Devoir surveillé — Perspective centrale

La figure ci-dessus représente, en perspective centrale, le couloir d'une galerie d'exposition. La ligne d'horizon et le point de fuite principal $F$ y sont tracés.

• Les points $A$, $B$ et $C$ sont les images de trois spots lumineux alignés le long du pied du mur de droite.
• Les points $R$ et $S$ sont les images des deux extrémités du pied du mur de gauche, et $M$ est l'image du milieu réel de ce pied de mur.
• Un cadre rectangulaire est accroché au mur du fond, deux autres au mur de droite.

Pour chacune des affirmations suivantes ($\mathrm{0,8}$ point par affirmation), dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse à l'aide d'une propriété du cours. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. « Les trois spots réels étant alignés, leurs images $A$, $B$ et $C$ sont nécessairement alignées sur le dessin. »
2. « Les pieds des murs de gauche et de droite sont deux droites parallèles dans la réalité, donc leurs images sur le dessin sont deux droites parallèles. »
3. « La ligne d'horizon du dessin est à la hauteur de l'œil de l'observateur. »
4. « Comme $M$ est l'image du milieu du pied du mur de gauche, $M$ est le milieu du segment $[RS]$. »
5. « Le cadre accroché au mur du fond est représenté en vraie forme, c'est-à-dire que son image est à l'échelle du cadre réel. »

Pour le dossier de presse d'une exposition, on photographie une affiche rectangulaire de $\mathrm{1,2}$ m de large et $\mathrm{1,8}$ m de haut, collée sur le mur du fond de la salle. Ce mur est un plan frontal : il est parallèle au tableau (photo n°1, prise de face). Sur la photo n°1, l'affiche mesure $\mathrm{4,8}$ cm de large.

a. (1 point) Justifier que le coefficient de réduction entre l'affiche réelle et son image sur la photo n°1 est égal à ${\displaystyle \frac{1}{25}}$.

b. (1 point) Calculer la hauteur de l'affiche sur la photo n°1.

c. ($\mathrm{1,5}$ point) L'affiche porte un logo circulaire de $30$ cm de diamètre. Quel est le diamètre du logo sur la photo n°1 ? Quelle est la forme de son image ? Justifier à l'aide d'une propriété du cours.

d. ($\mathrm{1,5}$ point) La même affiche est ensuite collée sur le mur latéral de la salle, qui s'éloigne en fuite, puis photographiée du même point de vue (photo n°2). Léa affirme : « il suffit de mesurer sur la photo n°2 et de multiplier par $25$ pour retrouver les dimensions réelles de l'affiche ». A-t-elle raison ? Justifier soigneusement.

Dans une cour de musée, une lanterne éclaire la scène depuis le sommet d'un mât vertical $[PL]$ de $3$ m de haut : $P$ est le pied du mât, au sol, et la lanterne est assimilée au point $L$. On étudie, de profil, les ombres portées sur le sol horizontal.

Une borne verticale $[BH]$ de $1$ m de haut est plantée à $2$ m du pied du mât : $B$ est au sol, avec $PB=2$ m, et $H$ est le sommet de la borne.

a. (2 points) L'ombre de la borne s'étend de $B$ jusqu'à un point $E$ du sol tel que $E$, $H$ et $L$ sont alignés. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle $ELP$, montrer que ${\displaystyle \frac{EB}{EB+2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, puis calculer $EB$ et la distance $PE$.

b. (2 points) Une deuxième borne verticale $[B^{\mathrm{\prime }}{H}^{\mathrm{\prime }}]$, de $\mathrm{0,9}$ m de haut, est plantée plus loin dans l'alignement : son ombre s'arrête en un point $E^{\mathrm{\prime }}$ situé à $\mathrm{4,5}$ m du pied du mât. Calculer la distance $P{B}^{\mathrm{\prime }}$ entre cette borne et le mât.

c. (1 point) Question de cours : expliquer en quoi l'ombre au flambeau relève de la projection centrale. On précisera quel point joue le rôle du centre de projection et quel plan joue le rôle du plan de projection.

On veut représenter en perspective centrale le sol carrelé d'une salle d'exposition. Sur la figure de départ (à compléter) :

• la ligne de terre est graduée par les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, régulièrement espacés de $2$ cm ; à l'échelle du dessin, $2$ cm représentent $1$ m réel ;
• la ligne d'horizon est tracée à $\mathrm{3,5}$ cm au-dessus de la ligne de terre ; le point de fuite principal $F$ est placé à la verticale du milieu de $[A_0{A}_3]$ ;
• le point $D$, situé sur la ligne d'horizon à $5$ cm de $F$, est le point de distance : c'est le point de fuite des diagonales du carrelage, c'est-à-dire des droites horizontales du sol faisant un angle de ${45}^{\circ }$ avec le tableau.

Le carrelage réel est un quadrillage carré de $3\times 3$ carreaux de $1$ m de côté, dont le bord avant, posé dans le plan du tableau, est représenté par le segment $[A_0{A}_3]$.

a. (2 points) Construire sur la figure l'image du carrelage $3\times 3$ en utilisant le point de distance $D$. Décrire les étapes de la construction.

b. (1 point) Dans la réalité, les joints du carrelage parallèles au bord avant sont des droites horizontales du sol. Justifier que leurs images sont des segments parallèles à la ligne de terre.

c. (2 points) Sur le carreau avant-gauche du carrelage, on pose un cube de $1$ m d'arête dont la face avant est dans le plan du tableau : cette face avant est donc représentée en vraie grandeur par un carré de $2$ cm de côté construit sur $[A_0{A}_1]$. Décrire la construction de l'image de la face arrière du cube, puis la réaliser sur la figure.

d. (1 point) Expliquer pourquoi l'image de la face arrière du cube est un carré, et pourquoi ce carré est plus petit que la face avant.