience aléatoire à $6$ issues : $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .

Considérons l'événement $A$ : « obtenir un nombre pair ». Il est constitué des trois issues $2$ , $4$ et $6$ . Si le dé affiche $4$ , l'événement $A$ est réalisé ; s'il affiche $3$ , il ne l'est pas.

Autre décor, même idée : une urne contient des boules numérotées de $1$ à $10$ , on en tire une au hasard. Les issues sont les dix numéros, et « tirer un numéro supérieur ou égal à $8$ » est un événement constitué des trois issues $8$ , $9$ et $10$ .

Certains événements portent un nom particulier, qu'il faut connaître car les énoncés les utilisent.

Définition

Un événement élémentaire est un événement constitué d'une seule issue.
Un événement certain est un événement qui se réalise à tous les coups (il contient toutes les issues).
Un événement impossible est un événement qui ne peut jamais se réaliser (il ne contient aucune issue).

Exemple

Toujours avec notre dé à six faces :

« obtenir $5$ » est un événement élémentaire : une seule issue le réalise ;
« obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » est certain : quelle que soit l'issue, il est réalisé ;
« obtenir $7$ » est impossible : aucune face du dé ne porte ce nombre.

La probabilité d'un événement

Dire qu'un événement « a des chances » de se produire, c'est bien ; mesurer ces chances par un nombre, c'est mieux. Ce nombre s'appelle la probabilité, et il obéit à des règles très simples.

Définition

La probabilité d'un événement $A$ , notée $p (A)$ , est un nombre compris entre $0$ et $1$ qui mesure les chances que $A$ se réalise :

plus $p (A)$ est proche de $1$ , plus l'événement a de chances de se produire ;
un événement impossible a une probabilité égale à $0$ ;
un événement certain a une probabilité égale à $1$ .

Comme les fréquences du chapitre de statistiques, une probabilité peut s'écrire de trois façons : en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. Ainsi $\frac{1}{4}$ , $0,25$ et $25 %$ désignent exactement la même probabilité. Toutes les écritures sont acceptées au brevet ; choisis la plus commode pour le calcul en cours, et n'hésite pas à convertir pour comparer.

Deuxième règle fondamentale, qui sert de vérification dans presque tous les exercices :

Propriété

La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à $1$ .

C'est logique : à chaque réalisation de l'expérience, une issue et une seule se produit. Les probabilités de toutes les issues se partagent donc la totalité des chances, c'est-à-dire $1$ (ou $100 %$ si tu préfères).

Attention, toutes les issues n'ont pas forcément la même probabilité ! C'est le piège de ce début de chapitre : « il y a deux issues, donc chacune a une chance sur deux » est un raisonnement faux en général.

Exemple

Une roue de loterie est partagée en trois secteurs de tailles différentes : un secteur rouge qui occupe la moitié du disque, un secteur bleu qui en occupe un quart et un secteur vert qui occupe le quart restant. On fait tourner la roue et on note la couleur du secteur qui s'arrête devant le repère.

L'expérience a trois issues (rouge, bleu, vert), mais elles n'ont pas les mêmes chances : la roue a deux fois plus de chances de s'arrêter sur le rouge que sur le bleu. Les probabilités sont proportionnelles aux tailles des secteurs :

p (rouge) = \frac{1}{2} p (bleu) = \frac{1}{4} p (vert) = \frac{1}{4}

Vérification : $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$ . La somme des probabilités des issues vaut bien $1$ .

Cette vérification est aussi un outil de calcul : si un énoncé te donne $p (rouge) = 0,5$ et $p (bleu) = 0,25$ sans préciser le vert, tu peux le retrouver seul : $p (vert) = 1 - 0,5 - 0,25 = 0,25$ .

Le cas de l'équiprobabilité

Le cas le plus fréquent dans les exercices est celui où toutes les issues ont la même probabilité : dé équilibré, pièce non truquée, carte tirée « au hasard » d'un jeu bien mélangé, boule tirée d'une urne où toutes les boules sont identiques au toucher. On parle alors d'équiprobabilité, et le calcul des probabilités devient un simple comptage.

Définition

Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité. Si l'expérience compte $n$ issues, chacune a alors une probabilité égale à $\frac{1}{n}$ .

Propriété

En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ est :

p (A) = \frac{nombre d’issues favorables \overset{ˋ}{a} A}{nombre d’issues possibles}

Les issues « favorables » sont celles qui réalisent l'événement $A$ .

Méthode

Calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.

Justifier l'équiprobabilité : repérer dans l'énoncé les mots « équilibré », « non truqué », « au hasard », « indiscernables au toucher »… et le dire dans ta rédaction.
Compter le nombre total d'issues possibles.
Compter le nombre d'issues favorables à l'événement.
Écrire le quotient, puis simplifier la fraction si possible.

Exemple

Avec un dé. On lance un dé équilibré à six faces. Comme le dé est équilibré, les $6$ issues sont équiprobables. L'événement $A$ : « obtenir un nombre pair » compte $3$ issues favorables ( $2$ , $4$ et $6$ ), donc :

p (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Avec un jeu de 32 cartes. Un jeu de $32$ cartes contient $8$ hauteurs ( $7$ , $8$ , $9$ , $10$ , valet, dame, roi, as) dans chacune des $4$ couleurs (cœur, carreau, trèfle, pique) : on vérifie que $8 \times 4 = 32$ . On tire une carte au hasard, les $32$ issues sont donc équiprobables.

L'événement « tirer un as » compte $4$ issues favorables (une par couleur) : sa probabilité est $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$ .
L'événement « tirer un cœur » compte $8$ issues favorables (les huit hauteurs de cœur) : sa probabilité est $\frac{8}{32} = \frac{1}{4}$ .
L'événement « tirer une figure » (valet, dame ou roi) compte $3 \times 4 = 12$ issues favorables : sa probabilité est $\frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ .

Un piège à éviter absolument : la formule $\frac{favorables}{possibles}$ ne s'applique que si les issues sont équiprobables. Pour la roue de loterie de la section précédente, écrire $p (rouge) = \frac{1}{3}$ « parce qu'il y a trois couleurs » serait faux : les secteurs n'ont pas la même taille. Avant d'utiliser la formule, demande-toi toujours si le hasard traite bien toutes les issues de la même manière.

Événement contraire, événements incompatibles

Tu as vu en quatrième qu'à chaque événement correspond son contraire, celui qui se réalise exactement quand le premier ne se réalise pas. C'est un outil de calcul redoutablement efficace : il est souvent bien plus rapide de compter ce qu'on ne veut pas que ce qu'on veut.

Définition

L'événement contraire d'un événement $A$ , noté $\overline{A}$ , est l'événement constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas $A$ : il se réalise exactement lorsque $A$ ne se réalise pas.

Propriété

Pour tout événement $A$ :

p (\overline{A}) = 1 - p (A)

Cette formule découle de la somme des probabilités : à chaque réalisation de l'expérience, c'est $A$ ou $\overline{A}$ qui se réalise, jamais les deux, jamais aucun des deux. Leurs probabilités se partagent donc le total de $1$ .

Exemple

On lance un dé équilibré et on considère l'événement $A$ : « obtenir un $6$ ». On a $p (A) = \frac{1}{6}$ , donc l'événement contraire $\overline{A}$ : « ne pas obtenir de $6$ » a pour probabilité :

p (\overline{A}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Compter directement les issues de $\overline{A}$ (les cinq faces $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ) donne bien sûr le même résultat, $\frac{5}{6}$ . Sur cet exemple les deux chemins se valent, mais retiens le réflexe : dès que l'événement demandé contient « au moins » ou « ne pas », passer par le contraire fait souvent gagner beaucoup de temps.

Deuxième notion de cette section : deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps.

Définition

Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : aucune issue ne les réalise tous les deux à la fois.

Propriété

Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles, alors la probabilité que l'un ou l'autre se réalise est la somme de leurs probabilités :

p (A ou B) = p (A) + p (B)

Exemple

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. Les événements $A$ : « tirer un as » et $B$ : « tirer un roi » sont incompatibles : une carte ne peut pas être à la fois un as et un roi. La probabilité de tirer un as ou un roi est donc :

p (A ou B) = \frac{4}{32} + \frac{4}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}

Contre-exemple important : les événements « tirer un as » et « tirer un cœur » ne sont pas incompatibles, car l'as de cœur les réalise tous les deux. Dans ce cas, additionner les probabilités donnerait un résultat faux (l'as de cœur serait compté deux fois). La formule d'addition exige de vérifier l'incompatibilité avant de l'utiliser : c'est une justification attendue dans ta rédaction.

Remarque utile : un événement et son contraire sont toujours incompatibles, et en plus l'un des deux se réalise forcément. C'est exactement pour cela que $p (A) + p (\overline{A}) = 1$ .

Fréquence et probabilité

Jusqu'ici, nous avons calculé des probabilités par le raisonnement : symétrie du dé, tailles des secteurs de la roue. Mais comment faire pour une punaise qu'on lance en l'air ? Elle peut retomber pointe en l'air ou pointe contre le sol, et aucune symétrie ne permet de dire que ces deux issues ont les mêmes chances. La réponse : expérimenter, et observer les fréquences.

Rappelons qu'après avoir répété une expérience un certain nombre de fois, la fréquence d'un événement est le quotient du nombre de fois où il s'est réalisé par le nombre total de répétitions. Une fréquence, comme une probabilité, est un nombre entre $0$ et $1$ . Ce n'est pas un hasard : les deux notions sont profondément liées.

Propriété

Lien entre fréquence et probabilité. Lorsqu'on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'un événement se stabilise autour de sa probabilité.

On peut donc estimer une probabilité inconnue par la fréquence observée sur un grand nombre de répétitions.

Regarde ce phénomène en action. On a simulé $1 000$ lancers d'une pièce équilibrée et tracé, après chaque lancer, la fréquence de PILE depuis le début de l'expérience :

Fréquence de PILE au fil de 1 000 lancers d'une pièce équilibrée

Au début, la courbe s'agite dans tous les sens : après $10$ lancers, quelques PILE de plus ou de moins font varier énormément la fréquence, et il est tout à fait possible d'observer $70 %$ de PILE sur $10$ lancers. Mais plus le nombre de lancers augmente, plus la courbe se calme et se resserre autour de la droite en pointillés d'ordonnée $0,5$ , la probabilité de PILE pour une pièce équilibrée. C'est le sens précis de « se stabilise » : les écarts s'amortissent quand le nombre de répétitions devient grand.

Deux mises en garde pour bien interpréter ce résultat.

La stabilisation ne vaut que pour un grand nombre de répétitions. Une fréquence calculée sur $10$ lancers ne prouve rien : c'est sur des centaines ou des milliers de répétitions que l'estimation devient fiable.
Le hasard n'a pas de mémoire. Si la pièce vient de donner cinq PILE de suite, la probabilité d'obtenir FACE au lancer suivant reste $0,5$ : la pièce ne « doit » rien à personne et ne cherche pas à rééquilibrer les comptes. Croire le contraire est une erreur si répandue qu'elle porte un nom, l'illusion du joueur.

Exemple

Revenons à notre punaise. On la lance $500$ fois : elle retombe pointe en l'air $280$ fois. La fréquence de l'événement « pointe en l'air » est :

\frac{280}{500} = 0,56

Comme le nombre de lancers est grand, on peut estimer que la probabilité que la punaise retombe pointe en l'air est environ $0,56$ . Le mot « environ » est indispensable : la fréquence donne une estimation de la probabilité, pas sa valeur exacte. Une autre série de $500$ lancers donnerait une fréquence légèrement différente, mais toujours voisine de la même valeur.

C'est ainsi que procèdent les assureurs, les médecins ou les météorologues : quand aucun raisonnement de symétrie n'est possible, on estime les probabilités à partir de données observées en grand nombre. Le « $80 %$ de risque de pluie » de ton application météo est une fréquence devenue probabilité.

Expériences à deux épreuves

Dernière étape du chapitre, et la vedette des sujets de brevet : les expériences aléatoires qui enchaînent deux épreuves. Deux lancers de pièce, un dé puis une pièce, deux tirages successifs dans une urne… La difficulté n'est pas le calcul, c'est le dénombrement : il faut lister toutes les issues sans en oublier et sans compter deux fois. Deux outils sont au programme pour cela : l'arbre des possibles et le tableau à double entrée.

Prenons l'exemple qui va nous servir de fil rouge. Une urne contient deux jetons indiscernables au toucher : un jeton rouge ( $R$ ) et un jeton bleu ( $B$ ). On tire un jeton au hasard, on note sa couleur, on le remet dans l'urne, puis on tire de nouveau un jeton au hasard. Quelles sont les issues de cette expérience à deux épreuves ?

Définition

L'arbre des possibles d'une expérience à deux épreuves est un schéma qui liste tous les résultats possibles : chaque branche du premier niveau représente un résultat de la première épreuve, et chaque branche du second niveau un résultat de la seconde. Chaque chemin de l'arbre, lu de la racine jusqu'au bout, correspond à une issue de l'expérience.

Arbre des possibles pour deux tirages avec remise

Lisons cet arbre. Le premier tirage donne $R$ ou $B$ : deux branches. Quel que soit ce premier résultat, le jeton est remis dans l'urne, donc le second tirage donne de nouveau $R$ ou $B$ : deux branches partent de chaque résultat du premier niveau. En suivant les chemins de gauche à droite, on lit les $4$ issues de l'expérience :

R R R B B R B B

Attention, $R B$ (rouge puis bleu) et $B R$ (bleu puis rouge) sont bien deux issues différentes : l'ordre des tirages compte. C'est l'oubli le plus fréquent quand on dénombre de tête, et c'est précisément ce que l'arbre empêche.

Un point important : l'arbre de troisième sert uniquement à lister et compter les issues. On n'écrit rien sur les branches ; le calcul des probabilités vient après, par équiprobabilité. Ici, à chaque tirage, le rouge et le bleu ont les mêmes chances (un jeton de chaque, indiscernables au toucher) : les $4$ issues de l'arbre sont donc équiprobables, et chacune a une probabilité de $\frac{1}{4}$ .

Méthode

Utiliser un arbre des possibles.

Construire le premier niveau de l'arbre : une branche par résultat possible de la première épreuve.
Prolonger chaque branche par un second niveau : une branche par résultat possible de la seconde épreuve.
Lister les issues en suivant chaque chemin de bout en bout, et les compter.
Vérifier que les issues sont équiprobables, puis appliquer $p (A) = \frac{issues favorables}{issues possibles}$ .

Exemple

Avec notre urne (un jeton rouge, un jeton bleu, deux tirages avec remise), calculons la probabilité de l'événement $M$ : « obtenir deux jetons de la même couleur ».

Les $4$ issues $R R$ , $R B$ , $B R$ , $B B$ sont équiprobables. Deux d'entre elles réalisent $M$ : $R R$ et $B B$ . Donc :

p (M) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Et l'événement $N$ : « obtenir au moins un jeton rouge » ? Trois issues le réalisent ( $R R$ , $R B$ et $B R$ ), donc $p (N) = \frac{3}{4}$ . On pouvait aussi passer par le contraire : $\overline{N}$ est « n'obtenir aucun jeton rouge », réalisé par la seule issue $B B$ , d'où $p (N) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ . Les deux méthodes se confirment l'une l'autre.

Le second outil de dénombrement est le tableau à double entrée : les lignes représentent les résultats de la première épreuve, les colonnes ceux de la seconde, et chaque case du tableau est une issue. Voici le tableau équivalent à notre arbre :

$1^{er}$ tirage $\$ $2^{e}$ tirage	$R$	$B$
$R$	$R R$	$R B$
$B$	$B R$	$B B$

On retrouve les $4$ issues, une par case : $2 \times 2 = 4$ . Arbre et tableau donnent toujours le même dénombrement ; le tableau devient plus pratique que l'arbre quand chaque épreuve a beaucoup de résultats possibles, comme dans l'exemple suivant, un très grand classique du brevet.

Exemple

La somme de deux dés. On lance deux dés équilibrés à six faces et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus. Le tableau à double entrée liste toutes les issues, en écrivant dans chaque case la somme correspondante :

$+$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$

L'expérience compte $6 \times 6 = 36$ issues, toutes équiprobables puisque les deux dés sont équilibrés. Attention au piège classique : les $36$ cases sont équiprobables, mais les sommes ne le sont pas ! La somme $7$ apparaît dans $6$ cases ( $1 + 6$ , $2 + 5$ , $3 + 4$ , $4 + 3$ , $5 + 2$ , $6 + 1$ ) alors que la somme $2$ n'apparaît que dans une seule case ( $1 + 1$ ). Donc :

p (somme = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} p (somme = 2) = \frac{1}{36}

Raisonner « il y a $11$ sommes possibles, de $2$ à $12$ , donc chacune a une probabilité de $\frac{1}{11}$ » est faux : les sommes ne sont pas équiprobables. La formule $\frac{favorables}{possibles}$ doit toujours s'appliquer aux $36$ issues équiprobables du tableau, jamais directement aux valeurs de la somme. C'est exactement le genre de justification qui rapporte des points au brevet.

Le chapitre se referme, et tu as maintenant la panoplie complète : le vocabulaire (issues, événements, certain, impossible), les règles du jeu (une probabilité entre $0$ et $1$ , une somme des probabilités des issues égale à $1$ ), la formule de l'équiprobabilité, les raccourcis du contraire et des événements incompatibles, l'estimation d'une probabilité par une fréquence, et les deux outils de dénombrement des expériences à deux épreuves. Le mot d'ordre en probabilités : ne jamais faire confiance à l'intuition seule, toujours dénombrer proprement. L'arbre et le tableau sont tes meilleurs alliés ; place aux exercices !

Le cours en PDF(PDF, 85 Ko)

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