Proportionnalité

Imagine : ta recette de crêpes est prévue pour $4$ personnes, mais ce soir vous êtes $8$ à table. Que fais-tu ? Tu doubles tout : deux fois plus d'œufs, deux fois plus de farine, deux fois plus de lait. Sans le savoir, tu viens d'utiliser la proportionnalité ! C'est la même idée quand tu achètes du pain : si une baguette coûte $\mathrm{1,20}$ €, tu devines que trois baguettes coûteront trois fois plus. Et quand un architecte dessine le plan d'une maison, il rétrécit toutes les longueurs de la même façon pour qu'elles tiennent sur sa feuille.

Dans ce chapitre, tu vas apprendre à reconnaître ces situations où deux grandeurs évoluent « ensemble », à les organiser dans des tableaux, et surtout à répondre à des questions concrètes grâce à trois outils : le coefficient de proportionnalité, les propriétés de linéarité et le retour à l'unité. Pour finir, tu découvriras comment lire un plan grâce à son échelle. C'est parti !

Reconnaître une situation de proportionnalité

Commençons à la boulangerie. Une baguette coûte $\mathrm{1,20}$ €. Combien coûtent $2$ baguettes ? Deux fois plus : $2\times \mathrm{1,20}=\mathrm{2,40}$ €. Et $5$ baguettes ? Cinq fois plus : $5\times \mathrm{1,20}=6$ €. Tu remarques que pour passer du nombre de baguettes au prix, on multiplie toujours par le même nombre : $\mathrm{1,20}$. C'est exactement cela, la proportionnalité.

Attention : dans la vraie vie, toutes les situations ne sont pas proportionnelles, loin de là ! Prends ton âge et ta taille. À $1$ an, un enfant mesure environ $75$ cm. Si la taille était proportionnelle à l'âge, à $10$ ans il mesurerait $10$ fois plus, soit $750$ cm : plus de $7$ mètres de haut ! C'est absurde : l'âge et la taille ne sont pas proportionnels.

Autre exemple : un cinéma propose une carte d'abonnement à $5$ €, puis chaque séance coûte $4$ €. Une séance revient donc à $5+4=9$ €, mais deux séances reviennent à $5+8=13$ €, et non pas au double de $9$ €. À cause du prix fixe de la carte, ce n'est pas une situation de proportionnalité. En revanche, dans un restaurant où le menu est à prix unique, le total est bien proportionnel au nombre de menus commandés : $3$ menus coûtent bien $3$ fois le prix d'un menu.

Tu as maintenant le bon réflexe : pour savoir si un tableau est proportionnel, tu divises chaque nombre de la deuxième ligne par le nombre au-dessus de lui. Si tu trouves toujours le même résultat, c'est gagné !

Le tableau et le coefficient de proportionnalité

Quand une situation est proportionnelle, on aime bien ranger les valeurs dans un tableau, comme celui des baguettes. Ce nombre « magique » qui permet de passer de la première ligne à la deuxième mérite un nom.

Dans le tableau des baguettes, le coefficient de proportionnalité est $\mathrm{1,20}$. Et ce nombre n'est pas tombé du ciel : c'est tout simplement le prix d'une baguette ! Le coefficient a presque toujours un sens concret : prix d'un objet, masse d'un gâteau, longueur d'une planche… Prends l'habitude de te demander ce qu'il représente, cela t'aidera à vérifier tes calculs.

Les propriétés de linéarité

Le coefficient, c'est bien… mais parfois la division ne tombe pas juste, ou bien il y a plus malin ! Regarde : à la boulangerie, $2$ croissants coûtent $\mathrm{2,30}$ € et $5$ croissants coûtent $\mathrm{5,75}$ €. Combien coûtent $7$ croissants ? Pas besoin de coefficient : $7$ croissants, c'est $2$ croissants plus $5$ croissants. Le prix est donc $\mathrm{2,30}+\mathrm{5,75}=\mathrm{8,05}$ €. Et $10$ croissants ? C'est $5$ fois $2$ croissants, donc $5$ fois le prix : $5\times \mathrm{2,30}=\mathrm{11,50}$ €. Ces deux astuces portent un nom : les propriétés de linéarité.

Retiens bien : quand les nombres de la première ligne « se combinent bien » (l'un est le double de l'autre, ou leur somme donne la valeur cherchée), la linéarité est souvent plus rapide et plus maligne que le calcul du coefficient. Les bons calculateurs commencent toujours par observer les nombres avant de se lancer !

Le retour à l'unité

Voici la troisième méthode, sans doute la plus naturelle de toutes. Au marché, $3$ kg de pommes coûtent $\mathrm{5,40}$ €. Combien coûtent $5$ kg ? Ici, $5$ n'est ni le double ni la moitié de $3$… L'idée : passer par 1 kg. Si $3$ kg coûtent $\mathrm{5,40}$ €, alors $1$ kg coûte trois fois moins : $\mathrm{5,40}÷3=\mathrm{1,80}$ €. Et maintenant que je connais le prix d'un kilogramme, je peux tout calculer : $5$ kg coûtent $5\times \mathrm{1,80}=9$ €.

Tu l'as peut-être remarqué : la valeur pour une unité, c'est exactement le coefficient de proportionnalité du tableau ! Le retour à l'unité, c'est une façon très concrète de le trouver et de s'en servir. Son grand avantage : une fois la valeur de l'unité connue, tu peux répondre à n'importe quelle question ($5$ kg, $8$ kg, $\mathrm{2,5}$ kg…).

Échelles : lire un plan

Terminons par une application que tu croises souvent sans y penser : les plans et les cartes. Impossible de dessiner ta chambre en vraie grandeur sur une feuille ! On rétrécit donc toutes les longueurs de la même façon, et on indique la règle du jeu : c'est l'échelle du plan.

Comme toutes les longueurs sont rétrécies de la même façon, les longueurs sur le plan et les longueurs réelles sont proportionnelles : un plan, c'est de la proportionnalité en images ! Observe ce plan d'une chambre, dessiné à l'échelle « $1$ cm sur le plan représente $1$ m dans la réalité » :

Sur le plan, la chambre mesure $4$ cm de long et $3$ cm de large. Dans la réalité, chaque centimètre vaut $1$ m : la chambre mesure donc $4$ m de long et $3$ m de large.

Bien sûr, toutes les échelles ne sont pas aussi simples. Sur une carte routière, on lira plutôt « $1$ cm sur la carte représente $2$ km dans la réalité » : pour passer du plan à la réalité, on multiplie alors les centimètres par $2$ pour obtenir des kilomètres. La démarche reste exactement la même.

Quelle méthode choisir ?

Tu disposes maintenant de trois outils pour résoudre un problème de proportionnalité. Aucun n'est meilleur que les autres dans l'absolu : tout dépend des nombres de l'énoncé !

Un dernier mot pour finir l'année en beauté. Les pourcentages, que tu as étudiés au chapitre précédent, sont en réalité un cas particulier de proportionnalité : une proportion ramenée à $100$. La proportionnalité est l'une des idées les plus importantes de tout le collège : en 5e, tu approfondiras ces techniques et tu en découvriras de nouvelles. En attendant, ouvre l'œil : recettes, courses, plans, bricolage… la proportionnalité est partout autour de toi !