Arithmétique et ensembles de nombres

Trouver tous les diviseurs positifs d'un entier. On cherche toutes les écritures du nombre comme produit de deux entiers positifs, en testant les facteurs dans l'ordre : $1$, puis $2$, puis $3$… Chaque produit trouvé fournit deux diviseurs à la fois. On s'arrête dès que les deux facteurs se croisent : au-delà, on retrouverait les produits déjà écrits.

Exemple avec $60$. On teste successivement :

Le nombre $7$ ne divise pas $60$ (car $7\times 8=56$ et $7\times 9=63$), et le facteur suivant serait $8$, or $8\times 8=64>60$ : les facteurs se sont croisés, la recherche est terminée. Les diviseurs positifs de $60$ sont donc :

Raisonner par disjonction de cas. Pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier $n$, on peut traiter séparément le cas où $n$ est pair et le cas où $n$ est impair. Si la propriété est vraie dans les deux cas, elle est vraie pour tout entier.

Exemple : montrer que $n(n+1)$ est toujours pair.

• Cas 1 : $n$ est pair. Il existe un entier $k$ tel que $n=2k$. Alors $n(n+1)=2k(n+1)=2\times (k(n+1))$, qui est un multiple de $2$ : le produit est pair.
• Cas 2 : $n$ est impair. Il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$. Alors $n+1=2k+2=2(k+1)$, donc $n(n+1)=2\times ((k+1)n)$ : le produit est pair.

Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair : le produit de deux entiers consécutifs est donc toujours pair.

Rendre une fraction irréductible par simplifications successives. On repère un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (les critères de divisibilité sont très utiles), on simplifie, et on recommence jusqu'à ce qu'aucune simplification ne soit possible.

Exemple avec ${\displaystyle \frac{630}{924}}$.

1. Les deux nombres sont pairs : ${\displaystyle \frac{630}{924}}={\displaystyle \frac{315}{462}}$… mais $462$ est encore pair et $315$ ne l'est plus. On cherche un autre diviseur commun.
2. Sommes des chiffres : $3+1+5=9$ et $4+6+2=12$, toutes deux divisibles par $3$ : ${\displaystyle \frac{315}{462}}={\displaystyle \frac{105}{154}}$.
3. Le nombre $105$ est divisible par $5$, mais pas $154$ : on n'y touche pas. En revanche, $105=7\times 15$ et $154=7\times 22$ : ${\displaystyle \frac{105}{154}}={\displaystyle \frac{15}{22}}$.
4. On a vu que ${\displaystyle \frac{15}{22}}$ est irréductible : c'est la forme cherchée, ${\displaystyle \frac{630}{924}}={\displaystyle \frac{15}{22}}$.

Rendre une fraction irréductible avec les facteurs premiers. On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers (méthode vue en troisième : on divise par $2$, puis $3$, puis $5$… autant de fois que possible), puis on barre les facteurs communs.

Exemple avec ${\displaystyle \frac{504}{588}}$. Les décompositions donnent :

On simplifie par tous les facteurs communs, c'est-à-dire par $2^2$, par $3$ et par $7$ :

Après simplification, les écritures $2\times 3$ et $7$ n'ont plus aucun facteur premier commun : la fraction ${\displaystyle \frac{6}{7}}$ est irréductible.

Déterminer si un entier naturel $a$ est multiple d'un entier naturel $b$. On calcule le reste a % b et on le compare à $0$. La fonction renvoie un booléen : True (vrai) ou False (faux).

def est_multiple(a, b):
    if a % b == 0:
        return True
    else:
        return False

Ainsi, est_multiple(91, 7) renvoie True car $91=13\times 7$, tandis que est_multiple(30, 7) renvoie False.

Déterminer le plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$. L'idée est d'avancer de $a$ en $a$ en partant de $0$, comme sur une droite graduée, et de s'arrêter juste avant de dépasser $b$. La boucle while répète l'instruction « avancer de $a$ » tant que le pas suivant ne dépasse pas $b$.

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

Par exemple, plus_grand_multiple(7, 100) renvoie $98$ : la variable m prend successivement les valeurs $0$, $7$, $14$, …, $91$, $98$, puis la boucle s'arrête car $98+7=105>100$. Le test m + a <= b est essentiel : si on avait écrit m <= b, la fonction avancerait un cran trop loin et pourrait renvoyer un multiple dépassant $b$.