Devoir surveillé — Espace : pyramides, cônes et grandeurs composées

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessus. Le sommet $A$ est l'origine du repère et les arêtes sont graduées : $AB=6$, $AD=4$ et $AE=3$ unités. Chaque point est repéré par ses trois coordonnées : (abscisse ; ordonnée ; altitude). Par exemple, le sommet $B$ a pour coordonnées $(6;0;0)$.

1. (1,5 pt — 0,5 pt par point) Donner les coordonnées des sommets $C$, $F$ et $H$.
2. (1,5 pt) Le point $K$, marqué sur la figure, est le milieu de l'arête $[GH]$. Donner ses coordonnées.
3. (1 pt) Le point $L$ a pour coordonnées $(6;4;1)$. Sur quelle arête du pavé se trouve-t-il ? Justifier.

La pyramide du Louvre, à Paris, est une pyramide régulière à base carrée. Le côté de sa base mesure environ $35\text{ m}$ et sa hauteur environ $21\text{ m}$.

1. (2 pts)

   a. Combien cette pyramide possède-t-elle de faces ? d'arêtes ? de sommets ?

   b. Quelle est la nature de ses faces latérales ?

2. (1 pt) Calculer l'aire de la base de la pyramide.

3. (2 pts) Calculer le volume de la pyramide. On rappelle la formule : $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\times \mathrm{ℬ}\times h$.

Un cornet de glace a la forme d'un cône de révolution de rayon $3\text{ cm}$ et de hauteur $10\text{ cm}$.

1. (2 pts) Calculer le volume exact du cornet, en ${\text{cm}}^3$. On donnera le résultat sous la forme d'un multiple de $\pi$.
2. (1 pt) Donner l'arrondi au dixième de ce volume.
3. (1 pt) Exprimer ce volume en centilitres.
4. (1 pt) Le cornet peut-il contenir $10\text{ cL}$ de glace fondue ? Justifier.

Une famille part en vacances en voiture.

1. (2 pts) Sur une route départementale, la voiture parcourt $27\text{ km}$ en $20$ minutes. Calculer sa vitesse moyenne, en $\text{km/h}$.
2. (1 pt) Sur cette portion de route, la vitesse est limitée à $80\text{ km/h}$. Le conducteur est-il en règle ? Justifier.
3. (1,5 pt) Convertir $81\text{ km/h}$ en $\text{m/s}$. Détailler la démarche en revenant aux unités.
4. (1,5 pt) À la station-service, la pompe délivre le carburant avec un débit de $35\text{ L/min}$. Le réservoir doit recevoir $49\text{ L}$. Combien de temps dure le plein ? Donner la réponse en minutes et secondes.