2ⁿᵈᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs, algèbre

Calcul littéral et puissances

Puissances entières, racines carrées, √a² = |a|, identités remarquables, expressions fractionnaires.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Puissances entières
Racines carrées
√a² = |a|
Identités remarquables
Expressions fractionnaires

Aux deux premiers chapitres, les lettres ont déjà rendu de grands services : écrire $a = 2 k$ pour dire qu'un entier est pair (chapitre 1), ou définir la valeur absolue $∣ a ∣$ en distinguant deux cas (chapitre 2), c'est déjà du calcul littéral — un calcul où les lettres représentent des nombres. Ce chapitre installe la boîte à outils complète : les puissances d'exposant entier relatif, les racines carrées avec leurs vraies règles (et leurs pièges !), les identités remarquables qui permettent de développer et de factoriser en un clin d'œil, et l'art de transformer une formule pour en extraire la variable qui nous intéresse. Comme au chapitre 2, plusieurs démonstrations de ce chapitre sont exigibles : il faut savoir les refaire.

Puissances d'exposant entier relatif

Écrire $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ est long et illisible. La notation puissance, rencontrée au collège, condense ce produit en $2^{10}$ . On commence par la rappeler, avant de l'étendre à des exposants négatifs — une nouveauté de ce chapitre.

Définition

Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul. La puissance $a^{n}$ (lire « $a$ puissance $n$ » ou « $a$ exposant $n$ ») est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ :

a^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}} .

Le nombre $n$ est l'exposant. En particulier $a^{1} = a$ ; le nombre $a^{2}$ est le carré de $a$ et $a^{3}$ son cube.

Exemple

$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ .
$(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$ . Attention : $- 3^{2} = - 9$ ! Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur $3$ , pas sur le signe.
${(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ .
$10^{4} = 10 000$ : un $1$ suivi de quatre zéros.

Peut-on donner un sens à $a^{0}$ , ou à $a^{- 3}$ ? Oui, en prolongeant la logique du tableau des puissances : chaque fois que l'exposant diminue de $1$ , la puissance est divisée par $a$ . En continuant au-delà de $a^{1}$ , on obtient naturellement $a^{0} = a^{1} \div a = 1$ , puis $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ , et ainsi de suite.

Définition

Soit $a$ un réel non nul et $n$ un entier naturel non nul. On pose :

a^{0} = 1 et a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} .

La puissance $a^{n}$ est ainsi définie pour tout exposant entier relatif $n \in Z$ .

Exemple

$2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0,125$ .
$10^{- 2} = \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{100} = 0,01$ .
$5^{0} = 1$ et $(- 7)^{0} = 1$ : tout nombre non nul élevé à la puissance $0$ donne $1$ .
$a^{- 1} = \frac{1}{a}$ : c'est l'inverse de $a$ .

Remarque

Pourquoi exiger $a \neq 0$ ? Parce que $0^{- n}$ serait égal à $\frac{1}{0^{n}} = \frac{1}{0}$ , et la division par zéro est interdite. On garde $0^{n} = 0$ pour $n ⩾ 1$ , mais l'écriture $0^{0}$ n'est pas définie.
Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif ! $2^{- 3} = 0,125$ est un nombre positif : le signe $-$ dans l'exposant signifie « inverse », pas « opposé ».

Les règles de calcul sur les puissances

Tout l'intérêt des puissances vient de leurs règles de calcul : elles transforment des produits et des quotients en simples additions et soustractions d'exposants.

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls, $m$ et $n$ deux entiers relatifs.

Règle	Exemple
$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \times 2^{5} = 2^{8}$
$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$	$\frac{7^{9}}{7^{6}} = 7^{3}$
${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$	${(5^{2})}^{4} = 5^{8}$
$(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$	$6^{3} = 2^{3} \times 3^{3}$
${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$	${(\frac{2}{3})}^{4} = \frac{2^{4}}{3^{4}}$

Ces règles se comprennent en comptant les facteurs. Par exemple, pour la première :

2^{3} \times 2^{5} = \underset{3 facteurs}{\underset{⏟}{(2 \times 2 \times 2)}} \times \underset{5 facteurs}{\underset{⏟}{(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)}} = 2^{3 + 5} = 2^{8} .

On admet qu'elles restent valables pour des exposants négatifs — c'est d'ailleurs tout l'intérêt de la définition de $a^{- n}$ : elle a été choisie exactement pour cela.

Exemple

Avec des nombres, puis avec des lettres :

$3^{7} \times 3^{- 4} = 3^{7 + (- 4)} = 3^{3} = 27$ .
$\frac{5^{8}}{5^{10}} = 5^{8 - 10} = 5^{- 2} = \frac{1}{25}$ .
${(2^{3})}^{2} = 2^{6} = 64$ .
$(2 x)^{4} = 2^{4} x^{4} = 16 x^{4}$ (pour $x \neq 0$ ).
$x^{5} \times x^{- 5} = x^{0} = 1$ : un nombre et son inverse se « neutralisent ».

Remarque

Les deux premières règles exigent la même base ; les deux dernières exigent le même exposant. Ainsi $2^{3} \times 5^{3} = 10^{3}$ (même exposant), mais $2^{3} \times 5^{4}$ ne se simplifie par aucune règle : il faut le calculer tel quel.

Puissances de $10$ et écriture scientifique

Les puissances de $10$ sont les plus utilisées de toutes : elles structurent notre système décimal et servent, en sciences, à écrire les très grands et les très petits nombres. Réactivons ce qui a été vu au collège.

Propriété

Pour tout entier naturel $n$ non nul :

$10^{n}$ s'écrit $1$ suivi de $n$ zéros : $10^{3} = 1 000$ , $10^{6} = 1 000 000$ (un million) ;
$10^{- n}$ s'écrit $0,0 \dots 01$ avec le $1$ en $n$ -ième position après la virgule : $10^{- 3} = 0,001$ .

Toutes les règles de calcul s'appliquent : $10^{m} \times 10^{n} = 10^{m + n}$ , $\frac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m - n}$ , ${(10^{m})}^{n} = 10^{m n}$ .

Définition

L'écriture scientifique d'un nombre est son écriture sous la forme

a \times 10^{n},

où $a$ est un décimal ayant un seul chiffre, non nul, avant la virgule (autrement dit $1 ⩽ a < 10$ pour un nombre positif) et $n$ un entier relatif.

Exemple

$45 600 000 = 4,56 \times 10^{7}$ .
$0,003 2 = 3,2 \times 10^{- 3}$ .
La vitesse de la lumière vaut environ $300 000 000$ m/s, soit $3 \times 10^{8}$ m/s.
La masse d'un électron vaut environ $9,1 \times 10^{- 31}$ kg : sans les puissances de $10$ , il faudrait écrire trente zéros après la virgule.

Méthode

Simplifier une expression comportant des puissances.

On applique d'abord les règles sur les parenthèses : $(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$ et ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .
On regroupe les puissances de même base, en ajoutant les exposants des facteurs et en soustrayant ceux des dénominateurs.
On termine le calcul, en revenant si besoin à une écriture sans exposant négatif.

Exemples travaillés :

$\frac{2^{7} \times 2^{- 3}}{2^{2}} = 2^{7 + (- 3) - 2} = 2^{2} = 4$ .
${(3 x^{2})}^{3} \times x^{- 4} = 3^{3} \times x^{6} \times x^{- 4} = 27 x^{2}$ (pour $x \neq 0$ ).
$\frac{10^{5} \times 10^{- 8}}{10^{- 6}} = 10^{5 - 8 - (- 6)} = 10^{3} = 1 000$ .

Racines carrées

Au chapitre 2, le nombre $\sqrt{2}$ est apparu comme la diagonale du carré de côté $1$ , et on a démontré qu'il est irrationnel. Il est temps d'étudier les racines carrées pour elles-mêmes : définition précise, règles de calcul — et surtout ce qu'elles ne permettent pas de faire.

Définition

Soit $a$ un réel positif ou nul. La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $a$ :

\sqrt{a} ⩾ 0 et {(\sqrt{a})}^{2} = a .

Le symbole $\sqrt{}$ est le radical ; le nombre $a$ écrit dessous est le radicande.

Exemple

$\sqrt{9} = 3$ , car $3 ⩾ 0$ et $3^{2} = 9$ .
$\sqrt{0} = 0$ et $\sqrt{1} = 1$ .
$\sqrt{0,25} = 0,5$ , car ${0,5}^{2} = 0,25$ .
$\sqrt{2} \approx 1,414$ : ce nombre existe (on peut le construire géométriquement), mais il est irrationnel — aucune écriture décimale ou fractionnaire n'est exacte.

Remarque

Deux nombres ont pour carré $9$ : ce sont $3$ et $- 3$ . Mais la notation $\sqrt{9}$ désigne uniquement le positif : $\sqrt{9} = 3$ , jamais $- 3$ . C'est le mot « le » de la définition : la racine carrée est unique.
Pour $a < 0$ , l'écriture $\sqrt{a}$ n'existe pas : un carré de réel n'est jamais négatif, donc aucun réel n'a pour carré $- 4$ . Écrire « $\sqrt{- 4}$ » n'a pas de sens.

La racine carrée d'un carré

Que vaut $\sqrt{a^{2}}$ ? La tentation est grande de répondre « $a$ , évidemment » — et c'est faux en général. C'est ici que la valeur absolue du chapitre 2 refait surface.

Propriété

Pour tout réel $a$ (positif ou négatif) :

\sqrt{a^{2}} = ∣ a ∣ .

En effet, distinguons deux cas, comme dans la définition de la valeur absolue :

si $a ⩾ 0$ : le nombre $a$ est positif et son carré vaut $a^{2}$ , donc $\sqrt{a^{2}} = a = ∣ a ∣$ ;
si $a < 0$ : le nombre $- a$ est positif et $(- a)^{2} = a^{2}$ , donc $\sqrt{a^{2}} = - a = ∣ a ∣$ .

Dans les deux cas, on retrouve la valeur absolue de $a$ .

Exemple

$\sqrt{(- 5)^{2}} = \sqrt{25} = 5 = ∣ - 5 ∣$ — et non $- 5$ ! La racine carrée « efface le signe ».
$\sqrt{7^{2}} = 7$ : quand le nombre est positif, tout se passe bien.
Si $x = - 2$ , alors $\sqrt{x^{2}} = \sqrt{4} = 2 = ∣ x ∣$ , qui est différent de $x$ .

Moralité : simplifier $\sqrt{a^{2}}$ en $a$ n'est légitime que si l'on sait que $a$ est positif. Sinon, la seule écriture toujours correcte est $∣ a ∣$ .

Racine carrée d'un produit, d'un quotient

Comment calculer avec les racines carrées ? Deux règles, analogues à $(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$ , permettent de « couper » une racine en morceaux. La première fait l'objet d'une démonstration exigible.

Propriété

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ :

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} .

Démonstration (exigible). Par définition, $\sqrt{a b}$ est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a b$ . Pour montrer que $\sqrt{a} \sqrt{b}$ lui est égal, il suffit donc de vérifier que $\sqrt{a} \sqrt{b}$ possède ces deux propriétés.

Il est positif. Par définition de la racine carrée, $\sqrt{a} ⩾ 0$ et $\sqrt{b} ⩾ 0$ ; le produit de deux nombres positifs est positif, donc $\sqrt{a} \sqrt{b} ⩾ 0$ .
Son carré vaut $a b$ . D'après la règle $(x y)^{2} = x^{2} y^{2}$ vue dans la première partie :

{(\sqrt{a} \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} \times {(\sqrt{b})}^{2} = a \times b .

Le nombre $\sqrt{a} \sqrt{b}$ est positif et son carré vaut $a b$ : c'est donc la racine carrée de $a b$ , autrement dit $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ . $□$

Propriété

Pour tous réels $a ⩾ 0$ et $b > 0$ :

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} .

Cette propriété se démontre exactement comme la précédente : le quotient $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ est positif, et son carré vaut $\frac{a}{b}$ d'après la règle ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

Méthode

Simplifier une racine carrée.

On fait apparaître dans le radicande le plus grand carré parfait possible en facteur ( $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; $36$ ; $49$ ; $64$ ; $81$ ; $100$ …).
On applique $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$ , et on calcule la racine du carré parfait.

Exemples travaillés :

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ .
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6 \sqrt{2}$ .
Pour une somme, on simplifie d'abord chaque racine : $\sqrt{18} + \sqrt{8} = \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{4 \times 2} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ . Le dernier regroupement fonctionne comme $3 x + 2 x = 5 x$ : c'est le calcul littéral au service du calcul numérique.

Racine carrée d'une somme : attention !

Puisque la racine « se distribue » sur les produits et les quotients, on serait tenté d'écrire $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . C'est faux, et un simple exemple le prouve.

Exemple

Comparons $\sqrt{9 + 16}$ et $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ :

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, mais \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7.

Comme $5 \neq 7$ , on conclut : en général, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.

On peut dire mieux : le « bon » résultat est toujours plus petit. Pour le démontrer, on utilise un principe de comparaison que l'on admet ici.

Propriété

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : si $x ⩾ 0$ et $y ⩾ 0$ , alors

x < y \overset{ˊ}{e} quivaut \overset{ˋ}{a} x^{2} < y^{2} .

On admet pour l'instant cette propriété, très intuitive (agrandir un nombre positif agrandit son carré) ; les outils pour la démontrer seront mis en place au chapitre 4. Elle permet de comparer deux nombres positifs en comparant leurs carrés — ce qui est souvent plus simple quand des racines carrées sont en jeu.

Propriété

Si $a > 0$ et $b > 0$ , alors

\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b} .

Démonstration (exigible). Les deux nombres $\sqrt{a + b}$ et $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ sont positifs. D'après la propriété précédente, il suffit de comparer leurs carrés.

D'une part, par définition de la racine carrée : ${(\sqrt{a + b})}^{2} = a + b$ .
D'autre part, par double distributivité :

{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} + \sqrt{a} \sqrt{b} + \sqrt{b} \sqrt{a} + {(\sqrt{b})}^{2} = a + b + 2 \sqrt{a b} .

Or $a > 0$ et $b > 0$ , donc $a b > 0$ et $\sqrt{a b} > 0$ . Ainsi

{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = a + b + 2 \sqrt{a b} > a + b = {(\sqrt{a + b})}^{2} .

Les carrés sont rangés dans cet ordre, et les deux nombres comparés sont positifs : on conclut que $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . $□$

Méthode

Rendre entier le dénominateur d'un quotient.

Quand un dénominateur contient une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine : au dénominateur apparaît alors $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ , qui est entier.

Exemples travaillés :

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Cette écriture facilite les calculs à la main : il est plus simple d'évaluer $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1,414}{2} = 0,707$ que de diviser par $1,414 \dots$

Identités remarquables

Certains produits reviennent si souvent en calcul littéral qu'il faut connaître leur développement par cœur : ce sont les identités remarquables. Elles se lisent dans les deux sens — de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser — et rendent aussi de grands services en calcul mental. Rappelons d'abord l'outil de base, vu au collège.

Propriété

Pour tous réels $k$ , $a$ , $b$ , $c$ , $d$ :

distributivité simple : $k (a + b) = k a + k b$ ;
double distributivité : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .

Propriété

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ;
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ;
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ .

Démonstration (exigible). Commençons par une preuve géométrique de la première identité, dans le cas où $a$ et $b$ sont positifs. Considérons un carré de côté $a + b$ : son aire vaut $(a + b)^{2}$ . Découpons-le en quatre morceaux en partageant chaque côté en un segment de longueur $a$ et un segment de longueur $b$ :

Un carré de côté a+b découpé en un carré d'aire a deux, un carré d'aire b deux et deux rectangles d'aire ab

On obtient un carré de côté $a$ (aire $a^{2}$ ), un carré de côté $b$ (aire $b^{2}$ ) et deux rectangles de côtés $a$ et $b$ (aire $a b$ chacun). L'aire totale est la somme des aires des morceaux :

(a + b)^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .

Cette image explique la formule, mais suppose $a$ et $b$ positifs (ce sont des longueurs). La preuve algébrique, par double distributivité, est valable pour tous les réels :

(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} .

Les deux autres identités se démontrent de la même façon :

(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - b a + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2},

(a - b) (a + b) = a^{2} + a b - b a - b^{2} = a^{2} - b^{2} . □

Remarque

Le piège classique : $(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ en général ! Par exemple $(2 + 3)^{2} = 25$ alors que $2^{2} + 3^{2} = 13$ . La différence, c'est le double produit $2 a b$ , bien visible sur la figure : ce sont les deux rectangles. Élever au carré ne se « distribue » pas sur l'addition — pas plus que la racine carrée, comme on vient de le voir.

Méthode

Développer avec une identité remarquable.

On identifie les rôles de $a$ et de $b$ dans l'expression.
On applique la formule, en calculant soigneusement le double produit.

Exemples travaillés :

$(x + 5)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} + 10 x + 25$ .
$(3 x - 2)^{2} = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$ .
$(2 x - 7) (2 x + 7) = (2 x)^{2} - 7^{2} = 4 x^{2} - 49$ .

Méthode

Factoriser avec une identité remarquable.

On lit les identités de droite à gauche. Deux situations à reconnaître :

Trois termes dont deux carrés : on teste $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ou $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ , en vérifiant le double produit.
Une différence de deux carrés : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Exemples travaillés :

$x^{2} + 6 x + 9$ : on reconnaît $x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2}$ , le double produit $2 \times x \times 3 = 6 x$ est correct, donc $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ .
$4 x^{2} - 25 = (2 x)^{2} - 5^{2} = (2 x - 5) (2 x + 5)$ .
$x^{2} - 3$ : le nombre $3$ n'est pas un carré parfait, mais grâce aux racines carrées, c'est tout de même un carré : $3 = {(\sqrt{3})}^{2}$ . Donc

x^{2} - 3 = x^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) .

Les racines carrées élargissent considérablement le champ des factorisations possibles.

Exemple

Calcul mental astucieux. Les identités remarquables permettent de calculer de tête des produits en apparence difficiles :

$101^{2} = (100 + 1)^{2} = 100^{2} + 2 \times 100 \times 1 + 1^{2} = 10 000 + 200 + 1 = 10 201$ ;
$99 \times 101 = (100 - 1) (100 + 1) = 100^{2} - 1^{2} = 10 000 - 1 = 9 999$ ;
$98^{2} = (100 - 2)^{2} = 10 000 - 400 + 4 = 9 604$ .

Expressions algébriques et expressions fractionnaires

Développer, factoriser, réduire : trois verbes qui décrivent les transformations d'une expression littérale. Précisons ce vocabulaire, puis étendons-le aux expressions où la lettre figure au dénominateur.

Définition

Développer une expression, c'est l'écrire sous forme de somme (de termes).
Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme de produit (de facteurs).
Réduire une expression développée, c'est regrouper les termes « semblables » (les termes en $x^{2}$ ensemble, les termes en $x$ ensemble, les constantes ensemble).

Exemple

Développons et réduisons $B = (2 x + 1) (x - 3) - (x - 2)^{2}$ .

\begin{aligned} B & = (2 x + 1) (x - 3) - (x - 2)^{2} \\ = 2 x^{2} - 6 x + x - 3 - (x^{2} - 4 x + 4) \\ = 2 x^{2} - 5 x - 3 - x^{2} + 4 x - 4 \\ = x^{2} - x - 7. \end{aligned}

Deux points de vigilance : l'identité remarquable pour $(x - 2)^{2}$ , et le signe $-$ devant la parenthèse, qui change tous les signes à l'intérieur.

Exemple

Pour factoriser, on cherche d'abord un facteur commun, puis une identité remarquable :

$6 x^{2} + 4 x = 2 x \times 3 x + 2 x \times 2 = 2 x (3 x + 2)$ : le facteur commun est $2 x$ .
$(x + 1) (x - 2) + (x + 1) (3 x + 5) = (x + 1) [(x - 2) + (3 x + 5)] = (x + 1) (4 x + 3)$ : le facteur commun est toute la parenthèse $(x + 1)$ .

Expressions fractionnaires

Quand la lettre apparaît au dénominateur, une précaution s'impose avant tout calcul : un dénominateur ne doit jamais être nul. On écarte donc les valeurs de $x$ qui l'annulent avant de transformer l'expression.

Exemple

Simplifions $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ .

Cette expression n'a de sens que si $x + 3 \neq 0$ , c'est-à-dire pour $x \neq - 3$ . Sous cette condition, on factorise le numérateur (différence de deux carrés) puis on simplifie :

\frac{x^{2} - 9}{x + 3} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{x + 3} = x - 3 pour x \neq - 3.

La mention « pour $x \neq - 3$ » fait partie de la réponse : sans elle, l'égalité est incorrecte, puisque le membre de gauche n'existe pas en $x = - 3$ alors que celui de droite existe.

Exemple

Écrivons $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$ sous la forme d'un seul quotient.

L'expression a un sens si $x \neq 0$ et $x \neq - 1$ . On met les deux fractions au même dénominateur $x (x + 1)$ , comme pour un calcul de fractions numériques :

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x (x + 1)} + \frac{x}{x (x + 1)} = \frac{2 x + 1}{x (x + 1)} pour x \neq 0 et x \neq - 1.

Remarque

Les valeurs écartées ( $- 3$ dans le premier exemple, $0$ et $- 1$ dans le second) sont souvent appelées valeurs interdites de l'expression. Ce repérage restera un réflexe indispensable ; le vocabulaire précis pour désigner l'ensemble des valeurs autorisées sera introduit au chapitre suivant.

Transformer une formule

Les sciences et la géométrie regorgent de formules : $U = R I$ en électricité, $d = v t$ pour un mouvement uniforme, $S = π r^{2}$ pour l'aire d'un disque… Une formule est une égalité littérale, et elle est toujours écrite « dans un sens ». Or on a souvent besoin de l'autre sens : connaissant la distance et la vitesse, retrouver la durée. Transformer une formule pour isoler la variable cherchée, c'est encore du calcul littéral.

Méthode

Isoler une variable dans une formule.

On repère la variable à isoler et les opérations qui la « recouvrent ».
On les défait une à une, en effectuant la même opération sur les deux membres de l'égalité : ajouter ou soustraire un même terme, multiplier ou diviser par une même quantité non nulle, prendre la racine carrée d'une quantité positive.
On termine quand la variable est seule dans un membre.

Exemple

Sur des formules simples (les quantités physiques en jeu sont non nulles) :

$U = R I$ : pour isoler $R$ , on divise les deux membres par $I$ , d'où $R = \frac{U}{I}$ .
$d = v t$ : pour isoler $v$ , on divise par la durée $t$ , d'où $v = \frac{d}{t}$ .
$V = a b c$ (volume d'un pavé droit) : pour isoler $c$ , on divise par $a b$ , d'où $c = \frac{V}{a b}$ .

Exemple

Relation du premier degré. Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels avec $a \neq 0$ , liés à $x$ par la relation $a x + b = c$ . Exprimons $x$ en fonction de $a$ , $b$ et $c$ :

on soustrait $b$ aux deux membres : $a x = c - b$ ;
on divise les deux membres par $a$ (non nul) : $x = \frac{c - b}{a}$ .

Exemple

Exemple travaillé complet : le cylindre. Le volume d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ vaut $V = π r^{2} h$ .

Isolons $h$ . On divise les deux membres par $π r^{2}$ (non nul, car $r > 0$ ) :

h = \frac{V}{π r^{2}} .

Application : une canette de volume $V = 330$ cm $^{3}$ et de rayon $r = 3$ cm a pour hauteur $h = \frac{330}{9 π} \approx 11,7$ cm (arrondi au millimètre, cohérent avec la précision des données — voir le chapitre 2).

Isolons maintenant $r$ dans la formule de l'aire du disque $S = π r^{2}$ . En divisant par $π$ :

r^{2} = \frac{S}{π} .

Le rayon $r$ est une longueur, donc un nombre positif dont le carré vaut $\frac{S}{π}$ : par définition de la racine carrée, c'est exactement

r = \sqrt{\frac{S}{π}} .

Application : pour un disque d'aire $S = 50$ cm $^{2}$ , on obtient $r = \sqrt{\frac{50}{π}} \approx 4,0$ cm.

Remarque

Dans la dernière étape, c'est bien la définition de la racine carrée qui autorise à écrire $r = \sqrt{\frac{S}{π}}$ : on sait que $r$ est positif. Pour un réel de signe inconnu, on retomberait sur la subtilité $\sqrt{r^{2}} = ∣ r ∣$ vue plus haut.

Choisir la forme la plus adaptée

Une même expression peut s'écrire sous plusieurs formes : développée réduite, factorisée, ou autre. Aucune n'est « meilleure » dans l'absolu — chacune rend certains calculs immédiats et d'autres pénibles. Savoir choisir la forme adaptée à l'objectif est une compétence centrale du calcul littéral.

Méthode

Choisir la forme d'une expression selon l'objectif.

Pour calculer la valeur de l'expression en un nombre simple (comme $0$ ) : la forme développée réduite est souvent la plus rapide.
Pour montrer qu'une valeur de l'expression est nulle, ou pour un calcul mental astucieux : la forme factorisée est reine (un produit est nul dès qu'un facteur l'est ; un produit se prête aux identités remarquables).
Pour comparer l'expression à une autre ou repérer sa structure : on choisit la forme qui fait apparaître le lien cherché.

Exemple

Considérons l'expression $A = (x + 3)^{2} - 16$ . Donnons-en deux autres formes.

Forme développée réduite : $A = x^{2} + 6 x + 9 - 16 = x^{2} + 6 x - 7$ .
Forme factorisée : $A$ est une différence de deux carrés, $A = (x + 3)^{2} - 4^{2} = (x + 3 - 4) (x + 3 + 4) = (x - 1) (x + 7)$ .

Utilisons maintenant chaque forme là où elle excelle :

valeur en $x = 0$ : la forme développée donne immédiatement $A = - 7$ ;
valeur en $x = 1$ : la forme factorisée donne $A = 0 \times 8 = 0$ , sans aucun calcul ;
valeur en $x = - 3$ : la forme initiale donne $A = 0 - 16 = - 16$ d'un coup d'œil ;
valeur en $x = 97$ : la forme factorisée donne $A = 96 \times 104 = (100 - 4) (100 + 4) = 10 000 - 16 = 9 984$ — un calcul mental, grâce à l'identité $a^{2} - b^{2}$ !

Trois formes, quatre calculs, et à chaque fois une forme rend le travail trivial : avant de calculer, il faut choisir son outil.

Un algorithme : la première puissance qui dépasse un seuil

Quand $q > 1$ , les puissances $q^{0}$ , $q^{1}$ , $q^{2}$ , $\dots$ sont de plus en plus grandes, et finissent par dépasser n'importe quel seuil. Question naturelle : à partir de quel exposant ? Par exemple, quelle est la première puissance de $2$ qui dépasse un million ? Comme pour l'encadrement de $\sqrt{2}$ au chapitre 2, on avance pas à pas jusqu'à franchir le seuil — mais ici, le « pas » est une multiplication par $q$ .

q = 2               # base : nombre strictement superieur a 1
M = 10**6           # seuil a depasser (un million)
n = 0               # exposant courant
p = 1               # valeur de q**n (au depart, q**0 = 1)

while p <= M:       # tant que la puissance ne depasse pas le seuil...
    n = n + 1       # ... on passe a l'exposant suivant
    p = p * q       # ... et la puissance est multipliee par q

print(n)            # premier exposant tel que q**n > M : affiche 20
print(p)            # valeur de cette puissance : affiche 1048576

Expliquons le fonctionnement :

les variables n et p évoluent ensemble : à chaque instant, p contient la valeur de $q^{n}$ (au départ, $n = 0$ et $p = q^{0} = 1$ ) ;
la boucle while répète ses deux instructions tant que la condition p <= M est vraie : passer à l'exposant suivant, c'est multiplier la puissance par $q$ (c'est la règle $q^{n} \times q = q^{n + 1}$ ) ;
la boucle s'arrête à la première valeur de p qui dépasse strictement le seuil : à ce moment, $q^{n} > M$ , alors que la puissance précédente vérifiait encore $q^{n - 1} ⩽ M$ ;
comme $q > 1$ , les puissances croissent sans limite : la boucle est certaine de s'arrêter.

Pour $q = 2$ et $M = 10^{6}$ , le programme affiche $20$ puis $1 048 576$ . Autrement dit :

2^{19} = 524 288 ⩽ 10^{6} et 2^{20} = 1 048 576 > 10^{6} .

La première puissance de $2$ qui dépasse le million est donc $2^{20}$ .

Remarque

Et si $0 < q < 1$ ? Les puissances successives sont alors de plus en plus petites et se rapprochent de $0$ : la bonne question devient « quelle est la première puissance inférieure à un seuil ? ». Il suffit d'inverser la condition de la boucle, en écrivant while p >= M:. Par exemple, pour $q = 0,5$ et $M = 0,001$ , le programme modifié affiche $n = 10$ : on a ${0,5}^{9} \approx 0,001 95 ⩾ 0,001$ tandis que ${0,5}^{10} \approx 0,000 98 < 0,001$ .

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