Tale spé · Chapitre 01 · Algèbre et géométrie

Exercices — Combinatoire et dénombrement

18 exercices de difficulté croissante, à chercher avant de regarder le corrigé.

18 exercices, difficulté croissante de ★ (application directe) à ★★★★ (défi). Les corrigés détaillés sont dans le PDF — cherchez d'abord, le corrigé ensuite : c'est là que ça progresse.

Exercice 1 ★★★★ — Principes additif et multiplicatif en situation

Principes additif et multiplicatif

Pour chacune des situations suivantes, préciser si le dénombrement repose sur le principe additif, sur le principe multiplicatif (ou sur les deux), puis répondre à la question posée.

Un restaurant propose une formule composée d'une entrée, d'un plat et d'un dessert. La carte offre $3$ entrées, $4$ plats et $2$ desserts. Combien de formules différentes peut-on composer ?
Pour s'habiller, Jules choisit un tee-shirt parmi les $5$ de son armoire et un pantalon parmi $3$ . Combien de tenues différentes peut-il former ?
Au CDI, Léna veut emprunter un seul livre dans le rayon des nouveautés, qui contient $12$ romans et $8$ bandes dessinées (aucun livre n'appartient aux deux catégories). Combien de choix a-t-elle ?
Pour aller de Nantes à Lyon, Chloé peut prendre l'un des $3$ trains ou l'un des $2$ cars de la journée. Une fois à Lyon, elle rejoint Grenoble par l'un des $4$ cars disponibles. Combien de trajets complets de Nantes à Grenoble peut-elle composer ?

Exercice 2 ★★★★ — Dénombrer avec un arbre ou un tableau

Principes additif et multiplicatifk-uplets et produit cartésien

Partie A — Avec un arbre. On lance trois fois de suite une pièce de monnaie et on note, dans l'ordre, le côté obtenu à chaque lancer : pile (P) ou face (F). Une issue de l'expérience est donc un triplet comme $(P; F; P)$ .

Construire un arbre représentant toutes les issues possibles de l'expérience.
Combien y a-t-il d'issues au total ? Retrouver ce nombre par un calcul utilisant le principe multiplicatif.
Dénombrer les issues comportant exactement deux « pile », puis les écrire toutes.

Partie B — Avec un tableau. On lance un dé rouge et un dé vert, tous deux équilibrés à six faces numérotées de $1$ à $6$ , et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus.

Construire un tableau à double entrée donnant la somme obtenue pour chaque résultat possible des deux dés.
Combien y a-t-il de résultats possibles au total ? Retrouver ce nombre par un calcul.
À l'aide du tableau, dénombrer les résultats donnant une somme égale à $7$ , puis ceux donnant une somme supérieure ou égale à $10$ .

Exercice 3 ★★★★ — Codes, mots de passe et k-uplets

k-uplets et produit cartésien

Dans tout l'exercice, les répétitions sont autorisées : un même chiffre ou une même lettre peut apparaître plusieurs fois dans un code.

Un code PIN de téléphone est une suite ordonnée de $4$ chiffres, chacun choisi parmi $0$ , $1$ , …, $9$ .

a. Combien de codes PIN différents existe-t-il ?
b. Combien de codes PIN ne contiennent aucun $0$ ?
Un site internet impose des mots de passe de $6$ caractères, chaque caractère étant l'une des $26$ lettres minuscules ou l'un des $10$ chiffres.

a. Combien de mots de passe différents peut-on former ?
b. Combien de mots de passe sont formés uniquement de lettres ?
Une plaque d'immatriculation est de la forme AB-123-CD : deux lettres, puis trois chiffres, puis deux lettres, chaque lettre étant choisie parmi les $26$ lettres de l'alphabet et chaque chiffre parmi $0$ , $1$ , …, $9$ . Combien de plaques différentes peut-on former ?

Exercice 4 ★★★★ — Nombre de parties d'un ensemble

Nombre de parties d'un ensemble

On rappelle qu'une partie d'un ensemble $E$ est un ensemble formé de certains éléments de $E$ (éventuellement aucun, éventuellement tous). L'ensemble vide $\emptyset$ et $E$ lui-même sont des parties de $E$ .

On considère l'ensemble $E = {a; b; c}$ . Écrire la liste de toutes les parties de $E$ , puis vérifier qu'il y en a bien $2^{3} = 8$ .
Une pizzeria prépare toutes ses pizzas sur la même base (pâte et sauce tomate), puis propose $8$ ingrédients optionnels : champignons, jambon, olives, oignons, poivrons, chèvre, ananas et roquette. Une pizza est entièrement déterminée par l'ensemble des ingrédients optionnels choisis (aucune, une partie ou la totalité). Combien de pizzas différentes la pizzeria peut-elle proposer ?
On revient à l'ensemble $E = {a; b; c}$ de la question 1. On code chaque partie $A$ de $E$ par un mot de longueur $3$ formé de $0$ et de $1$ : la première lettre vaut $1$ si $a$ appartient à $A$ et $0$ sinon, la deuxième fait de même pour $b$ et la troisième pour $c$ . Par exemple, la partie ${a; c}$ est codée par le mot $101$ .

a. Donner le mot codant la partie ${b; c}$ , puis la partie codée par le mot $000$ .

b. Expliquer pourquoi ce codage permet de retrouver le nombre de parties de $E$ , en dénombrant les mots de longueur $3$ sur ${0; 1}$ .

Exercice 5 ★★★★ — Calculs avec les factorielles

k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations

On rappelle que pour tout entier $n ⩾ 1$ , on note $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ (lire « factorielle $n$ »), et que par convention $0! = 1$ .

Calculer ou simplifier les expressions suivantes, sans calculatrice. Dans les items f. à h., $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $1$ et le résultat sera donné sous forme simplifiée en fonction de $n$ .

a. $5!$
b. $\frac{8!}{6!}$
c. $\frac{7!}{5! 2!}$
d. $\frac{10!}{7! 3!}$
e. $\frac{6!}{3!}$
f. $\frac{n!}{(n - 1)!}$
g. $\frac{(n + 1)!}{(n - 1)!}$
h. $\frac{(n + 2)!}{n!}$
Vrai ou faux : pour tout entier $n ⩾ 1$ , on a $(2 n)! = 2 \times n!$ . Justifier par un contre-exemple si l'affirmation est fausse.

Exercice 6 ★★★★ — Coefficients binomiaux : premiers calculs

Combinaisons

On rappelle que le coefficient binomial $(\binom{n}{k})$ (lire « $k$ parmi $n$ ») compte le nombre de combinaisons de $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, c'est-à-dire le nombre de parties à $k$ éléments, et qu'il vaut $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Calculer les coefficients binomiaux suivants à l'aide de la formule du cours, sans calculatrice.

a. $(\binom{5}{2})$
b. $(\binom{6}{3})$
c. $(\binom{10}{1})$
d. $(\binom{7}{0})$
e. $(\binom{8}{6})$
f. $(\binom{9}{2})$
g. $(\binom{4}{4})$
Une classe compte $25$ élèves. Combien y a-t-il de façons de choisir $3$ délégués parmi eux, sans distinguer les rôles ?
Lors d'un tournoi de badminton, on doit former un duo de joueurs parmi les $10$ inscrits. Combien de duos différents sont possibles ?

Exercice 7 ★★★★ — Tirages successifs avec ou sans remise

k-uplets et produit cartésienk-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations

Une urne contient $12$ boules indiscernables au toucher, numérotées de $1$ à $12$ . On tire successivement $3$ boules de l'urne et on note, dans l'ordre, les numéros obtenus : le résultat d'un tirage est donc un triplet de numéros, par exemple $(5; 2; 9)$ .

On effectue les tirages avec remise : après chaque tirage, la boule est remise dans l'urne avant le tirage suivant. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
On effectue maintenant les tirages sans remise : une boule tirée n'est pas remise dans l'urne. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Comparer les deux résultats. Expliquer, sans refaire les calculs, pourquoi le nombre de tirages avec remise est nécessairement le plus grand des deux.
On revient aux tirages sans remise. Combien de tirages donnent des numéros rangés dans l'ordre strictement croissant, comme $(2; 5; 9)$ ?

Exercice 8 ★★★★ — Podiums, classements et permutations

k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutations

Le marathon d'une grande ville réunit $20$ coureurs, tous de niveaux différents : on suppose qu'il n'y a jamais d'ex æquo.

À l'arrivée, on décerne une médaille d'or, une médaille d'argent et une médaille de bronze. Combien de podiums différents sont possibles ?
Combien de classements complets des $20$ coureurs sont possibles ? Donner la valeur exacte à la calculatrice, puis un ordre de grandeur en écriture scientifique (arrondi à $10^{- 2}$ près sur la mantisse).
Les $8$ meilleurs coureurs sont qualifiés pour une finale. Combien de classements complets de cette finale sont possibles, toujours sans ex æquo ?
Une anagramme d'un mot est un mot (ayant un sens ou non) obtenu en permutant ses lettres. Combien d'anagrammes du mot MARTIN peut-on former, en comptant le mot lui-même ?

Exercice 9 ★★★★ — Mains de cartes et équipes

Combinaisons

Partie A — Mains de cartes. On dispose d'un jeu de $32$ cartes ( $8$ cartes dans chacune des $4$ couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique). Une main est un ensemble de $5$ cartes tirées simultanément : l'ordre dans lequel on reçoit les cartes ne compte pas.

Combien y a-t-il de mains possibles ?
Combien de mains ne contiennent que des cœurs ?
Combien de mains contiennent les $4$ as ?

Partie B — Constitution d'une équipe. Un club de basket compte $15$ joueurs. On veut former une équipe de $4$ joueurs, puis désigner un capitaine parmi les $4$ joueurs retenus.

a. On choisit d'abord les $4$ joueurs de l'équipe, puis le capitaine parmi eux. Combien de choix cette méthode donne-t-elle ?

b. On choisit d'abord le capitaine parmi les $15$ joueurs, puis les $3$ autres membres de l'équipe parmi les joueurs restants. Combien de choix cette méthode donne-t-elle ?

c. Vérifier que les deux méthodes donnent le même résultat. Était-ce prévisible ?

Exercice 10 ★★★★ — Ordre ou pas ordre ? Choisir le bon modèle

k-uplets et produit cartésienk-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutationsCombinaisons

Pour chacune des situations suivantes, indiquer si l'on compte des $k$ -uplets (résultat $n^{k}$ ), des $k$ -uplets d'éléments distincts (résultat $n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)$ ) ou des combinaisons (résultat $(\binom{n}{k})$ ). Justifier en répondant aux deux questions : l'ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles possibles ? Puis effectuer le calcul.

a. Un cadenas s'ouvre avec un code de $3$ chiffres, chacun choisi entre $0$ et $9$ .

b. Au tiercé, on parie sur les $3$ premiers chevaux dans l'ordre d'arrivée d'une course de $15$ chevaux (sans ex æquo).

c. Chez un glacier, on compose une coupe avec $2$ parfums différents choisis parmi $12$ .

d. Une classe de $28$ élèves désigne une délégation de $3$ élèves pour le conseil de vie lycéenne.

e. On forme un mot de $5$ lettres, ayant un sens ou non, avec les $26$ lettres de l'alphabet.

f. On tire simultanément $4$ cartes dans un jeu de $32$ cartes.

Exercice 11 ★★★★ — Symétrie et relation de Pascal en calculs

Propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, relation et triangle de Pascal)

Sans calculer ni l'un ni l'autre, justifier l'égalité $(\binom{20}{18}) = (\binom{20}{2})$ , puis calculer cette valeur commune.
En utilisant la propriété de symétrie, calculer :

a. $(\binom{15}{13})$
b. $(\binom{50}{49})$
c. $(\binom{9}{7})$
d. $(\binom{100}{98})$
En utilisant la relation de Pascal, compléter chaque égalité :

a. $(\binom{10}{4}) = (\binom{9}{?}) + (\binom{9}{?})$

b. $(\binom{15}{7}) = (\binom{14}{?}) + (\binom{14}{?})$

c. $(\binom{11}{5}) + (\binom{11}{6}) = (\binom{?}{?})$
Déterminer l'entier $n ⩾ 2$ tel que $(\binom{n}{2}) = 45$ .

Exercice 12 ★★★★ — Construire et exploiter le triangle de Pascal

Propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, relation et triangle de Pascal)

Dans le triangle de Pascal, la case située à la ligne $n$ et la colonne $k$ contient le coefficient binomial $(\binom{n}{k})$ . Chaque ligne commence et finit par $1$ , et d'après la relation de Pascal, chaque autre case est la somme de la case située juste au-dessus et de celle située au-dessus à gauche. Voici les lignes $0$ à $3$ :

$n \ k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$0$	$1$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$3$	$1$

Recopier ce tableau et le compléter jusqu'à la ligne $n = 7$ .
Lire dans le triangle la valeur de $(\binom{7}{3})$ .
Calculer la somme des coefficients de la ligne $n = 5$ et vérifier qu'elle vaut $2^{5}$ . Quel résultat du cours retrouve-t-on ?
Observer chaque ligne du triangle : que remarque-t-on ? Expliquer cette observation en une phrase, à l'aide d'une propriété des coefficients binomiaux.

Exercice 13 ★★★★ — Démontrer la relation de Pascal

Propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, relation et triangle de Pascal)Combinaisons

La relation de Pascal affirme que pour tous entiers $n$ et $k$ vérifiant $1 ⩽ k ⩽ n - 1$ :

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1}) .

C'est elle qui permet de construire le triangle de Pascal de proche en proche. On la démontre ici de deux manières. Cette démonstration est exigible au bac : l'objectif de l'exercice est de savoir refaire chacune des deux preuves sans aide.

Partie A : démonstration par le calcul

On rappelle que pour tous entiers $0 ⩽ k ⩽ n$ , on a $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Vérification sur un exemple. Calculer séparément $(\binom{5}{2})$ , $(\binom{4}{2})$ et $(\binom{4}{1})$ , puis vérifier que $(\binom{5}{2}) = (\binom{4}{2}) + (\binom{4}{1})$ .
On se place désormais dans le cas général, avec $1 ⩽ k ⩽ n - 1$ . Écrire $(\binom{n - 1}{k})$ et $(\binom{n - 1}{k - 1})$ sous forme de quotients de factorielles. Expliquer pourquoi les hypothèses sur $k$ garantissent que ces deux coefficients sont bien définis.
Justifier les égalités $k! = k \times (k - 1)!$ et $(n - k)! = (n - k) \times (n - k - 1)!$ .
En utilisant la question 3, montrer que

(\binom{n - 1}{k}) = \frac{(n - 1)! \times (n - k)}{k! (n - k)!} et (\binom{n - 1}{k - 1}) = \frac{(n - 1)! \times k}{k! (n - k)!} .

Additionner ces deux fractions, factoriser le numérateur, puis conclure.

Partie B : démonstration par un raisonnement de dénombrement

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments (avec $n ⩾ 2$ ) et $k$ un entier vérifiant $1 ⩽ k ⩽ n - 1$ . On fixe un élément $a$ de $E$ , et on s'intéresse aux parties de $E$ ayant exactement $k$ éléments.

Rappeler le nombre de parties de $E$ à $k$ éléments.
Combien y a-t-il de parties de $E$ à $k$ éléments qui ne contiennent pas $a$ ? On précisera dans quel ensemble sont alors choisis les $k$ éléments, et combien cet ensemble compte d'éléments.
Combien y a-t-il de parties de $E$ à $k$ éléments qui contiennent $a$ ? On pourra remarquer qu'une telle partie est entièrement déterminée par le choix de ses éléments autres que $a$ .
Expliquer pourquoi toute partie de $E$ à $k$ éléments appartient à exactement l'une des deux familles précédentes, puis conclure à l'aide du principe additif.
Pour s'approprier la preuve. On prend $E = {1; 2; 3; 4; 5}$ , $k = 2$ et $a = 5$ . Dresser la liste des parties de $E$ à $2$ éléments qui contiennent $5$ , puis la liste de celles qui ne le contiennent pas. Retrouver ainsi l'égalité de la question 1 de la partie A.

Exercice 14 ★★★★ — La somme des coefficients binomiaux

Propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, relation et triangle de Pascal)Nombre de parties d'un ensemble

L'objectif de cet exercice est de démontrer la formule suivante, valable pour tout entier naturel $n$ :

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} .

Autrement dit : la somme des coefficients de la ligne $n$ du triangle de Pascal vaut $2^{n}$ . Cette démonstration est exigible au bac ; on la mène ici par un double dénombrement, en comptant de deux façons différentes les parties d'un même ensemble.

Vérification. Écrire les cinq coefficients de la ligne $4$ du triangle de Pascal, calculer leur somme et vérifier qu'elle vaut bien $2^{4}$ .
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Rappeler pourquoi $E$ possède exactement $2^{n}$ parties. On pourra reprendre l'argument du cours : associer à chaque partie de $E$ un mot de $n$ lettres, chacune valant $0$ ou $1$ .
On compte maintenant les mêmes parties en les classant selon leur taille.

a. Pour un entier $k$ fixé ( $0 ⩽ k ⩽ n$ ), combien $E$ possède-t-il de parties ayant exactement $k$ éléments ?

b. Expliquer pourquoi toute partie de $E$ a une taille $k$ appartenant à ${0; 1; \dots; n}$ , et pourquoi deux familles de tailles différentes n'ont aucune partie en commun.

c. En déduire, à l'aide du principe additif, que le nombre total de parties de $E$ vaut $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k})$ .
Conclure la démonstration.
Application. Un ensemble $F$ possède exactement $1 024$ parties. Combien $F$ a-t-il d'éléments ?
Application. Soit $E$ un ensemble à $10$ éléments. Combien $E$ possède-t-il de parties qui ne sont ni vides ni égales à $E$ tout entier ?

Exercice 15 ★★★★ — Chemins dans une grille

CombinaisonsPrincipes additif et multiplicatif

On considère une grille rectangulaire de $6$ pas de largeur et $4$ pas de hauteur. On se déplace sur les lignes de cette grille, du point $A$ (coin inférieur gauche, de coordonnées $(0; 0)$ ) au point $B$ (coin supérieur droit, de coordonnées $(6; 4)$ ), en n'utilisant que deux types de déplacements élémentaires :

un pas vers la droite, noté $D$ ;
un pas vers le haut, noté $H$ .

Grille de 6 pas sur 4 : chemins de A à B par déplacements vers la droite ou vers le haut, point C en (2;1)

Un chemin de $A$ à $B$ est une succession de tels pas menant de $A$ à $B$ . Par exemple, le chemin qui longe d'abord tout le bas de la grille puis monte le long du bord droit s'écrit $D D D D D D H H H H$ .

Justifier que tout chemin de $A$ à $B$ comporte exactement $10$ pas, dont exactement $4$ pas $H$ et $6$ pas $D$ . En déduire qu'un chemin de $A$ à $B$ correspond exactement à un mot de $10$ lettres écrit avec des $D$ et des $H$ , contenant exactement $4$ lettres $H$ .
Expliquer pourquoi un tel mot est entièrement déterminé par le choix des positions de ses lettres $H$ , puis en déduire le nombre total de chemins de $A$ à $B$ .
On considère maintenant le point $C$ de coordonnées $(2; 1)$ , marqué sur la figure.

a. Combien y a-t-il de chemins de $A$ à $C$ ? de $C$ à $B$ ?

b. En déduire le nombre de chemins de $A$ à $B$ passant par $C$ . On précisera le principe de dénombrement utilisé.
Combien y a-t-il de chemins de $A$ à $B$ évitant $C$ ?

Exercice 16 ★★★★ — Le triangle de Pascal en Python

Propriétés des coefficients binomiaux (symétrie, relation et triangle de Pascal)

La relation de Pascal permet de construire le triangle de Pascal ligne par ligne : la ligne $n$ commence et finit par $1$ , et chaque coefficient intérieur est la somme des deux coefficients situés au-dessus de lui dans la ligne $n - 1$ :

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) .

On veut écrire un programme Python qui génère la ligne $n$ du triangle, représentée par la liste de ses coefficients. Par exemple, la ligne $2$ est représentée par la liste [1, 2, 1].

Le script ci-dessous est à compléter. La fonction ligne_suivante(L) reçoit la liste L des coefficients de la ligne $n - 1$ et renvoie la liste des coefficients de la ligne $n$ . La fonction ligne(n) part de la ligne $0$ , c'est-à-dire de la liste [1], et applique ligne_suivante autant de fois que nécessaire.

def ligne_suivante(L):
    M = [1]
    for i in range(1, len(L)):
        M.append(...)
    M.append(...)
    return M

def ligne(n):
    L = [1]
    for k in range(...):
        L = ligne_suivante(L)
    return L

Compléter les trois pointillés du script. On justifiera brièvement chaque complétion à l'aide de la relation de Pascal.
Sans exécuter le script sur machine, dérouler à la main les appels successifs et donner la liste renvoyée par ligne(5).
On souhaite maintenant afficher, pour un entier $n$ donné, la somme des coefficients de la ligne $n$ . Écrire quelques lignes de code utilisant la fonction ligne pour calculer et afficher cette somme, puis donner les valeurs obtenues pour $n = 1$ , $2$ , $3$ , $4$ et $5$ . Quelle conjecture peut-on formuler ?
Question débranchée. Le coefficient $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ est défini comme un quotient : rien dans cette formule ne dit à première vue que le résultat est un nombre entier. Expliquer pourquoi la construction du triangle par la relation de Pascal garantit que tous les coefficients binomiaux sont des entiers.

Exercice 17 ★★★★ — Constituer une équipe sous contraintes

CombinaisonsPrincipes additif et multiplicatif

Un club de randonnée compte $24$ membres : $14$ femmes et $10$ hommes. Le club doit constituer une commission de $5$ personnes chargée d'organiser le séjour d'été. Une commission est un simple groupe de $5$ membres : il n'y a ni ordre ni rôle attribué.

Parmi les membres figurent Anna et Karim.

Combien de commissions différentes peut-on former ?
Combien de commissions comportent exactement $2$ hommes (et donc $3$ femmes) ?
Combien de commissions comportent au moins un homme ? On pourra d'abord compter les commissions qui ne comportent aucun homme.
Combien de commissions contiennent à la fois Anna et Karim ?
Combien de commissions contiennent Anna ou Karim (c'est-à-dire au moins l'un des deux) ? On pourra d'abord compter les commissions qui ne contiennent ni Anna ni Karim.

Exercice 18 ★★★★ — Anagrammes avec lettres répétées

k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutationsCombinaisonsPrincipes additif et multiplicatif

Exercice défi. On appelle anagramme d'un mot toute suite de lettres obtenue en réordonnant les lettres de ce mot, qu'elle ait un sens ou non. Par exemple, $SHTAM$ est une anagramme de $MATHS$ . Deux anagrammes sont identiques lorsqu'elles s'écrivent exactement de la même façon : ainsi, échanger entre eux deux $A$ d'un mot ne produit pas une nouvelle anagramme.

Un mot sans répétition. Le mot $MATHS$ est formé de $5$ lettres toutes distinctes. Combien possède-t-il d'anagrammes ? On précisera le raisonnement.
Un mot avec répétitions : ANANAS. Le mot $ANANAS$ est formé de $6$ lettres : trois $A$ , deux $N$ et un $S$ . Le raisonnement de la question 1 ne s'applique plus directement. On compte alors les anagrammes en plaçant les lettres dans les $6$ positions numérotées de $1$ à $6$ .

a. Expliquer pourquoi une anagramme de $ANANAS$ est entièrement déterminée par le choix des positions occupées par les $A$ , puis par le choix des positions occupées par les $N$ .

b. De combien de façons peut-on choisir les $3$ positions des $A$ parmi les $6$ positions ?

c. Ces positions étant fixées, de combien de façons peut-on choisir les $2$ positions des $N$ parmi les positions restantes ? Que reste-t-il alors pour le $S$ ?

d. En déduire le nombre d'anagrammes de $ANANAS$ .
Vérification par un autre comptage. On distingue provisoirement les lettres répétées en les numérotant : $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $N_{1}$ , $N_{2}$ , $S$ , ce qui donne $6$ lettres toutes distinctes.

a. Combien y a-t-il de mots de $6$ lettres utilisant chacune de ces $6$ lettres numérotées exactement une fois ?

b. On efface maintenant les numéros. Montrer que chaque anagramme de $ANANAS$ provient d'exactement $3! \times 2!$ mots numérotés différents. On expliquera d'où viennent les facteurs $3!$ et $2!$ .

c. En déduire une seconde expression du nombre d'anagrammes de $ANANAS$ , et vérifier la cohérence avec la question 2.
Parmi les anagrammes de $ANANAS$ , combien commencent et finissent par un $A$ ? On pourra placer deux $A$ aux positions $1$ et $6$ , puis compter les façons de répartir les quatre lettres restantes sur les positions $2$ à $5$ par la méthode des placements.

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On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

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n \ k

0

1

2

3

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

def ligne_suivante(L): M = [1] for i in range(1, len(L)): M.append(...) M.append(...) return M def ligne(n): L = [1] for k in range(...): L = ligne_suivante(L) return L

Exercice 18 ★★★★ — Anagrammes avec lettres répétées

k-uplets d'éléments distincts, factorielle et permutationsCombinaisonsPrincipes additif et multiplicatif

Un mot sans répétition. Le mot $MATHS$ est formé de $5$ lettres toutes distinctes. Combien possède-t-il d'anagrammes ? On précisera le raisonnement.
Un mot avec répétitions : ANANAS. Le mot $ANANAS$ est formé de $6$ lettres : trois $A$ , deux $N$ et un $S$ . Le raisonnement de la question 1 ne s'applique plus directement. On compte alors les anagrammes en plaçant les lettres dans les $6$ positions numérotées de $1$ à $6$ .

a. Expliquer pourquoi une anagramme de $ANANAS$ est entièrement déterminée par le choix des positions occupées par les $A$ , puis par le choix des positions occupées par les $N$ .

b. De combien de façons peut-on choisir les $3$ positions des $A$ parmi les $6$ positions ?

c. Ces positions étant fixées, de combien de façons peut-on choisir les $2$ positions des $N$ parmi les positions restantes ? Que reste-t-il alors pour le $S$ ?

d. En déduire le nombre d'anagrammes de $ANANAS$ .
Vérification par un autre comptage. On distingue provisoirement les lettres répétées en les numérotant : $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $N_{1}$ , $N_{2}$ , $S$ , ce qui donne $6$ lettres toutes distinctes.

a. Combien y a-t-il de mots de $6$ lettres utilisant chacune de ces $6$ lettres numérotées exactement une fois ?

b. On efface maintenant les numéros. Montrer que chaque anagramme de $ANANAS$ provient d'exactement $3! \times 2!$ mots numérotés différents. On expliquera d'où viennent les facteurs $3!$ et $2!$ .

c. En déduire une seconde expression du nombre d'anagrammes de $ANANAS$ , et vérifier la cohérence avec la question 2.
Parmi les anagrammes de $ANANAS$ , combien commencent et finissent par un $A$ ? On pourra placer deux $A$ aux positions $1$ et $6$ , puis compter les façons de répartir les quatre lettres restantes sur les positions $2$ à $5$ par la méthode des placements.