4ᵉ · Chapitre 01 · Nombres et calculs

Opérations sur les nombres relatifs

Produit et quotient de relatifs, règle des signes, enchaînements d'opérations.

Ce qu'il faut savoir faire

Produit et quotient de relatifs
Règle des signes
Enchaînements d'opérations

En 5e, tu as apprivoisé les nombres relatifs : tu sais les comparer, les additionner et les soustraire. Mais il manque encore la moitié de la panoplie : que vaut $(- 3) \times (- 7)$ ? Et $(- 20) \div 4$ ? Cette année, on complète le tableau avec la multiplication et la division, gouvernées par une règle célèbre : la règle des signes. Tu verras qu'elle n'a rien de magique, et qu'une fois comprise, elle permet de calculer avec les relatifs aussi facilement qu'avec les nombres positifs.

Rappels : les nombres relatifs

Définition

Un nombre relatif est formé d'un signe ( $+$ ou $-$ ) et d'une distance à zéro. Les rappels essentiels de 5e :

L'opposé d'un nombre est le nombre de même distance à zéro et de signe contraire : l'opposé de $- 7$ est $+ 7$ .
Additionner deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
Additionner deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $5 - (- 3) = 5 + 3 = 8$ .
Écriture simplifiée : deux signes identiques qui se suivent donnent un $+$ , deux signes contraires donnent un $-$ . Ainsi $7 + (- 3)$ s'écrit $7 - 3$ .

Exemple

Calculer $A = - 4 + 9 - (- 2) - 6$ .

On simplifie l'écriture : $- (- 2)$ devient $+ 2$ , donc $A = - 4 + 9 + 2 - 6$ . On regroupe les positifs ( $9 + 2 = 11$ ) et les négatifs ( $4 + 6 = 10$ du côté des pertes) :

A = 11 - 10 = 1.

Si l'un de ces rappels te semble flou, reprends d'abord le chapitre de 5e : tout ce qui suit s'appuie dessus.

Multiplier deux nombres relatifs

Commençons par ce qu'on sait déjà expliquer. Multiplier par un nombre positif, c'est répéter une addition : $3 \times (- 2)$ , c'est trois pertes de $2$ €, soit une perte de $6$ € :

3 \times (- 2) = (- 2) + (- 2) + (- 2) = - 6.

Mais que peut bien vouloir dire $(- 1) \times (- 2)$ ? On ne peut pas « répéter moins une fois » une perte... Pour le découvrir, observe cette suite de produits, où le premier facteur descend de $1$ en $1$ :

3 \times (- 2) = - 6 2 \times (- 2) = - 4 1 \times (- 2) = - 2 0 \times (- 2) = 0

À chaque étape, le résultat augmente de $2$ . Pour que ce motif continue sans accroc, il faut poursuivre :

(- 1) \times (- 2) = + 2 (- 2) \times (- 2) = + 4 (- 3) \times (- 2) = + 6

Le produit de deux nombres négatifs est donc positif : c'est la seule valeur possible si l'on veut que la multiplication garde ses propriétés habituelles. Voilà d'où vient la fameuse règle « moins par moins donne plus ».

Propriété

Règle des signes du produit. Pour multiplier deux nombres relatifs :

si les deux nombres ont le même signe, le produit est positif ;
si les deux nombres ont des signes contraires, le produit est négatif ;
la distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro.

Signe du 1er facteur	Signe du 2e facteur	Signe du produit
$+$	$+$	$+$
$-$	$-$	$+$
$+$	$-$	$-$
$-$	$+$	$-$

Méthode

Calculer le produit de deux nombres relatifs.

On détermine le signe du résultat avec la règle des signes (même signe : positif ; signes contraires : négatif).
On multiplie les distances à zéro, comme en primaire.
On assemble : le signe trouvé, puis la valeur calculée.

L'ordre est important : décide du signe avant de te lancer dans le calcul, tu éviteras la plupart des étourderies.

Exemple

Calculer $(- 6) \times (- 7)$ . Les deux facteurs sont négatifs : même signe, le produit est positif. Les distances à zéro : $6 \times 7 = 42$ . Donc $(- 6) \times (- 7) = 42$ .

Calculer $5 \times (- 8)$ . Signes contraires : le produit est négatif. $5 \times 8 = 40$ , donc $5 \times (- 8) = - 40$ .

D'autres produits, en appliquant la même démarche :

a. $(- 4) \times 9 = - 36$

b. $(- 3) \times (- 3) = 9$

c. $7 \times 6 = 42$

d. $(- 0,5) \times 8 = - 4$

e. $(- 2,5) \times (- 4) = 10$

f. $1,5 \times (- 2) = - 3$

Deux cas particuliers méritent une place à part.

Propriété

Multiplier par $- 1$ , c'est prendre l'opposé : $(- 1) \times 8 = - 8$ et $(- 1) \times (- 3,5) = 3,5$ .
Tout produit dont un facteur est nul est nul : $(- 47,3) \times 0 = 0$ . Réciproquement, un produit ne peut valoir $0$ que si l'un de ses facteurs vaut $0$ .

Un piège classique dès maintenant : la règle des signes concerne la multiplication, pas l'addition ! On a bien $(- 5) \times (- 3) = 15$ , mais $(- 5) + (- 3) = - 8$ : deux pertes s'additionnent, elles ne se transforment pas en gain. Avant d'appliquer « moins par moins donne plus », vérifie toujours que tu es face à un produit.

Le signe d'un produit de plusieurs facteurs

Que se passe-t-il avec trois, quatre, dix facteurs ? Chaque facteur négatif fait « basculer » le signe du produit : un facteur négatif le rend négatif, un deuxième le fait rebasculer en positif, un troisième en négatif... Le signe final ne dépend donc que du nombre de bascules.

Propriété

Signe d'un produit de plusieurs facteurs. Le signe d'un produit de nombres relatifs (tous non nuls) dépend de la parité du nombre de facteurs négatifs :

si le nombre de facteurs négatifs est pair, le produit est positif ;
si le nombre de facteurs négatifs est impair, le produit est négatif.

Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul, quel que soit le reste.

Méthode

Calculer un produit de plusieurs facteurs.

On compte les facteurs négatifs avant tout calcul : pair, le résultat sera positif ; impair, il sera négatif. (Si un facteur est $0$ , le produit vaut $0$ : inutile d'aller plus loin.)
On multiplie les distances à zéro, dans l'ordre le plus commode : dans un produit, on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper librement.
On écrit le résultat avec le signe décidé à l'étape 1.

Exemple

Calculer $B = (- 2) \times 5 \times (- 3) \times (- 1)$ .

Trois facteurs négatifs : nombre impair, le produit est négatif. Les distances à zéro : $2 \times 5 \times 3 \times 1 = 30$ . Donc $B = - 30$ .

Calculer $C = (- 0,25) \times 7 \times (- 4)$ .

Deux facteurs négatifs : le produit est positif. Plutôt que de calculer de gauche à droite, on regroupe astucieusement $0,25$ et $4$ , dont le produit vaut $1$ :

C = 7 \times [(- 0,25) \times (- 4)] = 7 \times 1 = 7.

Calculer $D = (- 5) \times (- 1,7) \times 0 \times (- 8)$ .

Un facteur est nul : $D = 0$ , sans aucun calcul.

Ce réflexe « je compte les signes d'abord » est précieux : il transforme un calcul intimidant en une simple multiplication de nombres positifs, et il te permet de vérifier ton résultat d'un coup d'œil (un produit avec deux facteurs négatifs qui aboutit à un résultat négatif, c'est forcément une erreur !).

Diviser deux nombres relatifs

La division est l'opération inverse de la multiplication : dire que $(- 15) \div 3 = - 5$ , c'est dire que $3 \times (- 5) = - 15$ . Comme les deux opérations sont liées, la règle des signes est la même pour les deux.

Propriété

Règle des signes du quotient. Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur étant non nul) :

si les deux nombres ont le même signe, le quotient est positif ;
si les deux nombres ont des signes contraires, le quotient est négatif ;
la distance à zéro du quotient est le quotient des distances à zéro.

La division par zéro est impossible. En effet, $8 \div 0$ devrait être un nombre qui, multiplié par $0$ , donne $8$ : or tout nombre multiplié par $0$ donne $0$ . Aucun nombre ne convient.

Méthode

Calculer le quotient de deux nombres relatifs.

On détermine le signe du résultat (même règle que pour le produit).
On divise les distances à zéro.
On vérifie avec la multiplication : quotient $\times$ diviseur doit redonner le dividende.

Exemple

Calculer $(- 36) \div (- 9)$ . Même signe : le quotient est positif. $36 \div 9 = 4$ , donc $(- 36) \div (- 9) = 4$ . Vérification : $4 \times (- 9) = - 36$ , c'est bien le dividende.

D'autres quotients :

a. $(- 20) \div 4 = - 5$

b. $18 \div (- 3) = - 6$

c. $(- 7) \div (- 2) = 3,5$

d. $(- 9) \div 10 = - 0,9$

e. $0 \div (- 6) = 0$

f. $4,2 \div (- 7) = - 0,6$

Toutes les divisions ne tombent pas juste. Quand la division ne s'arrête pas, on ne peut pas écrire le résultat exact sous forme décimale : on en donne alors une valeur approchée.

Exemple

Calculer $- 17 \div 3$ . Signes contraires : le résultat est négatif. Or $17 \div 3 = 5,666 \dots$ : la division ne se termine jamais. On donne une valeur approchée, par exemple au centième :

- 17 \div 3 \approx - 5,67.

Le symbole $\approx$ (« environ égal ») est obligatoire : écrire $- 17 \div 3 = - 5,67$ serait faux, car $- 5,67 \times 3 = - 17,01$ , et non $- 17$ .

Enchaînements d'opérations

Tu connais les priorités opératoires depuis la 5e. Bonne nouvelle : elles ne changent pas d'un pouce avec les relatifs. Ce qui change, c'est qu'il faut maintenant jongler avec les signes en plus.

Propriété

Priorités opératoires. Dans un calcul avec plusieurs opérations :

on effectue d'abord les calculs entre parenthèses (en commençant par les plus intérieures) ;
puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
puis les additions et soustractions, de gauche à droite.

Méthode

Calculer un enchaînement d'opérations avec des relatifs.

On repère l'opération prioritaire (on peut la souligner).
On l'effectue en appliquant la règle des signes si c'est un produit ou un quotient, et on réécrit tout le calcul sur une nouvelle ligne, en ne changeant que cette opération.
On recommence jusqu'à obtenir un seul nombre. Une étape par ligne : c'est le meilleur remède contre les étourderies.

Exemple

Calculer $E = - 5 - 3 \times (- 2)$ .

La multiplication est prioritaire : $3 \times (- 2) = - 6$ . Puis on soustrait :

E = - 5 - (- 6) = - 5 + 6 = 1.

Remarque le double travail du signe $-$ : le premier est une soustraction, le second est le signe du nombre $- 6$ . Sans la priorité, on aurait trouvé $- 5 - 3 = - 8$ puis $(- 8) \times (- 2) = 16$ : résultat faux !

Calculer $F = (- 4 + 10) \div (- 3) + 5$ .

Les parenthèses d'abord : $- 4 + 10 = 6$ . Puis la division, prioritaire sur l'addition :

F = 6 \div (- 3) + 5 = - 2 + 5 = 3.

Calculer $G = 7 - (- 2) \times (- 5) + 3$ .

Le produit d'abord : $(- 2) \times (- 5) = 10$ (même signe, positif). Puis de gauche à droite :

G = 7 - 10 + 3 = - 3 + 3 = 0.

Dernière écriture à connaître : la barre de fraction. Quand un calcul est écrit sous la forme d'un quotient avec une grande barre horizontale, cette barre joue le rôle de parenthèses invisibles autour du numérateur et autour du dénominateur.

Propriété

Dans une écriture en barre de fraction, on calcule séparément le numérateur et le dénominateur (comme s'ils étaient chacun entre parenthèses), puis on effectue la division :

\frac{- 5 + 9}{2 \times (- 4) + 6} = (- 5 + 9) \div (2 \times (- 4) + 6) .

Exemple

Calculer $H = \frac{- 5 + 9}{2 \times (- 4) + 6}$ .

Le numérateur : $- 5 + 9 = 4$ . Le dénominateur : $2 \times (- 4) + 6 = - 8 + 6 = - 2$ . Puis la division :

H = 4 \div (- 2) = - 2.

Calculer $K = \frac{3 \times (- 6)}{- 2 - 7}$ .

Numérateur : $3 \times (- 6) = - 18$ . Dénominateur : $- 2 - 7 = - 9$ . Donc

K = (- 18) \div (- 9) = 2.

Méthode

Éviter les pièges classiques. Avant de calculer, pose-toi ces questions :

Est-ce un produit ou une somme ? $- 5 - 3 = - 8$ (soustraction) mais $(- 5) \times (- 3) = 15$ (produit). Le signe $\times$ change tout.
La règle des signes s'applique-t-elle ? Elle ne vaut que pour $\times$ et $\div$ . Pour l'addition, on garde les règles de 5e : $(- 5) + (- 3) = - 8$ .
Ai-je respecté les priorités ? Dans $- 5 - 3 \times (- 2)$ , le produit se calcule avant la soustraction, même s'il est écrit en second.
Ai-je bien lu la barre de fraction ? Numérateur et dénominateur se calculent chacun en entier avant la division finale.

Avec la règle des signes, le comptage des facteurs négatifs et les priorités opératoires, tu disposes maintenant des quatre opérations sur les nombres relatifs. Ces automatismes vont te servir dans tous les chapitres à venir : prends le temps de les rendre infaillibles, une étape par ligne, le signe décidé avant le calcul.

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