Devoir surveillé — Sommes de variables aléatoires

Les cinq questions sont indépendantes.

Dans une fête foraine, un jeu se déroule en deux étapes indépendantes. Le joueur paie une mise de $m$ euros, puis :

• Étape 1 : il fait tourner une roue qui rapporte un gain $X$ (en euros) selon la loi :

• Étape 2 : il lance un dé équilibré à six faces ; si le résultat est pair, il reçoit $2$ €, sinon rien. On note $Y$ le gain (en euros) de cette étape.

Le gain total du joueur (mise déduite) est $G=X+Y-m$.

1. Donner la loi de $Y$, puis calculer $E(X)$ et $E(Y)$.
2. Calculer $V(X)$ à l'aide de la formule de König-Huygens, puis $V(Y)$.
3. Exprimer $E(G)$ en fonction de $m$. Pour quelle valeur de $m$ le jeu est-il équitable ?
4. On prend désormais $m=\mathrm{4,5}$. Calculer $V(G)$ puis $\sigma (G)$ (on donnera une valeur approchée au centième). On justifiera soigneusement chaque étape.
5. Le forain envisage une variante : les gains de la roue sont doublés (le gain de l'étape 1 devient $X^{\mathrm{\prime }}=2X$), le dé est inchangé et la mise vaut $8$ €. Montrer que cette variante est encore équitable, calculer l'écart type du nouveau gain total et comparer à celui de la question 4. Quel intérêt le forain peut-il y trouver ?

Dans un centre d'appels, chaque appel entrant est décroché en moins d'une minute avec la probabilité $\mathrm{0,85}$, indépendamment des autres appels. On observe $60$ appels et on note $X$ le nombre d'appels décrochés en moins d'une minute.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Démonstration de cours. Soit $n$ un entier naturel non nul et $p\in ]0;1[$. On considère $n$ variables aléatoires $X_1,\dots ,X_n$ indépendantes suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre $p$, et on pose $S=X_1+\cdots +X_n$ (ainsi $S$ suit la loi $\mathrm{ℬ}(n;p)$).

   a. Justifier que pour tout $i$, $E(X_i)=p$ et $E(X_i^2)=p$, puis en déduire $V(X_i)=p(1-p)$.

   b. En déduire, en citant précisément les propriétés utilisées, que $E(S)=np$ et $V(S)=np(1-p)$.

3. En déduire $E(X)$, $V(X)$ et une valeur approchée de $\sigma (X)$ au centième.

4. Calculer la probabilité que les $60$ appels soient tous décrochés en moins d'une minute. On donnera le résultat en écriture scientifique avec deux chiffres significatifs. Commenter.

5. Le centre souhaite qu'en moyenne au moins $57$ appels sur $60$ soient décrochés en moins d'une minute. Quelle probabilité minimale $p^{\mathrm{\prime }}$ de décrocher un appel en moins d'une minute doit-il atteindre ?

Une fromagerie collecte chaque jour le lait d'un troupeau de $n$ vaches. La production quotidienne (en litres) de la vache numéro $i$ est modélisée par une variable aléatoire $L_i$. On admet que $(L_1,\dots ,L_n)$ est un échantillon d'une loi d'espérance $\mu =22$ L et d'écart type $\sigma =4$ L.

On note $S_n=L_1+\cdots +L_n$ la production totale et $M_n={\displaystyle \frac{S_n}{n}}$ la production moyenne par vache.

1. Question de cours. Rappeler la définition d'un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité.
2. Le troupeau compte $n=64$ vaches. Calculer $E(S_{64})$ et $\sigma (S_{64})$.
3. Calculer $E(M_{64})$ et $\sigma (M_{64})$.
4. La fromagerie souhaite que l'écart type de la production moyenne vérifie $\sigma (M_n)\le \mathrm{0,25}$ L. Déterminer le plus petit entier $n$ qui convient.
5. On dispose d'une fonction Python production() qui simule la production quotidienne d'une vache (une réalisation de $L_i$). Compléter le programme ci-dessous pour que moyenne(n) renvoie la moyenne simulée d'un échantillon de taille n.

def moyenne(n):
    total = 0
    for i in range(n):
        total = total + ...
    return ...

6. Question de réflexion. La laiterie facture à la fromagerie un coût de collecte composé d'un forfait fixe de $50$ € et de $\mathrm{0,40}$ € par litre collecté. Le coût quotidien pour le troupeau de $64$ vaches est donc $C=50+\mathrm{0,40}\times S_{64}$. Calculer $E(C)$ et $\sigma (C)$, puis interpréter ces deux valeurs en une phrase chacune.