3ᵉ · Chapitre 13 · Espace et géométrie

Géométrie dans l'espace : sphère et sections

Latitude et longitude, sections planes de solides, volume de la boule, conversions.

Ce qu'il faut savoir faire

Latitude et longitude
Sections planes de solides
Volume de la boule
Conversions

Un ballon de football, la Terre, une orange : trois objets ronds, et un seul mot mathématique pour les décrire, la sphère. Dans ce chapitre, tu vas d'abord apprendre à définir précisément cette forme et à te repérer à sa surface, exactement comme le fait un GPS avec la latitude et la longitude. Puis tu prendras un couteau (mathématique) pour couper des solides : que voit-on quand on tranche un pavé, un cylindre, un cône ou une sphère ? La réponse est souvent plus simple qu'on ne l'imagine, et le théorème de Pythagore, que tu connais depuis la 4e, va y jouer un rôle inattendu. Enfin, tu découvriras la dernière formule de volume du collège : celle de la boule.

1. Sphère et boule

Commençons par distinguer deux mots que le langage courant confond : la sphère et la boule. Pense à un ballon de baudruche : l'enveloppe de caoutchouc, c'est la sphère ; si le ballon était rempli de plâtre, le solide plein obtenu serait la boule.

Définition

Soit $O$ un point de l'espace et $R$ un nombre positif.

La sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $O M = R$ . C'est une surface creuse.
La boule de centre $O$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $O M \leq R$ . C'est un solide plein : la boule contient la sphère et tout l'intérieur.

Le vocabulaire du cercle se transporte à la sphère : un rayon est un segment qui joint le centre $O$ à un point de la sphère, et un diamètre est un segment qui joint deux points de la sphère en passant par $O$ . Le diamètre mesure donc $2 R$ .

Définition

Quand on coupe une sphère par un plan passant par son centre $O$ , on obtient un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ : c'est un grand cercle de la sphère. C'est le plus grand cercle que l'on puisse tracer sur la sphère.

Sphère de centre O et de rayon R avec un grand cercle

Sur la figure, la sphère de centre $O$ est représentée avec un rayon $[O M]$ de longueur $R$ , un grand cercle dessiné en ellipse (comme l'équateur d'un globe), et les deux pôles $N$ et $S$ .

Exemple

Une sphère a pour rayon $5 cm$ . Calculer le périmètre d'un de ses grands cercles.

Un grand cercle a le même rayon que la sphère, soit $5 cm$ . Son périmètre vaut donc :

2 π \times 5 = 10 π \approx 31,4

Le périmètre d'un grand cercle est $10 π cm$ , soit environ $31,4 cm$ .

2. Se repérer sur la sphère : latitude et longitude

Comment donner la position exacte d'un bateau au milieu de l'océan ? Sur une droite graduée, un nombre suffit ; dans le plan, il en faut deux ; sur la sphère terrestre aussi, il en faut deux, mais ce sont des angles. Pour les définir, les géographes ont tracé un quadrillage sur le globe.

Définition

Sur la sphère terrestre, de pôles $N$ et $S$ :

l'équateur est le grand cercle situé à égale distance des deux pôles ;
les méridiens sont les demi-grands cercles qui joignent le pôle Nord au pôle Sud ; celui qui passe par l'observatoire de Greenwich, près de Londres, est le méridien de Greenwich ;
les parallèles sont les cercles dont les points sont tous à la même distance de l'équateur ; ils sont parallèles à l'équateur.

Ce quadrillage permet de définir les deux coordonnées d'un point.

Définition

Un point $M$ de la sphère terrestre est repéré par deux angles :

sa latitude : l'angle qui mesure l'écart entre $M$ et l'équateur, de $0^{\circ}$ à $90^{\circ}$ , vers le Nord ou vers le Sud ;
sa longitude : l'angle qui mesure l'écart entre le méridien de $M$ et le méridien de Greenwich, de $0^{\circ}$ à $180^{\circ}$ , vers l'Est ou vers l'Ouest.

On écrit les coordonnées géographiques dans l'ordre (latitude ; longitude). Par exemple, Paris a pour coordonnées environ $(49^{\circ} N; 2^{\circ} E)$ .

Globe : équateur, méridien de Greenwich, latitude et longitude d'un point M

Sur la figure, tu peux suivre les deux angles qui repèrent le point $M$ : la latitude se mesure le long du méridien de $M$ , en partant de l'équateur, et la longitude se mesure le long de l'équateur, en partant du méridien de Greenwich.

Trois remarques pour éviter les pièges classiques :

l'équateur est un grand cercle de la sphère terrestre, mais les autres parallèles n'en sont pas : plus on s'approche des pôles, plus les parallèles sont petits ;
tous les méridiens ont la même longueur : ce sont tous des demi-grands cercles ;
un point de l'équateur a une latitude de $0^{\circ}$ , et les pôles ont une latitude de $90^{\circ}$ (Nord ou Sud).

3. Sections planes de solides

Quand on coupe un solide par un plan, la surface plane obtenue au niveau de la coupe s'appelle la section plane du solide par ce plan. C'est exactement ce que tu vois quand tu tranches un saucisson ou un morceau de fromage : la forme de la tranche dépend du solide et de la façon de couper. Passons en revue les solides que tu connais.

a. Pavé droit

Propriété

La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle identique à cette face.
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

Section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face

C'est le cas le plus simple : quand on coupe une brique parallèlement à l'une de ses faces, chaque tranche a exactement la forme de cette face. En coupant seulement parallèlement à une arête (le plan est alors « incliné » par rapport aux faces, mais suit la direction de l'arête), on obtient encore un rectangle, dont les dimensions peuvent être différentes de celles des faces.

b. Cylindre

Propriété

La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que la base.
La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle.

Sections d'un cylindre : perpendiculaire à l'axe et parallèle à l'axe

Pense à un saucisson : en coupant droit (perpendiculairement à l'axe), on obtient une tranche ronde, toujours de même taille ; en coupant dans le sens de la longueur (parallèlement à l'axe), on obtient une tranche rectangulaire.

c. Pyramide et cône : section parallèle à la base

Pour la pyramide et le cône, le programme de 3e s'intéresse à un seul type de coupe : parallèlement à la base. Cette fois, la section n'est pas identique à la base, elle est plus petite : c'est une réduction de la base, au sens vu dans le chapitre sur les homothéties.

Propriété

On coupe une pyramide (ou un cône) de sommet $S$ par un plan parallèle à sa base. La hauteur $[S O]$ est coupée en un point $O^{'}$ .

La section est une réduction de la base : un polygone de même forme pour la pyramide, un cercle pour le cône.
Le coefficient de réduction est $k = \frac{S O^{'}}{S O}$ .
Les longueurs de la base sont multipliées par $k$ , et les volumes par $k^{3}$ : le petit solide découpé au-dessus du plan est une réduction du solide de départ.

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Section d'un cône par un plan parallèle à la base

Sur les deux figures, le plan de coupe fait apparaître, au-dessus de lui, une petite pyramide (ou un petit cône) qui a la même forme que le solide entier, en modèle réduit. Comme $O^{'}$ est entre $S$ et $O$ , on a $S O^{'} < S O$ , donc $k < 1$ : c'est bien une réduction.

Méthode

Calculer les dimensions d'une section parallèle à la base.

Repère la hauteur totale $S O$ et la distance $S O^{'}$ entre le sommet et le plan de coupe.
Calcule le coefficient de réduction $k = \frac{S O^{'}}{S O}$ (simplifie la fraction si possible).
Multiplie par $k$ chaque longueur de la base (côté du polygone, rayon du cercle) pour obtenir les dimensions de la section.
Si on demande le volume du petit solide, multiplie le volume total par $k^{3}$ .

Exemple

Un cône a une hauteur de $12 cm$ et une base de rayon $6 cm$ . On le coupe par un plan parallèle à la base, à $4 cm$ du sommet. Quel est le rayon de la section ?

Le coefficient de réduction est $k = \frac{S O^{'}}{S O} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ .

Le rayon de la section est donc $6 \times \frac{1}{3} = 2 cm$ : la section est un cercle de rayon $2 cm$ .

d. Sphère

Dernier solide, et résultat le plus élégant du chapitre : quelle que soit la façon de couper une sphère, la tranche est toujours ronde.

Propriété

Toute section d'une sphère par un plan est un cercle.

Si le plan passe à la distance $d$ du centre $O$ de la sphère, avec $d < R$ , alors le rayon $r$ de la section vérifie :

r^{2} = R^{2} - d^{2}

Cas particuliers :

si $d = 0$ , le plan passe par le centre et la section est un grand cercle, de rayon $R$ ;
si $d = R$ , le plan touche la sphère en un seul point : on dit qu'il est tangent à la sphère.

Section d'une sphère par un plan : le triangle rectangle OHM

D'où vient la formule ? Appelons $H$ le centre du cercle de section et $M$ un point de ce cercle. Le segment $[O H]$ est perpendiculaire au plan de coupe, donc le triangle $O H M$ est rectangle en $H$ , avec $O M = R$ (rayon de la sphère), $O H = d$ et $H M = r$ . Le théorème de Pythagore, que tu connais depuis la 4e, donne $O H^{2} + H M^{2} = O M^{2}$ , c'est-à-dire $d^{2} + r^{2} = R^{2}$ , d'où $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ .

Méthode

Calculer le rayon de la section d'une sphère par un plan.

Repère le rayon $R$ de la sphère et la distance $d$ entre le centre $O$ et le plan de coupe (vérifie que $d < R$ , sinon la section est vide ou réduite à un point).
Applique la relation $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ .
Conclus avec la racine carrée : $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$ .

Exemple

Une sphère a pour rayon $R = 5 cm$ . On la coupe par un plan situé à $d = 3 cm$ du centre. Calculer le rayon de la section.

Le triangle $O H M$ est rectangle en $H$ , donc $r^{2} = R^{2} - d^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16$ .

Comme $r$ est une longueur, $r = \sqrt{16} = 4$ : la section est un cercle de rayon $4 cm$ .

Voici le récapitulatif de toutes les sections du chapitre :

Solide	Plan de coupe	Nature de la section
Pavé droit	parallèle à une face	rectangle identique à la face
Pavé droit	parallèle à une arête	rectangle
Cylindre	perpendiculaire à l'axe	cercle de même rayon que la base
Cylindre	parallèle à l'axe	rectangle
Pyramide	parallèle à la base	polygone, réduction de la base
Cône	parallèle à la base	cercle, réduction de la base
Sphère	à la distance $d$ du centre ( $d < R$ )	cercle de rayon $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$

4. Volume de la boule

Tu connais déjà les volumes du pavé droit et du cylindre (5e), puis de la pyramide et du cône (4e). Il ne manque plus que la boule pour compléter la collection du collège.

Propriété

Le volume $V$ d'une boule de rayon $R$ est donné par :

V = \frac{4}{3} π R^{3}

Si $R$ est en $cm$ , alors $V$ est en ${cm}^{3}$ .

Attention à l'ordre des opérations : dans $\frac{4}{3} π R^{3}$ , seule la lettre $R$ est élevée au cube. On calcule d'abord $R^{3}$ , puis on multiplie par $π$ et par $\frac{4}{3}$ .

Exemple

Calculer le volume d'une boule de rayon $3 cm$ . Donner la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième.

V = \frac{4}{3} π \times 3^{3} = \frac{4}{3} π \times 27 = 36 π

La valeur exacte du volume est $36 π {cm}^{3}$ . À la calculatrice, $36 π \approx 113,097$ , donc $V \approx 113,1 {cm}^{3}$ .

Comme pour le cône en 4e, retiens la différence entre les deux écritures : $36 π {cm}^{3}$ est la valeur exacte, à garder telle quelle si l'énoncé la demande ; $113,1 {cm}^{3}$ n'est qu'un arrondi, toujours accompagné du symbole $\approx$ .

Un rappel utile pour les problèmes concrets : les unités de volume vont de $1 000$ en $1 000$ , et la correspondance avec les litres est à connaître par cœur.

Propriété

1 L = 1 {dm}^{3} = 1 000 {cm}^{3} et 1 m^{3} = 1 000 L

Méthode

Convertir un volume en litres.

Calcule le volume dans l'unité des données (souvent en ${cm}^{3}$ ).
Convertis en ${dm}^{3}$ en divisant par $1 000$ (les unités de volume vont de $1 000$ en $1 000$ ).
Remplace : $1 {dm}^{3} = 1 L$ .

Exemple

Un saladier a la forme d'une demi-boule de rayon $10 cm$ . Peut-il contenir $2$ litres d'eau ?

Le volume de la boule entière de rayon $10 cm$ serait $\frac{4}{3} π \times 10^{3} = \frac{4 000 π}{3} {cm}^{3}$ .

Le volume d'une demi-boule est la moitié de celui de la boule :

V = \frac{1}{2} \times \frac{4 000 π}{3} = \frac{2 000 π}{3} \approx 2 094 {cm}^{3}

On convertit : $2 094 {cm}^{3} = 2,094 {dm}^{3} \approx 2,1 L$ . Oui, le saladier peut contenir $2$ litres d'eau, mais de justesse !

L'essentiel à retenir

Sphère et boule de centre $O$ et de rayon $R$ : la sphère est la surface ( $O M = R$ ), la boule est le solide plein ( $O M \leq R$ ). Un grand cercle s'obtient en coupant la sphère par un plan passant par $O$ .
Repérage sur la Terre : un point est repéré par sa latitude (angle par rapport à l'équateur, de $0^{\circ}$ à $90^{\circ}$ , Nord ou Sud) et sa longitude (angle par rapport au méridien de Greenwich, de $0^{\circ}$ à $180^{\circ}$ , Est ou Ouest), dans l'ordre $(latitude; longitude)$ .
Sections planes : rectangle pour le pavé droit ; cercle ou rectangle pour le cylindre selon la coupe ; réduction de la base de coefficient $k = \frac{S O^{'}}{S O}$ pour la pyramide et le cône coupés parallèlement à la base (longueurs $\times k$ , volumes $\times k^{3}$ ).
Section d'une sphère : toujours un cercle ; à la distance $d$ du centre, son rayon vérifie $r^{2} = R^{2} - d^{2}$ (Pythagore dans le triangle $O H M$ ).
Volume de la boule : $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ , valeur exacte avec $π$ puis arrondi. Conversions : $1 L = 1 {dm}^{3} = 1 000 {cm}^{3}$ .

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Solide

Plan de coupe

Nature de la section

Pavé droit

parallèle à une face

rectangle identique à la face

Pavé droit

parallèle à une arête

rectangle

Cylindre

perpendiculaire à l'axe

cercle de même rayon que la base

Cylindre

parallèle à l'axe

rectangle

Pyramide

parallèle à la base

polygone, réduction de la base

Cône

parallèle à la base

cercle, réduction de la base

Sphère

à la distance

d

du centre (

d < R

)

cercle de rayon

r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}