Statistiques et probabilités

Quel est le fruit préféré de ta classe ? Combien de déchets sont triés à la cantine ? Va-t-il pleuvoir demain ? Les données sont partout autour de toi, et le hasard aussi. Dans ce chapitre, tu vas apprendre deux choses : mener une véritable enquête pour collecter et organiser des données, puis mesurer les chances qu'un évènement se produise avec un nombre appelé probabilité.

Mener une enquête statistique

La statistique, c'est l'art de répondre à une question en collectant des informations. Mais attention : une bonne enquête ne s'improvise pas ! Avant de poser la moindre question autour de toi, il faut la préparer soigneusement, comme un scientifique prépare son expérience.

Suivons ces étapes avec la classe de 6e B, qui compte $24$ élèves. La question choisie : « quel est ton fruit préféré parmi banane, fraise, pomme et kiwi ? ». Chaque élève répond sur un petit papier, la classe dépouille les réponses et obtient ce tableau :

Première vérification : $8+7+6+3=24$. Le compte est bon, aucune réponse n'a été perdue ! La classe représente ensuite ses résultats par un diagramme en barres, beaucoup plus parlant qu'une liste de nombres :

D'un seul coup d'œil, on voit que la banane arrive en tête et que le kiwi ferme la marche. C'est toute la force d'un bon diagramme.

Une enquête ne porte pas toujours sur des réponses à une question : elle peut aussi porter sur des mesures. Par exemple, relever la température dans la cour chaque matin pendant un mois, mesurer la hauteur d'une plante chaque semaine, ou peser les déchets de la cantine chaque jour. Ce sont d'excellents sujets d'enquête, souvent liés à l'actualité : le climat, le tri des déchets, les oiseaux qui fréquentent la cour de ton collège (la biodiversité)… Les données réelles sont les plus intéressantes à étudier, et elles t'apprennent à regarder le monde avec un œil critique.

Organiser les données : les tableaux

Une fois les données collectées, il faut les ranger. L'outil de base du statisticien, c'est le tableau.

Pendant le dépouillement, on utilise souvent un tableau de comptage : à chaque réponse, on trace un petit bâton dans la bonne case, et on regroupe les bâtons par paquets de cinq (quatre bâtons verticaux barrés d'un cinquième) pour compter plus vite à la fin. Une fois le comptage terminé, on recopie les totaux dans un tableau propre, comme celui des fruits de la 6e B.

Filtrer un tableau selon un critère

Un tableau peut contenir beaucoup d'informations. Pour répondre à une question précise, on n'a souvent besoin que de certaines lignes : on dit qu'on filtre le tableau. Voici le registre d'un refuge pour animaux :

Une famille cherche à adopter un chien de moins de $3$ ans. Quelles lignes garder ? Il faut vérifier deux conditions à la fois : la colonne « Animal » doit indiquer « chien », et la colonne « Âge » doit indiquer un nombre strictement inférieur à $3$. En parcourant le tableau ligne par ligne, seuls Filou ($2$ ans) et Vanille ($1$ an) conviennent. Rex et Nougat sont bien des chiens, mais ils sont trop âgés ; Câline a moins de $3$ ans, mais c'est un chat.

C'est exactement ce que fait un tableur ou un site internet quand tu coches des filtres (« taille S », « moins de $20$ € »…) : il ne garde que les lignes du tableau qui répondent à tes conditions.

Lire des diagrammes et des courbes

Tu sais déjà lire des diagrammes depuis le cours moyen. En 6e, on consolide ces réflexes, car bien lire une représentation graphique est indispensable, dans toutes les matières et dans la vie de tous les jours.

Le diagramme en barres

Reprenons le diagramme des fruits de la 6e B :

La hauteur de chaque barre se lit sur l'axe vertical : elle donne le nombre d'élèves. La barre de la banane monte jusqu'à $8$, celle du kiwi jusqu'à $3$. On peut aussi comparer : la fraise a été choisie par un élève de moins que la banane, car $8-7=1$.

Le diagramme circulaire

Les mêmes $24$ élèves ont indiqué leur activité du mercredi :

Dans un diagramme circulaire, c'est la part du disque qui compte. Le sport occupe la moitié du disque : la moitié des $24$ élèves, soit $12$ élèves, font du sport. La musique occupe un quart du disque, soit $6$ élèves. La part du dessin est deux fois plus grande que celle du théâtre : $4$ élèves font du dessin et $2$ font du théâtre. Vérifions : $12+6+4+2=24$. Tout le monde est là !

La courbe

La 6e B a aussi semé un plant de haricot et mesuré sa hauteur chaque semaine :

Une courbe montre une évolution au fil du temps. Pour lire une valeur, on part de l'axe horizontal (la semaine), on monte jusqu'à la courbe, puis on lit sur l'axe vertical : à la semaine $3$, le plant mesure $9$ cm. On peut aussi étudier la progression : entre la semaine $3$ et la semaine $4$, le plant a grandi de $14-9=5$ cm, c'est sa plus forte pousse de la période. À la fin, la croissance ralentit : seulement $1$ cm entre les semaines $5$ et $6$.

Un dernier conseil, celui de l'esprit critique : une représentation peut être trompeuse. Par exemple, si l'axe vertical d'un diagramme en barres ne commence pas à zéro, une petite différence peut paraître énorme. Avant de te laisser impressionner par un graphique (dans une publicité, sur les réseaux…), vérifie toujours les axes et les unités : c'est le réflexe d'un bon citoyen autant que d'un bon mathématicien.

Les probabilités

Le hasard et l'échelle des probabilités

Lancer un dé, jouer à pile ou face, tirer une boule dans un sac sans regarder : dans toutes ces situations, impossible de prévoir le résultat à l'avance, même si on connaît parfaitement la liste des résultats possibles. On dit que ce sont des expériences aléatoires (« aléatoire » vient d'un mot latin qui signifie… jeu de dés !).

On peut placer les probabilités sur une échelle, comme des nombres sur une droite graduée de $0$ à $1$ :

• $I$ : « obtenir $7$ » en lançant un dé ordinaire. Impossible, les faces vont de $1$ à $6$ : probabilité $0$.
• $R$ : « tirer la boule rouge » dans un sac qui contient $1$ boule rouge et $3$ boules bleues : probabilité ${\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$.
• $P$ : « obtenir pile » en lançant une pièce équilibrée. Autant de chances que face : probabilité ${\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$.
• $C$ : « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » en lançant un dé. Certain, cela arrive à tous les coups : probabilité $1$.

Des « chances » au quotient

Au cours moyen, tu disais : « j'ai $3$ chances sur $10$ de gagner ». En 6e, on franchit une étape importante : « $3$ chances sur $10$ », c'est un nombre, le quotient de $3$ par $10$. Et ce nombre, tu sais l'écrire de trois façons !

Fraction, écriture décimale, pourcentage : trois habits pour le même nombre. Choisis celui qui rend ta réponse la plus claire.

Calculer une probabilité quand tous les résultats ont la même chance

Dans l'urne de tout à l'heure, chaque boule avait exactement la même chance d'être tirée, parce qu'elles étaient indiscernables au toucher. De même, un dé équilibré (bien symétrique, non truqué) donne la même chance à chacune de ses $6$ faces, une pièce équilibrée donne la même chance à pile et à face, et une roue de loterie partagée en secteurs égaux donne la même chance à chaque secteur. On dit qu'il y a équiprobabilité. Dans ce cas, calculer une probabilité devient un simple comptage.

Répéter une expérience : ce que dit la proportion

La probabilité d'obtenir pile est $\mathrm{0,5}$. Cela veut-il dire qu'en lançant une pièce $10$ fois, tu obtiendras exactement $5$ piles ? Pas du tout ! Le hasard ne fonctionne pas comme ça sur un petit nombre de lancers : tu peux très bien obtenir $7$ piles, ou seulement $3$. Mais que se passe-t-il si on lance la pièce très, très longtemps ? La 6e B a fait l'expérience (avec l'aide d'un ordinateur) : $1000$ lancers d'une pièce équilibrée, en notant après chaque lancer la proportion de « pile » obtenue depuis le début.

Au début, la courbe s'agite dans tous les sens : la proportion de « pile » monte, descend, s'éloigne de $\mathrm{0,5}$. Mais plus le nombre de lancers grandit, plus elle se calme et se rapproche de la droite en pointillés, tracée à $\mathrm{0,5}$ : la probabilité calculée.

Une dernière chose, très importante : le dé et la pièce ne se souviennent de rien. Si tu viens d'obtenir trois $6$ d'affilée, la probabilité d'obtenir un $6$ au lancer suivant est toujours ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ : ni plus (le dé n'est pas « en forme »), ni moins (le $6$ n'est pas « épuisé »). Chaque lancer repart de zéro, comme si c'était le premier. Beaucoup de joueurs adultes se trompent là-dessus… pas toi !

Ce qu'il faut retenir

• Une enquête statistique suit $5$ étapes : se poser une question précise, choisir qui interroger, préparer le recueil, collecter les données, les organiser et les interpréter.
• Un tableau organise les données ; on peut le filtrer en gardant uniquement les lignes qui vérifient un critère.
• Devant un diagramme ou une courbe : lire le titre, les axes et les unités avant de répondre, et garder l'esprit critique.
• Une probabilité est un nombre entre $0$ et $1$ : $0$ pour un évènement impossible, $1$ pour un évènement certain.
• « $a$ chances sur $b$ » est le nombre ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, qu'on peut écrire en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage : ${\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}=30\mathrm{\%}$.
• Quand tous les résultats ont la même chance (dé équilibré, boules indiscernables au toucher) : probabilité $=$ nombre de résultats qui réalisent l'évènement $÷$ nombre total de résultats possibles.
• Deux résultats possibles ne veut pas dire une chance sur deux !
• En répétant une expérience un grand nombre de fois, la proportion observée se rapproche de la probabilité ; et le dé « ne se souvient » jamais des lancers précédents.