6ᵉ · Chapitre 06 · Nombres et calculs

Initiation à l'algèbre

Problèmes à nombres inconnus (schémas en barre, balances), motifs évolutifs et régularités.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Problèmes à nombres inconnus (schémas en barre, balances)
Motifs évolutifs et régularités

Un détective ne connaît pas le coupable au début de son enquête : il part des indices et raisonne jusqu'à le démasquer. En mathématiques, c'est pareil ! Dans ce chapitre, tu vas apprendre à raisonner sur des nombres que tu ne connais pas encore : des nombres cachés dans une égalité, dans un schéma, sur une balance ou derrière un motif. À la fin, tu sauras même les retrouver sans jamais les avoir vus.

Le signe « = » : une vraie balance

Depuis le primaire, tu utilises le signe $=$ surtout pour écrire le résultat d'un calcul, comme dans $7 + 8 = 15$ . Mais le signe $=$ dit beaucoup plus que « ça donne » : il affirme que ce qui est écrit à sa gauche et ce qui est écrit à sa droite désignent exactement le même nombre.

Définition

Une égalité est une écriture formée de deux membres séparés par le signe $=$ .

L'égalité est vraie lorsque les deux membres désignent le même nombre. Sinon, elle est fausse.

Exemple

$8 + 5 = 15 - 2$ est une égalité vraie : le membre de gauche vaut $13$ , et le membre de droite vaut aussi $13$ . Les deux membres désignent le même nombre, même si aucun des deux n'est « le résultat » de l'autre.
$4 \times 6 = 25$ est une égalité fausse : le membre de gauche vaut $24$ , et $24$ n'est pas égal à $25$ .
$9 + 1 = 2 \times 5$ est vraie : chaque membre vaut $10$ .

Une égalité peut aussi contenir un nombre manquant, représenté par un trou, un point d'interrogation ou un petit dessin. Ton travail de détective : retrouver ce nombre pour que l'égalité soit vraie.

Méthode

Pour compléter une égalité à trous :

Calcule d'abord le membre entièrement connu (celui qui n'a pas de trou).
Pose-toi la question en français : « quel nombre faut-il mettre dans le trou pour obtenir ce résultat ? »
Trouve le nombre manquant, puis vérifie en recalculant les deux membres.

Exemple

Complétons l'égalité $178 - \dots = 6 \times 8$ .

Le membre de droite est entièrement connu : $6 \times 8 = 48$ .
La question devient : « $178$ moins quel nombre donne $48$ ? » Pour passer de $178$ à $48$ , il faut retirer $178 - 48 = 130$ .
Vérification : $178 - 130 = 48$ et $6 \times 8 = 48$ . Les deux membres valent $48$ , l'égalité est vraie. Le nombre manquant est $130$ .

Petite anecdote pour plus tard : au cycle 4, une égalité qui contient un nombre inconnu s'appellera une équation. Tu es donc déjà en train de préparer le terrain !

Les schémas en barre

Quand un problème contient un nombre inconnu, un bon dessin vaut mieux qu'un long discours. Le schéma en barre est l'outil parfait pour ça.

Définition

Un schéma en barre représente les nombres d'un problème par des barres rectangulaires : plus le nombre est grand, plus la barre est longue. Le nombre inconnu est représenté par une barre marquée « ? ».

Méthode

Le schéma partie-tout. Quand un total est découpé en plusieurs parties, on dessine une grande barre pour le tout, découpée en morceaux pour les parties.

Si on cherche une partie : on retire du tout les parties connues (une soustraction).
Si on cherche le tout : on additionne toutes les parties.

Exemple

Dans une classe de $35$ élèves, $20$ sont déjà montés dans le bus. Combien d'élèves attendent encore ?

Le tout vaut $35$ , la partie connue vaut $20$ . La partie inconnue vaut donc :

? = 35 - 20 = 15

Il reste $15$ élèves à monter dans le bus. Vérification : $20 + 15 = 35$ , le compte est bon.

Méthode

Le schéma de comparaison. Quand une quantité dépasse l'autre, on dessine deux barres l'une sous l'autre : la plus grande est formée de la même barre que la petite, plus un morceau en plus.

Retire du total le morceau « en plus » : il reste deux barres identiques.
Partage ce qui reste en deux parts égales pour trouver la petite barre.
Ajoute le morceau en plus pour retrouver la grande.

Exemple

Zoé et Hugo ont $48$ cartes à eux deux. Hugo en a $12$ de plus que Zoé. Combien de cartes possède chacun ?

Si on met de côté les $12$ cartes que Hugo a en plus, il reste $48 - 12 = 36$ cartes, réparties en deux barres identiques : celle de Zoé et celle de Hugo. Chaque barre vaut donc $36 \div 2 = 18$ .

Zoé a $18$ cartes, et Hugo en a $18 + 12 = 30$ . Vérification : $18 + 30 = 48$ , tout est cohérent.

Les balances

Autre façon de voir une égalité : une balance à deux plateaux. Quand la balance est équilibrée, les deux plateaux portent exactement la même masse, comme les deux membres d'une égalité vraie désignent le même nombre.

Propriété

Une balance équilibrée reste équilibrée si on enlève (ou si on ajoute) la même chose sur les deux plateaux.

C'est le grand principe qui permet de retrouver une masse inconnue sans jamais ouvrir le sac !

Exemple

Sur le plateau de gauche, il y a un sac de masse inconnue et une masse de $300$ g. Sur le plateau de droite, une masse de $800$ g. La balance est équilibrée : combien pèse le sac ?

Imagine qu'on remplace la masse de $800$ g par une masse de $500$ g et une masse de $300$ g : la balance reste équilibrée, car $500 + 300 = 800$ . Maintenant, enlève $300$ g de chaque côté : l'équilibre est conservé, et il reste le sac à gauche face à $500$ g à droite.

Le sac pèse donc $500$ g. Vérification : $500 + 300 = 800$ , la balance est bien équilibrée.

Retiens l'idée : pour découvrir un nombre caché, on peut enlever la même chose des deux côtés jusqu'à ce qu'il se retrouve tout seul face à sa valeur.

Les programmes de calcul

Définition

Un programme de calcul est une suite d'instructions à effectuer dans l'ordre, à partir d'un nombre de départ. En suivant les instructions une par une, on obtient un résultat.

Exemple

Voici un programme de calcul :

choisir un nombre ;
ajouter $2$ ;
multiplier le résultat par $4$ .

Exécutons-le avec $5$ comme nombre de départ : $5 + 2 = 7$ , puis $7 \times 4 = 28$ . Le résultat est $28$ .

Exécutons-le avec $2,5$ : $2,5 + 2 = 4,5$ , puis $4,5 \times 4 = 18$ . Le résultat est $18$ .

Le même programme donne des résultats différents selon le nombre de départ : c'est toute sa force.

Et si on te donne le résultat en te demandant de retrouver le nombre de départ ? Pas besoin de deviner : on remonte le programme à l'envers, comme un détective qui remonte une piste.

Méthode

Pour remonter un programme de calcul :

Pars du résultat.
Défais les instructions dans l'ordre inverse, en remplaçant chaque opération par son opération inverse : pour défaire une addition, on soustrait ; pour défaire une soustraction, on additionne ; pour défaire une multiplication, on divise ; pour défaire une division, on multiplie.
Vérifie en exécutant le programme dans le bon sens avec le nombre trouvé.

Exemple

Avec le programme ci-dessus, le résultat obtenu est $36$ . Quel était le nombre de départ ?

La dernière instruction était « multiplier par $4$ » : on la défait en divisant, $36 \div 4 = 9$ .
L'instruction précédente était « ajouter $2$ » : on la défait en soustrayant, $9 - 2 = 7$ .

Le nombre de départ était $7$ . Vérification dans le bon sens : $7 + 2 = 9$ , puis $9 \times 4 = 36$ . C'est gagné !

Suites de nombres et motifs évolutifs

Définition

Une suite de nombres est une liste de nombres écrits dans un certain ordre. Quand on passe d'un nombre au suivant en appliquant toujours la même règle, on dit que la suite est régulière.

Trouver la règle, c'est repérer la régularité de la suite.

Exemple

Dans la suite $5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ; $\dots$ , on passe d'un nombre au suivant en ajoutant $3$ . Le nombre suivant est donc $14 + 3 = 17$ .
Dans la suite $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $\dots$ , on multiplie par $2$ à chaque étape. Le nombre suivant est $16 \times 2 = 32$ . Attention au piège : au début, on pourrait croire qu'on « ajoute $1$ », mais $2 + 1 = 3$ et non $4$ . Vérifie toujours ta règle sur plusieurs passages !

Les régularités ne se cachent pas seulement dans des listes de nombres : on en trouve aussi dans des motifs qui grandissent étape après étape.

Exemple

Observe ce motif : à chaque étape, une rangée de carrés gris est encadrée par $2$ carrés blancs, un à chaque bout.

Comptons les carrés à chaque étape :

Étape	$1$	$2$	$3$	$4$	$10$
Carrés gris	$1$	$2$	$3$	$4$	$10$
Carrés blancs	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$
Total	$3$	$4$	$5$	$6$	$12$

D'une étape à la suivante, on ajoute $1$ carré gris : le total augmente de $1$ .

Ajouter $1$ à chaque fois, c'est bien... mais pour l'étape $50$ , il faudrait continuer le tableau très longtemps ! Il y a beaucoup plus malin : comprendre comment le motif est construit.

Méthode

Pour trouver le nombre d'éléments à une étape lointaine, identifie la structure du motif :

Décris ce qui change d'une étape à l'autre, et ce qui ne change pas.
Exprime le nombre d'éléments à l'étape numéro $N$ à l'aide de cette structure.
Remplace $N$ par le numéro de l'étape demandée : plus besoin de dessiner !

Exemple

Dans notre motif : à l'étape numéro $N$ , il y a $N$ carrés gris (ça change) et toujours $2$ carrés blancs (ça ne change pas). Le nombre total de carrés est donc $N + 2$ .

À l'étape $50$ , il y a donc $50 + 2 = 52$ carrés, sans avoir dessiné un seul carré. Le tableau confirme la formule : à l'étape $10$ , on retrouve bien $10 + 2 = 12$ carrés.

Vers la lettre : exprimer une quantité

Tu viens de le voir avec les motifs : la lettre $N$ permet de parler de toutes les étapes à la fois. Cette idée est si puissante qu'on l'utilise partout, même pour des prix !

Exemple

Sur un site, un tee-shirt coûte $12$ €, et la livraison coûte $5$ € quelle que soit la taille de la commande.

Pour $1$ tee-shirt, on paie $(1 \times 12) + 5 = 17$ €.
Pour $2$ tee-shirts, on paie $(2 \times 12) + 5 = 29$ €.
Pour $10$ tee-shirts, on paie $(10 \times 12) + 5 = 125$ €.

À chaque fois, le calcul a la même structure : le nombre de tee-shirts multiplié par $12$ , plus $5$ pour la livraison.

Définition

Pour décrire tous ces calculs d'un coup, on désigne le nombre de tee-shirts par une lettre, par exemple $N$ . Le prix à payer, en euros, s'écrit alors avec une expression :

(N \times 12) + 5

La lettre $N$ est générique : elle représente n'importe quel nombre de tee-shirts. On pourrait aussi représenter ce nombre par un mot, un symbole ou un petit dessin ; la lettre est simplement l'écriture la plus rapide.

Exemple

Utilisons l'expression $(N \times 12) + 5$ pour une commande de $3$ tee-shirts. On remplace $N$ par $3$ :

(3 \times 12) + 5 = 36 + 5 = 41

La commande coûte $41$ €. Une seule expression, et tous les prix possibles à portée de main !

Au cycle 4, tu utiliseras des lettres tout le temps : pour décrire des programmes de calcul, des motifs, des formules de géométrie... Ce chapitre t'a donné les bons réflexes : une égalité se lit dans les deux sens, on peut enlever la même chose des deux côtés d'un équilibre, et une lettre peut représenter n'importe quel nombre.

L'essentiel à retenir

Une égalité est vraie quand ses deux membres désignent le même nombre : $8 + 5 = 15 - 2$ est vraie, $4 \times 6 = 25$ est fausse. Pour compléter une égalité à trous, calcule d'abord le membre entièrement connu.
Un schéma en barre rend visible un nombre inconnu : dans un schéma partie-tout, on retrouve une partie en retirant les autres du tout ; dans un schéma de comparaison, on retire d'abord le morceau « en plus » pour obtenir deux barres identiques.
Une balance équilibrée reste équilibrée si on enlève la même chose des deux côtés : c'est ainsi qu'on retrouve la masse d'un sac inconnu.
Un programme de calcul s'exécute instruction par instruction. Pour retrouver le nombre de départ, on remonte le programme avec les opérations inverses, en partant du résultat.
Devant une suite ou un motif, cherche la règle et vérifie-la sur plusieurs passages. Pour une étape lointaine, identifie la structure : dans notre motif, l'étape numéro $N$ compte $N + 2$ carrés, donc l'étape $50$ en compte $52$ .
Une lettre comme $N$ représente n'importe quel nombre : l'expression $(N \times 12) + 5$ donne le prix de $N$ tee-shirts à $12$ € avec $5$ € de livraison, quel que soit $N$ .

Le cours en PDF(PDF, 69 Ko)

Bloqué sur « Initiation à l'algèbre » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. La première heure est offerte — on fait le point honnêtement, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver ma 1ʳᵉ heure offerte