3ᵉ · Chapitre 08 · Organisation et gestion de données, fonctions

Statistiques

Étendue, histogrammes, effectifs, fréquences, moyenne, médiane, lecture critique, tableur.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Combien de temps passes-tu chaque jour sur ton téléphone ? Quelle est la taille moyenne des élèves de ta classe ? Quel est le salaire « typique » d'un Français ? Toutes ces questions parlent de statistiques : l'art de collecter des données, de les organiser, de les représenter et surtout de les résumer par quelques nombres bien choisis. Tu manipules déjà des moyennes depuis la sixième ; cette année, tu vas compléter ta boîte à outils avec la médiane et l'étendue, apprendre à regrouper des données en classes, et développer un vrai regard critique sur les chiffres qu'on te présente. Au brevet, une question de statistiques tombe presque chaque année, souvent couplée à un exercice de tableur : ce chapitre est un investissement très rentable.

Vocabulaire et organisation des données

Toute étude statistique commence par une question posée à un groupe. Ce groupe et cette question portent des noms précis qu'il faut connaître, car les énoncés du brevet les utilisent.

Définition

La population est l'ensemble des individus (personnes, objets, animaux…) sur lesquels porte l'étude.
Le caractère est la propriété que l'on étudie sur chaque individu. Il est qualitatif quand ses valeurs ne sont pas des nombres (couleur préférée, moyen de transport) et quantitatif quand ses valeurs sont des nombres (taille, nombre de frères et sœurs).
L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus pour lesquels le caractère prend cette valeur. L'effectif total est le nombre total d'individus de la population.

Prenons l'exemple qui va nous suivre tout au long du chapitre. On a demandé aux $25$ élèves d'une classe de troisième combien d'animaux domestiques vivent chez eux. Voici les résultats, organisés dans un tableau d'effectifs :

Nombre d'animaux	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Effectif	$8$	$10$	$4$	$2$	$1$

Ici, la population est constituée des $25$ élèves de la classe, le caractère étudié est le nombre d'animaux domestiques (quantitatif, puisque ses valeurs sont des nombres), et l'effectif de la valeur $2$ est $4$ : quatre élèves ont exactement deux animaux. Première vérification à toujours faire : la somme des effectifs, $8 + 10 + 4 + 2 + 1 = 25$ , redonne bien l'effectif total.

Un effectif brut ne dit pas tout : $10$ élèves avec un animal, c'est beaucoup dans une classe de $25$ , mais ce serait peu dans un collège de $500$ . Pour comparer des groupes de tailles différentes, on rapporte l'effectif à l'effectif total : c'est la fréquence.

Définition

La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total :

fr \overset{ˊ}{e} quence = \frac{effectif de la valeur}{effectif total}

C'est un nombre compris entre $0$ et $1$ , qui peut s'écrire de trois façons : en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.

Exemple

Dans notre classe, la fréquence de la valeur $1$ (les élèves qui ont exactement un animal) est :

\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0,4 = 40 %

Trois écritures, une seule et même fréquence. Voici le tableau complet des fréquences de la série :

Nombre d'animaux	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Fréquence	$0,32$	$0,4$	$0,16$	$0,08$	$0,04$
Fréquence (en %)	$32 %$	$40 %$	$16 %$	$8 %$	$4 %$

Vérification : la somme des fréquences vaut $0,32 + 0,4 + 0,16 + 0,08 + 0,04 = 1$ , soit $100 %$ . C'est toujours le cas, et c'est un excellent moyen de repérer une erreur de calcul.

Quand le caractère prend beaucoup de valeurs différentes, le tableau d'effectifs devient inutilisable. Imagine les tailles des $25$ élèves de la classe, mesurées au centimètre près : on obtiendrait une vingtaine de valeurs différentes, presque toutes d'effectif $1$ . Le tableau ne résumerait rien du tout ! La solution est de regrouper les valeurs en classes, c'est-à-dire en intervalles.

Méthode

Regrouper une série en classes.

Repérer la plus petite et la plus grande valeur de la série.
Choisir des intervalles de même amplitude (même largeur) qui couvrent toutes les valeurs, par exemple des intervalles de largeur $10$ .
Compter combien de valeurs tombent dans chaque classe : c'est l'effectif de la classe. Une valeur égale à une borne appartient à la classe dont elle est la borne incluse (le crochet tourné vers l'intérieur).

Exemple

Les tailles des $25$ élèves de la classe, en centimètres, ont été regroupées en classes d'amplitude $10$ :

Taille (cm)	$[150; 160 [$	$[160; 170 [$	$[170; 180 [$	$[180; 190 [$
Effectif	$7$	$11$	$5$	$2$

La classe $[160; 170 [$ contient les élèves qui mesurent au moins $160$ cm et strictement moins de $170$ cm : un élève de $170$ cm serait compté dans la classe suivante. On vérifie l'effectif total : $7 + 11 + 5 + 2 = 25$ .

En regroupant, on perd de l'information (on ne connaît plus la taille exacte de chaque élève), mais on gagne en lisibilité : d'un coup d'œil, on voit que la classe la plus fournie est $[160; 170 [$ .

Représenter une série statistique

Un tableau contient toute l'information, mais un graphique la rend visible d'un seul coup d'œil. Trois représentations sont au programme, et chacune a son domaine d'utilisation : le choix du bon graphique fait partie des questions possibles au brevet.

Le diagramme en bâtons convient à un caractère quantitatif qui prend peu de valeurs distinctes (on dit qu'il est discret), comme notre nombre d'animaux. Au-dessus de chaque valeur, on dresse un bâton dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif. Les bâtons sont fins et séparés les uns des autres, car les valeurs $0$ , $1$ , $2$ … sont des nombres isolés, sans continuité entre eux.

Diagramme en bâtons du nombre d'animaux domestiques

On y lit immédiatement que la valeur la plus fréquente est $1$ (le bâton le plus haut, d'effectif $10$ ), et que très peu d'élèves ont trois animaux ou plus.

Le diagramme circulaire met en valeur les proportions : chaque valeur du caractère occupe un secteur du disque, et l'angle du secteur est proportionnel à l'effectif. Le disque entier, soit $360^{\circ}$ , représente l'effectif total. Il convient particulièrement bien aux caractères qualitatifs.

Méthode

Calculer les angles d'un diagramme circulaire.

Les angles sont proportionnels aux effectifs, et l'effectif total correspond à $360^{\circ}$ .

Calculer l'angle correspondant à un individu : $\frac{360}{effectif total}$ degrés.
Multiplier cet angle par chaque effectif pour obtenir l'angle de chaque secteur.
Vérifier que la somme des angles vaut $360^{\circ}$ .

Exemple

On a demandé à $30$ élèves comment ils viennent au collège :

Transport	Bus	À pied	Vélo	Voiture
Effectif	$12$	$9$	$6$	$3$

Un individu correspond à un angle de $\frac{360}{30} = 12^{\circ}$ . Les angles des secteurs sont donc :

Transport	Bus	À pied	Vélo	Voiture
Angle	$12 \times 12 = 144^{\circ}$	$9 \times 12 = 108^{\circ}$	$6 \times 12 = 72^{\circ}$	$3 \times 12 = 36^{\circ}$

Vérification : $144 + 108 + 72 + 36 = 360^{\circ}$ , le disque est complet.

L'histogramme, enfin, est le graphique des séries regroupées en classes de même amplitude. Au-dessus de chaque classe, on dessine un rectangle dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif de la classe. Contrairement aux bâtons, les rectangles sont collés les uns aux autres : les classes se suivent sans trou sur l'axe des valeurs ( $[150; 160 [$ se termine exactement là où $[160; 170 [$ commence), et le dessin doit le montrer.

Histogramme des tailles des élèves

Cet histogramme représente les tailles de nos $25$ élèves. Le rectangle le plus haut est celui de la classe $[160; 170 [$ , d'effectif $11$ : c'est la classe qui regroupe le plus d'élèves. Retiens le critère de choix : valeurs isolées et peu nombreuses, diagramme en bâtons ; valeurs regroupées en classes, histogramme ; envie de montrer des parts d'un tout, diagramme circulaire.

La moyenne

Résumer une série de $25$ nombres par un seul : c'est le rôle des indicateurs. Le plus célèbre est la moyenne, que tu calcules depuis des années. Son idée profonde : c'est la valeur que chacun aurait si on répartissait le total en parts égales.

Définition

La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de la série par l'effectif total :

moyenne = \frac{somme de toutes les valeurs}{effectif total}

Exemple

Lina a obtenu $11$ , $14$ , $8$ , $15$ et $12$ à ses cinq derniers contrôles de mathématiques. Sa moyenne est :

\frac{11 + 14 + 8 + 15 + 12}{5} = \frac{60}{5} = 12

Tout se passe comme si Lina avait eu $12$ à chacun des cinq contrôles : la moyenne « lisse » les hauts et les bas.

Quand la série est donnée par un tableau d'effectifs, additionner les valeurs une par une serait très long : dans notre classe, il faudrait écrire $0 + 0 + \dots + 1 + 1 + \dots$ avec $25$ termes ! On regroupe plutôt les termes identiques : les $10$ élèves qui ont $1$ animal apportent $1 \times 10$ à la somme totale. C'est la moyenne pondérée : chaque valeur est « pesée » par son effectif.

Définition

La moyenne pondérée d'une série donnée par un tableau d'effectifs s'obtient en multipliant chaque valeur par son effectif, en additionnant tous ces produits, puis en divisant par l'effectif total.

Méthode

Calculer une moyenne pondérée.

Multiplier chaque valeur par son effectif.
Additionner tous les produits obtenus : c'est la somme de toutes les valeurs de la série.
Diviser par l'effectif total (la somme des effectifs, pas le nombre de valeurs différentes !).

Exemple

Reprenons le nombre d'animaux domestiques des $25$ élèves ( $0 \to 8$ ; $1 \to 10$ ; $2 \to 4$ ; $3 \to 2$ ; $4 \to 1$ ). Le nombre moyen d'animaux par élève est :

\frac{0 \times 8 + 1 \times 10 + 2 \times 4 + 3 \times 2 + 4 \times 1}{25} = \frac{0 + 10 + 8 + 6 + 4}{25} = \frac{28}{25} = 1,12

En moyenne, chaque élève de la classe possède $1,12$ animal. Deux remarques importantes. D'abord, on divise bien par $25$ (l'effectif total) et non par $5$ (le nombre de valeurs différentes) : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce calcul. Ensuite, une moyenne n'est pas forcément une valeur possible de la série : personne ne possède $1,12$ animal, et ce n'est pas un problème, car la moyenne est un résumé, pas une observation.

Dernier cas de figure : la série est regroupée en classes, comme nos tailles. Impossible de calculer la vraie moyenne, puisqu'on ne connaît plus les valeurs exactes ! On s'en sort avec une convention : on fait comme si tous les individus d'une classe se trouvaient au centre de leur classe.

Méthode

Calculer la moyenne d'une série regroupée en classes.

Déterminer le centre de chaque classe : la moyenne de ses deux bornes. Par exemple, le centre de $[150; 160 [$ est $\frac{150 + 160}{2} = 155$ .
Calculer la moyenne pondérée en utilisant les centres comme valeurs, avec les effectifs des classes.
Préciser dans la conclusion que le résultat est une valeur approchée de la moyenne, pas sa valeur exacte.

Exemple

Pour les tailles des $25$ élèves, les centres des classes $[150; 160 [$ , $[160; 170 [$ , $[170; 180 [$ et $[180; 190 [$ sont respectivement $155$ , $165$ , $175$ et $185$ . La moyenne s'estime donc par :

\frac{155 \times 7 + 165 \times 11 + 175 \times 5 + 185 \times 2}{25} = \frac{1 085 + 1 815 + 875 + 370}{25} = \frac{4 145}{25} = 165,8

La taille moyenne des élèves de la classe est d'environ $165,8$ cm. Le mot « environ » n'est pas décoratif : les vraies tailles ne sont pas toutes au centre de leur classe, donc ce résultat est une approximation. C'est le prix à payer pour avoir regroupé les données, et le brevet attend que tu le signales.

La médiane

La moyenne n'est pas le seul résumé possible. Voici le deuxième indicateur de position au programme : la médiane, qui répond à une question différente. Non plus « quelle serait la valeur de chacun si on égalisait tout ? », mais « quelle valeur coupe le groupe en deux moitiés ? ».

Définition

Une médiane d'une série statistique est une valeur qui partage la série, rangée dans l'ordre croissant, en deux groupes de même effectif :

au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane ;
au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.

Méthode

Déterminer une médiane. On note $N$ l'effectif total de la série.

Ranger les valeurs dans l'ordre croissant (ne saute jamais cette étape !).
Si $N$ est impair : la médiane est la valeur du milieu, c'est-à-dire la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ .
Si $N$ est pair : il n'y a pas de valeur du milieu. Toute valeur comprise entre la $\frac{N}{2}$ -ième et la suivante convient ; en pratique, on prend la moyenne de ces deux valeurs centrales.

Exemple

Effectif impair. Cherchons la médiane du nombre d'animaux des $25$ élèves. Comme $N = 25$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{25 + 1}{2} = 13$ : la $13^{e}$ valeur de la série rangée dans l'ordre croissant.

Pas besoin d'écrire les $25$ valeurs une par une : on cumule les effectifs en partant des valeurs les plus basses. Les $8$ premières valeurs sont des $0$ (rangs $1$ à $8$ ), puis viennent les $10$ valeurs égales à $1$ (rangs $9$ à $18$ ). Le rang $13$ tombe dans ce deuxième paquet : la $13^{e}$ valeur est $1$ .

La médiane est donc $1$ : au moins la moitié des élèves ont au plus $1$ animal, et au moins la moitié en ont au moins $1$ .

Effectif pair. Six amis relèvent leur temps de trajet jusqu'au collège, en minutes : $18$ , $9$ , $25$ , $12$ , $20$ et $14$ . On range d'abord dans l'ordre croissant :

9; 12; 14; 18; 20; 25

Comme $N = 6$ est pair, les deux valeurs centrales sont la $3^{e}$ et la $4^{e}$ , c'est-à-dire $14$ et $18$ . On prend leur moyenne :

\frac{14 + 18}{2} = \frac{32}{2} = 16

Une médiane de cette série est $16$ minutes : trois amis mettent moins de $16$ minutes, trois en mettent plus. Remarque que $16$ ne fait pas partie de la série, et que n'importe quelle valeur entre $14$ et $18$ aurait aussi coupé le groupe en deux moitiés ; la moyenne des deux valeurs centrales est simplement le choix d'usage.

Moyenne et médiane de la même série ne coïncident pas forcément : pour les animaux, la moyenne vaut $1,12$ et la médiane vaut $1$ . Chacune raconte quelque chose de vrai, mais pas la même chose. Nous verrons plus loin dans quels cas elles peuvent fortement diverger.

L'étendue

Moyenne et médiane sont des indicateurs de position : ils disent où se situe le « centre » de la série. Mais deux séries peuvent avoir le même centre et des allures très différentes, l'une resserrée, l'autre très étalée. Pour mesurer cet étalement, le programme te donne un indicateur de dispersion : l'étendue.

Définition

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série :

\overset{ˊ}{e} tendue = valeur maximale - valeur minimale

Exemple

Pour le nombre d'animaux des $25$ élèves, la plus grande valeur est $4$ et la plus petite est $0$ , donc l'étendue vaut :

4 - 0 = 4

Pour les temps de trajet des six amis, l'étendue vaut $25 - 9 = 16$ minutes.

Comment l'interpréter ? Une étendue petite signifie que toutes les valeurs sont proches les unes des autres : la série est régulière, homogène. Une étendue grande signale des valeurs très dispersées, avec de gros écarts entre les individus. Attention à une confusion classique : l'étendue est une différence, pas un intervalle. On écrit « l'étendue est $4$ », jamais « l'étendue va de $0$ à $4$ ». Et comme elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes, une seule valeur exceptionnelle suffit à la faire exploser, ce qui nous amène tout droit à la section suivante.

Comparer deux séries et garder un regard critique

Tu disposes maintenant de trois indicateurs : moyenne, médiane, étendue. Leur vraie puissance apparaît quand on compare deux séries, et quand on se demande si un chiffre présenté dans un journal ou une publicité dit vraiment ce qu'il prétend dire.

Exemple

Même moyenne, profils opposés. Léa et Tom comparent leurs cinq dernières notes de mathématiques :

	Note 1	Note 2	Note 3	Note 4	Note 5
Léa	$9$	$10$	$10$	$11$	$12$
Tom	$2$	$5$	$10$	$16$	$19$

Les deux séries ont la même somme, $52$ , donc la même moyenne : $\frac{52}{5} = 10,4$ . À la moyenne seule, impossible de les distinguer ! Mais les étendues racontent une autre histoire : $12 - 9 = 3$ pour Léa, contre $19 - 2 = 17$ pour Tom. Léa est très régulière, toujours autour de $10$ ; Tom alterne les notes catastrophiques et les excellentes. Même moyenne, profils d'élèves radicalement différents : c'est l'étendue qui fait la différence.

Deuxième situation classique : une valeur extrême qui déforme la moyenne. La moyenne utilise toutes les valeurs de la série ; une seule valeur exceptionnellement grande (ou petite) suffit donc à la tirer vers elle. La médiane, elle, ne regarde que le milieu de la série ordonnée : elle est insensible aux valeurs extrêmes.

Exemple

Le salaire moyen de la petite entreprise. Une entreprise compte cinq personnes : quatre employés payés $1 600$ €, $1 700$ €, $1 800$ € et $1 900$ € par mois, et la directrice, payée $8 000$ €. Le salaire moyen est :

\frac{1 600 + 1 700 + 1 800 + 1 900 + 8 000}{5} = \frac{15 000}{5} = 3 000

« Le salaire moyen dans notre entreprise est de $3 000$ € », peut annoncer fièrement la directrice. C'est exact, et pourtant aucun des quatre employés ne gagne ne serait-ce que $2 000$ € ! Le salaire de la directrice, valeur extrême, tire la moyenne vers le haut. La médiane, elle, est la $3^{e}$ valeur de la série ordonnée, soit $1 800$ € : elle décrit bien mieux le salaire « typique » d'une personne de cette entreprise. Retiens le réflexe : quand une série contient une valeur extrême, la médiane est souvent un résumé plus honnête que la moyenne.

Le regard critique s'applique aussi aux graphiques. Une manipulation très répandue consiste à tronquer l'axe vertical, c'est-à-dire à ne pas le faire démarrer à zéro. Imagine deux magasins dont les ventes mensuelles valent $980$ et $1 000$ : sur un graphique dont l'axe vertical va de $0$ à $1 000$ , les deux barres semblent quasiment identiques, ce qui est fidèle à la réalité (l'écart est de $2 %$ ). Mais si l'axe démarre à $970$ , la première barre paraît minuscule et la seconde immense : l'écart semble énorme alors que rien n'a changé dans les données. Le graphique n'est pas faux à proprement parler, mais il est trompeur. Avant de te laisser impressionner par un graphique, vérifie toujours où commence l'axe vertical et quelles sont les graduations.

Statistiques au tableur

Calculer la moyenne de $25$ notes à la main, passe encore. Mais les statistiques réelles portent sur des centaines ou des milliers de valeurs : les résultats d'un sondage, les températures d'une année, les ventes d'un magasin. L'outil adapté est le tableur (LibreOffice Calc, Excel, Google Sheets…), et le brevet comporte très souvent une question sur les formules de tableur.

Dans une feuille de calcul, chaque case s'appelle une cellule et possède une référence : la lettre de sa colonne suivie du numéro de sa ligne. La cellule B3 est ainsi à l'intersection de la colonne B et de la ligne 3. Une formule commence toujours par le signe = et peut utiliser ces références : le tableur remplace chaque référence par le contenu de la cellule, et recalcule tout automatiquement si une valeur change.

Reprenons le tableau des animaux domestiques, saisi dans une feuille de calcul :

	A	B	C
1	Nombre d'animaux	Effectif	Produit
2	$0$	$8$	`=A2*B2`
3	$1$	$10$	`=A3*B3`
4	$2$	$4$	`=A4*B4`
5	$3$	$2$	`=A5*B5`
6	$4$	$1$	`=A6*B6`
7	Total	`=SOMME(B2:B6)`	`=SOMME(C2:C6)`

Trois idées essentielles se lisent dans cette feuille.

La fonction =SOMME(B2:B6) additionne d'un coup toutes les cellules de la plage B2
(les cellules de B2 à B6). Ici elle affiche $25$ , l'effectif total ; en C7, =SOMME(C2:C6) affiche $28$ , la somme de toutes les valeurs de la série.
La recopie de formule : on ne tape pas les cinq formules de la colonne C une par une. On saisit =A2*B2 en C2, puis on recopie la formule vers le bas (avec la petite poignée en bas à droite de la cellule). Le tableur adapte automatiquement les références : en C3 la formule devient =A3*B3, en C4 elle devient =A4*B4, et ainsi de suite. C'est LA question favorite des sujets de brevet : « quelle formule obtient-on en recopiant la formule de C2 vers le bas ? ».
La moyenne s'obtient ensuite en écrivant par exemple =C7/B7 dans une cellule libre, ce qui affiche $1,12$ : exactement notre moyenne pondérée, calculée sans effort.

Et quand les données sont saisies en liste brute plutôt qu'en tableau d'effectifs, c'est encore plus direct : si les $25$ tailles des élèves occupent les cellules A2 à A26, la formule =MOYENNE(A2:A26) calcule leur moyenne en une seule ligne, sans passer par les produits. Voilà tout l'intérêt du tableur : les formules font le travail répétitif, et toi tu gardes l'essentiel, c'est-à-dire l'interprétation des résultats.

Le chapitre est complet, et il forme une chaîne logique : organiser les données (effectifs, fréquences, classes), les représenter (bâtons, circulaire, histogramme), les résumer (moyenne, médiane, étendue), puis les interpréter avec un regard critique et les traiter efficacement au tableur. Ces compétences dépassent largement le cours de mathématiques : elles te serviront à lire un article de presse, un sondage ou une publicité sans te faire piéger. Place aux exercices !

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