Devoir surveillé — Probabilités

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.

1. (0,5 pt) Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles définies sur un même univers fini, telles que

$$V(X)=4,V(Y)=9,\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)=-3.$$

Calculer $V(X+Y)$, $V(X-Y)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(2X-Y,X+3Y)$. Vérifier ensuite l'égalité $V(X+Y)+V(X-Y)=2V(X)+2V(Y)$, et démontrer qu'elle est vraie pour tout couple de variables aléatoires.

2. (0,5 pt) Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[12,30]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. En introduisant une variable auxiliaire suivant une loi uniforme dont le cours donne l'espérance et la variance, calculer $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma (X)$. On donne $\sqrt{19}\approx \mathrm{4,359}$, $\sqrt{21}\approx \mathrm{4,583}$ et $\sqrt{30}\approx \mathrm{5,477}$.

3. (0,5 pt) Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi uniforme sur $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$. On pose $U=(X-2{)}^2$ et $W=3^Y$. Justifier que $U$ et $W$ sont indépendantes, calculer $E(U)$ et $E(W)$, puis en déduire $E(UW)$.

4. (0,5 pt) Une variable aléatoire $Z$ est à valeurs dans $\{-1,0,2\}$ et d'espérance nulle. Déterminer sa loi lorsque $V(Z)=1$, et dire si cette loi est unique. Démontrer ensuite qu'aucune variable aléatoire à valeurs dans $\{-1,0,2\}$ et d'espérance nulle ne peut avoir une variance strictement supérieure à $2$.

5. (0,5 pt) Trois capteurs indépendants surveillent une même machine. On note $A$, $B$, $C$ les événements « le capteur $1$, respectivement $2$, respectivement $3$, déclenche une alerte au cours de la journée » et l'on suppose la famille $(A,B,C)$ mutuellement indépendante, avec

$$P(A)={\displaystyle \frac{1}{2}},P(B)={\displaystyle \frac{1}{3}},P(C)={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$

Calculer la probabilité qu'au moins un capteur déclenche une alerte, puis celle qu'exactement un capteur en déclenche une. On énoncera à chaque fois la propriété de l'indépendance mutuelle que l'on utilise.

Une association organise une tombola et fait imprimer des billets à gratter. Le lot porté par un billet est une variable aléatoire, et l'on admet que les lots des différents billets sont indépendants les uns des autres. Deux formules sont proposées par l'imprimeur ; la loi du lot $L_A$ de la formule $A$ et celle du lot $L_B$ de la formule $B$ sont données ci-dessous, en euros.

Table de racines carrées, dans laquelle plusieurs valeurs ne servent pas :

$$\sqrt{\mathrm{14,36}}\approx \mathrm{3,79},\sqrt{\mathrm{22,20}}\approx \mathrm{4,71},\sqrt{\mathrm{111,66}}\approx \mathrm{10,57},\sqrt{\mathrm{119,50}}\approx \mathrm{10,93},$$ $$\sqrt{7180}\approx \mathrm{84,7},\sqrt{11100}\approx \mathrm{105,4},\sqrt{55830}\approx \mathrm{236,3},\sqrt{59750}\approx \mathrm{244,4.}$$

1. (0,75 pt) Vérifier que chacun des deux tableaux définit bien une loi de probabilité, puis calculer $E\left(L_A\right)$, $V\left(L_A\right)$, $\sigma \left(L_A\right)$, $E\left(L_B\right)$, $V\left(L_B\right)$ et $\sigma \left(L_B\right)$. On rassemblera les six résultats dans un tableau récapitulatif.

2. (0,5 pt) Déterminer, pour chacune des deux formules, le prix de vente $m$ qui rendrait le jeu équitable pour un joueur, c'est-à-dire tel que l'espérance de son gain net soit nulle. Que constate-t-on, et qu'en conclure sur ce que l'espérance permet de dire d'un jeu de hasard ?

3. (0,5 pt) L'association retient finalement la formule $A$ au prix de $3$ euros. On note $G=L_A-3$ le gain net d'un joueur qui achète un billet. Donner la loi de $G$, calculer $E(G)$ et interpréter. En déduire le bénéfice moyen de l'association sur une vente de $500$ billets, en justifiant le passage de un billet à $500$.

4. (1,25 pt) L'association vend $500$ billets, tous de la même formule, au prix de $3$ euros. On note $T$ le montant total des lots qu'elle devra verser. Calculer $E(T)$ et $\sigma (T)$ pour chacune des deux formules, en justifiant soigneusement le calcul de la variance et en précisant l'endroit exact où l'hypothèse d'indépendance intervient. Comparer chaque écart type au bénéfice espéré, puis dire laquelle des deux formules l'association a intérêt à choisir. Un joueur qui n'achète qu'un seul billet a-t-il, lui, une raison de préférer l'une des deux ?

Chez une plante ornementale, la couleur de la fleur est gouvernée par un gène possédant deux allèles : $R$, dominant, et $b$, récessif. Chaque pied porte deux allèles et son génotype est donc $RR$, $Rb$ ou $bb$ (l'ordre des deux allèles n'a pas de sens biologique, on écrit $Rb$ dans tous les cas). Un pied est blanc si et seulement si son génotype est $bb$ ; il est rouge dans les deux autres cas.

Lors d'un croisement, chaque parent transmet au descendant l'un de ses deux allèles, choisi au hasard de façon équiprobable, indépendamment du choix fait par l'autre parent et indépendamment d'un descendant à l'autre.

1. (0,5 pt) On croise deux pieds de génotype $Rb$. Décrire un univers adapté à ce croisement et justifier l'équiprobabilité, puis démontrer que le descendant a pour génotype $RR$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$, $Rb$ avec la probabilité $\frac{1}{2}$ et $bb$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$.

2. (0,5 pt) Un pied $\mathcal{P}$ issu de ce croisement est observé : il est rouge. Calculer la probabilité que son génotype soit $Rb$, puis celle qu'il soit $RR$. Commenter le fait que ces deux valeurs diffèrent de $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{4}$.

Dans toute la suite, $\mathcal{P}$ désigne ce pied rouge, dont le génotype est inconnu. On le croise avec un pied blanc, de génotype $bb$, et l'on observe la couleur de ses descendants successifs. Toutes les probabilités des questions 3. à 6. sont prises sachant que $\mathcal{P}$ est rouge, c'est-à-dire relativement à la probabilité conditionnelle $Q=P_V$, où $V$ désigne l'événement « $\mathcal{P}$ est rouge » : on prendra soin de le faire apparaître dans les notations.

3. (0,75 pt) Démontrer que si $\mathcal{P}$ est de génotype $RR$, tous les descendants de ce croisement sont rouges, et que si $\mathcal{P}$ est de génotype $Rb$, chaque descendant est blanc avec la probabilité $\frac{1}{2}$, indépendamment des autres. En déduire que la probabilité $u_n$ que les $n$ premiers descendants soient tous rouges vaut

$$u_n={\displaystyle \frac{2^n+2}{3\times 2^n}}\mathrm{.}$$

4. (0,75 pt) Les $n$ premiers descendants sont tous rouges. Démontrer que la probabilité que $\mathcal{P}$ soit de génotype $Rb$ vaut ${\displaystyle \frac{2}{2^n+2}}$. Donner les valeurs obtenues pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

5. (0,5 pt) Un horticulteur ne veut vendre $\mathcal{P}$ comme « lignée pure » que s'il est sûr à $95\mathrm{\%}$ au moins de son génotype $RR$. Combien de descendants tous rouges doit-il observer ?

6. (0,5 pt) Les $n$ premiers descendants étant tous rouges, calculer la probabilité que le descendant suivant soit blanc. Application numérique pour $n=3$ puis pour la valeur trouvée à la question 5. Commenter.

Six jetons numérotés de $1$ à $6$ sont placés dans un sac. L'aîné de deux enfants en tire trois simultanément et au hasard ; le cadet reçoit les trois jetons restants. On note $X$ la somme des numéros obtenus par l'aîné et $Y$ celle des numéros obtenus par le cadet.

1. (0,5 pt) Décrire l'univers $\mathrm{\Omega }$ retenu, donner son cardinal et justifier que la probabilité uniforme convient. Déterminer $X(\mathrm{\Omega })$.

2. (0,75 pt) Déterminer la loi de $X$, en présentant le dénombrement de façon lisible. On énumérera les parties en les classant par leur plus petit élément, puis par le deuxième, et l'on contrôlera le total des effectifs à l'aide du cardinal obtenu à la question 1.

3. (0,75 pt) Démontrer que $P(X=k)=P(X=21-k)$ pour tout $k\in X(\mathrm{\Omega })$, sans utiliser le tableau de la question 2. En déduire $E(X)$ sans calculer aucune somme.

4. (0,75 pt) Calculer $V(X)$ à partir de la loi obtenue à la question 2. On pourra réutiliser la propriété démontrée à la question 3. pour alléger le calcul.

5. (1 pt) Retrouver $E(X)$ et $V(X)$ par la méthode des indicatrices. On posera, pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,6]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, la variable ${\mathbf{1}}_i$ égale à $1$ si le jeton $i$ est tiré par l'aîné et à $0$ sinon ; on exprimera $X$ à l'aide des ${\mathbf{1}}_i$, puis on calculera $P({\mathbf{1}}_i=1)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}({\mathbf{1}}_i,{\mathbf{1}}_j)$ pour $i\mathrm{\ne }j$. On rappelle que ${\sum }_{i=1}^6{i}^2=91$, et l'on pourra utiliser l'identité algébrique

$${\left(\sum _{i=1}^{6}i\right)}^2=\sum _{i=1}^6{i}^2+2\sum _{1⩽i<j⩽6}ij\mathrm{.}$$

6. (0,25 pt) Exprimer $Y$ en fonction de $X$. En déduire $V(Y)$ et $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)$, puis dire si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Un institut veut estimer la proportion $p$ d'habitants d'une ville ayant déjà voyagé sans titre de transport. Posée en clair, la question produit des réponses mensongères. L'institut utilise donc le protocole suivant.

Chaque personne interrogée, seule dans un isoloir, lance un dé équilibré à six faces que l'enquêteur ne voit pas, puis :

• si le dé donne $1$, $2$, $3$ ou $4$, elle répond sincèrement à la question « avez-vous déjà voyagé sans titre de transport ? » ;
• si le dé donne $5$, elle répond « oui », quelle que soit la vérité ;
• si le dé donne $6$, elle répond « non », quelle que soit la vérité.

L'enquêteur n'enregistre que la réponse, et ne saura jamais ce qu'a donné le dé. On note $T$ l'événement « la personne interrogée a déjà voyagé sans titre », de probabilité $p\in [0,1]$, et $R$ l'événement « la personne répond oui ». On admet que le résultat du dé est indépendant de $T$.

Partie A — Ce que l'enquêteur observe

On note $D_1$ l'événement « le dé donne un numéro de $[\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,4]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$ », $D_2$ l'événement « le dé donne $5$ » et $D_3$ l'événement « le dé donne $6$ ».

A.1. (0,5 pt) Justifier que $(D_1,D_2,D_3)$ est un système complet d'événements et donner les trois probabilités. Déterminer ensuite $P_{D_1}(R)$, $P_{D_2}(R)$ et $P_{D_3}(R)$, en indiquant précisément où sert l'hypothèse d'indépendance admise.

A.2. (0,5 pt) Démontrer que $\theta :=P(R)={\displaystyle \frac{4p+1}{6}}$. Établir que l'application $p\mapsto \theta$ réalise une bijection de $[0,1]$ sur $[\frac{1}{6},\frac{5}{6}]$, et exprimer $p$ en fonction de $\theta$.

A.3. (0,5 pt) Une première personne a répondu « oui », une seconde a répondu « non ». Calculer $P_R(T)$ et $P_{\bar{R}}(T)$, puis donner les deux valeurs pour $p=\frac{1}{4}$. Démontrer enfin que $P_R(T)>P_{\bar{R}}(T)$ dès que $0<p<1$.

A.4. (0,5 pt) Démontrer que $P_R(T)<1$ dès que $p<1$, et que $P_R(T)>p$ dès que $0<p<1$. En quoi ces deux faits décrivent-ils exactement ce que le protocole promet à la personne interrogée ?

Partie B — Estimer $p$ et chiffrer la précision

L'institut interroge $n$ personnes, choisies de sorte que leurs réponses soient obtenues dans les mêmes conditions et de façon indépendante. Pour $i\in [\text{\hspace{0.17em}⁣}[1,n]\text{\hspace{0.17em}⁣}]$, on pose $Y_i=1$ si la $i$-ième personne répond oui et $Y_i=0$ sinon, puis

$$R_n=\sum _{i=1}^n{Y}_i\text{et}{F}_n={\displaystyle \frac{R_n}{n}}\mathrm{.}$$

On reconnaît le schéma de Bernoulli étudié en cours, et l'on admet donc, dans tout le problème, que $R_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,\theta )$, de sorte que

$$E\left(F_n\right)=\theta \text{et}V\left(F_n\right)={\displaystyle \frac{\theta (1-\theta )}{n}}\mathrm{.}$$

B.1. (0,5 pt) L'enquêteur pressé lit la fréquence de « oui » comme si c'était la proportion cherchée. Calculer $E\left(F_n\right)-p$ en fonction de $p$ seul, déterminer son signe suivant la position de $p$ par rapport à $\frac{1}{2}$, et donner la seule valeur de $p$ pour laquelle cette lecture naïve vise juste. Augmenter $n$ corrige-t-il ce défaut ?

B.2. (0,5 pt) On pose ${\widehat{P}}_n={\displaystyle \frac{6F_n-1}{4}}$. Démontrer que $E\left({\widehat{P}}_n\right)=p$ et que $V\left({\widehat{P}}_n\right)={\displaystyle \frac{9\theta (1-\theta )}{4n}}$. La première égalité, qui signifie que ${\widehat{P}}_n$ vise juste en moyenne, se dit : l'estimateur ${\widehat{P}}_n$ est sans biais.

B.3. (0,75 pt) Démontrer que, pour tout réel $\epsilon >0$,

$$P(\mid {\widehat{P}}_n-p\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{9\theta (1-\theta )}{4n{\epsilon }^2}}⩽{\displaystyle \frac{9}{16n{\epsilon }^2}},$$

la majoration $t(1-t)⩽\frac{1}{4}$ pour $t\in [0,1]$ pouvant être utilisée sans démonstration, le cours l'établissant. L'institut ne peut financer que $n=2000$ entretiens : quelle marge d'erreur $\epsilon$ peut-il garantir avec un risque d'au plus $5\mathrm{\%}$ ?

B.4. (0,5 pt) Un sondage direct, où la question serait posée en clair et les réponses supposées sincères, conduirait à la majoration $P(\mid F_n^{\mathrm{\prime }}-p\mid ⩾\epsilon )⩽{\displaystyle \frac{1}{4n{\epsilon }^2}}$, où $F_n^{\mathrm{\prime }}$ désigne la fréquence de « oui » observée. Quelle marge garantirait-il avec les mêmes $2000$ entretiens et le même risque ? En déduire le prix de l'anonymat comme facteur sur la marge d'erreur à budget fixé. Justifier enfin, sans aucun nouveau calcul de seuil, que le facteur correspondant sur le nombre d'entretiens est le carré du précédent.

B.5. (0,75 pt) La majoration de $\theta (1-\theta )$ par $\frac{1}{4}$ est grossière. On suppose désormais que $p=\frac{1}{4}$. Calculer $\theta$, puis les variances exactes $V\left({\widehat{P}}_n\right)$ et $V\left(F_n^{\mathrm{\prime }}\right)$, où $F_n^{\mathrm{\prime }}$ est la fréquence du sondage direct portant sur le même nombre $n$ de personnes. Par quel facteur la variance est-elle multipliée ? Comparer ce facteur à celui de la question B.4. et expliquer l'écart.

Partie C — Une enquête pilote, et un estimateur qui déraille

L'institut commence par une enquête pilote sur $n=12$ personnes. On donne, sans préciser laquelle servira, ${\mathrm{0,833}}^{11}\approx \mathrm{0,1346}$ et ${\mathrm{0,667}}^{11}\approx \mathrm{0,0116}$.

C.1. (0,5 pt) Démontrer que ${\widehat{P}}_{12}={\displaystyle \frac{R_{12}-2}{8}}$, puis déterminer l'ensemble ${\widehat{P}}_{12}(\mathrm{\Omega })$ des valeurs prises par ${\widehat{P}}_{12}$.

C.2. (0,5 pt) En déduire une condition portant uniquement sur $R_{12}$ pour que ${\widehat{P}}_{12}<0$, et une autre pour que ${\widehat{P}}_{12}>1$.

C.3. (0,75 pt) On suppose dans cette question que $p=0$, c'est-à-dire que personne dans la ville n'a jamais voyagé sans titre. Donner $\theta$ et la loi de $R_{12}$, puis calculer $P({\widehat{P}}_{12}<0)$. Commenter.

C.4. (0,25 pt) Pour éviter des estimations négatives, un statisticien propose de remplacer ${\widehat{P}}_{12}$ par $Q=\max ({\widehat{P}}_{12},0)$. Démontrer que, lorsque $p=0$, on a $E(Q)>0$. Qu'en conclure sur la possibilité d'exiger à la fois d'un estimateur qu'il soit sans biais et qu'il donne toujours une valeur plausible ?