Nombres réels et intervalles

Au chapitre précédent, on a travaillé avec les nombres entiers : multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs, fractions irréductibles. Dans ce chapitre, on élargit l'horizon : on organise tous les nombres connus en une famille d'ensembles emboîtés, on découvre des nombres qui ne sont ni entiers ni fractions (comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$), et on apprend trois outils essentiels pour toute la suite du lycée : les intervalles pour décrire des paquets de nombres, la valeur absolue pour mesurer des distances sur la droite graduée, et les encadrements pour approcher les nombres qu'on ne peut pas écrire exactement.

Les ensembles de nombres

Commençons par rappeler les deux ensembles rencontrés au chapitre 1.

Mais beaucoup de nombres utiles ne sont pas des entiers : $\mathrm{3,14}$, $\frac{2}{3}$, $\sqrt{2}$… Trois nouveaux ensembles vont les accueillir. On en donne ici une première description ; les définitions précises arrivent dans la partie suivante.

La droite numérique

Appartenance et inclusion

Pour parler des ensembles de nombres, on utilise deux symboles qu'il faut bien distinguer.

Rationnels, décimaux, irrationnels

Il est temps de donner des définitions précises, puis de démontrer les deux affirmations annoncées ci-dessus. Ces deux démonstrations sont exigibles : il faut savoir les refaire.

Nombres décimaux

Nombres rationnels

Tous les rationnels sont-ils décimaux ? Non — et c'est notre première démonstration.

Démonstration (exigible). On raisonne par l'absurde : on suppose que la conclusion est fausse, et on montre que cela mène à une contradiction.

Supposons donc que ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ soit décimal. Alors il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que

$$\frac{1}{3}=\frac{a}{{10}^n}\mathrm{.}$$

En multipliant les deux membres par $3\times {10}^n$, on obtient

$${10}^n=3a\mathrm{.}$$

Le nombre ${10}^n$ serait donc un multiple de $3$. Or ${10}^n$ s'écrit avec un chiffre $1$ suivi de $n$ zéros : la somme de ses chiffres vaut $1$, qui n'est pas divisible par $3$. D'après le critère de divisibilité par $3$, le nombre ${10}^n$ n'est pas divisible par $3$.

C'est une contradiction : l'hypothèse de départ est donc fausse, et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal. $\mathrm{\square }$

Nombres irrationnels

Tous les nombres de la droite graduée sont-ils rationnels ? La géométrie fournit deux exemples célèbres qui répondent non.

Démonstration (exigible). On raisonne à nouveau par l'absurde. Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel. Comme $\sqrt{2}>0$, on pourrait alors l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible :

$$\sqrt{2}=\frac{p}{q},\text{avec }p\text{ et }q\text{ entiers naturels non nuls, la fraction }\frac{p}{q}\acute{\text{e}}\text{tant irr}\acute{\text{e}}\text{ductible}\mathrm{.}$$

Élevons les deux membres au carré. Par définition de $\sqrt{2}$, on a ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$, donc

$$2=\frac{p^2}{q^2},\text{c’est-}\grave{\text{a}}\text{-dire}{p}^2=2q^2\mathrm{.}$$

• Le nombre $p$ est pair. En effet, $p^2=2q^2$ montre que $p^2$ est pair. Or on a démontré au chapitre 1 que le carré d'un nombre impair est impair : si $p$ était impair, $p^2$ le serait aussi. Donc $p$ est pair, et on peut écrire $p=2k$ avec $k$ entier.
• Le nombre $q$ est pair lui aussi. En remplaçant $p$ par $2k$ dans $p^2=2q^2$ : $(2k{)}^2=2q^2$, soit $4k^2=2q^2$, donc $q^2=2k^2$. Ainsi $q^2$ est pair, et par le même argument que ci-dessus, $q$ est pair.

Les entiers $p$ et $q$ seraient donc tous les deux pairs : ils auraient $2$ comme diviseur commun. C'est impossible, puisque la fraction ${\displaystyle \frac{p}{q}}$ a été choisie irréductible.

Cette contradiction montre que l'hypothèse de départ est fausse : $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel. $\mathrm{\square }$

Intervalles de $\mathbb{R}$

Comment décrire l'ensemble de tous les réels $x$ vérifiant $2⩽x⩽5$ ? Impossible d'en dresser la liste entre accolades : il y en a une infinité ($2$ ; $\mathrm{2,1}$ ; $3$ ; $\pi$ ; $\mathrm{4,999}$…). Pour désigner de tels « blocs » de nombres, on introduit une notation nouvelle : les intervalles.

Voici d'abord les intervalles bornés (leurs deux bornes sont des nombres réels), avec $a<b$ :

Sur la droite numérique, on représente un intervalle en repassant en couleur la portion de droite correspondante ; le crochet est tourné vers l'intérieur de la zone quand la borne est comprise, vers l'extérieur quand elle est exclue. Voici les quatre types, avec $a=2$ et $b=5$ :

Puis les intervalles non bornés, qui s'étendent à l'infini d'un côté :

La zone coloriée se prolonge alors sans fin du côté de l'infini, ce que l'on indique par une flèche. Par exemple, avec $a=2$ :

Réunion et intersection d'intervalles

Il arrive qu'un ensemble de nombres soit décrit par deux conditions à la fois, ou par une alternative entre deux conditions. Deux opérations sur les ensembles permettent d'en rendre compte.

Valeur absolue et distance

La droite numérique permet de parler de distance entre des nombres. La valeur absolue est l'outil qui mesure cette distance.

L'inéquation $\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }⩽r$

Encadrements et valeurs approchées

Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels : impossible de les écrire exactement avec des chiffres après la virgule. Pour les utiliser en pratique, on les encadre par des décimaux, aussi précisément qu'on le souhaite.

Chiffres significatifs

Un algorithme de balayage pour encadrer $\sqrt{2}$

Comment trouve-t-on les encadrements de $\sqrt{2}$ donnés plus haut ? Une idée simple : puisque $\sqrt{2}$ est le nombre positif dont le carré vaut $2$, on part de $1$ (car $1^2=1⩽2$) et on avance pas à pas, par pas de ${10}^{-n}$, en testant à chaque étape si le carré dépasse $2$. Au moment où il dépasse, on vient d'« enjamber » $\sqrt{2}$ : le nombre précédent et le nombre courant l'encadrent. C'est la méthode dite par balayage.

n = 2              # on veut un encadrement d'amplitude 10**(-n)
pas = 10**(-n)     # ici, pas = 0.01
x = 1              # point de depart : 1 est inferieur a racine de 2

while x**2 <= 2:   # tant que le carre ne depasse pas 2...
    x = x + pas    # ... on avance d'un pas

print(x - pas)     # valeur approchee par defaut : 1.41
print(x)           # valeur approchee par exces  : 1.42

Expliquons le fonctionnement :

• la boucle while répète l'instruction x = x + pas tant que la condition x**2 <= 2 est vraie ;
• la boucle s'arrête donc à la première valeur de x dont le carré dépasse $2$ : à ce moment, $x>\sqrt{2}$ ;
• la valeur précédente, x - pas, vérifiait encore la condition : $(x-\text{pas}{)}^2⩽2$, donc $x-\text{pas}⩽\sqrt{2}$.

On obtient ainsi l'encadrement d'amplitude ${10}^{-n}$ :

$$x-\text{pas}⩽\sqrt{2}⩽x\mathrm{.}$$

Pour $n=2$, le programme affiche $\mathrm{1,41}$ puis $\mathrm{1,42}$ ; pour une meilleure précision, il suffit d'augmenter la valeur de n (avec $n=3$, on retrouve $\mathrm{1,414}⩽\sqrt{2}⩽\mathrm{1,415}$).