6ᵉ · Chapitre 07 · Grandeurs et mesures

Périmètres et longueurs

Unités et conversions, périmètres du carré et du rectangle, formule du périmètre du cercle, figures composées.

Ce qu'il faut savoir faire

Unités et conversions
Périmètres du carré et du rectangle
Formule du périmètre du cercle
Figures composées

Combien de grillage faut-il acheter pour clôturer un jardin ? Quelle distance parcourt la roue de ton vélo quand elle fait un tour complet ? Combien mesure le tour d'un stade d'athlétisme ? Toutes ces questions parlent de la même chose : la longueur du contour d'une figure, qu'on appelle le périmètre. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à manier les unités de longueur, puis à calculer le périmètre des polygones, du cercle et de figures plus originales.

Les unités de longueur

Pour mesurer des longueurs, l'unité de référence est le mètre, noté m. Selon ce qu'on mesure, on utilise des unités plus grandes (le kilomètre pour une distance entre deux villes) ou plus petites (le millimètre pour l'épaisseur d'une pièce de monnaie). Toutes ces unités se rangent dans un tableau de conversion :

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
kilomètre	hectomètre	décamètre	mètre	décimètre	centimètre	millimètre

Chaque unité vaut $10$ fois l'unité qui est juste à sa droite : $1$ m $= 10$ dm, $1$ dm $= 10$ cm, $1$ cm $= 10$ mm, et ainsi de suite. Par exemple, $1$ km $= 1 000$ m.

Méthode

Pour convertir une longueur avec le tableau :

Écris le nombre dans le tableau en plaçant le chiffre des unités dans la colonne de l'unité de départ (un chiffre par colonne).
Complète les colonnes vides par des zéros jusqu'à la colonne de l'unité d'arrivée.
Lis le nombre obtenu : la virgule vient se placer juste après la colonne de l'unité d'arrivée.

Exemple

Convertissons quelques longueurs en détaillant le placement dans le tableau.

$3,25$ m en cm : le chiffre des unités, $3$ , se place dans la colonne des mètres, puis $2$ dans les dm et $5$ dans les cm. La colonne des cm est déjà remplie : on lit $3,25$ m $= 325$ cm.
$4 780$ m en km : le chiffre des unités, $0$ , se place dans la colonne des mètres, puis $8$ dans les dam, $7$ dans les hm et $4$ dans les km. La virgule vient après la colonne des km : $4 780$ m $= 4,78$ km.
$35$ mm en cm : le $5$ se place dans la colonne des mm et le $3$ dans celle des cm. La virgule vient après les cm : $35$ mm $= 3,5$ cm.
$5,4$ km en m : le $5$ se place dans la colonne des km et le $4$ dans les hm. On complète par des zéros jusqu'aux mètres : $5,4$ km $= 5 400$ m.

Pour vérifier qu'un résultat est vraisemblable, garde en tête quelques ordres de grandeur de la vie courante :

l'épaisseur d'une pièce de monnaie : environ $2$ mm ;
la largeur d'un doigt : environ $1$ cm ;
un grand pas : environ $1$ m ;
la distance parcourue en $15$ minutes de marche : environ $1$ km.

Si tu trouves qu'un cahier mesure $21$ m de large, c'est le signe d'une erreur de conversion !

Le périmètre d'une figure

Définition

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour, c'est-à-dire la distance que tu parcourrais en faisant tout le tour de la figure. Comme c'est une longueur, il s'exprime dans une unité de longueur : mm, cm, m, km…

Propriété

Le périmètre d'un polygone (une figure dont le contour est formé uniquement de segments) s'obtient en additionnant les longueurs de tous ses côtés.

Méthode

Avant d'additionner des longueurs, vérifie toujours qu'elles sont exprimées dans la même unité. Si ce n'est pas le cas, commence par tout convertir dans une seule unité, puis additionne.

Par exemple, pour additionner $3$ cm et $20$ mm, convertis d'abord : $20$ mm $= 2$ cm, donc la somme vaut $3 + 2 = 5$ cm.

Exemple

Calculons le périmètre de ce pentagone, dont les côtés mesurent $2$ cm, $3$ cm, $2,5$ cm, $4$ cm et $3,5$ cm.

Toutes les longueurs sont déjà en centimètres : on peut les additionner directement.

P = 2 + 3 + 2,5 + 4 + 3,5 = 15

Le périmètre de ce pentagone est $15$ cm.

Carré et rectangle : les formules

Pour un polygone quelconque, on additionne tous les côtés un par un. Mais pour le carré et le rectangle, leurs côtés se répètent : on peut aller plus vite grâce à des formules.

Propriété

Un carré a quatre côtés de la même longueur. Si son côté mesure $c$ , son périmètre vaut :

P = 4 \times c

Un rectangle a deux longueurs $L$ et deux largeurs $l$ . Son périmètre vaut :

P = 2 \times (L + l)

Autrement dit, pour le rectangle : on additionne la longueur et la largeur, puis on multiplie le résultat par $2$ .

Exemple

Un carré de côté $7,5$ cm : son périmètre vaut $P = 4 \times 7,5 = 30$ , soit $30$ cm.
Un rectangle de longueur $12,3$ cm et de largeur $6,7$ cm : on calcule d'abord $L + l = 12,3 + 6,7 = 19$ , puis $P = 2 \times 19 = 38$ , soit $38$ cm.

Méthode

Retrouver un côté quand on connaît le périmètre.

Carré : les quatre côtés sont identiques, donc on divise le périmètre par $4$ . Un carré de périmètre $36$ cm a un côté de $36 \div 4 = 9$ cm.
Rectangle : on divise le périmètre par $2$ pour obtenir la somme $L + l$ , puis on soustrait le côté que l'on connaît. Un rectangle de périmètre $26$ cm et de longueur $8$ cm : on calcule $26 \div 2 = 13$ , donc $L + l = 13$ , puis $13 - 8 = 5$ . Sa largeur mesure $5$ cm.

Le périmètre du cercle

Définition

Un cercle de centre $O$ est formé de tous les points situés à la même distance du point $O$ . Cette distance s'appelle le rayon du cercle, noté $r$ .

Le diamètre, noté $d$ , est la longueur d'un segment qui traverse le cercle en passant par le centre. Il vaut le double du rayon :

d = 2 \times r

Cercle de centre O, rayon et diamètre

Propriété

Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre : quand le diamètre double, le périmètre double aussi. Le nombre par lequel on multiplie le diamètre est toujours le même, pour tous les cercles du monde : c'est le célèbre nombre $π$ (qui se lit « pi »).

π \approx 3,14159 \dots

Ses chiffres continuent sans fin : on ne peut pas l'écrire exactement avec une virgule. Le périmètre d'un cercle se calcule donc ainsi :

P = π \times d = 2 \times π \times r

Comme $π$ ne s'écrit pas exactement, tu as deux façons de donner un résultat :

la valeur exacte : on laisse $π$ dans le résultat, par exemple $P = 8 \times π$ cm ;
la valeur approchée : on remplace $π$ par $3,14$ (ou on utilise la touche $π$ de la calculatrice), et on écrit le résultat avec le symbole $\approx$ .

Exemple

À partir du rayon. Un cercle a un rayon de $4$ cm. Son périmètre vaut $P = 2 \times π \times 4 = 8 \times π$ cm : c'est la valeur exacte. Avec $π \approx 3,14$ , on obtient $P \approx 8 \times 3,14$ , soit $P \approx 25,12$ cm.
À partir du diamètre. La roue d'un vélo a un diamètre de $70$ cm. En un tour, elle parcourt $P = π \times 70 = 70 \times π$ cm, soit environ $70 \times 3,14 = 219,8$ cm : à peu près $2,20$ m par tour de roue.

Figures composées

Certaines figures ne sont ni des polygones ni des cercles : elles mélangent des segments et des morceaux de cercle. Pour calculer leur périmètre, il faut être méthodique.

Méthode

Pour calculer le périmètre d'une figure composée :

Suis le contour avec le doigt, en partant d'un point et en revenant à ce point.
Liste chaque morceau rencontré : segments, demi-cercles, quarts de cercle…
Attention aux segments intérieurs : s'ils sont à l'intérieur de la figure, ils ne font pas partie du contour et ne comptent pas dans le périmètre.
Calcule la longueur de chaque morceau, puis additionne tout.

Rappel utile : un demi-cercle de diamètre $d$ a un arc de longueur $(π \times d) \div 2$ , c'est-à-dire la moitié du périmètre du cercle complet. De même, un quart de cercle correspond au quart du périmètre.

Exemple

Calculons le périmètre de cette figure : un rectangle de $5$ cm sur $3$ cm dont le côté droit a été remplacé par un demi-cercle de diamètre $3$ cm.

Suivons le contour avec le doigt et listons les morceaux :

la longueur du bas : $5$ cm ;
le côté gauche : $3$ cm ;
la longueur du haut : $5$ cm ;
l'arc du demi-cercle de diamètre $3$ cm : $(π \times 3) \div 2 \approx 9,42 \div 2$ , soit environ $4,7$ cm.

Le segment vertical de droite du rectangle n'existe plus : il a été remplacé par le demi-cercle, donc on ne le compte pas. Au total :

P \approx 5 + 3 + 5 + 4,7 = 17,7

Le périmètre de la figure est d'environ $17,7$ cm.

Les réflexes du chapitre

Méthode

Avant de rendre un exercice sur les périmètres, vérifie ces quatre réflexes :

Même unité : convertis toutes les longueurs dans la même unité avant d'additionner, et n'oublie pas l'unité dans ta réponse.
Les formules : carré $P = 4 \times c$ , rectangle $P = 2 \times (L + l)$ , cercle $P = π \times d = 2 \times π \times r$ .
Exacte ou approchée : pour un cercle, la valeur exacte garde $π$ (comme $8 \times π$ cm) ; la valeur approchée utilise $π \approx 3,14$ et le symbole $\approx$ .
Figures composées : suis le contour avec le doigt, liste chaque morceau et ne compte jamais les segments intérieurs.

Le cours en PDF(PDF, 65 Ko)

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