Suites arithmétiques et géométriques : sommes

Imaginez que l'on vous propose deux contrats pour un même poste, avec le même salaire de départ : $20000$ € par an. Dans le contrat A, le salaire augmente de $500$ € chaque année. Dans le contrat B, il augmente de $2\mathrm{\%}$ chaque année. Lequel choisir ? La vraie question n'est pas de comparer les salaires d'une année donnée, mais de comparer ce que chaque contrat rapporte en tout : sur $10$ ans, quel est le total des salaires perçus avec le contrat A ? Avec le contrat B ? Répondre demande d'additionner dix nombres dans chaque cas, et c'est précisément ce que ce chapitre va nous apprendre à faire vite et sans erreur.

Vous connaissez déjà les deux modèles en jeu : le contrat A suit une suite arithmétique (on ajoute toujours le même montant) et le contrat B une suite géométrique (on multiplie toujours par le même coefficient). En première, vous avez appris à reconnaître ces suites et à calculer n'importe lequel de leurs termes. En terminale, nous franchissons une étape : calculer la somme de plusieurs termes consécutifs, avec des formules directes, une notation compacte (le symbole $\sum$) et des programmes Python. En chemin, nous découvrirons les moyennes arithmétique et géométrique, et nous appliquerons tout cela à une situation très concrète : une épargne alimentée par des versements réguliers. Le duel des deux contrats sera tranché en fin de parcours.

Rappels de première : deux familles de suites

Commençons par réactiver les acquis de première. Petit rappel de notation : $u(n)$ désigne le terme de rang $n$ de la suite $u$, et l'écriture indicée $u_n$ désigne exactement le même nombre ; les deux écritures cohabitent dans les sujets de bac. Sauf indication contraire, nos suites sont définies à partir du rang $0$.

Comment reconnaître la nature d'une suite dont on connaît des valeurs ? En regardant ce qui relie deux termes consécutifs : la différence pour l'arithmétique, le quotient pour la géométrique.

Attention : vérifier la différence ou le quotient sur trois ou quatre termes permet de conjecturer la nature, mais la preuve exige un calcul avec un $n$ quelconque. À l'inverse, un seul contre-exemple numérique suffit pour affirmer qu'une suite n'est pas arithmétique (ou pas géométrique).

Les relations de récurrence ci-dessus obligent à calculer les termes de proche en proche. Les formules explicites, elles, donnent directement le terme de rang $n$.

Rappelons enfin le vocabulaire de première : une suite arithmétique modélise une croissance linéaire (la grandeur avance toujours du même pas, les points du nuage sont alignés), tandis qu'une suite géométrique de raison $q>1$ modélise une croissance exponentielle (la grandeur est multipliée par le même coefficient à chaque étape, et les hausses sont de plus en plus grandes). Au rang $9$, le contrat A est devant ($24500$ contre environ $23902$ €) : mais attention, la question posée en introduction porte sur le cumul, pas sur la dernière année. Patience.

Moyennes arithmétique et géométrique

Voici la première nouveauté de terminale. Prenons trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r$, par exemple $a$, $b$ et $c$. Alors $b=a+r$ et $c=b+r$ : le terme du milieu est à égale distance de ses deux voisins. En additionnant $b-a=r$ et $c-b=r$ membre à membre, on obtient $c-a=2r$, puis $b=a+r=a+{\displaystyle \frac{c-a}{2}}={\displaystyle \frac{a+c}{2}}$. Le terme central est donc la demi-somme des deux autres : c'est ce qu'on appelle leur moyenne arithmétique.

La moyenne arithmétique est la moyenne usuelle, celle des notes de bulletin. La moyenne géométrique est sa cousine multiplicative : au lieu de partager équitablement une somme, elle partage équitablement un produit. Chacune caractérise une famille de suites.

Somme des termes d'une suite arithmétique

Une histoire célèbre raconte qu'à l'école primaire, le jeune Carl Friedrich Gauss reçut comme punition de calculer $1+2+3+\cdots +100$. Il donna la réponse en quelques secondes : $5050$. Son astuce ? Associer les nombres deux par deux en partant des extrémités : $1+100=101$, puis $2+99=101$, puis $3+98=101$… On forme ainsi $50$ paires qui valent toutes $101$, d'où un total de $50\times 101=5050$.

On peut visualiser la même idée avec un escalier : représentons la somme $1+2+3+4+5$ par un escalier de carrés ($1$ carré sur la première marche, $2$ sur la deuxième, etc.). En emboîtant deux escaliers identiques tête-bêche, on forme un rectangle de $5$ colonnes et $6$ lignes, soit $30$ carrés.

Deux escaliers font $5\times 6=30$ carrés, donc un seul en fait la moitié : $1+2+3+4+5={\displaystyle \frac{5\times 6}{2}}=15$. Ce raisonnement fonctionne pour n'importe quelle hauteur d'escalier.

Cette formule se généralise à toutes les suites arithmétiques, car l'astuce de Gauss y fonctionne à l'identique : dans une suite arithmétique, la somme des deux termes extrêmes est égale à la somme du deuxième et de l'avant-dernier, et ainsi de suite. Chaque paire vaut « premier terme $+$ dernier terme », et il y a autant de paires que la moitié du nombre de termes.

Nous pouvons maintenant trancher la moitié du duel de l'introduction. Avec le contrat A, les salaires des $10$ premières années sont $a(0)=20000$, $a(1)=20500$, …, $a(9)=24500$ : c'est une somme de $10$ termes consécutifs d'une suite arithmétique. Le total perçu vaut donc $10\times {\displaystyle \frac{20000+24500}{2}}=10\times 22250=222500$ €. Reste à calculer le cumul du contrat B, qui est une somme géométrique : c'est l'objet de la section suivante.

Somme des termes d'une suite géométrique

Le besoin d'additionner les termes d'une suite géométrique surgit dès qu'on épargne régulièrement : chaque versement grossit avec les intérêts, et le capital final est la somme de toutes ces contributions. Avant d'y venir (section 6), établissons la formule sur la somme la plus simple, celle des puissances successives d'un nombre $q$.

Posons $S=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}$ (les $n$ premières puissances de $q$, en partant de $q^0=1$). L'astuce consiste à multiplier $S$ par $q$ puis à soustraire : presque tout s'élimine.

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}}\\ {\displaystyle q\times S}& {\displaystyle =q+q^2+\cdots +q^{n-1}+q^n}\\ {\displaystyle S-q\times S}& {\displaystyle =1-q^n}\end{array}$$

En effet, dans la soustraction, les termes $q$, $q^2$, …, $q^{n-1}$ apparaissent dans les deux lignes et disparaissent : il ne reste que le $1$ de la première ligne et le $q^n$ de la deuxième. On factorise le membre de gauche : $S\times (1-q)=1-q^n$. Si $q\mathrm{\ne }1$, on peut diviser par $1-q$.

Pour une suite géométrique quelconque, chaque terme est le premier terme multiplié par une puissance de $q$ : il suffit donc de mettre le premier terme en facteur.

Insistons sur le piège classique : l'exposant qui figure dans la formule est le nombre de termes de la somme, pas le rang du dernier terme. La somme $u(0)+\cdots +u(n)$ compte $n+1$ termes (le rang $0$ compte !), donc l'exposant est $n+1$. Écrire $q^n$ à la place de $q^{n+1}$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre : comptez toujours les termes avant d'écrire la formule.

Terminons le duel des contrats. Avec le contrat B, les salaires des $10$ premières années forment une suite géométrique de premier terme $20000$ et de raison $\mathrm{1,02}$ : la somme compte $10$ termes et vaut $20000\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,02}}^{10}}{1-\mathrm{1,02}}}\approx 218994$ €. Verdict : sur $10$ ans, le contrat A rapporte $222500$ €, soit environ $3500$ € de plus que le contrat B. La hausse fixe de $500$ € l'emporte ici, car $2\mathrm{\%}$ de $20000$ € ne font que $400$ € la première année : la croissance exponentielle part moins vite. Mais elle accélère d'année en année, et sur une carrière assez longue le contrat B finirait par prendre l'avantage, comme on peut le constater en prolongeant les calculs au tableur ou à la calculatrice.

La notation sigma

Écrire $u(0)+u(1)+\cdots +u(n)$ avec des pointillés est long et parfois ambigu. Les mathématiciens utilisent une notation compacte : la lettre grecque sigma majuscule, $\sum$, qui signifie « somme ».

Dans cette section, on utilisera aussi l'écriture indicée $u_k$ sous le symbole $\sum$ lorsqu'elle est plus lisible : rappelons que $u_k$ et $u(k)$ désignent le même nombre. Le programme demande de pratiquer cette notation sur des exemples variés, pas seulement sur les suites arithmétiques et géométriques. Voici trois classiques : une somme de carrés, une somme de cubes et une somme d'inverses.

Les deux grandes formules du chapitre s'écrivent élégamment avec sigma. La somme des premiers entiers devient :

$$\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$

Et la somme des puissances de $q$ (pour $q\mathrm{\ne }1$) devient :

$$\sum _{k=0}^{n-1}{q}^k={\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}}$$

Remarquez la borne de départ $k=0$ dans la seconde : la somme commence à $q^0=1$. C'est l'occasion de donner la règle de comptage qui évite le piège de la section précédente.

Application : épargne et versements réguliers

Voici la situation phare du programme : un placement à intérêts composés à taux constant, alimenté par des versements réguliers. C'est exactement le fonctionnement d'un plan d'épargne alimenté chaque année.

La situation. Chaque 1er janvier, pendant $5$ ans, on verse $100$ € sur un compte rémunéré à $3\mathrm{\%}$ par an (intérêts composés : chaque 31 décembre, le solde du compte est multiplié par $\mathrm{1,03}$). Quelle est la valeur acquise du placement juste après les intérêts de la cinquième année ?

L'idée clé : chaque versement vit sa propre vie. Les cinq versements ne fructifient pas pendant la même durée. Le premier versement, déposé le 1er janvier de l'année 1, reçoit des intérêts pendant $5$ années complètes : il devient $100\times {\mathrm{1,03}}^5$. Le deuxième, déposé un an plus tard, ne fructifie que $4$ ans : il devient $100\times {\mathrm{1,03}}^4$. Et ainsi de suite jusqu'au cinquième versement, déposé le 1er janvier de l'année 5, qui ne fructifie qu'un an : il devient $100\times {\mathrm{1,03}}^1$. Récapitulons les valeurs acquises par chaque versement (arrondies au centime) :

La valeur acquise est une somme géométrique. La valeur totale du placement est la somme de ces cinq valeurs :

$$S=100\times \mathrm{1,03}+100\times {\mathrm{1,03}}^2+100\times {\mathrm{1,03}}^3+100\times {\mathrm{1,03}}^4+100\times {\mathrm{1,03}}^5$$

Ce sont cinq termes consécutifs d'une suite géométrique : on passe de chacun au suivant en multipliant par $\mathrm{1,03}$. Le premier terme est $100\times \mathrm{1,03}=103$, la raison est $q=\mathrm{1,03}$ et le nombre de termes est $5$. La formule de la section 4 s'applique :

$$S=103\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,03}}^5}{1-\mathrm{1,03}}}\approx \mathrm{546,84}$$

Conclusion. Après cinq ans, le placement vaut environ $\mathrm{546,84}$ €. On a versé $5\times 100=500$ € en tout : les intérêts composés ont rapporté environ $\mathrm{46,84}$ €. Retenez la démarche, car elle se transpose à tout montant, tout taux et toute durée : écrire la valeur acquise de chaque versement (chacun avec sa propre durée de placement), reconnaître une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, puis appliquer la formule.

Calculer une somme en Python

Quand la somme ne se prête à aucune formule (une somme de carrés, de cubes, d'inverses…), l'ordinateur la calcule terme après terme. Le principe est celui de la tirelire : une variable, appelée accumulateur, démarre à $0$ et reçoit les termes un par un, pendant qu'un compteur parcourt les valeurs de l'indice. Voici une fonction Python qui calcule ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$, la somme des $n$ premiers carrés :

def somme_carres(n):
    total = 0                    # accumulateur : la tirelire demarre vide
    for k in range(1, n + 1):    # compteur : k prend les valeurs 1, 2, ..., n
        total = total + k**2     # on ajoute le terme k^2 a la tirelire
    return total                 # sortie de boucle : total contient la somme

print(somme_carres(5))           # affiche 55

Détaillons chaque ligne et son rôle dans le calcul.

• Ligne 2 (initialisation). Avant de commencer, la somme en construction vaut $0$ : la variable total est l'accumulateur, vide au départ.
• Ligne 3 (compteur et bornes). L'instruction for k in range(1, n + 1) fait prendre à k les valeurs $1$, $2$, …, $n$. Attention au piège de range : la borne d'arrivée est exclue, il faut donc écrire n + 1 pour que la dernière valeur soit bien n.
• Ligne 4 (accumulation). À chaque tour de boucle, on remplace total par total + k**2 : le carré du compteur vient s'ajouter à la tirelire. En Python, k**2 désigne $k^2$.
• Ligne 5 (sortie de boucle). Quand la boucle se termine, total contient la somme complète, que la fonction renvoie.

Ce programme est la traduction mot à mot de l'écriture ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^2}$ : la borne de départ et la borne d'arrivée du sigma deviennent les bornes du range, le compteur $k$ du sigma devient la variable de boucle k, et le symbole $\sum$ lui-même devient le geste d'accumulation total = total + .... Savoir passer de l'une à l'autre de ces deux écritures est une capacité attendue du programme.

Les variantes s'obtiennent en changeant une seule ligne, celle du terme ajouté. Pour la somme des cubes ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3}$, on remplace k**2 par k**3. Pour la somme des inverses ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}}$, on remplace k**2 par 1/k. Le squelette du programme (initialisation, boucle, accumulateur, retour) ne change jamais : c'est lui qu'il faut retenir.

À retenir