Devoir surveillé — Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Les quatre questions sont indépendantes.

1. (1 point) Dans une grande production de clés USB, $12\mathrm{\%}$ des clés présentent un défaut. On prélève au hasard $15$ clés ; le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On s'intéresse, pour chaque clé, au fait qu'elle soit défectueuse ou non. Justifier que cette expérience est un schéma de Bernoulli et préciser ses paramètres $n$ et $p$.

2. (1 point) Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathrm{ℬ}(4;{\displaystyle \frac{1}{3}})$. Calculer à la main la valeur exacte de $P(X=2)$, sous forme de fraction irréductible.

3. (1 point) Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathrm{ℬ}(5;\mathrm{0,2})$. Vrai ou faux (justifier) : « $P(X⩾1)=1-P(X=1)$ ». On pourra s'appuyer sur un calcul.

4. (1 point) Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathrm{ℬ}(10;\mathrm{0,5})$. Donner, sans calculatrice, la valeur de $P(X=3)-P(X=7)$. Justifier soigneusement.

Lors d'une kermesse, Léa participe à trois jeux : la pêche aux canards, le chamboule-tout et le tir au panier. On admet que :

• elle gagne la pêche aux canards avec la probabilité $\mathrm{0,6}$ ;
• elle gagne le chamboule-tout avec la probabilité $\mathrm{0,5}$ ;
• elle gagne le tir au panier avec la probabilité $\mathrm{0,3}$ ;
• les résultats des trois jeux sont indépendants les uns des autres.

On note $A$, $B$ et $C$ les événements « Léa gagne la pêche aux canards », « Léa gagne le chamboule-tout » et « Léa gagne le tir au panier ».

1. (1 point) Représenter cette succession de trois épreuves indépendantes par un arbre pondéré. Combien cette expérience compte-t-elle d'issues ?

2. (1 point) Calculer la probabilité que Léa gagne la pêche aux canards et le tir au panier, mais perde le chamboule-tout.

3. (1,5 point) Montrer que la probabilité que Léa gagne exactement un jeu est égale à $\mathrm{0,41}$.

4. (1 point) Calculer, en utilisant l'événement contraire, la probabilité que Léa gagne au moins un jeu.

5. (0,5 point) On note $N$ le nombre de jeux gagnés par Léa. Expliquer pourquoi $N$ ne suit pas une loi binomiale.

Maëlys pratique le tir à l'arc. À chaque flèche tirée, la probabilité qu'elle atteigne le centre de la cible est égale à $\mathrm{0,75}$, et les tirs sont supposés indépendants les uns des autres.

Partie A — Échauffement. Maëlys tire $3$ flèches. On note $Y$ le nombre de flèches ayant atteint le centre.

1. (1 point) Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. (1 point) Calculer à la main la valeur exacte de $P(Y=2)$ sous forme de fraction (on pourra écrire $\mathrm{0,75}={\displaystyle \frac{3}{4}}$), puis en donner une valeur arrondie à ${10}^{-3}$.

Partie B — Concours. Maëlys tire maintenant $16$ flèches. On note $X$ le nombre de flèches ayant atteint le centre.

3. (0,5 point) Donner, sans justification, la loi suivie par $X$ et ses paramètres.

4. (0,5 point) Calculer, à la calculatrice, $P(X⩽11)$, arrondie à ${10}^{-3}$.

5. (1,5 point) Calculer, à la calculatrice, $P(X⩾14)$ puis $P(10⩽X⩽13)$, arrondies à ${10}^{-3}$.

6. (1 point) Calculer la probabilité qu'au moins une flèche manque le centre, en utilisant l'événement contraire. On donnera la valeur arrondie à ${10}^{-3}$.

7. (0,5 point) Interpréter par une phrase, dans le contexte de l'exercice, la probabilité $P(X⩾14)$ calculée à la question 5.

Une biologiste marine organise des sorties en mer pour observer des dauphins. Lors de chaque sortie, la probabilité d'observer des dauphins est égale à $\mathrm{0,4}$, et les sorties sont indépendantes les unes des autres.

Pour tout entier $n⩾1$, on note $X_n$ le nombre de sorties au cours desquelles des dauphins sont observés, parmi $n$ sorties, et $p_n$ la probabilité d'observer des dauphins lors d'au moins une des $n$ sorties.

1. (1,5 point) a. Justifier que $X_n$ suit la loi binomiale $\mathrm{ℬ}(n;\mathrm{0,4})$. b. Montrer que $p_n=1-{\mathrm{0,6}}^n$.

2. (1 point) Montrer que, pour tout entier $n⩾1$ :

$$p_n⩾\mathrm{0,99}⟺{\mathrm{0,6}}^n⩽\mathrm{0,01}$$

3. (1,5 point) Déterminer, par balayage à la calculatrice, le plus petit entier $n$ tel que $p_n⩾\mathrm{0,99}$. On reproduira et complétera un tableau de valeurs de ${\mathrm{0,6}}^n$ pour justifier la réponse.

4. (1 point) Un club concurrent propose, pour le même prix que $10$ sorties classiques, une formule de $20$ sorties deux fois plus courtes ; pour ces sorties courtes, la probabilité d'observer des dauphins lors d'une sortie n'est que de $\mathrm{0,2}$. Laquelle des deux formules ($10$ sorties avec une probabilité de $\mathrm{0,4}$, ou $20$ sorties avec une probabilité de $\mathrm{0,2}$) donne la plus grande probabilité d'observer des dauphins au moins une fois ? Justifier par un calcul à la calculatrice.