Intégration

Reprenons le problème qui avait ouvert le chapitre Primitives, en toute fin de première. Un enregistreur embarqué relève la vitesse d'un véhicule à chaque instant : comment en déduire la distance parcourue ? Si la vitesse était constante, la réponse tiendrait en une multiplication : distance égale vitesse fois durée. Mais une vitesse réelle varie sans cesse, et cette multiplication n'a plus de sens. Voici pourtant une idée : traçons la courbe de la vitesse en fonction du temps. Pour une vitesse constante de $20$ m/s pendant $10$ s, la distance vaut $20\times 10=200$ m, et ce produit est exactement l'aire du rectangle situé sous la courbe (horizontale) de la vitesse. Et si la vitesse varie ? L'intuition suggère que la distance reste l'aire du domaine situé sous la courbe, aussi tordue soit-elle. La même situation se répète partout en sciences : l'aire sous la courbe d'un courant $i(t)$ donne la quantité d'électricité qui a traversé le dipôle, l'aire sous la courbe d'une vitesse de réaction donne la quantité de matière transformée. Ce chapitre donne un nom à cette aire : c'est l'intégrale de la fonction.

Nous allons construire cette notion pas à pas. D'abord la définir proprement pour une fonction positive, avec son unité naturelle, l'unité d'aire, et la calculer dans les cas où la géométrie suffit : rectangles, triangles, trapèzes. Ensuite, pour les courbes qui échappent à la géométrie élémentaire, nous encadrerons l'aire par la méthode des rectangles, que nous programmerons en Python. Nous étendrons alors la définition aux fonctions de signe quelconque, puis nous établirons les propriétés de calcul de l'intégrale. Viendra enfin le résultat central du chapitre, celui qui relie tout : l'intégrale se calcule avec une primitive, exactement celles que vous avez apprises en fin de première pour les polynômes et les signaux sinusoïdaux. Ce savoir-faire va devenir notre principal outil, et il nous ouvrira deux applications essentielles : la valeur moyenne d'un signal, et le calcul des distances en cinématique.

L'intégrale d'une fonction continue positive

Avant de mesurer des aires, il faut fixer l'unité de mesure. Dans un repère orthogonal, les graduations des deux axes définissent un rectangle de référence : celui construit sur une unité de l'axe des abscisses et une unité de l'axe des ordonnées. Son aire sert d'étalon : c'est l'unité d'aire, notée u.a. Toutes les aires du chapitre seront exprimées dans cette unité ; pour revenir à des centimètres carrés, il suffit de convertir à la fin (par exemple, si une unité d'abscisse mesure $2$ cm et une unité d'ordonnée $1$ cm sur la feuille, alors $1$ u.a. $=2{\text{cm}}^2$).

Un mot sur les fonctions concernées. Nous travaillerons avec des fonctions continues, c'est-à-dire, de façon intuitive, dont la courbe se trace sans lever le crayon : pas de saut, pas de trou. Toutes les fonctions usuelles du programme (polynômes, sinus, cosinus, et leurs combinaisons sur un intervalle où elles sont définies) sont continues, et cette simple régularité garantit que le domaine sous la courbe a bien une aire.

La figure illustre la définition : le domaine hachuré, compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les verticales $t=1$ et $t=5$, a pour aire ${\int }_1^{5}f(t)\mathrm{d}t$, mesurée en prenant le petit rectangle « $1$ u.a. » comme étalon. Détaillons la notation, qui deviendra vite familière. Les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale ($a$ la borne inférieure, $b$ la borne supérieure). Le symbole $\int$ est un S étiré, initiale de « somme » : nous verrons avec la méthode des rectangles que l'aire s'obtient bien en sommant de petits morceaux. Le symbole $\mathrm{d}t$ ferme la notation et précise le nom de la variable. Ce nom, justement, n'a aucune importance : ${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ et ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ désignent exactement le même nombre, la même aire. On dit que la variable d'intégration est muette. Nous utiliserons le plus souvent $t$, la variable naturelle des signaux et des mouvements.

Dans certains cas, aucune théorie n'est nécessaire : le domaine sous la courbe est une figure de géométrie élémentaire, et son aire se calcule avec les formules du collège.

La méthode des rectangles

La géométrie élémentaire s'arrête vite. Prenons la fonction $f(t)=t^2$ sur l'intervalle $[0;2]$ : le domaine sous cette parabole n'est ni un rectangle, ni un triangle, ni un trapèze, et aucune formule du collège ne donne son aire. L'idée qui débloque la situation est vieille comme la géométrie : à défaut de calculer l'aire exactement, encadrons-la entre deux valeurs, à l'aide de figures dont l'aire est connue, les rectangles. Découpons l'intervalle en bandes verticales de même largeur ; dans chaque bande, remplaçons la courbe par un palier horizontal, une fois trop bas, une fois trop haut. La somme des rectangles trop bas sous-estime l'aire, la somme des rectangles trop haut la surestime : l'aire cherchée est prise en étau.

La figure montre les deux familles de rectangles : on y voit à l'œil nu que la somme de gauche oublie de l'aire et que la somme de droite en compte trop. L'encadrement obtenu est encore grossier, deux unités d'écart, mais il porte en lui sa propre amélioration : plus les rectangles sont fins, mieux les paliers épousent la courbe. Rien ne nous empêche de prendre $n=100$, $n=1000$ rectangles, sauf la longueur du calcul, et c'est exactement le travail d'une machine. La fonction Python suivante calcule les deux sommes pour n'importe quelle fonction et n'importe quel découpage.

def rectangles(f, a, b, n):
    """Retourne les sommes des rectangles a gauche et a droite."""
    h = (b - a) / n
    somme_gauche = 0
    somme_droite = 0
    for k in range(n):
        somme_gauche = somme_gauche + h * f(a + k * h)
        somme_droite = somme_droite + h * f(a + (k + 1) * h)
    return somme_gauche, somme_droite

f = lambda t: t**2
print(rectangles(f, 0, 2, 4))     # (1.75, 3.75)
print(rectangles(f, 0, 2, 1000))  # (2.662668, 2.670668)

L'appel avec $n=4$ retrouve nos calculs à la main. Avec $n=1000$, l'étau se resserre de façon spectaculaire : l'intégrale est comprise entre $\mathrm{2,6626}$ et $\mathrm{2,6707}$, un encadrement d'amplitude huit millièmes. Les deux sommes semblent converger vers une valeur proche de $\mathrm{2,67}$ ; retenez ce nombre, car la fin du chapitre révélera sa valeur exacte, et elle est remarquablement simple.

Fonctions de signe quelconque : aire algébrique

Jusqu'ici, nos fonctions étaient positives, et leurs courbes restaient au-dessus de l'axe des abscisses. Mais un courant alternatif change de signe cent fois par seconde, une vitesse devient négative quand le mobile recule : les fonctions des sciences ne restent pas confinées au demi-plan supérieur. Comment étendre l'intégrale ? La convention adoptée est la plus naturelle qui soit : les portions de domaine situées sous l'axe des abscisses comptent négativement.

Une mise en garde s'impose, car la confusion est fréquente : aire et intégrale ne sont plus synonymes dès que la fonction change de signe. L'intégrale est un bilan, où les zones se compensent ; l'aire géométrique totale du domaine, elle, additionne toutes les zones sans signe. Dans l'exemple ci-dessus, l'intégrale vaut $-\mathrm{1,5}$, mais l'aire totale hachurée vaut $2+\mathrm{0,5}=\mathrm{2,5}$ u.a. Une intégrale peut même être nulle alors que le domaine est très étendu : il suffit que les zones positives et négatives s'équilibrent exactement, ce qui est précisément le cas d'un signal alternatif sur une période entière, comme nous le verrons avec la valeur moyenne.

Propriétés de l'intégrale

L'intégrale étant une aire (algébrique), ses propriétés de calcul se lisent sur les figures. Commençons par les deux règles de linéarité, qui permettent de découper un calcul en morceaux.

La seconde règle se comprend bien graphiquement : multiplier une fonction par $k$ étire sa courbe verticalement d'un facteur $k$, et toutes les aires sont étirées dans la même proportion. La propriété suivante, elle, exprime qu'une aire se découpe en tranches : le domaine entre $a$ et $c$ est la juxtaposition du domaine entre $a$ et $b$ et du domaine entre $b$ et $c$.

Cette relation est précieuse pour les fonctions définies par morceaux (un signal en créneaux, une vitesse avec plusieurs phases), et c'est aussi elle qui permet de calculer l'aire géométrique totale d'un domaine quand la fonction change de signe : on découpe aux points d'annulation, et on compte chaque morceau avec le bon signe. Signalons au passage deux conventions naturelles : ${\int }_a^{a}f(t)\mathrm{d}t=0$ (un domaine de largeur nulle n'a pas d'aire), et lorsque les bornes sont échangées, l'intégrale change de signe :

$${\int }_b^{a}f(t)\mathrm{d}t=-{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$$

Avec cette convention, la relation de Chasles reste vraie quel que soit l'ordre des réels $a$, $b$ et $c$. Terminons par deux propriétés de comparaison, évidentes sur un dessin mais très utiles pour contrôler un résultat.

La positivité ne dit rien d'autre que ceci : l'aire d'un domaine entièrement au-dessus de l'axe est positive. La conservation de l'ordre s'en déduit : si la courbe de $g$ domine celle de $f$, le domaine sous $g$ contient au moins autant d'aire algébrique que celui sous $f$. C'est exactement le raisonnement de la méthode des rectangles : la fonction en escalier des rectangles à gauche est en dessous de $f$, celle des rectangles à droite au-dessus, et l'encadrement des intégrales en découle.

Le calcul par primitives

Tout est en place pour le théorème central du chapitre, celui qui transforme un problème d'aire en un simple calcul. Le lien avec les primitives de première n'est pas un hasard : reprenons l'exemple de la vitesse. La distance parcourue depuis l'instant $a$ est l'aire sous la courbe de la vitesse, donc une intégrale ; mais la position $x$ est aussi, nous le savons depuis la première, une primitive de la vitesse, et la distance parcourue entre $a$ et $b$ s'écrit $x(b)-x(a)$. L'aire et la variation de la primitive mesurent la même chose. Ce fait, vrai en toute généralité, est le résultat suivant, que nous admettons.

Un détail du théorème mérite une seconde de réflexion : il dit une primitive quelconque. N'importe laquelle ? Oui, et voici pourquoi le choix n'a aucune importance. Deux primitives de $f$ diffèrent d'une constante : si $G=F+C$, alors

$$G(b)-G(a)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$$

La constante disparaît dans la différence. On choisira donc toujours la primitive la plus simple, celle dont la constante est nulle.

La valeur moyenne

Que vaut « en moyenne » une grandeur qui varie sans arrêt ? La question est quotidienne en sciences : tension moyenne d'un signal, concentration moyenne pendant une réaction, vitesse moyenne d'un trajet. Pour une série de valeurs isolées, on additionne et on divise par l'effectif. Pour une fonction, qui prend une infinité de valeurs, l'addition devient une intégrale et l'effectif devient la largeur de l'intervalle : c'est la définition suivante.

L'interprétation graphique éclaire la formule. Réécrivons-la sous la forme $m\times (b-a)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t$ : le rectangle de base $[a;b]$ et de hauteur $m$ a exactement la même aire que le domaine sous la courbe. La valeur moyenne est la hauteur à laquelle il faudrait « niveler » la courbe, comme un liquide qui, versé dans un bac de largeur $b-a$, se répartirait à hauteur constante $m$ : les bosses de la courbe comblent exactement ses creux.

Intégrale et cinématique

Refermons la boucle ouverte dans l'introduction. La vitesse est la dérivée de la position : $v(t)=x^{\mathrm{\prime }}(t)$, donc la position est une primitive de la vitesse. Le théorème du calcul par primitives donne alors, pour un mouvement entre les instants $a$ et $b$ :

$${\int }_a^{b}v(t)\mathrm{d}t=x(b)-x(a)$$

Le membre de droite est la variation de position du mobile, qui coïncide avec la distance parcourue lorsque la vitesse reste positive (le mobile ne recule pas). L'intuition du début du chapitre est donc démontrée : la distance parcourue est l'aire sous la courbe de vitesse. Et remarquez le gain par rapport à la première : là où le calcul de la loi horaire exigeait une condition initiale pour fixer la constante, l'intégrale livre directement la variation de position entre deux instants, sans qu'on ait besoin de savoir d'où le mobile est parti — la constante, une fois encore, disparaît dans la différence.

Ce premier chapitre de l'année a doté d'un sens précis une intuition géométrique : l'aire sous une courbe est un nombre que l'on sait définir, encadrer par des rectangles, et surtout calculer exactement dès qu'une primitive est disponible. Les propriétés de linéarité, la relation de Chasles et les règles de comparaison en font un outil de calcul souple, et la valeur moyenne comme la cinématique montrent qu'il parle directement le langage des sciences. Pour l'instant, notre réserve de primitives se limite aux polynômes et aux signaux sinusoïdaux de la première ; d'autres familles de fonctions viendront enrichir le tableau au fil de l'année, et chacune élargira d'autant le champ des intégrales que nous saurons calculer. Les exercices vont maintenant faire travailler chaque registre : la géométrie, l'encadrement, le calcul exact et les applications physiques.