Proportionnalité et pourcentages d'évolution

« Soldes : $-30\mathrm{\%}$ sur tout le magasin », « le prix du ticket de cantine augmente de $5\mathrm{\%}$ », « mélangez le sirop et l'eau dans le ratio $1:7$ »… Ouvre un journal, entre dans un magasin, lis une recette : les pourcentages et les proportions sont partout. Tu connais déjà bien le terrain : depuis la cinquième tu manipules les tableaux de proportionnalité, et en quatrième tu as appris le produit en croix pour calculer une quatrième proportionnelle, ainsi qu'à appliquer un pourcentage. Ce chapitre consolide tout cela et ajoute deux outils typiques de la troisième : le coefficient multiplicateur, qui transforme une phrase comme « augmenter de $5\mathrm{\%}$ » en une simple multiplication, et le ratio, une notation efficace pour les problèmes de mélange et de partage. Un conseil avant de commencer : travaille ce chapitre à fond, car les pourcentages d'évolution tombent presque chaque année au brevet, souvent dans un problème concret où il faut à la fois calculer une évolution et en retrouver une. Autant dire que ce sont des points quasi garantis pour qui maîtrise les méthodes.

Proportionnalité et quatrième proportionnelle

Commençons par remettre en place le socle. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre par une simple multiplication : si un kilogramme de fraises coûte $4$ €, alors $2$ kg coûtent $8$ €, $3$ kg coûtent $12$ €, et $x$ kg coûtent $4x$ euros. Le nombre par lequel on multiplie ne change jamais : c'est lui qui définit la situation.

Un tableau de valeurs permet de visualiser (et de vérifier) une situation de proportionnalité. Voici celui des fraises à $4$ € le kilogramme :

Pour passer de la première ligne à la seconde, on multiplie toujours par $4$ : c'est un tableau de proportionnalité de coefficient $4$. Si une seule colonne avait refusé la règle (par exemple $3$ kg pour $13$ €), la situation n'aurait pas été proportionnelle : le coefficient doit fonctionner partout.

Dans les problèmes, on connaît souvent trois valeurs d'un tel tableau et on cherche la quatrième. Cette valeur manquante porte un nom que tu as croisé en quatrième.

L'outil roi pour la calculer est le produit en croix, qui repose sur une propriété des tableaux de proportionnalité : les produits des cases en diagonale sont égaux.

Un dernier rappel de prudence, qui vaut de l'or au brevet : le produit en croix ne s'applique que si la situation est proportionnelle. L'âge et la taille d'un enfant, le nombre d'heures de révision et la note obtenue : voilà des grandeurs liées, mais pas proportionnelles. Avant tout produit en croix, pose-toi la question, et justifie-la d'une phrase dans ta rédaction.

Proportions et pourcentages

Deuxième pilier du chapitre : savoir exprimer « quelle part du total » représente une quantité. C'est la notion de proportion, et le pourcentage n'en est qu'un habillage commode.

Dans l'autre sens, on connaît le pourcentage et on veut la quantité correspondante : c'est appliquer un pourcentage. Là encore, une seule multiplication suffit.

Retiens la logique commune : dans les deux sens, le pourcentage n'est qu'une proportion déguisée, et tout se ramène à un quotient ou à une multiplication. Jusqu'ici, le pourcentage décrit une part d'un tout. Dans la section suivante, il va décrire un changement : une quantité qui augmente ou qui diminue. C'est la grande nouveauté de l'année.

Augmenter ou diminuer de t % : le coefficient multiplicateur

Le prix d'un jeu vidéo augmente de $15\mathrm{\%}$, une veste est remisée de $35\mathrm{\%}$ pendant les soldes : comment calculer les nouveaux prix ? Tu sais déjà le faire en deux temps : calculer l'augmentation (ou la réduction), puis l'ajouter (ou la soustraire). Prenons le jeu vidéo à $60$ € qui augmente de $15\mathrm{\%}$ :

• l'augmentation vaut ${\displaystyle \frac{15}{100}}\times 60=9$ € ;
• le nouveau prix est $60+9=69$ €.

Ce calcul en deux temps fonctionne toujours, mais la troisième t'offre mieux : un calcul en un seul temps. Refais le même raisonnement avec une quantité de départ $N$ quelconque et une hausse de $t\mathrm{\%}$. La quantité augmente de ${\displaystyle \frac{t}{100}}\times N$, donc la nouvelle valeur est $N+{\displaystyle \frac{t}{100}}\times N$. Et c'est ici que le calcul littéral entre en scène : en factorisant par $N$ grâce à la distributivité,

$$N+{\displaystyle \frac{t}{100}}\times N=N\times (1+{\displaystyle \frac{t}{100}})$$

Augmenter de $t\mathrm{\%}$, c'est donc multiplier par le nombre $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$. Le même raisonnement avec une soustraction donne le cas de la diminution : $N-{\displaystyle \frac{t}{100}}\times N=N\times (1-{\displaystyle \frac{t}{100}})$.

Ce résultat est central : il transforme une phrase (« augmenter de $15\mathrm{\%}$ ») en un nombre ($\times \mathrm{1,15}$). On passe d'une formulation additive (ajouter ou enlever un pourcentage) à une formulation multiplicative (multiplier par un coefficient), et cette seconde lecture est infiniment plus puissante pour les calculs.

Observe la position du coefficient par rapport à $1$ : elle raconte l'évolution à elle seule. Un coefficient plus grand que $1$ signale une augmentation ; un coefficient entre $0$ et $1$ signale une diminution. Voici un petit tableau récapitulatif à connaître sur le bout des doigts :

Deux colonnes de ce tableau méritent une seconde de réflexion : augmenter de $100\mathrm{\%}$, c'est multiplier par $2$ (doubler !), et diminuer de $50\mathrm{\%}$, c'est multiplier par $\mathrm{0,5}$ (prendre la moitié). Et attention au piège d'écriture le plus fréquent : augmenter de $5\mathrm{\%}$, c'est multiplier par $\mathrm{1,05}$, et surtout pas par $\mathrm{1,5}$, qui correspondrait à une augmentation de $50\mathrm{\%}$ ! Le ${\displaystyle \frac{t}{100}}$ de la formule impose de bien placer la virgule.

Entraîne-toi à traduire dans les deux sens (réponses données après les deux-points) :

Les deux dernières colonnes te l'ont fait sentir : la traduction fonctionne aussi en sens inverse. C'est justement l'objet de la section suivante.

Retrouver un pourcentage d'évolution

Renversons le problème, comme aime le faire le brevet : on connaît la valeur de départ et la valeur d'arrivée, et on cherche le pourcentage d'évolution. « Le loyer est passé de $150$ € à $120$ € : de quel pourcentage a-t-il baissé ? » L'idée est simple : puisqu'une évolution est une multiplication, il suffit de retrouver par quel nombre on a multiplié, c'est-à-dire le coefficient multiplicateur. Et pour retrouver un facteur, on divise.

Il existe une deuxième lecture du même problème, tout aussi valable, qui relie cette section à celle des proportions : au lieu de regarder le coefficient, on regarde la variation (ce qui a été gagné ou perdu) et on se demande quelle proportion de la valeur de départ elle représente.

Un point de vigilance essentiel, source de la moitié des erreurs sur ce thème : le pourcentage d'évolution se calcule toujours par rapport à la valeur de départ, jamais par rapport à la valeur d'arrivée. Dans l'exemple du loyer, diviser $30$ par $120$ donnerait $\mathrm{0,25}$, soit $25\mathrm{\%}$ : un résultat faux, car la référence n'est pas la bonne. Le « tout » d'une évolution, c'est ce qu'on avait avant. Et cette question de référence est précisément ce qui rend le piège suivant si redoutable.

Le piège des évolutions qui s'enchaînent

Voici l'un des pièges les plus célèbres du programme, posé un jour ou l'autre à tout élève de troisième : le prix d'un article augmente de $20\mathrm{\%}$, puis diminue de $20\mathrm{\%}$. Revient-il à son prix de départ ? L'intuition crie « oui, évidemment : $+20$ puis $-20$, ça s'annule ». L'intuition a tort, et un exemple numérique calculé pas à pas va le prouver.

D'où vient le paradoxe ? Les deux évolutions font toutes les deux « $20\mathrm{\%}$ », mais pas $20\mathrm{\%}$ de la même chose. La hausse ajoute $20\mathrm{\%}$ de $200$ €, soit $40$ € ; la baisse retire $20\mathrm{\%}$ de $240$ €, soit $48$ €. On retire plus qu'on n'avait ajouté, le compte n'y est pas. On peut d'ailleurs mesurer le bilan global avec la méthode de la section précédente : le coefficient de l'évolution complète est ${\displaystyle \frac{192}{200}}=\mathrm{0,96}=1-{\displaystyle \frac{4}{100}}$. Au total, l'article a baissé de $4\mathrm{\%}$.

Grave cette règle dans le marbre : « $+20\mathrm{\%}$ puis $-20\mathrm{\%}$ » ne fait pas « $0\mathrm{\%}$ », et « $+10\mathrm{\%}$ puis $+10\mathrm{\%}$ » ne fait pas « $+20\mathrm{\%}$ ». Dès que deux évolutions se suivent, sors ton brouillon et déroule les étapes une par une.

Ratios et partages

Dernière notion du chapitre, apparue récemment dans les programmes du collège et très présente dans les sujets de brevet : le ratio. Il formalise une idée que tu utilises déjà dans la vie courante. Quand une recette de béton demande « trois volumes de sable pour un volume de ciment », ou quand un sirop se prépare avec « un volume de sirop pour sept volumes d'eau », on compare des quantités entre elles, sans préciser les quantités réelles.

Ce quotient commun n'est pas un inconnu : c'est un coefficient de proportionnalité ! Dire que $a$ et $b$ sont dans le ratio $2:3$, c'est dire que le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

Le ratio, c'est donc de la proportionnalité concentrée : les nombres du ratio jouent le rôle de « parts » élémentaires, et les valeurs réelles s'obtiennent en multipliant toutes les parts par un même nombre. Cette lecture en « parts » donne directement la méthode pour le grand classique du brevet : partager une quantité selon un ratio.

La méthode s'étend sans effort à un ratio à trois termes : on compte simplement les parts de la même façon.

Un dernier mot sur le vocabulaire : un ratio se lit toujours dans l'ordre. Le ratio $2:3$ et le ratio $3:2$ ne racontent pas la même histoire (dans le premier, la seconde quantité est la plus grande ; dans le second, c'est la première). Dans un problème, prends une seconde pour associer chaque nombre du ratio à la bonne personne ou à la bonne quantité avant de calculer.

Le tour du chapitre est complet, et il forme un ensemble très cohérent : la proportionnalité et son produit en croix pour les valeurs manquantes, la proportion partie sur tout pour exprimer et appliquer un pourcentage, le coefficient multiplicateur pour traiter les hausses et les baisses en une seule multiplication, la division arrivée par départ pour retrouver un pourcentage d'évolution, la règle d'or du calcul étape par étape quand les évolutions s'enchaînent, et le ratio pour les partages. Ces outils sont ceux que tu utiliseras le plus dans ta vie de citoyen : soldes, salaires, impôts, statistiques des journaux… Et au brevet, ils rapportent des points à chaque session ou presque. Place aux exercices !