Fractions et nombres rationnels

Simplifions ${\displaystyle \frac{45}{-60}}$ au maximum. Un seul signe $-$ : la fraction est négative, on écrit ${\displaystyle \frac{45}{-60}}=-{\displaystyle \frac{45}{60}}$. Les deux nombres se terminent par $0$ ou $5$ : on divise par $5$, ce qui donne $-{\displaystyle \frac{9}{12}}$. Les sommes des chiffres ($9$ et $1+2=3$) sont divisibles par $3$ : on divise par $3$, ce qui donne $-{\displaystyle \frac{3}{4}}$. Les nombres $3$ et $4$ n'ont plus de diviseur commun autre que $1$ : c'est terminé.

Autre exemple : ${\displaystyle \frac{-12}{-18}}$. Deux signes $-$ : la fraction est positive. Puis on divise par $6$ : ${\displaystyle \frac{-12}{-18}}={\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Comparer $-{\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$. Les deux nombres sont négatifs : il faut un dénominateur commun. Multiples de $6$ : $6$ ; $12$… Multiples de $4$ : $4$ ; $8$ ; $12$… On choisit $12$ et on transforme : $-{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{-10}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{-3}{4}}={\displaystyle \frac{-9}{12}}$. On compare les numérateurs relatifs : $-10<-9$, donc

C'est bien l'inversion annoncée : ${\displaystyle \frac{10}{12}}$ est plus grand que ${\displaystyle \frac{9}{12}}$, mais du côté négatif, être plus loin de zéro rend plus petit.

Ranger ${\displaystyle \frac{3}{-2}}$ ; ${\displaystyle \frac{5}{4}}$ ; $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ dans l'ordre croissant.

• Dénominateurs positifs : ${\displaystyle \frac{3}{-2}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, les autres écritures sont déjà correctes.
• Tri par signe : deux négatifs ($-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $-{\displaystyle \frac{1}{4}}$), deux positifs (${\displaystyle \frac{3}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{4}}$).
• Côté négatif : ${\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{6}{4}}$, et ${\displaystyle \frac{6}{4}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$, donc $-{\displaystyle \frac{3}{2}}<-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ (l'ordre s'inverse).
• Côté positif : même dénominateur, ${\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{5}{4}}$.

La droite graduée rend ce rangement visible. En écriture décimale : $-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-\mathrm{1,5}$, puis $-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-\mathrm{0,25}$, puis ${\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$ et ${\displaystyle \frac{5}{4}}=\mathrm{1,25}$.

On lit $A\left({\displaystyle \frac{3}{-2}}\right)$, $B(-{\displaystyle \frac{1}{4}})$, $C\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$ et $D\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)$ : plus on avance vers la droite, plus le nombre est grand, signes compris.

Calcul entièrement rédigé : $A={\displaystyle \frac{-5}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$.

• Les dénominateurs sont déjà positifs. Multiples de $6$ : $6$ ; $12$… Multiples de $4$ : $4$ ; $8$ ; $12$… Le plus petit multiple commun est $12$.
• On transforme : ${\displaystyle \frac{-5}{6}}={\displaystyle \frac{-10}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$.
• On calcule sur les numérateurs, comme des relatifs :

Contrôle de bon sens : on ajoute ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, qui est un peu plus petit que ${\displaystyle \frac{5}{6}}$, à un nombre négatif : le résultat doit être négatif et proche de zéro. C'est bien le cas.

Une soustraction piégeuse : $B={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{-6}}$. Premier réflexe, le dénominateur positif : ${\displaystyle \frac{7}{-6}}=-{\displaystyle \frac{7}{6}}$. Soustraire $-{\displaystyle \frac{7}{6}}$, c'est ajouter son opposé ${\displaystyle \frac{7}{6}}$ (règle de 5e sur les relatifs) :

Quatre calculs pour t'entraîner à l'œil.

Calcul entièrement rédigé : $C={\displaystyle \frac{15}{8}}\times (-{\displaystyle \frac{4}{9}})$.

• Le signe : un seul facteur négatif, le produit est négatif.
• Le produit sans l'effectuer : ${\displaystyle \frac{15\times 4}{8\times 9}}$.
• On décompose : $15=3\times 5$, puis $8=4\times 2$ et $9=3\times 3$ :

• On simplifie le facteur $3$ et le facteur $4$, présents en haut et en bas :

Conclusion : $C=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$. Sans cette méthode, tu aurais calculé ${\displaystyle \frac{60}{72}}$ puis passé du temps à le simplifier : même résultat, mais plus de calculs et plus de risques d'erreur.

Calcul entièrement rédigé : $D={\displaystyle \frac{5}{6}}÷{\displaystyle \frac{10}{9}}$.

On retourne la deuxième fraction : $D={\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{9}{10}}$. Tout est positif. On décompose avant de multiplier ($9=3\times 3$, puis $6=2\times 3$ et $10=2\times 5$) :

Avec des signes : $E=-{\displaystyle \frac{4}{7}}÷{\displaystyle \frac{8}{-21}}$.

• Dénominateur positif d'abord : ${\displaystyle \frac{8}{-21}}=-{\displaystyle \frac{8}{21}}$.
• Le signe : on divise un négatif par un négatif, le quotient est positif.
• Le calcul sur les distances à zéro : on retourne la deuxième fraction, puis on décompose ($21=3\times 7$ et $8=4\times 2$) :

Conclusion : $E={\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Calculer $F={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{2}{9}}$.

La multiplication est prioritaire. On simplifie avant de calculer ($4=2\times 2$ et $9=3\times 3$) : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{3\times 2}{2\times 2\times 3\times 3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. Puis on additionne :

Attention au piège : commencer par ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ serait une erreur de priorité, et le résultat serait faux.

Calculer $G=({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}})÷{\displaystyle \frac{5}{4}}$.

Les parenthèses d'abord : ${\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{4}{6}}-{\displaystyle \frac{9}{6}}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$. Puis la division : le quotient d'un négatif par un positif est négatif, et on multiplie par l'inverse :

Problème : la citerne du jardin. Une citerne de récupération d'eau de pluie est remplie aux ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ de sa capacité. Pour arroser le potager, on utilise les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de l'eau qu'elle contient.

Question 1 : quelle fraction de la capacité de la citerne a-t-on utilisée ?

Prendre les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de ${\displaystyle \frac{5}{6}}$, c'est multiplier :

On a utilisé ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ de la capacité de la citerne.

Question 2 : quelle fraction de la capacité reste-t-il dans la citerne ?

On soustrait l'eau utilisée de l'eau présente au départ :

Il reste exactement la moitié de la capacité.

Question 3 : la citerne peut contenir $600$ litres. Combien d'arrosoirs de $\mathrm{12,5}$ litres, c'est-à-dire ${\displaystyle \frac{25}{2}}$ litres, peut-on encore remplir ?

L'eau restante représente ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 600=300$ litres. On divise par la contenance d'un arrosoir :

On peut encore remplir $24$ arrosoirs.