4ᵉ · Chapitre 03 · Nombres et calculs

Puissances

Puissances de 10 (exposants positifs et négatifs), puissances d'exposant positif d'un nombre quelconque, notation scientifique, ordres de grandeur.

Sommaire

Ce qu'il faut savoir faire

Puissances de 10 (exposants positifs et négatifs)
Puissances d'exposant positif d'un nombre quelconque
Notation scientifique
Ordres de grandeur

En cinquième, tu as découvert le carré et le cube d'un nombre. Cette année, on généralise l'idée à n'importe quel exposant, et on met cette écriture au service d'un vrai défi : écrire commodément les nombres immenses (la distance d'une étoile, le nombre d'atomes dans un grain de sable) comme les nombres minuscules (la taille d'un virus, l'épaisseur d'un brin d'ADN). Les puissances de $10$ et la notation scientifique sont le langage quotidien des physiciens, des astronomes et des biologistes : à la fin de ce chapitre, tu le parleras aussi.

Puissances d'un nombre : l'exposant compte les facteurs

Définition

Soit $a$ un nombre et $n$ un entier supérieur ou égal à $1$ . La puissance $n$ -ième de $a$ , notée $a^{n}$ , est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ :

a^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}} .

L'écriture $a^{n}$ se lit « $a$ exposant $n$ ». Le nombre $a$ s'appelle la base, le nombre $n$ s'appelle l'exposant. Cas particuliers : $a^{1} = a$ (un seul facteur), $a^{2}$ est le carré de $a$ et $a^{3}$ son cube, comme en cinquième.

Exemple

Avec des entiers. $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ et $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ .

Avec des décimaux. ${1,5}^{2} = 1,5 \times 1,5 = 2,25$ et ${0,2}^{3} = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008$ .

Avec des relatifs. $(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9$ , mais $(- 2)^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8$ . Le signe du résultat n'est pas toujours le même : on y revient juste en dessous.

Rappelle-toi le piège vu en cinquième : l'exposant ne se multiplie pas, il compte les facteurs. Ainsi $2^{5} = 32$ , et surtout pas $2 \times 5 = 10$ .

Que devient le signe quand la base est négative ? Tu as appris au chapitre 1 que le signe d'un produit dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs. Or dans $(- 2)^{n}$ , tous les facteurs sont négatifs : il y en a exactement $n$ . Observe :

(- 2)^{1} = - 2 (- 2)^{2} = 4 (- 2)^{3} = - 8 (- 2)^{4} = 16 (- 2)^{5} = - 32.

Propriété

Signe d'une puissance d'un nombre négatif (observé sur les exemples). Si $a$ est un nombre négatif :

lorsque l'exposant $n$ est pair, la puissance $a^{n}$ est positive ;
lorsque l'exposant $n$ est impair, la puissance $a^{n}$ est négative.

Une puissance d'un nombre positif, elle, est toujours positive.

Attention au piège le plus redoutable du chapitre : $- 2^{4}$ et $(- 2)^{4}$ ne sont pas le même nombre ! Dans $(- 2)^{4}$ , les parenthèses indiquent que c'est le nombre $- 2$ qui est élevé à la puissance $4$ : le résultat vaut $16$ . Dans $- 2^{4}$ , sans parenthèses, la puissance est prioritaire : on calcule d'abord $2^{4} = 16$ , puis on prend l'opposé, et $- 2^{4} = - 16$ . Une paire de parenthèses, deux résultats opposés.

Exemple

Simplifier l'écriture d'un produit. La notation puissance sert d'abord à raccourcir les écritures : $7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^{5}$ , et $(- 5) \times (- 5) \times (- 5) = (- 5)^{3}$ .

Elle fonctionne aussi quand les facteurs sont déjà groupés. Dans $3^{2} \times 3^{4}$ , on recompte les facteurs : $3^{2} \times 3^{4} = (3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3 \times 3)$ , soit $6$ facteurs égaux à $3$ en tout, donc $3^{2} \times 3^{4} = 3^{6}$ .

Propriété

Priorités opératoires. Dans un calcul, les puissances se calculent avant les multiplications, les divisions, les additions et les soustractions. Les parenthèses restent prioritaires sur tout.

Exemple

Calculer $A = 5 \times 2^{3}$ . La puissance d'abord : $2^{3} = 8$ , puis $A = 5 \times 8 = 40$ . Sans cette règle, on trouverait $10^{3} = 1 000$ : résultat faux.

Calculer $B = (5 \times 2)^{3}$ . Les parenthèses d'abord : $5 \times 2 = 10$ , puis $B = 10^{3} = 1 000$ . Compare avec $A$ : la place des parenthèses change tout.

Calculer $C = 100 - 3 \times 2^{4}$ . La puissance : $2^{4} = 16$ ; la multiplication : $3 \times 16 = 48$ ; la soustraction : $C = 100 - 48 = 52$ .

Les puissances de 10 : du très grand…

Tu connais déjà $10^{2} = 100$ et $10^{3} = 1 000$ . La règle se prolonge sans surprise : chaque facteur $10$ supplémentaire ajoute un zéro.

Propriété

Pour tout entier $n \geq 1$ , la puissance $10^{n}$ s'écrit $1$ suivi de $n$ zéros :

10^{n} = \underset{n facteurs}{\underset{⏟}{10 \times 10 \times \dots \times 10}} = 1 \underset{n z \overset{ˊ}{e} ros}{\underset{⏟}{0 \dots 0}} .

En particulier : $10^{3} = 1 000$ (mille), $10^{6} = 1 000 000$ (un million) et $10^{9} = 1 000 000 000$ (un milliard).

Exemple

$10^{5} = 100 000$ et $10^{7} = 10 000 000$ . Dans l'autre sens : $10 000 = 10^{4}$ . Et la population mondiale, environ huit milliards d'humains, s'écrit $8 \times 10^{9}$ : huit fois un milliard.

Et $10^{0}$ , qu'est-ce que ça peut bien vouloir dire ? « Un produit de zéro facteur » n'a pas de sens évident. Pour le découvrir, descendons l'escalier des puissances de $10$ : quand l'exposant diminue de $1$ , le nombre est divisé par $10$ :

10^{3} = 1 000 10^{2} = 100 10^{1} = 10.

Chaque étape divise par $10$ . Pour que l'escalier continue sans accroc, l'étage suivant doit valoir $10 \div 10$ , c'est-à-dire $1$ .

Propriété

10^{0} = 1.

C'est la seule valeur qui prolonge la règle « diminuer l'exposant de $1$ , c'est diviser par $10$ ».

… au très petit : les exposants négatifs

Rien ne nous oblige à nous arrêter à $10^{0}$ : continuons à descendre l'escalier en divisant par $10$ à chaque marche. Après $10^{0} = 1$ vient $1 \div 10 = 0,1$ , puis $0,1 \div 10 = 0,01$ , et ainsi de suite. On note ces nouveaux étages avec des exposants négatifs :

10^{- 1} = 0,1 10^{- 2} = 0,01 10^{- 3} = 0,001.

Définition

Pour tout entier $n \geq 1$ , on définit :

10^{- n} = \frac{1}{10^{n}} .

Son écriture décimale est $0,0 \dots 01$ , où le chiffre $1$ occupe le $n$ -ième rang après la virgule. Par exemple $10^{- 3} = \frac{1}{1 000} = 0,001$ : le $1$ est au troisième rang, celui des millièmes.

Voici le panorama complet, de l'infiniment petit au très grand. D'abord les exposants négatifs :

Puissance	Écriture décimale	Nom
$10^{- 9}$	$0,000 000 001$	un milliardième
$10^{- 8}$	$0,000 000 01$	un cent-millionième
$10^{- 7}$	$0,000 000 1$	un dix-millionième
$10^{- 6}$	$0,000 001$	un millionième
$10^{- 5}$	$0,000 01$	un cent-millième
$10^{- 4}$	$0,000 1$	un dix-millième
$10^{- 3}$	$0,001$	un millième
$10^{- 2}$	$0,01$	un centième
$10^{- 1}$	$0,1$	un dixième

Puis les exposants positifs (et zéro) :

Puissance	Écriture décimale	Nom
$10^{0}$	$1$	un
$10^{1}$	$10$	dix
$10^{2}$	$100$	cent
$10^{3}$	$1 000$	mille
$10^{4}$	$10 000$	dix mille
$10^{5}$	$100 000$	cent mille
$10^{6}$	$1 000 000$	un million
$10^{7}$	$10 000 000$	dix millions
$10^{8}$	$100 000 000$	cent millions
$10^{9}$	$1 000 000 000$	un milliard

Tu retrouveras plusieurs de ces puissances à la fin du chapitre : ce sont elles qui se cachent derrière les préfixes nano, micro, milli, kilo, méga et giga des unités de mesure.

Calculer avec les puissances de 10

Multiplier deux puissances de $10$ , c'est mettre bout à bout leurs facteurs. Par exemple $10^{3} \times 10^{2} = (10 \times 10 \times 10) \times (10 \times 10) = 10^{5}$ : les exposants s'ajoutent, $3 + 2 = 5$ . Cette observation, et ses cousines pour le quotient et la puissance de puissance, valent pour tous les exposants, y compris négatifs.

Propriété

Règles de calcul sur les puissances de $10$ . Pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ :

10^{m} \times 10^{n} = 10^{m + n} \frac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m - n} {(10^{m})}^{n} = 10^{m \times n} .

En résumé : un produit ajoute les exposants, un quotient les soustrait, une puissance de puissance les multiplie.

Exemple

Des produits. $10^{4} \times 10^{3} = 10^{4 + 3} = 10^{7}$ , et avec un exposant négatif : $10^{5} \times 10^{- 8} = 10^{5 + (- 8)} = 10^{- 3}$ .

Des quotients. $\frac{10^{8}}{10^{2}} = 10^{8 - 2} = 10^{6}$ , et $\frac{10^{2}}{10^{6}} = 10^{2 - 6} = 10^{- 4}$ . Attention aux signes : $\frac{10^{- 3}}{10^{- 5}} = 10^{- 3 - (- 5)} = 10^{2}$ .

Des puissances de puissances. ${(10^{3})}^{2} = 10^{3 \times 2} = 10^{6}$ , et ${(10^{- 2})}^{3} = 10^{- 2 \times 3} = 10^{- 6}$ .

Dernier outil de calcul : multiplier un nombre décimal par une puissance de $10$ . Tu le fais depuis la sixième avec $10$ , $100$ et $1 000$ ; les exposants négatifs prolongent simplement le geste dans l'autre sens.

Méthode

Multiplier un décimal par $10^{n}$ : décaler la virgule.

Si $n$ est positif, on décale la virgule de $n$ rangs vers la droite (le nombre devient plus grand). On complète par des zéros si les chiffres manquent.
Si $n$ est négatif, on décale la virgule vers la gauche, d'autant de rangs que l'indique l'exposant (le nombre devient plus petit). Là aussi, on complète par des zéros.

Exemple

Vers la droite. $3,25 \times 10^{3} = 3 250$ (trois rangs vers la droite, un zéro ajouté) et $7,4 \times 10^{5} = 740 000$ .

Vers la gauche. $631 \times 10^{- 4} = 0,063 1$ (quatre rangs vers la gauche) et $5,8 \times 10^{- 2} = 0,058$ .

La notation scientifique

La distance de la Terre au Soleil vaut environ $150 000 000$ km ; le diamètre d'un virus, environ $0,000 000 12$ m. Ces écritures sont pénibles à lire, à comparer, et propices aux erreurs de zéros. Les scientifiques utilisent une écriture normalisée qui règle le problème.

Définition

Un nombre positif est écrit en notation scientifique lorsqu'il est sous la forme

a \times 10^{n},

où $a$ est un nombre décimal vérifiant $1 \leq a < 10$ (c'est-à-dire ayant un seul chiffre, non nul, avant la virgule) et $n$ est un entier relatif. L'exposant $n$ indique l'ordre de grandeur du nombre.

Exemple

Un très grand nombre. $150 000 000 = 1,5 \times 10^{8}$ : la distance Terre-Soleil est d'environ $1,5 \times 10^{8}$ km.

Un très petit nombre. $0,000 000 12 = 1,2 \times 10^{- 7}$ : le diamètre du virus est d'environ $1,2 \times 10^{- 7}$ m.

Méthode

Écrire un nombre en notation scientifique.

On repère le premier chiffre non nul du nombre et on place la virgule juste après lui : cela donne le nombre $a$ , avec $1 \leq a < 10$ .
On compte de combien de rangs la virgule a été déplacée : ce compte donne l'exposant, au signe près.
On choisit le signe de l'exposant : positif si le nombre de départ vaut $10$ ou plus (la virgule a reculé vers la gauche), négatif si le nombre de départ est plus petit que $1$ (la virgule a avancé vers la droite).

Exemple 1 : $52 700 000$ . Premier chiffre non nul : $5$ , donc $a = 5,27$ . La virgule a été déplacée de $7$ rangs, et le nombre de départ dépasse $10$ : $52 700 000 = 5,27 \times 10^{7}$ .

Exemple 2 : $0,000 46$ . Premier chiffre non nul : $4$ , donc $a = 4,6$ . La virgule a été déplacée de $4$ rangs, et le nombre de départ est plus petit que $1$ : $0,000 46 = 4,6 \times 10^{- 4}$ .

Méfie-toi des imitations : toute écriture avec une puissance de $10$ n'est pas une notation scientifique ! Par exemple $35 \times 10^{4}$ n'en est pas une, car $35$ n'est pas compris entre $1$ et $10$ ; la notation scientifique de ce nombre est $3,5 \times 10^{5}$ . De même $0,7 \times 10^{- 3}$ n'en est pas une, car $0,7 < 1$ : on écrit $7 \times 10^{- 4}$ .

Méthode

Comparer deux nombres positifs écrits en notation scientifique.

On compare d'abord les exposants : le nombre qui a le plus grand exposant est le plus grand. (Rappel sur les négatifs : $- 4 > - 6$ .)
Si les exposants sont égaux, on compare les nombres $a$ (les parties décimales devant la puissance).

Exemple

Comparer $9,8 \times 10^{6}$ et $1,2 \times 10^{7}$ . Les exposants : $7 > 6$ , donc $1,2 \times 10^{7} > 9,8 \times 10^{6}$ , même si $9,8 > 1,2$ . L'exposant l'emporte toujours.

Comparer $3,4 \times 10^{- 5}$ et $2,9 \times 10^{- 5}$ . Mêmes exposants : on compare $3,4$ et $2,9$ , donc $3,4 \times 10^{- 5} > 2,9 \times 10^{- 5}$ .

Comparer $5 \times 10^{- 4}$ et $2 \times 10^{- 3}$ . Comme $- 3 > - 4$ , on a $2 \times 10^{- 3} > 5 \times 10^{- 4}$ . Vérification en écriture décimale : $0,002 > 0,000 5$ .

Ordres de grandeur et préfixes : de nano à giga

Les puissances de $10$ sont si pratiques que les unités de mesure les ont intégrées dans leur vocabulaire : ce sont les préfixes. Tu en connais déjà (centimètre, kilogramme) ; en voici la famille complète, de nano à giga.

Préfixe	Symbole	Signification	Exemple
nano	n	$10^{- 9}$	l'ADN a un diamètre d'environ $2$ nm
micro	$μ$	$10^{- 6}$	une bactérie mesure environ $1$ $μ$ m
milli	m	$10^{- 3}$	une fourmi mesure quelques mm
centi	c	$10^{- 2}$	ta règle est graduée en cm
kilo	k	$10^{3}$	un kilomètre vaut $10^{3}$ m
méga	M	$10^{6}$	une photo pèse quelques Mo
giga	G	$10^{9}$	une clé USB stocke $64$ Go

Ainsi, dire qu'un brin d'ADN mesure $2$ nm, c'est dire qu'il mesure $2 \times 10^{- 9}$ m : le préfixe transporte la puissance de $10$ .

Définition

Un ordre de grandeur d'un nombre est une puissance de $10$ (éventuellement multipliée par un petit nombre simple) proche de ce nombre. Il ne s'agit pas d'une valeur exacte, mais d'une estimation qui donne « la taille » du nombre. Par exemple, la distance Terre-Lune vaut $384 400$ km : un ordre de grandeur est $4 \times 10^{5}$ km.

Exemple

Combien de secondes dans une vie de $80$ ans ? Une année compte $365 \times 24 \times 3 600 = 31 536 000$ secondes, soit environ $3 \times 10^{7}$ secondes. Et $80 = 8 \times 10^{1}$ . Un ordre de grandeur du nombre cherché est donc

8 \times 10^{1} \times 3 \times 10^{7} = 24 \times 10^{8} = 2,4 \times 10^{9} .

Une vie humaine dure environ $2,4$ milliards de secondes : quelques milliards, de l'ordre de $10^{9}$ . Remarque la démarche : on remplace chaque donnée par un ordre de grandeur, et les règles de calcul sur les puissances de $10$ font le reste.

Pour la culture : compter les grains de sable de l'univers

Au troisième siècle avant J.-C., le grand savant grec Archimède s'attaque à un défi fou dans un court traité intitulé L'Arénaire (« le compteur de sable ») : combien faudrait-il de grains de sable pour remplir l'univers tout entier ? Le problème n'est pas seulement de compter, c'est d'écrire le résultat : le système de numération grec s'arrêtait à la myriade de myriades, c'est-à-dire cent millions, autant dire rien du tout à cette échelle. Archimède invente alors son propre système pour nommer des nombres gigantesques, en empilant les étages de myriades les uns sur les autres, et démontre que son univers contiendrait moins de ce que nous écririons aujourd'hui $10^{63}$ grains de sable. Une ligne en notation moderne, là où il lui fallut inventer toute une machinerie ! Les astronomes d'aujourd'hui continuent de vivre dans ces altitudes vertigineuses : on estime par exemple que l'univers observable contient environ $10^{80}$ atomes, et c'est bien grâce aux puissances de $10$ que ce nombre tient en quatre caractères.

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