4ᵉ · Chapitre 04 · Nombres et calculs · Espace et géométrie

Racine carrée et théorème de Pythagore

Carrés parfaits, racine carrée ; théorème de Pythagore direct et réciproque, calculs de longueurs.

Ce qu'il faut savoir faire

Carrés parfaits
Racine carrée
Théorème de Pythagore direct et réciproque
Calculs de longueurs

Comment connaître la longueur de la diagonale d'un écran sans poser la règle dessus ? Celle d'une échelle appuyée contre un mur, alors qu'on ne connaît que la hauteur du mur et la distance au pied de l'échelle ? Il y a plus de 2 500 ans, les mathématiciens grecs savaient déjà répondre : dans un triangle rectangle, les trois côtés sont liés par une égalité célèbre, le théorème de Pythagore. Pour l'exploiter pleinement, il te faut d'abord un nouvel outil de calcul : la racine carrée. C'est par elle que nous commençons.

Carrés parfaits et racine carrée

Petit rappel : le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même. Ainsi $7^{2} = 7 \times 7 = 49$ .

Définition

Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Les premiers carrés parfaits sont à connaître par cœur :

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$n^{2}$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$

Maintenant, renversons la question : $49$ est le carré de quel nombre ? De $7$ , bien sûr. On dit que $7$ est la racine carrée de $49$ . La racine carrée fait le chemin inverse du carré.

Définition

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . On la note $\sqrt{a}$ .

Autrement dit, $\sqrt{a}$ est le nombre positif qui vérifie ${(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

Un nombre négatif n'a pas de racine carrée, car aucun carré n'est négatif.

Exemple

$\sqrt{81} = 9$ , car $9^{2} = 81$ et $9$ est positif. Grâce au tableau des carrés parfaits, tu peux lire de la même façon :

a. $\sqrt{1} = 1$

b. $\sqrt{25} = 5$

c. $\sqrt{64} = 8$

d. $\sqrt{100} = 10$

e. $\sqrt{144} = 12$

f. $\sqrt{225} = 15$

Mais que vaut $\sqrt{2}$ ? Ce n'est pas un nombre entier : $1^{2} = 1$ , c'est trop petit, et $2^{2} = 4$ , c'est trop grand. La racine carrée de $2$ est donc un nombre compris entre $1$ et $2$ . Ta calculatrice possède une touche dédiée (souvent notée $\sqrt{}$ ) : elle affiche $\sqrt{2} \approx 1,4142135 \dots$ et les décimales ne s'arrêtent jamais.

Méthode

Valeur exacte ou valeur approchée ?

Si le nombre sous la racine est un carré parfait, la racine carrée est un nombre entier : on l'écrit avec le signe $=$ . Exemple : $\sqrt{49} = 7$ .
Sinon, l'écriture $\sqrt{a}$ est la valeur exacte : on la laisse telle quelle quand l'énoncé demande une valeur exacte.
Si l'énoncé demande un arrondi, on utilise la calculatrice et on écrit le résultat avec le symbole $\approx$ , jamais avec $=$ .

Exemple

Donner la valeur exacte de $\sqrt{10}$ , puis son arrondi au centième.

$10$ n'est pas un carré parfait : la valeur exacte est $\sqrt{10}$ , tout simplement. La calculatrice affiche $3,16227 \dots$ , donc l'arrondi au centième est $\sqrt{10} \approx 3,16$ .

Attention : écrire $\sqrt{10} = 3,16$ serait faux, car ${3,16}^{2} = 9,9856$ , et non $10$ .

Voilà pour l'outil de calcul. Passons maintenant à la géométrie, avec un mot de vocabulaire indispensable.

Le vocabulaire du triangle rectangle

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est le plus grand côté du triangle.

Triangle ABC rectangle en A, avec l'angle droit codé en A et l'hypoténuse [BC] mise en évidence

Sur la figure, le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ : l'angle droit est au sommet $A$ , et l'hypoténuse est le côté $[B C]$ , celui qui fait face à l'angle droit. Repérer l'hypoténuse sans se tromper est le premier réflexe à acquérir : tout le chapitre repose dessus.

Le théorème de Pythagore

Voici le résultat central du chapitre, connu depuis l'Antiquité.

Propriété

Théorème de Pythagore. Si un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .

D'où vient cette égalité ? Observe le triangle rectangle dont les côtés mesurent $3$ , $4$ et $5$ , et construis un carré sur chacun de ses trois côtés :

Triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, avec les trois carrés construits sur ses côtés, d'aires 9, 16 et 25

Le carré construit sur le côté de $3$ a une aire de $9$ , celui construit sur le côté de $4$ a une aire de $16$ , et celui construit sur l'hypoténuse a une aire de $25$ . Or $9 + 16 = 25$ : l'aire du grand carré est exactement la somme des aires des deux petits ! Le théorème de Pythagore dit que ce phénomène se produit dans tous les triangles rectangles : les carrés des longueurs des côtés sont les aires de ces carrés.

Méthode

Calculer l'hypoténuse.

On cite le triangle rectangle et la position de l'angle droit, puis on invoque le théorème de Pythagore.
On écrit l'égalité de Pythagore avec les noms des côtés.
On remplace les longueurs connues par leurs valeurs et on calcule le carré de l'hypoténuse.
On conclut avec la racine carrée : le côté cherché est une longueur, donc c'est le nombre positif dont le carré vaut le résultat trouvé. On donne la valeur exacte, ou un arrondi si l'énoncé le demande.

Exemple

Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , avec $A B = 6$ cm et $A C = 8$ cm. Calculer $B C$ .

Dans le triangle $A B C$ rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .

Donc $B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ .

$B C$ est une longueur, donc $B C = \sqrt{100} = 10$ . L'hypoténuse mesure $10$ cm.

Ici, le résultat tombait juste, car $100$ est un carré parfait. Ce n'est pas toujours le cas : c'est là que la racine carrée et l'arrondi entrent en scène.

Exemple

Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , avec $A B = 5$ cm et $A C = 7$ cm. Calculer $B C$ , arrondi au millimètre.

Dans le triangle $A B C$ rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 5^{2} + 7^{2} = 25 + 49 = 74.

$B C^{2} = 74$ et $B C$ est une longueur, donc $B C = \sqrt{74}$ : c'est la valeur exacte. À la calculatrice, $B C = \sqrt{74} \approx 8,6$ cm.

Calculer un côté de l'angle droit

Le théorème sert aussi quand on connaît l'hypoténuse et qu'on cherche l'un des deux autres côtés. L'égalité de Pythagore reste la même ; c'est le côté inconnu qui change de place, et on l'isole par une soustraction.

Méthode

Calculer un côté de l'angle droit.

On écrit l'égalité de Pythagore, comme d'habitude : le carré de l'hypoténuse d'un côté, la somme des deux autres carrés de l'autre.
On remplace les longueurs connues par leurs valeurs.
On isole le carré du côté cherché par une soustraction : carré de l'hypoténuse moins carré du côté connu.
On conclut avec la racine carrée, comme pour l'hypoténuse.

Exemple

Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ , avec $B C = 13$ cm et $A B = 5$ cm. Calculer $A C$ .

Dans le triangle $A B C$ rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .

Donc $13^{2} = 5^{2} + A C^{2}$ , c'est-à-dire $169 = 25 + A C^{2}$ .

On isole le carré cherché : $A C^{2} = 169 - 25 = 144$ .

$A C$ est une longueur, donc $A C = \sqrt{144} = 12$ . Le côté $[A C]$ mesure $12$ cm.

Un bon réflexe de vérification : le résultat trouvé doit être plus petit que l'hypoténuse ( $12 < 13$ , c'est cohérent). Si tu obtiens un côté plus grand que l'hypoténuse, c'est que tu as additionné au lieu de soustraire.

La réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle

Jusqu'ici, on savait que le triangle était rectangle et on calculait une longueur. Renversons le point de vue : on connaît les trois côtés d'un triangle, et on se demande s'il est rectangle. C'est le travail de la réciproque du théorème.

Propriété

Réciproque du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté.

Autrement dit : si dans un triangle $A B C$ on a $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , alors le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ .

Méthode

Démontrer qu'un triangle est rectangle.

On repère le plus grand côté (le seul qui puisse être l'hypoténuse).
On calcule séparément : d'une part le carré du plus grand côté, d'autre part la somme des carrés des deux autres côtés. Surtout, on n'écrit pas l'égalité avant de l'avoir vérifiée !
On compare les deux résultats. S'ils sont égaux, on conclut en citant la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle est rectangle, et l'angle droit est en face du plus grand côté.

Exemple

Le triangle $R S T$ vérifie $R S = 5$ cm, $S T = 12$ cm et $R T = 13$ cm. Est-il rectangle ?

Le plus grand côté est $[R T]$ .

D'une part : $R T^{2} = 13^{2} = 169$ .

D'autre part : $R S^{2} + S T^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169$ .

On constate que $R T^{2} = R S^{2} + S T^{2}$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $R S T$ est rectangle en $S$ , le sommet opposé au plus grand côté $[R T]$ .

Note bien la rédaction en deux temps, « d'une part... d'autre part... » : tant que la comparaison n'est pas faite, tu ne sais pas si l'égalité est vraie. L'écrire d'emblée reviendrait à supposer ce que tu cherches à démontrer.

Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

La même démarche permet de conclure quand la comparaison échoue. Le raisonnement s'appuie cette fois sur le théorème direct : si le triangle était rectangle, l'égalité de Pythagore serait vraie. Comme elle est fausse, le triangle ne peut pas être rectangle.

Méthode

Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

On repère le plus grand côté et on calcule séparément son carré, puis la somme des deux autres carrés, exactement comme pour la réciproque.
Les deux résultats sont différents. On rédige alors : « Si le triangle était rectangle, il le serait au sommet opposé au plus grand côté et, d'après le théorème de Pythagore, l'égalité serait vraie. Or elle ne l'est pas : le triangle n'est donc pas rectangle. »

Exemple

Le triangle $D E F$ vérifie $D E = 4$ cm, $E F = 5$ cm et $D F = 6$ cm. Est-il rectangle ?

Le plus grand côté est $[D F]$ .

D'une part : $D F^{2} = 6^{2} = 36$ .

D'autre part : $D E^{2} + E F^{2} = 4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$ .

Or $36 \neq 41$ . Si le triangle $D E F$ était rectangle, il le serait en $E$ et, d'après le théorème de Pythagore, on aurait $D F^{2} = D E^{2} + E F^{2}$ , ce qui n'est pas le cas. Le triangle $D E F$ n'est donc pas rectangle.

Ce qu'il faut retenir

Le théorème de Pythagore et sa réciproque répondent à trois questions bien distinctes. Avant de te lancer, identifie laquelle l'énoncé te pose :

Je connais	Je cherche	Ce que je calcule
les deux côtés de l'angle droit	l'hypoténuse	la somme des carrés, puis la racine
l'hypoténuse et un côté	l'autre côté	la différence des carrés, puis la racine
les trois côtés	rectangle ou pas ?	les deux calculs séparés, à comparer

Pour la troisième ligne, c'est la comparaison qui conclut : si les deux résultats sont égaux, la réciproque garantit que le triangle est rectangle ; s'ils sont différents, le triangle n'est pas rectangle.

Dans les problèmes concrets (échelle contre un mur, diagonale d'un écran, figures composées de plusieurs triangles), le travail est le même : repère un triangle rectangle dans la situation, nomme son hypoténuse, et choisis la bonne ligne du tableau. Avec les carrés parfaits en tête et une rédaction soignée, une étape par ligne, tu es paré pour tout le chapitre.

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Je connais

Je cherche

Ce que je calcule

les deux côtés de l'angle droit

l'hypoténuse

la somme des carrés, puis la racine

l'hypoténuse et un côté

l'autre côté

la différence des carrés, puis la racine

les trois côtés

rectangle ou pas ?

les deux calculs séparés, à comparer