Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Une basketteuse tire dix lancers francs à la suite. Un contrôleur qualité prélève vingt pièces au hasard sur une chaîne de production et vérifie leur conformité. Un élève mal préparé répond au hasard aux dix questions d'un QCM. Trois situations très différentes en apparence, mais un même squelette mathématique : on répète plusieurs fois un même geste aléatoire, chaque répétition n'a que deux issues qui nous intéressent — réussi ou raté, conforme ou défectueuse, juste ou faux —, et la question naturelle est toujours la même : combien de succès au total, et avec quelle probabilité ?

En première, les probabilités conditionnelles nous ont appris à traiter des expériences dont les étapes s'influencent : la composition de l'urne change après chaque tirage sans remise, et les pondérations de l'arbre en dépendent. Ce chapitre explore la situation opposée, celle où les étapes sont indépendantes : le deuxième lancer franc ne sait rien du premier. Cette hypothèse simplifie radicalement le modèle — les probabilités se multiplient le long de l'arbre — et nous construirons dessus, brique par brique : la succession d'épreuves indépendantes, puis l'épreuve de Bernoulli (la brique élémentaire à deux issues), le schéma de Bernoulli (sa répétition à l'identique), et enfin la vedette du chapitre, la loi binomiale, qui régit le nombre de succès.

Le point culminant sera la formule $P(X=k)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}{p}^k(1-p{)}^{n-k}$, que nous démontrerons entièrement : les combinaisons du chapitre de dénombrement y comptent les chemins de l'arbre — c'est l'une des démonstrations exigibles au baccalauréat. Nous apprendrons ensuite à calculer efficacement, à la main, à la calculatrice ou en Python, puis à résoudre les grandes questions pratiques du chapitre : combien de répétitions faut-il pour être presque certain d'obtenir au moins un succès ?

Succession d'épreuves indépendantes

Commençons par le cadre général. On lance un dé, puis une pièce : deux expériences aléatoires enchaînées, dont les résultats ne s'influencent pas. Quel univers choisir pour l'expérience globale, et comment y calculer des probabilités ? La réponse du programme tient en deux idées : un résultat de l'expérience globale est la liste des résultats de chaque étape, et son univers est donc un produit cartésien — une notion déjà rencontrée au chapitre de dénombrement.

Reste à munir cet univers d'une probabilité. C'est ici que l'indépendance intervient : puisque les étapes ne s'influencent pas, il est naturel de décider que les probabilités se multiplient. Cette règle définit le modèle retenu pour les successions d'épreuves indépendantes.

Comme en première, un arbre représente commodément la situation : chaque niveau correspond à une épreuve, chaque branche porte la probabilité de l'issue vers laquelle elle mène. La nouveauté tient en une phrase : grâce à l'indépendance, les pondérations d'un niveau ne dépendent pas de ce qui précède — les branches issues de n'importe quel nœud d'un même niveau portent exactement les mêmes probabilités. La règle des chemins vue en première s'applique alors sans changement : la probabilité d'une issue, c'est-à-dire d'un chemin complet de la racine à une feuille, est le produit des pondérations rencontrées le long du chemin.

Ce cadre général autorise des épreuves toutes différentes : un dé, puis une pièce, puis une roue de loterie… Mais la situation la plus féconde — celle de la basketteuse, du contrôleur et du QCM — est plus contrainte : on répète la même épreuve, et cette épreuve n'a que deux issues. Isolons d'abord cette brique élémentaire.

Épreuve et loi de Bernoulli

Les exemples abondent, à condition de préciser ce que l'on appelle succès : lancer une pièce équilibrée avec pour succès « obtenir pile » est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\mathrm{0,5}$ ; tirer une carte dans un jeu de $32$ cartes avec pour succès « obtenir un cœur » en est une de paramètre $p={\displaystyle \frac{8}{32}}=\mathrm{0,25}$ ; répondre au hasard à une question d'un QCM à quatre propositions dont une seule est exacte, avec pour succès « répondre juste », en est une de paramètre $p=\mathrm{0,25}$ également.

À l'inverse, lancer un dé et noter le numéro obtenu n'est pas une épreuve de Bernoulli : l'expérience a six issues, pas deux. Mais il suffit de changer de regard pour en fabriquer une : si l'on ne s'intéresse qu'à l'événement « obtenir un six », l'expérience devient une épreuve de Bernoulli de paramètre $p={\displaystyle \frac{1}{6}}$, avec $S$ : « obtenir un six » et $\bar{S}$ : « ne pas obtenir de six ». C'est donc le choix du succès, plus que l'expérience elle-même, qui fait l'épreuve de Bernoulli.

À toute épreuve de Bernoulli, on associe naturellement une variable aléatoire qui « compte » le succès.

Le schéma de Bernoulli

Revenons à la basketteuse : elle ne tire pas un lancer franc, mais dix. Chaque tir est une épreuve de Bernoulli (succès : « le tir est réussi »), tous ont la même probabilité de succès, et l'on suppose les tirs indépendants. Cette structure — la répétition à l'identique d'une même épreuve de Bernoulli — porte un nom.

Les deux adjectifs comptent autant l'un que l'autre : identiques signifie que la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition ; indépendantes, que le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres. Tirer successivement des boules avec remise dans une urne relève du schéma de Bernoulli ; tirer sans remise n'en relève pas, car la composition de l'urne — donc la probabilité de succès — change à chaque tirage. Au baccalauréat, reconnaître un schéma de Bernoulli ne suffit pas : il faut le justifier, et la rédaction attendue est bien codifiée.

Un schéma de Bernoulli est un cas particulier de succession d'épreuves indépendantes : tout ce qui précède s'applique. Son arbre a une forme remarquablement régulière — deux branches à chaque nœud, toujours pondérées $p$ (vers $S$) et $1-p$ (vers $\bar{S}$), quel que soit le niveau et quel que soit ce qui précède.

Sur cet arbre à trois niveaux, une issue de l'expérience est un chemin complet de la racine à une feuille : il y en a $2^3=8$, du chemin $(S,S,S)$ au chemin $(\bar{S},\bar{S},\bar{S})$. La règle des chemins donne alors la probabilité de chacun, et l'on découvre une propriété clef : cette probabilité ne dépend que du nombre de succès du chemin, pas de leur position.

En effet, la probabilité d'un chemin est le produit des pondérations rencontrées : chaque succès apporte un facteur $p$, chaque échec un facteur $1-p$. Un chemin à $k$ succès accumule donc $k$ facteurs $p$ et $n-k$ facteurs $1-p$, et comme un produit ne dépend pas de l'ordre de ses facteurs, tous les chemins à $k$ succès ont la même probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$.

Cette observation — l'ordre des succès ne change pas la probabilité d'un chemin — est la clef de tout ce qui suit. Pour connaître la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès, il ne reste qu'à compter les chemins qui en comportent $k$ : un pur problème de dénombrement, que le chapitre de combinatoire nous a précisément appris à résoudre.

La loi binomiale

Dans un schéma de Bernoulli, la question centrale n'est pas « quel chemin a été suivi ? » mais « combien de succès au total ? ». La variable aléatoire qui compte les succès mérite donc une étude en propre.

Reste à expliciter cette loi, c'est-à-dire à calculer $P(X=k)$ pour chaque valeur possible de $k$. C'est le théorème central du chapitre, et sa démonstration — qui assemble la propriété des chemins et les combinaisons du chapitre de dénombrement — est exigible au baccalauréat.

Démonstration. Représentons le schéma de Bernoulli par son arbre et fixons un entier $k$ compris entre $0$ et $n$. L'événement $(X=k)$ est réalisé exactement par les chemins de l'arbre comportant $k$ succès — et donc $n-k$ échecs.

D'après la propriété de la section précédente, chacun de ces chemins a la même probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$.

Combien y a-t-il de tels chemins ? Un chemin comportant exactement $k$ succès est entièrement déterminé par le choix des épreuves qui donnent un succès : il faut choisir $k$ positions parmi les $n$ répétitions, sans ordre ni répétition. Un tel choix est une combinaison de $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments : d'après le chapitre de combinatoire, il y en a exactement ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$. Il y a donc ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ chemins réalisant l'événement $(X=k)$.

Ces chemins correspondent à des issues deux à deux incompatibles ; la probabilité de leur réunion est la somme de leurs probabilités, c'est-à-dire ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ fois la probabilité commune $p^k(1-p{)}^{n-k}$. Ainsi $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}\mathrm{.}\mathrm{\square }$

La formule se lit comme elle s'est construite : $p^k(1-p{)}^{n-k}$ est la probabilité d'un scénario à $k$ succès, et ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ compte les scénarios possibles. C'est d'ailleurs cette formule qui donne son nom à la loi : les coefficients ${\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}$ sont les coefficients binomiaux du chapitre 1.

Pour se représenter une loi binomiale dans son ensemble, rien ne vaut son diagramme en bâtons : au-dessus de chaque valeur $k$, un bâton de hauteur $P(X=k)$.

Le diagramme ci-dessus est celui de la loi $\mathcal{B}(10;\mathrm{0,3})$. Les probabilités croissent, culminent en $k=3$, puis décroissent : sur $10$ répétitions d'une épreuve réussie avec probabilité $\mathrm{0,3}$, c'est autour de trois succès que se concentre l'essentiel de la probabilité, ce que l'intuition suggérait. On observe aussi une nette dissymétrie : le diagramme penche vers les petites valeurs de $k$, et les grandes valeurs ($k\ge 8$) sont si improbables que leurs bâtons sont invisibles à l'œil nu. Cette dissymétrie est la marque des paramètres $p\mathrm{\ne }\mathrm{0,5}$ ; lorsque $p=\mathrm{0,5}$, succès et échec jouent des rôles parfaitement interchangeables et le diagramme est symétrique par rapport à ${\displaystyle \frac{n}{2}}$.

Calculer en pratique

La formule de la loi binomiale règle la question en théorie ; en pratique, tout dépend de la taille du calcul. Pour $P(X=k)$ avec de petits paramètres, le calcul à la main est rapide et c'est lui qu'on attend dans une copie : un coefficient binomial (formule ou triangle de Pascal), deux puissances, un produit. Mais dès que les événements se compliquent — $P(X\le 7)$ pour $n=50$, par exemple —, sommer une à une les probabilités devient déraisonnable : c'est le travail de la calculatrice ou d'un programme.

Toutes les calculatrices de lycée savent calculer, pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ donnés, les deux quantités fondamentales : $P(X=k)$, via une fonction souvent nommée binomFdp ou équivalent, et la probabilité cumulée $P(X\le k)$, via binomFRép ou équivalent. Tout événement usuel se ramène à ces deux briques.

En Python, la fonction comb du module math fournit les coefficients binomiaux, et la formule du cours se programme en une ligne ; une boucle accumule ensuite les probabilités cumulées.

from math import comb

def proba(n, p, k):
    """Renvoie P(X = k) pour X suivant la loi B(n ; p)."""
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def proba_cumulee(n, p, k):
    """Renvoie P(X <= k) pour X suivant la loi B(n ; p)."""
    total = 0
    for i in range(k + 1):
        total = total + proba(n, p, i)
    return total

Ce dernier calcul renverse naturellement la question : au lieu de fixer $n$ et de calculer une probabilité, on peut fixer la probabilité visée et chercher le nombre de répétitions nécessaire pour l'atteindre. Ce sont les problèmes de seuil, grands classiques du baccalauréat.

Problèmes de seuil et de comparaison

« Combien de graines faut-il semer pour être sûr à $99\mathrm{\%}$ qu'au moins une germe ? » Voilà le problème de seuil type : la probabilité $1-(1-p{)}^n$ d'obtenir au moins un succès augmente avec le nombre $n$ de répétitions, et l'on cherche à partir de quel $n$ elle dépasse un seuil donné. À ce stade de l'année, nous ne disposons d'aucun outil algébrique pour extraire $n$ d'une puissance : la résolution se fait par balayage, c'est-à-dire en calculant $1-(1-p{)}^n$ pour des valeurs successives de $n$ — tableau de valeurs de la calculatrice ou boucle Python — jusqu'à franchir le seuil.

n = 1
while 1 - 0.8**n < 0.99:
    n = n + 1
print(n)  # affiche 21

La même formule $1-(1-p{)}^n$ sert aussi à comparer des situations : deux jeux, deux stratégies, deux protocoles, dont on veut savoir lequel offre la meilleure probabilité de succès. L'histoire des probabilités a précisément commencé par une question de ce type.

Le même réflexe de balayage résout enfin les problèmes d'optimisation où l'on fait varier un paramètre entier — nombre de tentatives, taille d'un échantillon — pour atteindre un objectif au meilleur coût : on calcule, on tabule, on compare.

En résumé : lorsqu'une expérience aléatoire enchaîne des épreuves indépendantes, son univers est le produit cartésien des univers et la probabilité d'une issue est le produit des probabilités de ses composantes — l'arbre porte alors des pondérations qui ne dépendent pas du passé. La répétition, $n$ fois à l'identique et de façon indépendante, d'une même épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ constitue un schéma de Bernoulli, et le nombre de succès $X$ y suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$, dont nous avons démontré l'expression $P(X=k)={\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)}{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ en comptant les chemins de l'arbre grâce aux combinaisons. Les probabilités cumulées se calculent à la machine, l'événement « au moins un succès » par son contraire, et les problèmes de seuil par balayage. Ce chapitre noue ainsi la première grande alliance de l'année entre dénombrement et probabilités — les coefficients du triangle de Pascal, nés du comptage, gouvernent désormais le hasard répété.