Initiation à l'algèbre

• $8+5=15-2$ est une égalité vraie : le membre de gauche vaut $13$, et le membre de droite vaut aussi $13$. Les deux membres désignent le même nombre, même si aucun des deux n'est « le résultat » de l'autre.
• $4\times 6=25$ est une égalité fausse : le membre de gauche vaut $24$, et $24$ n'est pas égal à $25$.
• $9+1=2\times 5$ est vraie : chaque membre vaut $10$.

Complétons l'égalité $178-\dots =6\times 8$.

1. Le membre de droite est entièrement connu : $6\times 8=48$.
2. La question devient : « $178$ moins quel nombre donne $48$ ? » Pour passer de $178$ à $48$, il faut retirer $178-48=130$.
3. Vérification : $178-130=48$ et $6\times 8=48$. Les deux membres valent $48$, l'égalité est vraie. Le nombre manquant est $130$.

Dans une classe de $35$ élèves, $20$ sont déjà montés dans le bus. Combien d'élèves attendent encore ?

Le tout vaut $35$, la partie connue vaut $20$. La partie inconnue vaut donc :

Il reste $15$ élèves à monter dans le bus. Vérification : $20+15=35$, le compte est bon.

Zoé et Hugo ont $48$ cartes à eux deux. Hugo en a $12$ de plus que Zoé. Combien de cartes possède chacun ?

Si on met de côté les $12$ cartes que Hugo a en plus, il reste $48-12=36$ cartes, réparties en deux barres identiques : celle de Zoé et celle de Hugo. Chaque barre vaut donc $36÷2=18$.

Zoé a $18$ cartes, et Hugo en a $18+12=30$. Vérification : $18+30=48$, tout est cohérent.

Sur le plateau de gauche, il y a un sac de masse inconnue et une masse de $300$ g. Sur le plateau de droite, une masse de $800$ g. La balance est équilibrée : combien pèse le sac ?

Imagine qu'on remplace la masse de $800$ g par une masse de $500$ g et une masse de $300$ g : la balance reste équilibrée, car $500+300=800$. Maintenant, enlève $300$ g de chaque côté : l'équilibre est conservé, et il reste le sac à gauche face à $500$ g à droite.

Le sac pèse donc $500$ g. Vérification : $500+300=800$, la balance est bien équilibrée.

Voici un programme de calcul :

• choisir un nombre ;
• ajouter $2$ ;
• multiplier le résultat par $4$.

Exécutons-le avec $5$ comme nombre de départ : $5+2=7$, puis $7\times 4=28$. Le résultat est $28$.

Exécutons-le avec $\mathrm{2,5}$ : $\mathrm{2,5}+2=\mathrm{4,5}$, puis $\mathrm{4,5}\times 4=18$. Le résultat est $18$.

Le même programme donne des résultats différents selon le nombre de départ : c'est toute sa force.

Avec le programme ci-dessus, le résultat obtenu est $36$. Quel était le nombre de départ ?

• La dernière instruction était « multiplier par $4$ » : on la défait en divisant, $36÷4=9$.
• L'instruction précédente était « ajouter $2$ » : on la défait en soustrayant, $9-2=7$.

Le nombre de départ était $7$. Vérification dans le bon sens : $7+2=9$, puis $9\times 4=36$. C'est gagné !

• Dans la suite $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $\dots$, on passe d'un nombre au suivant en ajoutant $3$. Le nombre suivant est donc $14+3=17$.
• Dans la suite $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $\dots$, on multiplie par $2$ à chaque étape. Le nombre suivant est $16\times 2=32$. Attention au piège : au début, on pourrait croire qu'on « ajoute $1$ », mais $2+1=3$ et non $4$. Vérifie toujours ta règle sur plusieurs passages !

Observe ce motif : à chaque étape, une rangée de carrés gris est encadrée par $2$ carrés blancs, un à chaque bout.

Comptons les carrés à chaque étape :

D'une étape à la suivante, on ajoute $1$ carré gris : le total augmente de $1$.

Dans notre motif : à l'étape numéro $N$, il y a $N$ carrés gris (ça change) et toujours $2$ carrés blancs (ça ne change pas). Le nombre total de carrés est donc $N+2$.

À l'étape $50$, il y a donc $50+2=52$ carrés, sans avoir dessiné un seul carré. Le tableau confirme la formule : à l'étape $10$, on retrouve bien $10+2=12$ carrés.

Sur un site, un tee-shirt coûte $12$ €, et la livraison coûte $5$ € quelle que soit la taille de la commande.

• Pour $1$ tee-shirt, on paie $(1\times 12)+5=17$ €.
• Pour $2$ tee-shirts, on paie $(2\times 12)+5=29$ €.
• Pour $10$ tee-shirts, on paie $(10\times 12)+5=125$ €.

À chaque fois, le calcul a la même structure : le nombre de tee-shirts multiplié par $12$, plus $5$ pour la livraison.

Utilisons l'expression $(N\times 12)+5$ pour une commande de $3$ tee-shirts. On remplace $N$ par $3$ :

La commande coûte $41$ €. Une seule expression, et tous les prix possibles à portée de main !