Fonction exponentielle de base e

Observez trois expériences de vos cours de physique-chimie : la tension aux bornes d'un condensateur qui se charge, l'activité d'un échantillon radioactif qui décroît, la concentration d'un réactif qui disparaît au fil d'une réaction d'ordre 1. Trois phénomènes sans rapport apparent, et pourtant trois courbes de la même famille : une évolution d'abord rapide, qui s'essouffle progressivement en s'approchant d'une valeur limite. Derrière cette allure commune se cache une seule et même fonction, que ce chapitre a pour mission de construire : la fonction exponentielle.

Le point de départ est connu : le tronc commun a introduit les fonctions $x\mapsto a^x$, prolongement continu des suites géométriques et modèle des évolutions en pourcentage constant. Mais parmi toutes les bases $a$ possibles, il en existe une meilleure que toutes les autres : un nombre irrationnel voisin de $\mathrm{2,718}$, noté $\mathrm{e}$. Ce qui rend cette base unique, nous le démontrerons en cours de route : la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ est sa propre dérivée. C'est cette propriété, et elle seule, qui explique l'omniprésence de l'exponentielle en sciences — partout où la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même, l'exponentielle de base $\mathrm{e}$ apparaît. Au programme de ce chapitre : la définition du nombre $\mathrm{e}$, les règles de calcul, les équations et inéquations, la dérivée de ${\mathrm{e}}^{kx}$, les limites et les croissances comparées, et pour finir les grands modèles exponentiels de la physique et de la chimie.

Le nombre e et la fonction exponentielle

Rappelons l'essentiel du tronc commun. Pour un réel $a>0$, la fonction $x\mapsto a^x$ prolonge à tous les réels les puissances entières de $a$, en conservant les règles de calcul : $a^{x+y}=a^x{a}^y$, $a^{-x}={\displaystyle \frac{1}{a^x}}$, ${\left(a^x\right)}^y=a^{xy}$. Elle est définie et strictement positive sur $\mathbb{R}$, croissante lorsque $a>1$, décroissante lorsque $0<a<1$. Toutes les courbes de ces fonctions ont un point commun : elles passent par le point $A(0;1)$, puisque $a^0=1$ quelle que soit la base.

Mais elles n'y passent pas de la même façon. Si l'on trace plusieurs de ces courbes avec un logiciel, on constate que chacune traverse le point $A$ avec sa propre pente : presque horizontale pour $a$ proche de $1$, de plus en plus raide à mesure que $a$ grandit. Une question naturelle se pose alors : existe-t-il une base $a$ pour laquelle la tangente en $A$ a un coefficient directeur exactement égal à $1$, c'est-à-dire pour laquelle la tangente en $A$ est la droite d'équation $y=x+1$ ?

Cherchons expérimentalement. La pente en $A$ se mesure avec l'outil de première : le taux de variation de $x\mapsto a^x$ entre $0$ et $h$, à savoir ${\displaystyle \frac{a^h-a^0}{h}}={\displaystyle \frac{a^h-1}{h}}$, qui se rapproche de la pente cherchée quand $h$ est petit. Prenons $h=\mathrm{0,0001}$. Pour $a=2$, le taux vaut environ $\mathrm{0,69}$ : trop faible. Pour $a=3$, il vaut environ $\mathrm{1,10}$ : trop fort. La base cherchée est donc comprise entre $2$ et $3$. Pour la cerner, confions le travail à un balayage programmé : on part de $a=2$ et on augmente $a$ pas à pas jusqu'à ce que la pente dépasse $1$.

h = 10**-6                     # pas du taux de variation
a = 2.0
while (a**h - 1) / h < 1:      # pente de la tangente en 0
    a = a + 0.001              # balayage au pas de 0,001
print(a)                       # affiche environ 2.719

Le script s'arrête sur $a\approx \mathrm{2,719}$. En reprenant le balayage avec un pas plus fin (ou par dichotomie), on précise autant qu'on veut : la base cherchée vaut $\mathrm{2,718}281828\dots$ C'est un nombre irrationnel, dont l'écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète pas, au même titre que $\pi$. Son existence et son unicité sont admises.

La figure résume la définition : la courbe de $y={\mathrm{e}}^x$ traverse le point $A(0;1)$ en épousant la droite $y=x+1$, sa tangente de pente $1$. Au passage, on lit l'ordonnée du point d'abscisse $1$ : c'est ${\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}\approx \mathrm{2,72}$. Votre calculatrice possède une touche dédiée (souvent notée ${\mathrm{e}}^x$) qui donne les premières valeurs : ${\mathrm{e}}^0=1$, ${\mathrm{e}}^2\approx \mathrm{7,39}$, et du côté des exposants négatifs ${\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\approx \mathrm{0,37}$. Prenez l'habitude de garder les valeurs exactes ($\mathrm{e}$, ${\mathrm{e}}^2$, $5{\mathrm{e}}^{-3}$…) dans les calculs, et de ne passer aux valeurs approchées qu'à la toute fin.

Propriétés algébriques

La fonction exponentielle est une fonction $x\mapsto a^x$ particulière, celle de base $a=\mathrm{e}$ : elle hérite donc de toutes les règles de calcul sur les puissances rappelées au paragraphe précédent. Ces règles sont l'outil quotidien du chapitre — chaque étude de fonction, chaque équation commencera par une transformation d'écriture.

La dernière propriété mérite un mot : pourquoi une exponentielle ne peut-elle jamais être négative ou nulle ? D'abord, ${\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2}\times {\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2}={\left({\mathrm{e}}^{x\mathrm{/}2}\right)}^2$ est un carré, donc positif ou nul. Ensuite, ${\mathrm{e}}^x$ ne peut pas s'annuler, car ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-x}={\mathrm{e}}^0=1$ : un facteur d'un produit égal à $1$ n'est jamais nul. Retenez ce réflexe, il servira sans cesse dans les études de signe : une exponentielle est toujours strictement positive.

Équations et inéquations

Admettons pour l'instant un fait que nous démontrerons au paragraphe suivant : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Ce simple fait a une conséquence précieuse : deux réels distincts ont toujours des exponentielles distinctes (le plus grand des deux a la plus grande exponentielle). Autrement dit, on peut « passer à l'exponentielle » ou « supprimer les exponentielles » dans une égalité ou une inégalité sans perdre ni créer de solutions.

En revanche, une équation comme ${\mathrm{e}}^x=5$ résiste à cette méthode : $5$ ne s'écrit pas simplement comme une puissance de $\mathrm{e}$. Nous verrons plus loin, grâce au tableau de variations complet, qu'une telle équation possède une unique solution ; pour l'instant, on ne sait l'obtenir que de façon approchée, par lecture graphique ou par balayage — le chapitre suivant fournira l'outil qui la donne exactement.

Dérivées et variations

Venons-en au résultat central du chapitre, celui qui justifie à lui seul le choix de la base $\mathrm{e}$. Fixons un réel $x_0$ et formons le taux de variation de la fonction exponentielle entre $x_0$ et $x_0+h$, pour $h\mathrm{\ne }0$. La relation ${\mathrm{e}}^{x_0+h}={\mathrm{e}}^{x_0}{\mathrm{e}}^h$ permet de mettre ${\mathrm{e}}^{x_0}$ en facteur :

$$\frac{{\mathrm{e}}^{x_0+h}-{\mathrm{e}}^{x_0}}{h}=\frac{{\mathrm{e}}^{x_0}{\mathrm{e}}^h-{\mathrm{e}}^{x_0}}{h}={\mathrm{e}}^{x_0}\times \frac{{\mathrm{e}}^h-1}{h}$$

Le quotient ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^h-1}{h}}$ n'est pas un inconnu : c'est le taux de variation de l'exponentielle entre $0$ et $h$, celui-là même que le balayage du début du chapitre a mesuré. Lorsque $h$ tend vers $0$, il tend vers le coefficient directeur de la tangente en $0$, qui vaut $1$ par définition même du nombre $\mathrm{e}$. Le taux de variation tend donc vers ${\mathrm{e}}^{x_0}\times 1={\mathrm{e}}^{x_0}$ : le nombre dérivé de l'exponentielle en $x_0$ est ${\mathrm{e}}^{x_0}$.

Aucune autre fonction du programme ne possède cette propriété. Elle a une lecture graphique frappante : en chaque point de la courbe, la pente de la tangente est égale à l'ordonnée du point. Plus la courbe monte haut, plus elle monte vite — et c'est exactement ce mécanisme d'auto-amplification qui produit la croissance explosive que nous quantifierons avec les croissances comparées.

En sciences, l'exponentielle apparaît rarement seule : la variable est presque toujours multipliée par un coefficient, comme dans ${\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$ ou ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,2}t}$. Pour dériver $x\mapsto {\mathrm{e}}^{kx}$, inutile de refaire un calcul de taux : c'est une fonction de la forme $f(ax+b)$ avec $f=\exp$, $a=k$ et $b=0$, et le chapitre Dérivées de première a établi que $(f(ax+b){)}^{\mathrm{\prime }}=a{f}^{\mathrm{\prime }}(ax+b)$.

Ces dérivées livrent immédiatement les variations. Comme ${\mathrm{e}}^x>0$ pour tout $x$, la dérivée de l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ : la stricte croissance admise au paragraphe précédent est maintenant démontrée. Le même argument règle le cas général de ${\mathrm{e}}^{kx}$.

Armés de ces formules et des règles de dérivation de première (somme, produit, quotient), nous pouvons étudier toutes les fonctions qui mélangent polynômes et exponentielles — précisément celles que la physique nous mettra entre les mains. Une organisation de calcul revient dans toutes ces études : factoriser la dérivée par l'exponentielle, dont la stricte positivité simplifie l'étude de signe.

Courbe et limites

Il nous reste à comprendre le comportement de l'exponentielle aux deux bouts de l'axe réel. Un tableau de valeurs donne déjà la tendance :

Vers la droite, les valeurs explosent : chaque unité gagnée sur $x$ multiplie ${\mathrm{e}}^x$ par $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,72}$, comme dans une suite géométrique de raison supérieure à $1$. Vers la gauche, le même mécanisme joue en sens inverse : chaque unité perdue divise la valeur par $\mathrm{e}$, et les valeurs fondent vers $0$ sans jamais l'atteindre, puisqu'une exponentielle est strictement positive. Ces deux comportements sont les limites de la fonction, admises au programme.

Nous pouvons maintenant récapituler toute l'étude de la fonction exponentielle dans un unique tableau, qui condense variations et limites :

$x$

$-\infty$

$+\infty$

$(\mathrm{e}^{x})'$

$+$

$\mathrm{e}^{x}$

$0$

$+\infty$

Relisez la figure du début du chapitre à la lumière de ce tableau : à gauche, la courbe se colle à l'axe des abscisses ; elle traverse $A(0;1)$ avec la pente $1$ ; à droite, elle s'envole. Le tableau montre aussi que l'exponentielle prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive : une équation ${\mathrm{e}}^x=b$ possède donc une unique solution lorsque $b>0$, et aucune lorsque $b⩽0$ — ce qui précise la remarque laissée en suspens à la fin des équations.

Qu'en est-il des fonctions $x\mapsto {\mathrm{e}}^{kx}$ ? Tout dépend du signe de $k$. Si $k>0$, l'exposant $kx$ suit le signe de $x$ et grandit avec lui : le comportement est celui de l'exponentielle. Si $k<0$, l'exposant change de camp et les limites s'échangent.

Le second cas est celui que la physique utilise sans arrêt : dans un terme de la forme ${\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$ avec $\tau >0$, le coefficient de $t$ est $k=-{\displaystyle \frac{1}{\tau }}<0$, donc ${\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$ tend vers $0$ quand $t$ tend vers $+\mathrm{\infty }$. C'est le langage mathématique d'une réalité expérimentale : les régimes transitoires s'éteignent, et il ne reste que le régime permanent. Nous y reviendrons en fin de chapitre.

Croissances comparées

Quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$, l'exponentielle ${\mathrm{e}}^x$ et les puissances $x^n$ filent toutes vers $+\mathrm{\infty }$. Mais que dire d'un quotient comme ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^2}}$ ? Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+\mathrm{\infty }$ : les règles usuelles ne permettent pas de conclure, c'est une forme indéterminée. Il faut départager les deux concurrents, et l'expérience numérique désigne le vainqueur sans ambiguïté :

Le quotient ne se stabilise pas : il explose. La croissance multiplicative de l'exponentielle écrase la croissance polynomiale de $x^2$, et il en va de même pour n'importe quelle puissance de $x$ — $x^{10}$, $x^{100}$ ne font que retarder l'échéance. Ce résultat, admis, porte le nom de croissances comparées.

Les deux limites sont les deux faces d'une même pièce : $x^n{\mathrm{e}}^{-x}={\displaystyle \frac{x^n}{{\mathrm{e}}^x}}$ est l'inverse du quotient ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}}$, et l'inverse d'une quantité qui tend vers $+\mathrm{\infty }$ tend vers $0$. Dans les exercices, on étend sans formalisme ces résultats aux exponentielles ${\mathrm{e}}^{kx}$ pour un coefficient numérique $k>0$ : le quotient ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{kx}}{x^n}}$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ et le produit $x^n{\mathrm{e}}^{-kx}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\mathrm{\infty }$ — une exponentielle « ralentie » par un coefficient reste une exponentielle, et elle finit toujours par l'emporter.

Modèles exponentiels en physique et chimie

Concluons en retrouvant les trois expériences de l'introduction, que nous pouvons désormais lire avec les outils du chapitre. Deux familles de modèles couvrent l'essentiel des situations rencontrées en STI2D et en STL : les décroissances exponentielles, de la forme $A{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, et les saturations, de la forme $E(1-{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau })$.

Décroissance radioactive. Le nombre de noyaux radioactifs d'un échantillon à l'instant $t$ est modélisé par $N(t)=N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, où $N_0=N(0)$ est le nombre initial de noyaux et $\lambda >0$ la constante radioactive. La dérivée vaut $N^{\mathrm{\prime }}(t)=-\lambda N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$, c'est-à-dire $N^{\mathrm{\prime }}(t)=-\lambda N(t)$ : à chaque instant, la vitesse de disparition est proportionnelle au nombre de noyaux restants. Cette proportionnalité entre une grandeur et sa vitesse de variation est la signature des modèles exponentiels — c'est la traduction physique de « l'exponentielle est sa propre dérivée ». Comme $\lambda >0$, la fonction $N$ est strictement décroissante et $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }N(t)=0$ : l'échantillon s'éteint, sans jamais s'annuler exactement dans le modèle. La demi-vie est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux est divisé par $2$ : elle se lit sur le graphique (abscisse du point d'ordonnée ${\displaystyle \frac{N_0}{2}}$), et lorsque sa valeur $t_{1\mathrm{/}2}$ est donnée, on la contrôle par le calcul en vérifiant à la calculatrice que ${\mathrm{e}}^{-\lambda t_{1\mathrm{/}2}}\approx \mathrm{0,5}$.

Cinétique chimique d'ordre 1. En STL, la concentration d'un réactif $A$ qui disparaît suivant une cinétique d'ordre 1 suit exactement la même loi : $[A](t)=[A{]}_0{\mathrm{e}}^{-kt}$, avec $k>0$ la constante de vitesse. Même fonction, même décroissance, même limite nulle : seuls changent les noms des grandeurs. Le temps de demi-réaction joue le rôle de la demi-vie.

Charge d'un condensateur. Lorsqu'on charge un condensateur à travers une résistance sous une tension constante $E$, la tension à ses bornes suit la loi $u(t)=E(1-{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau })$, où $\tau$ est la constante de temps du circuit. À $t=0$, $u(0)=E(1-1)=0$ : le condensateur est déchargé. La dérivée vaut $u^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{E}{\tau }}{\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }>0$ : la tension croît. Et comme ${\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$ tend vers $0$, $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }u(t)=E$ : la courbe admet l'asymptote horizontale $y=E$. La physique distingue ainsi le régime transitoire, pendant lequel le terme ${\mathrm{e}}^{-t\mathrm{/}\tau }$ pèse encore, et le régime permanent, l'état limite $u=E$ dont la courbe se rapproche sans jamais l'atteindre exactement. La constante de temps $\tau$ se lit de deux façons sur le graphique : la tangente à l'origine, de coefficient directeur $u^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{E}{\tau }}$, atteint la valeur $E$ précisément à l'instant $t=\tau$ ; et à cet instant, $u(\tau )=E(1-{\mathrm{e}}^{-1})\approx \mathrm{0,63}E$, soit environ 63 % de la valeur finale. Au bout de $5\tau$, il ne manque plus que ${\mathrm{e}}^{-5}\approx \mathrm{0,007}$ : le régime permanent est atteint à mieux que 1 % près, d'où la règle expérimentale des « cinq tau ».

Le tour du chapitre est bouclé, et le fil conducteur mérite d'être redit : un nombre $\mathrm{e}$ choisi pour que la tangente en $0$ ait une pente égale à $1$, une fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ qui est sa propre dérivée, et en conséquence des modèles où la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à la grandeur elle-même — radioactivité, cinétique, circuits électriques. Les exercices vont maintenant faire fonctionner ensemble les règles algébriques, les équations, les études de variations et les limites, jusqu'aux situations physiques que vous retrouverez en cours de physique-chimie.