2ⁿᵈᵉ · Chapitre 02 · Nombres et calculs, algèbre

Nombres réels et intervalles

ℝ, ℚ, décimaux, irrationnels (√2, π), intervalles, valeur absolue comme distance, encadrements.

Ce qu'il faut savoir faire

Au chapitre précédent, on a travaillé avec les nombres entiers : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs, fractions irréductibles. Dans ce chapitre, on élargit l'horizon : on organise tous les nombres connus en une famille d'ensembles emboîtés, on découvre des nombres qui ne sont ni entiers ni fractions (comme $\sqrt{2}$ ou $π$ ), et on apprend trois outils essentiels pour toute la suite du lycée : les intervalles pour décrire des paquets de nombres, la valeur absolue pour mesurer des distances sur la droite graduée, et les encadrements pour approcher les nombres qu'on ne peut pas écrire exactement.

Les ensembles de nombres

Commençons par rappeler les deux ensembles rencontrés au chapitre 1.

Définition

$N$ est l'ensemble des entiers naturels : $N = {0; 1; 2; 3; \dots}$ .
$Z$ est l'ensemble des entiers relatifs : $Z = {\dots; - 2; - 1; 0; 1; 2; \dots}$ .

Les accolades ${\dots}$ signifient que l'on décrit un ensemble en donnant la liste de ses éléments.

Mais beaucoup de nombres utiles ne sont pas des entiers : $3,14$ , $\frac{2}{3}$ , $\sqrt{2}$ … Trois nouveaux ensembles vont les accueillir. On en donne ici une première description ; les définitions précises arrivent dans la partie suivante.

Définition

$D$ est l'ensemble des nombres décimaux : les nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple $3,14$ ; $- 0,5$ ; $7$ .
$Q$ est l'ensemble des nombres rationnels : les nombres qui peuvent s'écrire comme le quotient de deux entiers. Par exemple $\frac{2}{3}$ ; $- \frac{7}{4}$ .
$R$ est l'ensemble des nombres réels : tous les nombres de la droite graduée, sans exception. Par exemple $\sqrt{2}$ et $π$ , qui, comme on le verra, n'appartiennent à aucun des ensembles précédents.

La droite numérique

Définition

Une droite numérique (ou droite graduée) est une droite munie d'une origine (le point $O$ , associé au nombre $0$ ), d'une unité de longueur et d'un sens de parcours.

À chaque point de la droite correspond alors un unique nombre réel, appelé l'abscisse de ce point — et réciproquement, chaque nombre réel est l'abscisse d'un unique point. La droite numérique est donc une « image » fidèle de l'ensemble $R$ .

Exemple

Sur la droite ci-dessous, le point $A$ a pour abscisse $- 2$ , le point $B$ a pour abscisse $2,5$ (il est au milieu des graduations $2$ et $3$ ) et le point $C$ a pour abscisse $4$ .

Pour placer un point d'abscisse donnée, on procède de même en sens inverse. Par exemple, pour placer le point d'abscisse $\sqrt{2}$ , on utilise $\sqrt{2} \approx 1,41$ : le point se situe entre les graduations $1$ et $2$ , un peu avant le milieu.

Appartenance et inclusion

Pour parler des ensembles de nombres, on utilise deux symboles qu'il faut bien distinguer.

Définition

Le symbole $\in$ se lit « appartient à » : il relie un nombre à un ensemble. Ainsi, $5 \in N$ signifie « $5$ appartient à $N$ », c'est-à-dire « $5$ est un entier naturel ». La négation se note $\notin$ (« n'appartient pas à »).
Le symbole $\subset$ se lit « est inclus dans » : il relie deux ensembles. L'écriture $A \subset B$ signifie que tout élément de $A$ appartient aussi à $B$ .

Exemple

$5 \in N$ et $5 \in Z$ : un entier naturel est aussi un entier relatif.
$- 3 \in Z$ mais $- 3 \notin N$ : un entier négatif n'est pas un entier naturel.
$\frac{2}{3} \in Q$ : c'est un quotient de deux entiers.
$N \subset Z$ : tout entier naturel est un entier relatif.

Attention à ne pas mélanger les deux symboles : on écrit $5 \in N$ (un nombre appartient) mais $N \subset Z$ (un ensemble est inclus). Écrire « $5 \subset N$ » n'a pas de sens.

Propriété

Les cinq ensembles de nombres s'emboîtent les uns dans les autres :

N \subset Z \subset D \subset Q \subset R .

En effet :

tout entier naturel est un entier relatif ;
tout entier relatif est un décimal (par exemple $7 = 7,0$ : zéro chiffre après la virgule, c'est bien un nombre fini de chiffres !) ;
tout décimal est un rationnel (par exemple $3,14 = \frac{314}{100}$ , quotient de deux entiers) ;
tout rationnel est un réel (tout nombre connu a sa place sur la droite graduée).

Remarque

Ces inclusions ne fonctionnent que dans un sens : chaque ensemble contient des nombres qui n'appartiennent pas au précédent.

$- 3 \in Z$ mais $- 3 \notin N$ ;
$2,5 \in D$ mais $2,5 \notin Z$ ;
$\frac{1}{3} \in Q$ mais $\frac{1}{3} \notin D$ (on le démontrera dans la partie suivante) ;
$\sqrt{2} \in R$ mais $\sqrt{2} \notin Q$ (on le démontrera aussi !).

Rationnels, décimaux, irrationnels

Il est temps de donner des définitions précises, puis de démontrer les deux affirmations annoncées ci-dessus. Ces deux démonstrations sont exigibles : il faut savoir les refaire.

Nombres décimaux

Définition

Un nombre est décimal lorsqu'il peut s'écrire sous la forme

\frac{a}{10^{n}}, avec a \in Z et n \in N .

De façon équivalente : un nombre est décimal lorsque son écriture à virgule comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

Exemple

$3,14 = \frac{314}{100} = \frac{314}{10^{2}}$ : le nombre $3,14$ est décimal.
$- 0,5 = \frac{- 5}{10^{1}}$ : le nombre $- 0,5$ est décimal.
$7 = \frac{7}{10^{0}} = \frac{7}{1}$ : tout entier est décimal (on retrouve $Z \subset D$ ).

Nombres rationnels

Définition

Un nombre est rationnel lorsqu'il peut s'écrire sous la forme

\frac{p}{q}, avec p \in Z et q \in Z, q \neq 0.

On a vu au chapitre 1 que toute fraction peut être simplifiée jusqu'à sa forme irréductible : un rationnel admet donc toujours une écriture $\frac{p}{q}$ où la fraction est irréductible.

Exemple

$\frac{2}{3}$ et $- \frac{7}{4}$ sont des rationnels.
Tout décimal est rationnel : par exemple $1,7 = \frac{17}{10}$ , quotient de deux entiers (on retrouve $D \subset Q$ ).
$\frac{- 14}{2}$ est un rationnel, mais c'est aussi un entier : $\frac{- 14}{2} = - 7 \in Z$ . Un même nombre peut avoir plusieurs écritures !

Tous les rationnels sont-ils décimaux ? Non — et c'est notre première démonstration.

Propriété

Le nombre rationnel $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal : $\frac{1}{3} \in Q$ mais $\frac{1}{3} \notin D$ .

Démonstration (exigible). On raisonne par l'absurde : on suppose que la conclusion est fausse, et on montre que cela mène à une contradiction.

Supposons donc que $\frac{1}{3}$ soit décimal. Alors il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que

\frac{1}{3} = \frac{a}{10^{n}} .

En multipliant les deux membres par $3 \times 10^{n}$ , on obtient

10^{n} = 3 a .

Le nombre $10^{n}$ serait donc un multiple de $3$ . Or $10^{n}$ s'écrit avec un chiffre $1$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $1$ , qui n'est pas divisible par $3$ . D'après le critère de divisibilité par $3$ , le nombre $10^{n}$ n'est pas divisible par $3$ .

C'est une contradiction : l'hypothèse de départ est donc fausse, et $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal. $□$

Remarque

Quand on tape $1 \div 3$ à la calculatrice, l'écran affiche $0,3333333$ : ce n'est qu'une valeur approchée. La division de $1$ par $3$ ne s'arrête jamais — les chiffres $3$ se poursuivent indéfiniment après la virgule, ce qui confirme que $\frac{1}{3}$ n'a pas d'écriture décimale finie.

Nombres irrationnels

Tous les nombres de la droite graduée sont-ils rationnels ? La géométrie fournit deux exemples célèbres qui répondent non.

Exemple

La diagonale du carré. Dans un carré de côté $1$ , la diagonale $d$ vérifie, d'après le théorème de Pythagore : $d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$ . La diagonale mesure donc $\sqrt{2}$ , le nombre positif dont le carré vaut $2$ . Ce nombre existe bel et bien : on peut le construire à la règle et au compas et le reporter sur la droite graduée.
Le périmètre du cercle. Un cercle de diamètre $1$ a pour périmètre le nombre $π = 3,141 592 \dots$

Définition

Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel : il est impossible de l'écrire comme un quotient de deux entiers.

Tout nombre réel est donc soit rationnel, soit irrationnel.

Propriété

Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Démonstration (exigible). On raisonne à nouveau par l'absurde. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Comme $\sqrt{2} > 0$ , on pourrait alors l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible :

\sqrt{2} = \frac{p}{q}, avec p et q entiers naturels non nuls, la fraction \frac{p}{q} étant irréductible .

Élevons les deux membres au carré. Par définition de $\sqrt{2}$ , on a ${(\sqrt{2})}^{2} = 2$ , donc

2 = \frac{p^{2}}{q^{2}}, c’est-à-dire p^{2} = 2 q^{2} .

Le nombre $p$ est pair. En effet, $p^{2} = 2 q^{2}$ montre que $p^{2}$ est pair. Or on a démontré au chapitre 1 que le carré d'un nombre impair est impair : si $p$ était impair, $p^{2}$ le serait aussi. Donc $p$ est pair, et on peut écrire $p = 2 k$ avec $k$ entier.
Le nombre $q$ est pair lui aussi. En remplaçant $p$ par $2 k$ dans $p^{2} = 2 q^{2}$ : $(2 k)^{2} = 2 q^{2}$ , soit $4 k^{2} = 2 q^{2}$ , donc $q^{2} = 2 k^{2}$ . Ainsi $q^{2}$ est pair, et par le même argument que ci-dessus, $q$ est pair.

Les entiers $p$ et $q$ seraient donc tous les deux pairs : ils auraient $2$ comme diviseur commun. C'est impossible, puisque la fraction $\frac{p}{q}$ a été choisie irréductible.

Cette contradiction montre que l'hypothèse de départ est fausse : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel. $□$

Remarque

Le nombre $π$ est lui aussi irrationnel, mais la démonstration dépasse très largement le niveau du lycée : on admet ce résultat. Il a été démontré pour la première fois par Johann Lambert en 1768.

Méthode

Situer un nombre dans les ensembles $N$ , $Z$ , $D$ , $Q$ , $R$ .

On simplifie d'abord l'écriture du nombre (calcul, simplification de fraction).
On cherche le plus petit ensemble de la chaîne $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$ auquel il appartient : il appartient alors aussi à tous les suivants.

Exemples travaillés :

$\frac{- 14}{2} = - 7$ : c'est un entier relatif, négatif. Plus petit ensemble : $Z$ (et donc $- 7 \in D$ , $- 7 \in Q$ , $- 7 \in R$ , mais $- 7 \notin N$ ).
$\frac{8}{5} = 1,6$ : écriture décimale finie, mais pas un entier. Plus petit ensemble : $D$ .
$\frac{1}{3}$ : c'est un quotient d'entiers, mais on a démontré qu'il n'est pas décimal. Plus petit ensemble : $Q$ .
$\sqrt{2}$ : on a démontré qu'il n'est pas rationnel. Plus petit ensemble : $R$ (c'est un irrationnel).

Intervalles de $R$

Comment décrire l'ensemble de tous les réels $x$ vérifiant $2 ⩽ x ⩽ 5$ ? Impossible d'en dresser la liste entre accolades : il y en a une infinité ( $2$ ; $2,1$ ; $3$ ; $π$ ; $4,999$ …). Pour désigner de tels « blocs » de nombres, on introduit une notation nouvelle : les intervalles.

Définition

Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a ⩽ b$ . L'ensemble de tous les réels $x$ vérifiant $a ⩽ x ⩽ b$ est un intervalle, noté $[a; b]$ . Les réels $a$ et $b$ sont les bornes de l'intervalle.

Chaque borne peut être comprise dans l'intervalle (crochet fermé, tourné vers l'intérieur) ou exclue (crochet ouvert, tourné vers l'extérieur). On obtient ainsi plusieurs types d'intervalles, récapitulés dans les tableaux ci-dessous.

Voici d'abord les intervalles bornés (leurs deux bornes sont des nombres réels), avec $a < b$ :

Notation	Réels $x$ tels que…	Vocabulaire
$[a; b]$	$a ⩽ x ⩽ b$	fermé
$] a; b [$	$a < x < b$	ouvert
$[a; b [$	$a ⩽ x < b$	semi-ouvert à droite
$] a; b]$	$a < x ⩽ b$	semi-ouvert à gauche

Sur la droite numérique, on représente un intervalle en repassant en couleur la portion de droite correspondante ; le crochet est tourné vers l'intérieur de la zone quand la borne est comprise, vers l'extérieur quand elle est exclue. Voici les quatre types, avec $a = 2$ et $b = 5$ :

Puis les intervalles non bornés, qui s'étendent à l'infini d'un côté :

Notation	Réels $x$ tels que…	Borne $a$
$[a; + \infty [$	$x ⩾ a$	comprise
$] a; + \infty [$	$x > a$	exclue
$] - \infty; a]$	$x ⩽ a$	comprise
$] - \infty; a [$	$x < a$	exclue

La zone coloriée se prolonge alors sans fin du côté de l'infini, ce que l'on indique par une flèche. Par exemple, avec $a = 2$ :

Exemple

Représentons l'intervalle $[- 1; 2]$ : tous les réels $x$ tels que $- 1 ⩽ x ⩽ 2$ , bornes comprises.

Représentons maintenant l'intervalle $] - \infty; 1]$ : tous les réels $x$ tels que $x ⩽ 1$ . La zone se prolonge indéfiniment vers la gauche.

Remarque

Les symboles $- \infty$ (« moins l'infini ») et $+ \infty$ (« plus l'infini ») ne sont pas des nombres : ils indiquent seulement que l'intervalle se prolonge sans fin. C'est pourquoi le crochet est toujours ouvert du côté de l'infini : on écrit $[3; + \infty [$ et jamais « $[3; + \infty]$ ».

L'ensemble $R$ tout entier est lui-même un intervalle : $R =] - \infty; + \infty [$ .

Méthode

Déterminer si un réel appartient à un intervalle.

On traduit l'intervalle par la ou les inégalités qui le définissent.
On teste si le nombre vérifie ces inégalités (au besoin, on utilise son écriture décimale, exacte ou approchée).
Attention aux bornes : une borne appartient à l'intervalle uniquement si le crochet est fermé.

Exemples travaillés :

$\frac{7}{2} \in [3; 4 [$ ? On a $\frac{7}{2} = 3,5$ et $3 ⩽ 3,5 < 4$ : oui.
$4 \in [3; 4 [$ ? La borne $4$ est exclue (crochet ouvert) : non.
$- 5 \in] - \infty; - 5]$ ? On a bien $- 5 ⩽ - 5$ , et la borne est comprise (crochet fermé) : oui.
$π \in] 3,15; + \infty [$ ? On sait que $π = 3,141 5 \dots$ , donc $π < 3,15$ : non.

Réunion et intersection d'intervalles

Il arrive qu'un ensemble de nombres soit décrit par deux conditions à la fois, ou par une alternative entre deux conditions. Deux opérations sur les ensembles permettent d'en rendre compte.

Définition

Soient $A$ et $B$ deux ensembles de réels (par exemple deux intervalles).

L'intersection $A \cap B$ (« $A$ inter $B$ ») est l'ensemble des réels qui appartiennent à $A$ et à $B$ , c'est-à-dire aux deux à la fois.
La réunion $A \cup B$ (« $A$ union $B$ ») est l'ensemble des réels qui appartiennent à $A$ ou à $B$ , c'est-à-dire à l'un au moins des deux.

Lorsqu'aucun réel n'appartient aux deux ensembles à la fois, leur intersection est l'ensemble vide, noté $\emptyset$ .

Méthode

Déterminer l'intersection et la réunion de deux intervalles.

On représente les deux intervalles sur la même droite graduée, l'un au-dessus de l'autre (ou avec deux couleurs).
L'intersection est la zone couverte par les deux représentations à la fois.
La réunion est la zone couverte par au moins une des deux représentations.
On lit le résultat et on l'écrit sous forme d'intervalle, en vérifiant soigneusement chaque borne (comprise ou exclue).

Exemple

Déterminons l'intersection et la réunion de $I = [1; 4]$ et $J = [3; 6]$ .

La zone couverte par les deux intervalles à la fois s'étend de $3$ à $4$ , bornes comprises (elles appartiennent aux deux) : $I \cap J = [3; 4]$ .
La zone couverte par au moins un des deux intervalles s'étend de $1$ à $6$ sans interruption : $I \cup J = [1; 6]$ .

Exemple

Deux autres situations classiques.

$] - \infty; 2] \cap [0; + \infty [$ : les réels vérifiant à la fois $x ⩽ 2$ et $x ⩾ 0$ , c'est-à-dire $0 ⩽ x ⩽ 2$ . L'intersection vaut $[0; 2]$ .
$[0; 1]$ et $[2; 3]$ ne se chevauchent pas : aucun réel n'appartient aux deux, donc $[0; 1] \cap [2; 3] = \emptyset$ . Quant à la réunion, elle est formée de deux morceaux séparés : ce n'est pas un intervalle, et on laisse le résultat écrit $[0; 1] \cup [2; 3]$ .

Valeur absolue et distance

La droite numérique permet de parler de distance entre des nombres. La valeur absolue est l'outil qui mesure cette distance.

Définition

La valeur absolue d'un réel $a$ , notée $∣ a ∣$ , est la distance entre le point d'abscisse $a$ et l'origine $O$ de la droite numérique (le point d'abscisse $0$ ).

Concrètement :

∣ a ∣ = {\begin{cases} a & si a ⩾ 0 \\ - a & si a < 0 \end{cases}

Une distance n'est jamais négative : on a toujours $∣ a ∣ ⩾ 0$ .

Exemple

$∣ 5,2 ∣ = 5,2$ : le nombre est positif, sa valeur absolue est lui-même.
$∣ - 3 ∣ = - (- 3) = 3$ : le point d'abscisse $- 3$ est à la distance $3$ de l'origine.
$∣ 0 ∣ = 0$ .
$∣ - π ∣ = π$ .

Attention : $- a$ n'est pas forcément un nombre négatif ! Si $a = - 3$ , alors $- a = 3$ . La formule $∣ a ∣ = - a$ pour $a < 0$ donne donc bien un résultat positif.

Propriété

La distance entre deux réels $a$ et $b$ (c'est-à-dire la distance entre les points d'abscisses $a$ et $b$ sur la droite numérique) vaut

∣ b - a ∣ .

L'ordre n'a pas d'importance : $∣ b - a ∣ = ∣ a - b ∣$ .

Exemple

Distance entre $- 2$ et $5$ : $∣ 5 - (- 2) ∣ = ∣ 7 ∣ = 7$ .
Distance entre $- 7$ et $- 3$ : $∣ - 3 - (- 7) ∣ = ∣ 4 ∣ = 4$ .
Distance entre $4,5$ et $1,2$ : $∣ 1,2 - 4,5 ∣ = ∣ - 3,3 ∣ = 3,3$ .

L'inéquation $∣ x - a ∣ ⩽ r$

Propriété

Soient $a$ un réel et $r$ un réel positif. Pour tout réel $x$ :

∣ x - a ∣ ⩽ r ⟺ a - r ⩽ x ⩽ a + r ⟺ x \in [a - r; a + r] .

Autrement dit : les solutions de l'inéquation $∣ x - a ∣ ⩽ r$ sont les réels situés à une distance au plus $r$ du nombre $a$ . Elles forment l'intervalle $[a - r; a + r]$ , appelé intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ .

Exemple

Résolvons l'inéquation $∣ x - 3 ∣ ⩽ 2$ : on cherche les réels situés à une distance d'au plus $2$ du nombre $3$ . Les solutions forment l'intervalle de centre $3$ et de rayon $2$ , c'est-à-dire $[3 - 2; 3 + 2] = [1; 5]$ .

La croix marque le centre $3$ ; l'intervalle s'étend de $1$ à $5$ , à la distance $2$ de part et d'autre du centre.

Méthode

Passer de l'inéquation à l'intervalle, et inversement. Acquis depuis : collège.

Sens 1 : de $∣ x - a ∣ ⩽ r$ vers l'intervalle. On identifie le centre $a$ et le rayon $r$ , puis on calcule les bornes $a - r$ et $a + r$ .

Exemple : $∣ x - 5 ∣ ⩽ 0,5$ . Centre $5$ , rayon $0,5$ : l'ensemble des solutions est $[4,5; 5,5]$ .

Sens 2 : de l'intervalle $[a; b]$ vers l'inéquation. Le centre est le milieu des bornes et le rayon est la moitié de leur écart :

centre = \frac{a + b}{2}, rayon = \frac{b - a}{2} .

Exemple : écrire $[2; 8]$ à l'aide d'une valeur absolue. Centre : $\frac{2 + 8}{2} = 5$ ; rayon : $\frac{8 - 2}{2} = 3$ . Donc $x \in [2; 8] ⟺ ∣ x - 5 ∣ ⩽ 3$ .

Dans les deux sens, on peut vérifier en testant les bornes : pour $x = 2$ , $∣ 2 - 5 ∣ = 3 ⩽ 3$ , et pour $x = 8$ , $∣ 8 - 5 ∣ = 3 ⩽ 3$ .

Remarque

Avec une inégalité stricte, les bornes sont exclues : les solutions de $∣ x - a ∣ < r$ forment l'intervalle ouvert $] a - r; a + r [$ .

Encadrements et valeurs approchées

Les nombres $\sqrt{2}$ et $π$ sont irrationnels : impossible de les écrire exactement avec des chiffres après la virgule. Pour les utiliser en pratique, on les encadre par des décimaux, aussi précisément qu'on le souhaite.

Définition

Encadrer un réel $x$ , c'est trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que

a ⩽ x ⩽ b .

La différence $b - a$ est l'amplitude de l'encadrement : plus elle est petite, plus l'encadrement est précis.

Un encadrement décimal à $10^{- n}$ près de $x$ est un encadrement d'amplitude $10^{- n}$ par deux décimaux ayant $n$ chiffres après la virgule :

d ⩽ x ⩽ d + 10^{- n} .

Exemple

Le nombre $\sqrt{2} = 1,414 213 \dots$ peut être encadré de plus en plus finement :

$1 ⩽ \sqrt{2} ⩽ 2$ : amplitude $1$ ;
$1,4 ⩽ \sqrt{2} ⩽ 1,5$ : amplitude $10^{- 1}$ ;
$1,41 ⩽ \sqrt{2} ⩽ 1,42$ : amplitude $10^{- 2}$ ;
$1,414 ⩽ \sqrt{2} ⩽ 1,415$ : amplitude $10^{- 3}$ .

De même, à partir de $π = 3,141 592 \dots$ :

$3,14 ⩽ π ⩽ 3,15$ : encadrement à $10^{- 2}$ près ;
$3,141 5 ⩽ π ⩽ 3,141 6$ : encadrement à $10^{- 4}$ près.

Définition

Soit $d ⩽ x ⩽ d + 10^{- n}$ un encadrement décimal de $x$ à $10^{- n}$ près.

$d$ est une valeur approchée par défaut de $x$ à $10^{- n}$ près (elle est en dessous de $x$ ) ;
$d + 10^{- n}$ est une valeur approchée par excès de $x$ à $10^{- n}$ près (elle est au-dessus).

L'arrondi de $x$ à $10^{- n}$ près est celle de ces deux valeurs qui est la plus proche de $x$ . Règle pratique : on regarde le chiffre suivant dans l'écriture décimale de $x$ ; s'il vaut $0$ , $1$ , $2$ , $3$ ou $4$ , l'arrondi est la valeur par défaut ; s'il vaut $5$ , $6$ , $7$ , $8$ ou $9$ , c'est la valeur par excès.

Exemple

Arrondi de $π = 3,141 592 \dots$ au centième : le chiffre suivant le $4$ est un $1$ , donc l'arrondi est $3,14$ (valeur par défaut).
Arrondi de $π$ au millième : le chiffre suivant le $1$ est un $5$ , donc l'arrondi est $3,142$ (valeur par excès).
Pour $\sqrt{2} = 1,414 213 \dots$ : la valeur approchée par défaut au centième est $1,41$ , la valeur par excès est $1,42$ , et l'arrondi au centième est $1,41$ .

Chiffres significatifs

Définition

Les chiffres significatifs d'un nombre décimal sont ses chiffres comptés à partir du premier chiffre non nul.

Par exemple : $141$ a trois chiffres significatifs ; $3,77$ en a trois ; $0,082$ en a deux (les zéros de tête ne comptent pas).

Méthode

Arrondir un résultat avec un nombre de chiffres significatifs adapté à la situation.

Un résultat ne peut pas être plus précis que les données qui ont servi à le calculer. On arrondit donc en gardant un nombre de chiffres significatifs comparable à celui des données.

Exemple travaillé. Le diamètre d'une table ronde est mesuré au mètre ruban : $d = 1,2$ m (deux chiffres significatifs : la mesure est faite au décimètre près, pas mieux). Son périmètre vaut $P = π \times 1,2$ , et la calculatrice affiche $3,769 911 \dots$

Recopier « $P = 3,769 911$ m » laisserait croire que l'on connaît le périmètre au millionième de mètre près, alors que le diamètre n'est connu qu'au décimètre près ! On écrit plutôt :

P \approx 3,8 m,

avec deux chiffres significatifs, comme la donnée de départ.

Autre situation. Une addition de $100$ € partagée entre $3$ personnes : $\frac{100}{3} = 33,333 \dots$ Ici, c'est le contexte qui impose la précision : on paie en centimes, donc chacun donne $33,33$ € (arrondi au centième).

Remarque

Une calculatrice ou un ordinateur ne peut mémoriser qu'un nombre fini de chiffres : ils calculent donc presque toujours avec des valeurs approchées. Quand l'écran affiche $\sqrt{2} \approx 1,414 213 562$ , il s'agit d'un décimal proche de $\sqrt{2}$ , pas de $\sqrt{2}$ lui-même — on a démontré que $\sqrt{2}$ est irrationnel, il n'est donc égal à aucun décimal. Pour donner un résultat exact, on conserve les écritures $\sqrt{2}$ , $π$ , $\frac{1}{3}$ telles quelles.

Un algorithme de balayage pour encadrer $\sqrt{2}$

Comment trouve-t-on les encadrements de $\sqrt{2}$ donnés plus haut ? Une idée simple : puisque $\sqrt{2}$ est le nombre positif dont le carré vaut $2$ , on part de $1$ (car $1^{2} = 1 ⩽ 2$ ) et on avance pas à pas, par pas de $10^{- n}$ , en testant à chaque étape si le carré dépasse $2$ . Au moment où il dépasse, on vient d'« enjamber » $\sqrt{2}$ : le nombre précédent et le nombre courant l'encadrent. C'est la méthode dite par balayage.

n = 2              # on veut un encadrement d'amplitude 10**(-n)
pas = 10**(-n)     # ici, pas = 0.01
x = 1              # point de depart : 1 est inferieur a racine de 2

while x**2 <= 2:   # tant que le carre ne depasse pas 2...
    x = x + pas    # ... on avance d'un pas

print(x - pas)     # valeur approchee par defaut : 1.41
print(x)           # valeur approchee par exces  : 1.42

Expliquons le fonctionnement :

la boucle while répète l'instruction x = x + pas tant que la condition x**2 <= 2 est vraie ;
la boucle s'arrête donc à la première valeur de x dont le carré dépasse $2$ : à ce moment, $x > \sqrt{2}$ ;
la valeur précédente, x - pas, vérifiait encore la condition : $(x - pas)^{2} ⩽ 2$ , donc $x - pas ⩽ \sqrt{2}$ .

On obtient ainsi l'encadrement d'amplitude $10^{- n}$ :

x - pas ⩽ \sqrt{2} ⩽ x .

Pour $n = 2$ , le programme affiche $1,41$ puis $1,42$ ; pour une meilleure précision, il suffit d'augmenter la valeur de n (avec $n = 3$ , on retrouve $1,414 ⩽ \sqrt{2} ⩽ 1,415$ ).

Remarque

En exécutant ce programme, il peut arriver que Python affiche 1.4100000000000001 au lieu de 1.41 : comme la calculatrice, l'ordinateur calcule avec des valeurs approchées, et de minuscules erreurs d'arrondi apparaissent parfois à l'affichage. Cela ne remet pas en cause l'encadrement obtenu.

Le cours en PDF(PDF, 99 Ko)

Bloqué sur « Nombres réels et intervalles » ?

On peut le travailler ensemble dès cette semaine. Une séance ciblée sur ce chapitre, et vous repartez au minimum avec une méthode.

Réserver une séance

Notation

Réels

x

tels que…

Vocabulaire

[a; b]

a ⩽ x ⩽ b

fermé

] a; b [

a < x < b

ouvert

[a; b [

a ⩽ x < b

semi-ouvert à droite

] a; b]

a < x ⩽ b

semi-ouvert à gauche

Notation

Réels

x

tels que…

Borne

a

[a; + \infty [

x ⩾ a

comprise

] a; + \infty [

x > a

exclue

] - \infty; a]

x ⩽ a

comprise

] - \infty; a [

x < a

exclue

n = 2 # on veut un encadrement d'amplitude 10**(-n) pas = 10**(-n) # ici, pas = 0.01 x = 1 # point de depart : 1 est inferieur a racine de 2 while x**2 <= 2: # tant que le carre ne depasse pas 2... x = x + pas # ... on avance d'un pas print(x - pas) # valeur approchee par defaut : 1.41 print(x) # valeur approchee par exces : 1.42

Ce qu'il faut savoir faire

Les ensembles de nombres

La droite numérique

Appartenance et inclusion

Rationnels, décimaux, irrationnels

Nombres décimaux

Nombres rationnels

Nombres irrationnels

Intervalles de R

Réunion et intersection d'intervalles

Valeur absolue et distance

L'inéquation ∣x−a∣⩽r

Encadrements et valeurs approchées

Chiffres significatifs

Un algorithme de balayage pour encadrer 2

Bloqué sur « Nombres réels et intervalles » ?

Ce qu'il faut savoir faire

Les ensembles de nombres

La droite numérique

Appartenance et inclusion

Rationnels, décimaux, irrationnels

Nombres décimaux

Nombres rationnels

Nombres irrationnels

Intervalles de R

Réunion et intersection d'intervalles

Valeur absolue et distance

L'inéquation ∣x−a∣⩽r

Encadrements et valeurs approchées

Chiffres significatifs

Un algorithme de balayage pour encadrer 2

Bloqué sur « Nombres réels et intervalles » ?

Intervalles de $R$

L'inéquation $∣ x - a ∣ ⩽ r$

Un algorithme de balayage pour encadrer $\sqrt{2}$

Intervalles de $R$

L'inéquation $∣ x - a ∣ ⩽ r$

Un algorithme de balayage pour encadrer $\sqrt{2}$