3ᵉ · Chapitre 01 · Nombres et calculs

Arithmétique : fractions irréductibles

Décomposition en facteurs premiers, fraction irréductible, problèmes de divisibilité (engrenages…).

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Décomposition en facteurs premiers
Fraction irréductible
Problèmes de divisibilité (engrenages…)

Tous les nombres entiers sont construits à partir des mêmes briques : les nombres premiers. Comme un mur se démonte brique par brique, chaque entier peut se démonter en un produit de nombres premiers, et cette décomposition est une véritable carte d'identité du nombre. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à lire cette carte d'identité pour simplifier n'importe quelle fraction jusqu'au bout, et pour résoudre des problèmes très concrets : des engrenages qui tournent, des bus qui se croisent, des bouquets à composer.

Diviseurs, multiples et diviseurs communs

Commençons par consolider le vocabulaire que tu connais depuis la 5e. Tout repose sur une seule idée : une division qui « tombe juste », c'est-à-dire une division euclidienne dont le reste est nul.

Définition

Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers, avec $b$ différent de $0$ .

On dit que $b$ est un diviseur de $a$ (ou que $a$ est divisible par $b$ ) lorsque la division euclidienne de $a$ par $b$ a un reste égal à $0$ .

Dans ce cas, on dit aussi que $a$ est un multiple de $b$ .

Exemple

Comme $56 = 8 \times 7$ , la division de $56$ par $8$ tombe juste : $8$ est un diviseur de $56$ , et $56$ est un multiple de $8$ (c'est aussi un multiple de $7$ ).

En revanche, $56 = 5 \times 11 + 1$ : le reste vaut $1$ , donc $5$ n'est pas un diviseur de $56$ .

Pour repérer rapidement certains diviseurs sans poser de division, tu disposes des critères de divisibilité. Ils vont devenir tes meilleurs outils pour simplifier les fractions.

Propriété

Critères de divisibilité. Un nombre entier est divisible :

par	lorsque
$2$	son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$
$3$	la somme de ses chiffres est divisible par $3$
$5$	son chiffre des unités est $0$ ou $5$
$9$	la somme de ses chiffres est divisible par $9$
$10$	son chiffre des unités est $0$

Prenons $738$ . Son chiffre des unités est $8$ , donc il est divisible par $2$ , mais pas par $5$ ni par $10$ . La somme de ses chiffres vaut $7 + 3 + 8 = 18$ , qui est divisible par $3$ et par $9$ : donc $738$ est divisible par $3$ et par $9$ . Trois diviseurs repérés sans poser la moindre division !

La vraie nouveauté de la 3e, c'est de s'intéresser aux diviseurs communs à deux nombres. C'est cette idée qui commande toute la suite du chapitre.

Définition

Un diviseur commun à deux nombres entiers est un nombre qui divise chacun des deux.

Le nombre $1$ divise tous les entiers : deux nombres ont donc toujours au moins $1$ comme diviseur commun.

Exemple

Cherchons les diviseurs communs à $24$ et $36$ .

Les diviseurs de $24$ sont : $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $8$ , $12$ , $24$ .

Les diviseurs de $36$ sont : $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $9$ , $12$ , $18$ , $36$ .

Les diviseurs communs à $24$ et $36$ sont donc : $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ et $12$ . Le plus grand d'entre eux est $12$ .

Les nombres premiers

Certains nombres ne se laissent pas « démonter » : impossible de les écrire comme un produit de deux nombres plus petits. Ce sont eux, les briques élémentaires.

Définition

Un nombre entier est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.

Deux remarques importantes découlent directement de cette définition. D'abord, $1$ n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même), et non deux. Ensuite, $2$ est le seul nombre premier pair : tout autre nombre pair est divisible par $1$ , par lui-même et par $2$ , ce qui fait au moins trois diviseurs.

Propriété

Il existe exactement $25$ nombres premiers inférieurs à $100$ :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Cette liste est à connaître, au moins jusqu'à $30$ . Mais comment savoir si un nombre plus grand, disons à trois chiffres, est premier ? On le teste méthodiquement.

Méthode

Tester si un nombre est premier.

On essaie de diviser le nombre par les nombres premiers dans l'ordre : $2$ , puis $3$ , puis $5$ , puis $7$ , puis $11$ , puis $13$ …
Si l'une des divisions tombe juste, le nombre n'est pas premier : on a trouvé un diviseur.
On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse le nombre : si aucune division n'est tombée juste jusque-là, le nombre est premier.

Pourquoi a-t-on le droit de s'arrêter si tôt ? Parce que si un nombre s'écrit comme un produit de deux facteurs, le plus petit des deux, multiplié par lui-même, ne dépasse pas le nombre. Donc si un nombre n'est pas premier, il a forcément un diviseur premier dont le carré ne dépasse pas le nombre : une fois tous ces « petits » candidats écartés, inutile de chercher plus loin.

Exemple

Le nombre $149$ est-il premier ?

$149$ est impair, donc pas divisible par $2$ . La somme de ses chiffres vaut $1 + 4 + 9 = 14$ , pas divisible par $3$ . Il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ , donc pas divisible par $5$ . Ensuite $149 = 7 \times 21 + 2$ : pas divisible par $7$ . Puis $149 = 11 \times 13 + 6$ : pas divisible par $11$ .

Le nombre premier suivant est $13$ , et $13^{2} = 169$ , qui dépasse $149$ : on s'arrête. $149$ est premier.

Le nombre $221$ est-il premier ?

$221$ est impair, $2 + 2 + 1 = 5$ n'est pas divisible par $3$ , et $221$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ . Puis $221 = 7 \times 31 + 4$ et $221 = 11 \times 20 + 1$ : ni $7$ ni $11$ ne conviennent. On teste $13$ (car $13^{2} = 169$ ne dépasse pas $221$ )… et $221 = 13 \times 17$ !

$221$ n'est pas premier. Attention au piège : un nombre peut « avoir l'air premier » et cacher un diviseur. Il faut aller au bout du test.

Décomposer en produit de facteurs premiers

Tu as vu en 4e comment casser un nombre en produit de facteurs premiers. En 3e, cette décomposition devient un outil de travail quotidien : autant la maîtriser parfaitement.

Méthode

Décomposer un nombre par divisions successives.

On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible ( $2$ , sinon $3$ , sinon $5$ …).
On recommence avec le quotient obtenu, toujours par le plus petit nombre premier possible.
On s'arrête quand le quotient vaut $1$ .
La décomposition est le produit de tous les nombres premiers utilisés ; on la note avec des exposants en regroupant les facteurs identiques.

Exemple

Décomposons $300$ :

On lit la colonne de droite : $300 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5$ , ce qui s'écrit avec des exposants :

300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2}

Vérification : $2^{2} \times 3 \times 5^{2} = 4 \times 3 \times 25 = 300$ . C'est bon !

Ce qui rend cette écriture si puissante, c'est qu'elle est unique : quel que soit le chemin suivi, tu obtiendras toujours les mêmes facteurs.

Propriété

(admise) Tout nombre entier supérieur à $1$ se décompose en un produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique (à l'ordre des facteurs près).

Autrement dit, la décomposition est bien la carte d'identité du nombre. Voyons ce que cela donne sur un nombre plus imposant.

Exemple

Décomposons $2 520$ :

2 520 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5 \times 7

Vérification : $8 \times 9 = 72$ , puis $72 \times 5 = 360$ , et $360 \times 7 = 2 520$ .

Une fois la décomposition connue, tu peux en tirer beaucoup d'informations. Par exemple, les diviseurs de $300 = 2^{2} \times 3 \times 5^{2}$ se fabriquent uniquement avec les briques $2$ , $3$ et $5$ , sans jamais dépasser les exposants de la décomposition : ainsi $2 \times 5 = 10$ , $2^{2} \times 3 = 12$ ou $3 \times 5^{2} = 75$ sont des diviseurs de $300$ . En revanche, $7$ ou $2^{3} = 8$ n'en sont pas : le $7$ n'apparaît pas dans la décomposition, et le $2$ n'y figure qu'avec l'exposant $2$ .

La décomposition permet aussi de reconnaître un carré parfait : c'est le cas exactement quand tous les exposants sont pairs. Par exemple :

1 764 = 2^{2} \times 3^{2} \times 7^{2} = (2 \times 3 \times 7)^{2} = 42^{2}

Tous les exposants sont pairs, donc $1 764$ est le carré de $42$ , sans avoir eu besoin de calculatrice.

Fractions irréductibles

Voici le cœur du chapitre. Tu sais depuis la 4e simplifier une fraction ; l'objectif de la 3e est de simplifier jusqu'au bout, et de savoir reconnaître quand on y est.

Définition

Deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est $1$ .

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux : on ne peut plus la simplifier.

Exemple

La fraction $\frac{15}{22}$ est-elle irréductible ?

Les diviseurs de $15$ sont $1$ , $3$ , $5$ , $15$ . Les diviseurs de $22$ sont $1$ , $2$ , $11$ , $22$ . Leur seul diviseur commun est $1$ : les nombres $15$ et $22$ sont premiers entre eux, donc $\frac{15}{22}$ est irréductible.

Attention : « premiers entre eux » ne veut pas dire « premiers » ! Ni $15$ ni $22$ n'est un nombre premier.

Première méthode, la plus naturelle : simplifier pas à pas grâce aux critères de divisibilité.

Méthode

Rendre une fraction irréductible par simplifications successives.

On cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur grâce aux critères de divisibilité ( $2$ , $3$ , $5$ , $9$ , $10$ ).
On divise le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun.
On recommence jusqu'à ce que le numérateur et le dénominateur n'aient plus aucun diviseur commun autre que $1$ .

Par exemple, simplifions $\frac{84}{126}$ . Les deux nombres sont pairs : $\frac{84}{126} = \frac{42}{63}$ . Puis $4 + 2 = 6$ et $6 + 3 = 9$ : les deux sont divisibles par $3$ , donc $\frac{42}{63} = \frac{14}{21}$ . Enfin $14 = 7 \times 2$ et $21 = 7 \times 3$ , donc $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$ . Comme $2$ et $3$ sont premiers entre eux, $\frac{2}{3}$ est la forme irréductible.

Cette méthode fonctionne, mais elle peut être longue, et surtout on n'est jamais totalement sûr d'avoir tout vu (le diviseur $7$ de l'exemple n'était donné par aucun critère). La deuxième méthode, elle, est infaillible.

Méthode

Rendre une fraction irréductible grâce aux décompositions.

On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
On écrit la fraction avec ces deux décompositions.
On barre les facteurs communs au numérateur et au dénominateur (chaque facteur barré en haut s'accompagne du même facteur barré en bas).
Ce qui reste est la fraction irréductible.

Exemple

Rendons irréductible la fraction $\frac{630}{924}$ .

630 | 2        924 | 2
315 | 3        462 | 2
105 | 3        231 | 3
 35 | 5         77 | 7
  7 | 7         11 | 11
  1 |            1 |

Donc $630 = 2 \times 3^{2} \times 5 \times 7$ et $924 = 2^{2} \times 3 \times 7 \times 11$ . On écrit la fraction et on barre les facteurs communs ( $2$ , $3$ et $7$ ) :

\frac{630}{924} = \frac{2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 7}{2 \times 2 \times 3 \times 7 \times 11} = \frac{3 \times 5}{2 \times 11} = \frac{15}{22}

On retrouve $\frac{15}{22}$ , dont on a vérifié plus haut qu'elle est irréductible.

Il existe enfin un raccourci élégant, qui relie ce paragraphe aux diviseurs communs du début du chapitre.

Propriété

En divisant le numérateur et le dénominateur d'une fraction par leur plus grand diviseur commun, on obtient directement la fraction irréductible, en une seule étape.

Reprenons $\frac{630}{924}$ . Les facteurs communs aux deux décompositions sont $2$ , $3$ et $7$ : le plus grand diviseur commun de $630$ et $924$ est donc $2 \times 3 \times 7 = 42$ . Et en effet :

\frac{630}{924} = \frac{630 \div 42}{924 \div 42} = \frac{15}{22}

Une seule division en haut, une seule en bas, et la fraction est irréductible du premier coup.

Problèmes de divisibilité

L'arithmétique de ce chapitre n'est pas qu'une affaire de fractions : elle résout des problèmes très concrets. La difficulté n'est presque jamais dans le calcul, mais dans la traduction de l'énoncé. Deux grandes familles de problèmes reviennent sans cesse.

La première famille : partager ou regrouper au maximum, à l'identique, sans rien laisser de côté.

Méthode

Reconnaître un problème de plus grand diviseur commun.

Quand un énoncé demande de faire des groupes identiques en utilisant tout (des bouquets, des paquets, des équipes…), le nombre de groupes doit diviser chacune des quantités : c'est un diviseur commun.

Pour le nombre maximal de groupes, on cherche le plus grand diviseur commun, par exemple en le lisant dans les décompositions en facteurs premiers.

Exemple

Un pâtissier dispose de $60$ macarons et $84$ chocolats. Il veut préparer des coffrets tous identiques, en utilisant tout son stock. Combien de coffrets peut-il préparer, au maximum ?

Le nombre de coffrets doit diviser $60$ (pour répartir les macarons) et diviser $84$ (pour répartir les chocolats) : c'est un diviseur commun de $60$ et $84$ . Décomposons :

60 = 2^{2} \times 3 \times 5 et 84 = 2^{2} \times 3 \times 7

Les facteurs communs sont $2^{2}$ et $3$ : le plus grand diviseur commun de $60$ et $84$ est $2^{2} \times 3 = 12$ .

Le pâtissier peut donc préparer au maximum $12$ coffrets, contenant chacun $60 \div 12 = 5$ macarons et $84 \div 12 = 7$ chocolats.

La seconde famille : deux phénomènes qui se répètent chacun à leur rythme, et dont on veut savoir quand ils coïncident à nouveau. C'est le problème des engrenages, des feux clignotants, des bus qui partent du même arrêt…

Méthode

Reconnaître un problème de plus petit multiple commun.

Quand deux phénomènes se répètent avec des rythmes différents, l'instant où ils coïncident à nouveau correspond à un multiple commun des deux rythmes.

Pour la première coïncidence, on cherche le plus petit multiple commun : soit en listant les multiples de chaque nombre jusqu'à trouver le premier commun, soit en le lisant dans les décompositions.

Exemple

Deux roues dentées s'engrènent : la petite a $8$ dents, la grande en a $12$ . Au départ, deux dents marquées d'un point rouge sont en contact. Au bout de combien de dents passées, puis de combien de tours de chaque roue, les deux points rouges se retrouvent-ils en contact pour la première fois ?

À chaque instant, le nombre de dents passées au point de contact est le même pour les deux roues. Les points rouges se retrouvent quand ce nombre est à la fois un multiple de $8$ (la petite roue a fait des tours complets) et un multiple de $12$ (la grande aussi).

Multiples de $8$ : $8$ , $16$ , $24$ , $32$ … Multiples de $12$ : $12$ , $24$ , $36$ … Le plus petit multiple commun de $8$ et $12$ est $24$ .

On peut aussi le lire dans les décompositions $8 = 2^{3}$ et $12 = 2^{2} \times 3$ : il faut prendre chaque facteur premier avec son plus grand exposant, soit $2^{3} \times 3 = 24$ .

Les points rouges se retrouvent donc après $24$ dents passées, c'est-à-dire $24 \div 8 = 3$ tours de la petite roue et $24 \div 12 = 2$ tours de la grande.

Retiens la boussole de cette partie : des groupes identiques à faire avec tout le stock, c'est chercher un diviseur commun ; des phénomènes qui se resynchronisent, c'est chercher un multiple commun.

Tu disposes maintenant de toute la boîte à outils de l'arithmétique de 3e : les nombres premiers comme briques, la décomposition comme carte d'identité, et les diviseurs et multiples communs comme clés des problèmes concrets. Direction la fiche d'exercices pour t'entraîner, puis le DS pour valider tout ça.

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