Intégration

Depuis le premier semestre, vous calculez des intégrales. Vous écrivez ${\displaystyle {\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x}$ sans trembler, vous intégrez par parties, vous changez de variable. Mais si l'on vous demandait ce qu'est exactement le nombre ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t}$, la réponse honnête serait sans doute : « l'aire sous la courbe », ou « $F(b)-F(a)$ ». La première réponse suppose qu'on sache ce qu'est une aire, la seconde suppose qu'une primitive existe. Or rien de tout cela n'a encore été établi. Le programme le dit sans détour : cette section a pour objectif « d'établir les principales propriétés de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment de manière à achever la justification des propriétés présentées dans la section Techniques fondamentales de calcul en analyse ».

Le chapitre répare donc les fondations, dans cet ordre. On commence par les fonctions les plus simples qu'on puisse imaginer, les fonctions en escalier, pour lesquelles l'aire est une somme de rectangles et ne pose aucun problème. On définit ensuite l'intégrale d'une fonction continue en la coinçant entre des fonctions en escalier : c'est la problématique de la construction, que le programme demande d'avoir vue sans en exiger le détail. On en déduit toutes les propriétés (linéarité, Chasles, croissance, inégalité triangulaire), puis le théorème qui fait tourner le chapitre : une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle. Vient enfin le résultat qui referme la boucle avec le calcul : $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ est une primitive de $f$, ce qui prouve d'un coup que toute fonction continue admet des primitives et que ${\int }_a^{b}f=F(b)-F(a)$.

Deux prolongements complètent le tableau, et ils sont l'un et l'autre au programme. Les sommes de Riemann transforment l'intégrale en limite de sommes, donc permettent à la fois de calculer des limites de sommes par une intégrale et d'approcher numériquement une intégrale ; c'est l'occasion de comparer la méthode des rectangles et celle des trapèzes. L'inégalité de Taylor-Lagrange fournit, elle, une majoration globale de l'erreur d'approximation polynomiale, là où la formule de Taylor-Young du chapitre d'analyse asymptotique ne donnait qu'une information locale.

Conventions pour tout le chapitre. Les lettres $a$ et $b$ désignent des réels, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non réduit à un point, et $[a,b]$ un segment, c'est-à-dire un intervalle fermé borné avec $a⩽b$ (et $a<b$ dès que le contraire n'aurait pas de sens). Les fonctions sont à valeurs réelles jusqu'à la section 8, où l'on passe brièvement aux fonctions à valeurs complexes. Tout ce qui concerne les suites, les limites, la continuité, la dérivabilité, l'inégalité des accroissements finis, les primitives usuelles, l'intégration par parties, le changement de variable et les développements limités est supposé connu et utilisé librement.

Fonctions en escalier

Subdivisions d'un segment

Tout part d'un découpage du segment. C'est l'objet le plus élémentaire du chapitre, et il faut le définir avec soin, car toutes les démonstrations de la section reposent sur la comparaison de deux découpages.

Le pas mesure la finesse du découpage : plus il est petit, plus les morceaux sont courts. La subdivision la plus utilisée est la subdivision régulière de $[a,b]$ à $n$ intervalles, définie par

$$a_k=a+k\frac{b-a}{n},0⩽k⩽n,$$

dont tous les intervalles ont la même longueur ${\displaystyle \frac{b-a}{n}}$, qui est donc aussi son pas. C'est elle qui interviendra dans les sommes de Riemann.

Deux subdivisions quelconques ${\sigma }_1$ et ${\sigma }_2$ admettent toujours une subdivision plus fine que chacune d'elles : il suffit de prendre la réunion de leurs points, rangée dans l'ordre croissant. Cette subdivision ${\sigma }_1\cup {\sigma }_2$ s'appelle un raffinement commun de ${\sigma }_1$ et ${\sigma }_2$. C'est l'outil universel du paragraphe 1.3 : chaque fois que deux découpages sont en concurrence, on les compare tous les deux à leur raffinement commun.

Fonctions en escalier

Le point délicat de la définition est qu'elle ne dit rien des valeurs $\phi (a_i)$ prises aux points de la subdivision : elles sont quelconques, et elles peuvent parfaitement ne coïncider avec aucune des deux valeurs voisines. Cette liberté est volontaire, et le paragraphe 1.4 en donnera la raison : ces valeurs ne comptent pas dans l'intégrale.

Démonstration. Soit $\sigma$ adaptée à $\phi$ et ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ plus fine que $\sigma$. Tout intervalle ouvert $]a_j^{\mathrm{\prime }},a_{j+1}^{\mathrm{\prime }}[$ de ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ est inclus dans un intervalle ouvert $]a_i,a_{i+1}[$ de $\sigma$. En effet, $a_j^{\mathrm{\prime }}$ et $a_{j+1}^{\mathrm{\prime }}$ sont deux points consécutifs de ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ : aucun point de $\sigma$, qui est un point de ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$, ne peut se trouver strictement entre eux, donc $]a_j^{\mathrm{\prime }},a_{j+1}^{\mathrm{\prime }}[$ ne rencontre pas $\sigma$ et se trouve donc coincé entre deux points consécutifs de $\sigma$. Comme $\phi$ est constante sur $]a_i,a_{i+1}[$, elle l'est a fortiori sur la partie plus petite $]a_j^{\mathrm{\prime }},a_{j+1}^{\mathrm{\prime }}[$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Soient ${\sigma }_{\phi }$ adaptée à $\phi$ et ${\sigma }_{\psi }$ adaptée à $\psi$. Le raffinement commun $\sigma ={\sigma }_{\phi }\cup {\sigma }_{\psi }$ est plus fin que chacune des deux, donc adapté à $\phi$ et à $\psi$ d'après la propriété précédente. Sur chaque intervalle ouvert de $\sigma$, les deux fonctions sont constantes, donc leur somme, leur produit, toute combinaison linéaire et la valeur absolue de $\phi$ le sont aussi. La subdivision $\sigma$ est donc adaptée à chacune de ces fonctions. $\mathrm{\square }$

Intégrale d'une fonction en escalier

Pour une fonction en escalier positive, l'aire du domaine situé sous la courbe est une réunion de rectangles : sa mesure ne fait aucun doute, c'est la somme des « base $\times$ hauteur ». On prend cette somme comme définition, en autorisant les hauteurs négatives.

Cette définition n'a de sens que si le résultat ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie, ce qui n'a rien d'évident : la même fonction admet une infinité de subdivisions adaptées. C'est l'objet du théorème suivant, et le raffinement commun en est la clef.

Démonstration. Notons $I(\phi ,\sigma )$ la somme calculée à partir de la subdivision adaptée $\sigma$. La preuve se fait en deux temps.

Étape 1 : ajouter un point ne change rien. Soit $\sigma =(a_0,\dots ,a_p)$ adaptée à $\phi$ et soit $c$ un réel n'appartenant pas à $\sigma$, avec $a<c<b$. Il existe un unique indice $i$ tel que $a_i<c<a_{i+1}$. La subdivision ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ obtenue en insérant $c$ est adaptée à $\phi$, et $\phi$ vaut ${\lambda }_i$ sur $]a_i,c[$ comme sur $]c,a_{i+1}[$, ces deux intervalles étant inclus dans $]a_i,a_{i+1}[$. Les deux sommes $I(\phi ,\sigma )$ et $I(\phi ,{\sigma }^{\mathrm{\prime }})$ ont exactement les mêmes termes, sauf que le terme ${\lambda }_i(a_{i+1}-a_i)$ de la première est remplacé dans la seconde par les deux termes ${\lambda }_i(c-a_i)$ et ${\lambda }_i(a_{i+1}-c)$. Or

$${\lambda }_i(c-a_i)+{\lambda }_i(a_{i+1}-c)={\lambda }_i(a_{i+1}-a_i),$$

donc $I(\phi ,{\sigma }^{\mathrm{\prime }})=I(\phi ,\sigma )$. Par une récurrence immédiate sur le nombre de points ajoutés, on obtient : si ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ est plus fine que $\sigma$, alors $I(\phi ,{\sigma }^{\mathrm{\prime }})=I(\phi ,\sigma )$.

Étape 2 : deux subdivisions adaptées quelconques. Soient ${\sigma }_1$ et ${\sigma }_2$ deux subdivisions adaptées à $\phi$, et soit $\sigma ={\sigma }_1\cup {\sigma }_2$ leur raffinement commun. Cette subdivision est plus fine que ${\sigma }_1$ et que ${\sigma }_2$, donc adaptée à $\phi$, et l'étape 1 donne

$$I(\phi ,{\sigma }_1)=I(\phi ,\sigma )=I(\phi ,{\sigma }_2)\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier

Démonstration. On choisit une subdivision $\sigma =(a_0,\dots ,a_p)$ adaptée à la fois à $\phi$ et à $\psi$ (le raffinement commun de deux subdivisions adaptées), et l'on note ${\lambda }_i$ et ${\mu }_i$ les valeurs respectives sur $]a_i,a_{i+1}[$.

Point 1. La fonction $\phi +\lambda \psi$ vaut ${\lambda }_i+\lambda {\mu }_i$ sur $]a_i,a_{i+1}[$, et $\sigma$ lui est adaptée. Donc

$${\int }_a^b(\phi +\lambda \psi )=\sum _{i=0}^{p-1}({\lambda }_i+\lambda {\mu }_i)(a_{i+1}-a_i)=\sum _{i=0}^{p-1}{\lambda }_i(a_{i+1}-a_i)+\lambda \sum _{i=0}^{p-1}{\mu }_i(a_{i+1}-a_i),$$

ce qui est le résultat annoncé.

Point 2. Si $\phi ⩾0$, alors chaque ${\lambda }_i$ est positif, comme valeur de $\phi$ en un point de $]a_i,a_{i+1}[$, intervalle non vide. Chaque terme ${\lambda }_i(a_{i+1}-a_i)$ est donc positif, et la somme aussi.

Point 3. On applique le point 2 à $\psi -\phi ⩾0$, puis la linéarité : ${\displaystyle {\int }_a^b\psi -{\int }_a^b\phi ={\int }_a^b(\psi -\phi )⩾0}$.

Point 4. Soit $F$ l'ensemble fini des points où $\phi$ et $\psi$ diffèrent, et soit ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$ la subdivision obtenue en ajoutant à $\sigma$ tous les points de $F$ situés dans $]a,b[$. Elle est adaptée aux deux fonctions. Sur chaque intervalle ouvert de ${\sigma }^{\mathrm{\prime }}$, aucun point de $F$ ne subsiste, donc $\phi$ et $\psi$ y prennent la même valeur constante. Les deux sommes sont identiques terme à terme. $\mathrm{\square }$

Le point 4 est la justification du flou volontaire de la définition : les valeurs aux points de la subdivision, en nombre fini, ne pèsent rien dans l'intégrale, puisque chacune ne concerne qu'un intervalle de longueur nulle.

Intégrale d'une fonction continue sur un segment

L'idée de la construction

Une fonction continue n'est pas en escalier, mais on peut la coincer entre deux fonctions en escalier aussi serrées qu'on veut : c'est l'idée de toute la construction.

Soit $f$ continue sur $[a,b]$. Comme $f$ est continue sur un segment, elle est bornée (théorème des bornes atteintes) : il existe $m$ et $M$ tels que $m⩽f⩽M$. Les deux fonctions constantes $m$ et $M$ sont en escalier, donc les deux ensembles suivants sont non vides :

$$A^{-}=\{{\int }_a^b\phi ;\phi \in \mathcal{E}([a,b]),\phi ⩽f\},A^{+}=\{{\int }_a^b\psi ;\psi \in \mathcal{E}([a,b]),\psi ⩾f\}\mathrm{.}$$

Par croissance de l'intégrale des fonctions en escalier, tout élément de $A^{-}$ est inférieur à tout élément de $A^{+}$ : si $\phi ⩽f⩽\psi$, alors ${\int }_a^b\phi ⩽{\int }_a^b\psi$. L'ensemble $A^{-}$ est donc majoré et $A^{+}$ est minoré ; ils admettent respectivement une borne supérieure et une borne inférieure, et

$$\sup A^{-}⩽\inf A^{+}\mathrm{.}$$

Autrement dit, on peut approcher $f$ d'aussi près qu'on veut, par en dessous et par au-dessus, par des fonctions en escalier dont les intégrales finissent par se rejoindre. Le programme est explicite sur le statut de ce résultat : « la construction de l'intégrale n'est pas un attendu du programme, mais les étudiants doivent avoir été sensibilisés à cette problématique ». On l'admet donc, mais il faut savoir dire ce qu'on admet et pourquoi c'est un vrai théorème, et non une évidence graphique.

Définition et notations

L'existence de l'intégrale mérite d'être soulignée : toute fonction continue sur un segment est intégrable, sans aucune hypothèse supplémentaire. Il n'y a donc jamais à justifier l'existence de ${\int }_a^{b}f$ en PCSI dès lors que $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ tout entier, bornes comprises. En revanche, écrire ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{t}}$ n'a aucun sens ici : la fonction n'est pas continue sur $[0,1]$, et ce type d'intégrale relève de la seconde année.

Interprétation géométrique

C'est exactement ce que montre la figure : le domaine hachuré sous la courbe de $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+1$ entre $a=1$ et $b=4$ a pour aire ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}$. Cette interprétation n'est pas une démonstration mais une définition de l'aire : c'est bien l'intégrale qui définit l'aire du domaine, et non l'inverse. Elle reste l'outil de contrôle numéro un. Avant de se lancer dans un calcul, un regard sur le dessin donne le signe attendu et un ordre de grandeur ; un résultat négatif pour une fonction visiblement positive signale une erreur de calcul, sans exception.

Valeur moyenne

Géométriquement, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[a,b]$ qui a la même aire algébrique que le domaine sous la courbe : « on aplatit la courbe à hauteur constante sans changer l'aire ». C'est la notion qu'utilisent la physique et la chimie sous le nom de valeur moyenne d'un signal sur une période.

Propriétés de l'intégrale

Toutes les propriétés de cette section se démontrent selon le même schéma : on les établit sur les fonctions en escalier (c'est fait, paragraphe 1.4), puis on passe à la borne supérieure. Les démonstrations qui suivent donnent l'argument essentiel ; certaines transitions par passage à la borne supérieure sont admises, conformément au statut de la construction.

Linéarité

C'est la propriété la plus utilisée du chapitre, et la source d'une faute classique : l'intégrale n'est pas multiplicative. En général

$${\int }_a^{b}fg\mathrm{\ne }\left({\int }_a^{b}f\right)\left({\int }_a^{b}g\right)\mathrm{.}$$

Un contre-exemple suffit : avec $f=g=\mathrm{i}\mathrm{d}$ sur $[0,1]$, le membre de gauche vaut ${\displaystyle {\int }_0^1{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{3}}$ et celui de droite ${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$. De même, ${\displaystyle {\int }_a^b\frac{1}{f}\mathrm{\ne }\frac{1}{{\int }_a^{b}f}}$ et ${\displaystyle {\int }_a^b\sqrt{f}\mathrm{\ne }\sqrt{{\int }_a^{b}f}}$.

Relation de Chasles et extension au cas $b⩽a$

Cette relation traduit le découpage du domaine en deux morceaux, ce qui est graphiquement évident et se démontre en découpant les fonctions en escalier de l'encadrement. Elle est indispensable dès qu'une fonction est définie par deux formules différentes selon la position de la variable.

Jusqu'ici, ${\displaystyle {\int }_a^{b}f}$ n'a de sens que pour $a⩽b$. On lève cette restriction par convention.

Démonstration du point 2. Les six configurations possibles de $a$, $b$, $c$ se traitent de la même manière ; traitons celle où $c⩽a⩽b$, les autres étant analogues. La relation de Chasles ordonnée appliquée au triplet $c⩽a⩽b$ donne ${\displaystyle {\int }_c^{b}f={\int }_c^{a}f+{\int }_a^{b}f}$, d'où

$${\int }_a^{b}f={\int }_c^{b}f-{\int }_c^{a}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$$

par la convention de signe. $\mathrm{\square }$

Positivité et croissance

Démonstration. Point 1. Si $f⩾0$, la fonction en escalier nulle vérifie $0⩽f$, donc $0={\int }_a^{b}0\in A^{-}$, et par définition de la borne supérieure ${\displaystyle {\int }_a^{b}f=\sup A^{-}⩾0}$.

Point 2. On applique le point 1 à $g-f$, qui est continue et positive, puis la linéarité :

$${\int }_a^{b}g-{\int }_a^{b}f={\int }_a^b(g-f)⩾0.$$

Point 3. C'est le point 2 appliqué deux fois, avec les fonctions constantes $m$ et $M$, dont les intégrales valent $m(b-a)$ et $M(b-a)$. $\mathrm{\square }$

Inégalité triangulaire intégrale et inégalité de la moyenne

Démonstration. La fonction $\mid f\mid$ est continue comme composée de $f$ et de la valeur absolue. Pour tout $t\in [a,b]$,

$$-\mid f(t)\mid ⩽f(t)⩽\mid f(t)\mid \mathrm{.}$$

Comme $a⩽b$, la croissance de l'intégrale s'applique aux deux inégalités et donne

$$-{\int }_a^b\mid f\mid ⩽{\int }_a^{b}f⩽{\int }_a^b\mid f\mid ,$$

en utilisant ${\displaystyle {\int }_a^b(-\mid f\mid )=-{\int }_a^b\mid f\mid }$. Or dire que $-A⩽x⩽A$ avec $A⩾0$, c'est exactement dire que $\mid x\mid ⩽A$. $\mathrm{\square }$

On l'appelle inégalité triangulaire par analogie avec $\mid \sum x_k\mid ⩽\sum \mid x_k\mid$ : l'intégrale étant une « somme continue », la valeur absolue d'une somme est inférieure à la somme des valeurs absolues. Comme pour les sommes, il y a perte d'information dès que $f$ change de signe : sur $[0,2\pi ]$, le membre de gauche vaut $0$ pour $f=\sin$, le membre de droite vaut $4$.

Démonstration. Posons $M={\sup }_{[a,b]}\mid f\mid$. Pour tout $t\in [a,b]$, $\mid f(t)\mid ⩽M$, donc par croissance ${\displaystyle {\int }_a^b\mid f\mid ⩽M(b-a)}$, et l'inégalité triangulaire conclut. Si $b<a$, on applique ce qui précède à ${\displaystyle {\int }_b^{a}f}$, dont l'intégrale est l'opposée, ce qui ne change pas la valeur absolue. $\mathrm{\square }$

Cette inégalité est l'outil de majoration standard : elle transforme une intégrale en un produit « longueur $\times$ hauteur maximale ». Elle sera utilisée telle quelle dans la démonstration du théorème fondamental, section 6.

Le théorème de l'intégrale nulle

Voici le théorème central du chapitre. Son énoncé paraît anodin, il est en réalité subtil : c'est lui qui exprime que l'intégrale « voit » les fonctions continues sans en perdre la moindre information, contrairement à ce qui se passe pour les fonctions en escalier.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $x_0\in [a,b]$ tel que $f(x_0)>0$.

Posons $\epsilon ={\displaystyle \frac{f(x_0)}{2}}>0$. Par continuité de $f$ en $x_0$, il existe $\delta >0$ tel que, pour tout $x\in [a,b]$ vérifiant $\mid x-x_0\mid ⩽\delta$,

$$\mid f(x)-f(x_0)\mid ⩽\epsilon ,\text{donc}f(x)⩾f(x_0)-\epsilon =\frac{f(x_0)}{2}\mathrm{.}$$

Construisons maintenant un segment non réduit à un point, inclus dans $[a,b]$, sur lequel cette minoration vaut. Comme $a<b$, posons ${\delta }^{\mathrm{\prime }}=\min (\delta ,{\displaystyle \frac{b-a}{2}})>0$ et distinguons trois cas. Si $x_0=a$, on prend $[\alpha ,\beta ]=[a,a+{\delta }^{\mathrm{\prime }}]$. Si $x_0=b$, on prend $[\alpha ,\beta ]=[b-{\delta }^{\mathrm{\prime }},b]$. Sinon $a<x_0<b$, et on prend $[\alpha ,\beta ]=[\max (a,x_0-{\delta }^{\mathrm{\prime }}),\min (b,x_0+{\delta }^{\mathrm{\prime }})]$. Dans les trois cas, $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$, $\alpha <\beta$, et tout $x\in [\alpha ,\beta ]$ vérifie $\mid x-x_0\mid ⩽\delta$, donc $f(x)⩾{\displaystyle \frac{f(x_0)}{2}}$.

La relation de Chasles découpe alors l'intégrale en trois morceaux, dont les deux extrêmes sont positifs par positivité (les bornes y sont dans le bon ordre, et $f⩾0$) :

$$0={\int }_a^{b}f=\underset{⩾0}{\underbrace{{\int }_a^{\alpha }f}}+{\int }_{\alpha }^{\beta }f+\underset{⩾0}{\underbrace{{\int }_{\beta }^{b}f}}⩾{\int }_{\alpha }^{\beta }f⩾(\beta -\alpha )\frac{f(x_0)}{2}>0,$$

la dernière minoration venant de la croissance appliquée à la constante ${\displaystyle \frac{f(x_0)}{2}}$. On aboutit à $0>0$, ce qui est absurde. Donc $f(x)=0$ pour tout $x\in [a,b]$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Si l'intégrale était nulle, le théorème donnerait $f=0$, contrairement à l'hypothèse ; et elle est positive par positivité. Point 2. La fonction $g-f$ est continue, positive, d'intégrale nulle par linéarité, donc nulle. Points 3 et 4. Les fonctions $\mid f\mid$ et $f^2$ sont continues et positives, d'intégrale nulle : elles sont donc nulles, et $\mid f(x)\mid =0$ ou $f(x{)}^2=0$ équivaut à $f(x)=0$. $\mathrm{\square }$

Théorème de la moyenne

Démonstration. La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ : d'après le théorème des bornes atteintes, elle est bornée et atteint ses bornes. Notons $m=f(x_m)$ son minimum et $M=f(x_M)$ son maximum, atteints en $x_m$ et $x_M$ dans $[a,b]$. L'encadrement $m⩽f⩽M$ donne, par croissance,

$$m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f⩽M(b-a),$$

puis, en divisant par $b-a>0$,

$$m⩽\mu ⩽M,\text{o}\grave{\text{u}}\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\mathrm{.}$$

La fonction $f$ est continue sur le segment d'extrémités $x_m$ et $x_M$, inclus dans $[a,b]$, et $\mu$ est compris entre $f(x_m)$ et $f(x_M)$ : le théorème des valeurs intermédiaires fournit un réel $c$ entre $x_m$ et $x_M$, donc dans $[a,b]$, tel que $f(c)=\mu$. $\mathrm{\square }$

Symétries : parité, imparité, périodicité

Démonstration. Par la relation de Chasles, ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f={\int }_{-a}^{0}f+{\int }_0^{a}f}$. Dans la première intégrale, effectuons le changement de variable $t=-u$, licite car $u\mapsto -u$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $f$ est continue sur $[-a,a]$ :

$${\int }_{-a}^{0}f(t)\mathrm{d}t={\int }_a^{0}f(-u)\times (-1)\mathrm{d}u={\int }_0^{a}f(-u)\mathrm{d}u\mathrm{.}$$

Si $f$ est paire, $f(-u)=f(u)$ et cette intégrale vaut ${\displaystyle {\int }_0^{a}f}$, d'où le point 1. Si $f$ est impaire, $f(-u)=-f(u)$ et elle vaut ${\displaystyle -{\int }_0^{a}f}$, d'où le point 2 par addition. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Découpons par la relation de Chasles, désormais valable sans condition d'ordre :

$${\int }_{\alpha }^{\alpha +T}f={\int }_{\alpha }^{0}f+{\int }_0^{T}f+{\int }_T^{\alpha +T}f\mathrm{.}$$

Dans la dernière intégrale, posons $t=u+T$, changement de variable de classe ${\mathcal{C}}^1$ :

$${\int }_T^{\alpha +T}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{\alpha }f(u+T)\mathrm{d}u={\int }_0^{\alpha }f(u)\mathrm{d}u=-{\int }_{\alpha }^{0}f(u)\mathrm{d}u,$$

par périodicité puis par la convention d'échange des bornes. Les deux termes extrêmes se compensent, et il reste ${\displaystyle {\int }_0^{T}f}$. $\mathrm{\square }$

Sommes de Riemann

Définition et interprétation géométrique

L'idée est de revenir à l'origine du calcul intégral : découper $[a,b]$ en $n$ morceaux égaux et remplacer, sur chaque morceau, la fonction par sa valeur au bord gauche. On obtient une somme d'aires de rectangles, donc une valeur approchée de l'intégrale.

Sur la figure, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+1$ sur $[1,4]$ est découpée en $n=6$ intervalles de longueur ${\displaystyle \frac{b-a}{n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Chaque rectangle a pour base un intervalle de la subdivision et pour hauteur la valeur de $f$ à son extrémité gauche, soit $f\text{\hspace{0.17em}⁣}(a+k{\displaystyle \frac{b-a}{n}})$. La somme $S_n$ est l'aire algébrique totale de ces rectangles. La fonction étant ici croissante, chaque rectangle est en dessous de la courbe et $S_n$ sous-estime l'intégrale : on voit sur le dessin les petits triangles curvilignes manquants, dont l'aire totale tend vers $0$ quand $n$ augmente.

Le théorème de convergence

Dans le cas général d'une fonction seulement continue, ce théorème est admis. Le programme prévoit en revanche explicitement la démonstration dans le cas lipschitzien, qui suit, et qui couvre en particulier toutes les fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$.

Démonstration de la variante « à droite » à partir de la variante « à gauche ». Notons $S_n$ la somme à gauche et $S_n^{\mathrm{\prime }}$ la somme à droite. Elles ont tous leurs termes communs sauf deux :

$$S_n^{\mathrm{\prime }}-S_n=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0,$$

puisque $f(b)-f(a)$ est une constante. Les deux suites ont donc la même limite. $\mathrm{\square }$

Démonstration dans le cas lipschitzien

Rappelons qu'une fonction $f$ est dite lipschitzienne de rapport $K⩾0$ sur $[a,b]$ lorsque

$$\mathrm{\forall }(x,y)\in [a,b{]}^2,\mid f(x)-f(y)\mid ⩽K\mid x-y\mid \mathrm{.}$$

Toute fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$ est dans ce cas : sa dérivée est continue sur un segment donc bornée, et l'inégalité des accroissements finis donne le résultat avec $K={\sup }_{[a,b]}\mid f^{\mathrm{\prime }}\mid$.

Démonstration. Notons $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$ et $x_k=a+kh$ pour $0⩽k⩽n$, de sorte que $x_0=a$, $x_n=b$ et $x_{k+1}-x_k=h$.

Étape 1 : découper l'intégrale. La relation de Chasles appliquée $n-1$ fois donne

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Par ailleurs, chaque terme de $S_n$ s'écrit comme une intégrale de fonction constante :

$$hf(x_k)={\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x_k)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

En soustrayant terme à terme,

$${\int }_a^{b}f-S_n=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}(f(t)-f(x_k))\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Étape 2 : majorer chaque morceau. Fixons $k$ et soit $t\in [x_k,x_{k+1}]$. Le caractère lipschitzien donne

$$\mid f(t)-f(x_k)\mid ⩽K\mid t-x_k\mid =K(t-x_k),$$

car $t⩾x_k$. Les bornes étant dans le bon ordre, l'inégalité triangulaire intégrale puis la croissance donnent

$$\mid {\int }_{x_k}^{x_{k+1}}(f(t)-f(x_k))\mathrm{d}t\mid ⩽{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}K(t-x_k)\mathrm{d}t=K{\left[\frac{{(t-x_k)}^2}{2}\right]}_{x_k}^{x_{k+1}}=\frac{K{h}^2}{2}\mathrm{.}$$

Étape 3 : sommer. Par l'inégalité triangulaire (pour une somme finie, cette fois),

$$\mid {\int }_a^{b}f-S_n\mid ⩽\sum _{k=0}^{n-1}\frac{K{h}^2}{2}=n\times \frac{K}{2}{\left(\frac{b-a}{n}\right)}^2=\frac{K(b-a{)}^2}{2n}\mathrm{.}$$

Ce majorant tend vers $0$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$, donc $S_n\to {\displaystyle {\int }_a^{b}f}$ par encadrement. $\mathrm{\square }$

Méthode : reconnaître une somme de Riemann

Le sens le plus utile du théorème n'est pas « approcher une intégrale par une somme », mais l'inverse : calculer la limite d'une somme grâce à une intégrale. Le cas le plus fréquent est $[a,b]=[0,1]$, pour lequel ${\displaystyle \frac{b-a}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}$ et $a+k{\displaystyle \frac{b-a}{n}}={\displaystyle \frac{k}{n}}$ :

$$\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t,\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{k}{n}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Calcul approché d'une intégrale

Beaucoup d'intégrales ne se calculent pas explicitement : ${\displaystyle {\int }_0^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t}$ n'a pas d'expression à l'aide des fonctions usuelles. Il faut alors une valeur approchée, et surtout une majoration de l'erreur commise, faute de quoi le nombre affiché ne vaut rien. Le programme demande de comparer les performances de deux méthodes.

Méthode des rectangles

Démonstration. La fonction $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue sur le segment $[a,b]$, donc bornée, et $M_1$ existe. L'inégalité des accroissements finis donne, pour tous $x,y\in [a,b]$, $\mid f(x)-f(y)\mid ⩽M_1\mid x-y\mid$ : $f$ est lipschitzienne de rapport $M_1$. La majoration du paragraphe 4.3 s'applique avec $K=M_1$. $\mathrm{\square }$

L'erreur est donc en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ : pour gagner un chiffre décimal, il faut multiplier le nombre de points par $10$. C'est très lent.

Méthode des trapèzes

L'idée est simple : plutôt que de remplacer $f$ par une constante sur chaque intervalle, on la remplace par la fonction affine qui coïncide avec elle aux deux extrémités. Le rectangle devient un trapèze, dont l'aire vaut « demi-somme des bases $\times$ hauteur », soit $h{\displaystyle \frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2}}$.

La seconde écriture s'obtient en regroupant les termes : chaque valeur intérieure $f(x_k)$, pour $1⩽k⩽n-1$, apparaît dans deux trapèzes consécutifs avec le coefficient ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc avec le coefficient $1$ au total, tandis que $f(a)$ et $f(b)$ n'apparaissent qu'une fois. C'est cette seconde écriture qu'on programme : elle demande $n+1$ évaluations de $f$, comme la méthode des rectangles à $n+1$ points.

Comparaison des deux méthodes

L'erreur des rectangles est en ${\displaystyle \frac{1}{n}}$, celle des trapèzes en ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ : c'est un changement de nature. Multiplier $n$ par $10$ divise l'erreur par $10$ dans le premier cas, par $100$ dans le second. Le prix à payer est une hypothèse plus forte ($f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ et non ${\mathcal{C}}^1$) et une évaluation supplémentaire de $f$, ce qui est dérisoire.

Chiffrons sur l'exemple des figures, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+1$ sur $[1,4]$, dont l'intégrale exacte vaut ${\displaystyle \frac{33}{4}}=\mathrm{8,25}$. Ici $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x}{2}}$ et $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $M_1=2$ et $M_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $[1,4]$. Les majorations théoriques donnent ${\displaystyle \frac{2\times 9}{2n}}={\displaystyle \frac{9}{n}}$ pour les rectangles et ${\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\times 27}{12n^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,125}}{n^2}}$ pour les trapèzes.

En multipliant $n$ par $10$, l'erreur des rectangles est divisée par un peu plus de $9$, celle des trapèzes par $100$ exactement. À $n=60$, les trapèzes donnent $300$ fois mieux que les rectangles, pour le même nombre d'évaluations de $f$.

Lien entre intégrale et primitive

Le théorème fondamental

Jusqu'ici, l'intégrale a été construite indépendamment de toute idée de primitive. Le théorème suivant relie les deux mondes, et c'est lui qui justifie a posteriori tous les calculs du premier semestre.

Démonstration. La fonction $F$ est bien définie : pour tout $x\in I$, le segment d'extrémités $a$ et $x$ est inclus dans $I$ (un intervalle est convexe), et $f$ y est continue, donc intégrable ; la convention d'échange des bornes traite le cas $x<a$.

Fixons $x_0\in I$ et montrons que $F$ est dérivable en $x_0$ de dérivée $f(x_0)$. Soit $x\in I$ avec $x\mathrm{\ne }{x}_0$. La relation de Chasles, valable sans condition d'ordre, donne

$$F(x)-F(x_0)={\int }_a^{x}f-{\int }_a^{x_0}f={\int }_{x_0}^{x}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Par ailleurs ${\displaystyle {\int }_{x_0}^{x}f(x_0)\mathrm{d}t=(x-x_0)f(x_0)}$, puisque l'intégrande est constant. En soustrayant,

$$F(x)-F(x_0)-(x-x_0)f(x_0)={\int }_{x_0}^x(f(t)-f(x_0))\mathrm{d}t\mathrm{.}(\star )$$

Soit $\epsilon >0$. La fonction $f$ est continue en $x_0$ : il existe $\delta >0$ tel que, pour tout $t\in I$ avec $\mid t-x_0\mid ⩽\delta$, on ait $\mid f(t)-f(x_0)\mid ⩽\epsilon$. Supposons désormais $0<\mid x-x_0\mid ⩽\delta$. Tout $t$ du segment d'extrémités $x_0$ et $x$ vérifie alors $\mid t-x_0\mid ⩽\delta$, donc $\mid f(t)-f(x_0)\mid ⩽\epsilon$. L'inégalité de la moyenne, dans sa version valable quel que soit l'ordre des bornes, appliquée à $(\star )$ donne

$$\mid F(x)-F(x_0)-(x-x_0)f(x_0)\mid ⩽\mid x-x_0\mid \times \epsilon \mathrm{.}$$

En divisant par $\mid x-x_0\mid >0$ :

$$\mid \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\mid ⩽\epsilon \mathrm{.}$$

Nous venons de montrer : pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que $0<\mid x-x_0\mid ⩽\delta$ entraîne l'inégalité ci-dessus. C'est exactement la définition de

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)\mathrm{.}$$

Donc $F$ est dérivable en $x_0$ et $F^{\mathrm{\prime }}(x_0)=f(x_0)$. Ceci valant pour tout $x_0\in I$, on a $F^{\mathrm{\prime }}=f$ sur $I$ ; comme $f$ est continue, $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$. Enfin $F(a)={\displaystyle {\int }_a^{a}f=0}$, et deux primitives de $f$ sur l'intervalle $I$ qui s'annulent en $a$ ont une différence constante nulle en $a$, donc sont égales. $\mathrm{\square }$

Existence des primitives et calcul des intégrales

Démonstration. L'existence est donnée par le théorème fondamental. Si $G$ est une autre primitive, alors $(G-F{)}^{\mathrm{\prime }}=f-f=0$ sur l'intervalle $I$, donc $G-F$ est constante. Réciproquement, $F+C$ est bien une primitive. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Avec $F:x\mapsto {\int }_a^{x}f$, il existe $C\in \mathbb{R}$ tel que $G=F+C$. Donc

$$G(b)-G(a)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f-{\int }_a^{a}f={\int }_a^{b}f\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Noter que la constante disparaît : toute primitive convient, on prend la plus simple. Noter aussi que l'hypothèse « $f$ continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ » est essentielle. L'écriture

$${\int }_{-1}^1\frac{\mathrm{d}t}{t^2}={[-\frac{1}{t}]}_{-1}^1=-1-1=-2$$

est une double faute : la fonction n'est pas définie en $0$, l'intégrale n'existe pas, et le résultat obtenu est négatif alors que l'intégrande est positif. Le contrôle de signe suffisait à détecter l'erreur.

Méthode : dériver une intégrale à bornes variables

Intégration par parties

Le théorème fondamental permet enfin de démontrer les deux techniques de calcul admises au premier semestre.

Démonstration. Le produit $uv$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $I$, de dérivée $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$, qui est continue puisque $u$, $v$, $u^{\mathrm{\prime }}$, $v^{\mathrm{\prime }}$ le sont. Ainsi $uv$ est une primitive de la fonction continue $u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}$ sur $I$, et le calcul d'une intégrale par une primitive donne

$${\int }_a^b(u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }})=[uv{]}_a^b\mathrm{.}$$

La linéarité de l'intégrale permet de séparer le membre de gauche en deux, d'où le résultat. $\mathrm{\square }$

L'hypothèse « $u$ et $v$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ » n'est pas décorative : c'est elle qui garantit que les deux intégrales existent. Il faut l'écrire à chaque fois.

Changement de variable

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$, qui existe par le théorème fondamental. La composée $F\circ \phi$ est définie sur $J$ (car $\phi$ est à valeurs dans $I$), dérivable, et

$${(F\circ \phi )}^{\mathrm{\prime }}(t)={\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)F^{\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}(\phi (t))={\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)f\text{\hspace{0.17em}⁣}(\phi (t)),$$

fonction continue sur $J$. Ainsi $F\circ \phi$ est une primitive de $t\mapsto f(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ sur $J$, et

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f\text{\hspace{0.17em}⁣}(\phi (t)){\phi }^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t=F\text{\hspace{0.17em}⁣}(\phi (\beta ))-F\text{\hspace{0.17em}⁣}(\phi (\alpha ))={\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\mathrm{d}x\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Inégalité de Taylor-Lagrange

Énoncé

Le chapitre d'analyse asymptotique a fourni la formule de Taylor-Young : si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$,

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)+o\text{\hspace{0.17em}⁣}((x-a{)}^n)\text{lorsque }x\to a\mathrm{.}$$

Ce résultat est local et qualitatif : il dit que l'erreur est petite devant $(x-a{)}^n$ quand $x$ se rapproche de $a$, mais il ne donne aucun nombre. Impossible d'en déduire une majoration de l'erreur pour $x=\mathrm{0,1}$ fixé. L'inégalité de Taylor-Lagrange répond exactement à ce manque.

Trois remarques d'usage. D'abord, l'inégalité est globale : elle vaut pour tout $x$ de l'intervalle, pas seulement au voisinage de $a$. Ensuite, elle est quantitative : le majorant est un nombre calculable dès qu'on sait majorer la dérivée d'ordre $n+1$. Enfin, elle demande une hypothèse plus forte que Taylor-Young, la classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ au lieu de $n$ fois dérivable en un point.

Démonstration

Étape 1 : formule de Taylor avec reste intégral (non exigible). Montrons par récurrence sur $n\in \mathbb{N}$ la propriété $\mathcal{P}(n)$ : « pour toute fonction $f$ de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ sur $I$ et tous $a,x\in I$,

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{(x-a{)}^k}{k!}{f}^{(k)}(a)+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\text{ ». }$$

Initialisation. Pour $n=0$, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $f^{\mathrm{\prime }}$ est continue, donc $f$ est une primitive de $f^{\mathrm{\prime }}$ et

$$f(x)=f(a)+{\int }_a^x{f}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{d}t,$$

ce qui est bien $\mathcal{P}(0)$.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ et soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^{n+2}$ sur $I$. Elle est en particulier de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$, donc $\mathcal{P}(n)$ s'applique. Intégrons par parties le reste, en posant

$$u(t)=-\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!},u^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{(x-t{)}^n}{n!},v(t)=f^{(n+1)}(t),v^{\mathrm{\prime }}(t)=f^{(n+2)}(t)\mathrm{.}$$

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ ($v^{\mathrm{\prime }}$ est continue car $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n+2}$), donc

$${\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t={[-\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(t)]}_a^x+{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}{f}^{(n+2)}(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le crochet vaut $0$ en $t=x$ et ${\displaystyle \frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}}{f}^{(n+1)}(a)$ en $t=a$ (avec le signe $-$ du crochet, cela donne bien un $+$). En reportant dans $\mathcal{P}(n)$, on obtient exactement $\mathcal{P}(n+1)$.

Conclusion. La propriété est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Étape 2 : majoration du reste. Notons $R_n(x)={\displaystyle {\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t}$ et $M_{n+1}$ le maximum de $\mid f^{(n+1)}\mid$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$. Deux cas.

Cas $a⩽x$. Les bornes sont dans le bon ordre, et pour $t\in [a,x]$ on a $x-t⩾0$. L'inégalité triangulaire intégrale puis la croissance donnent

$$\mid R_n(x)\mid ⩽{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}\mid f^{(n+1)}(t)\mid \mathrm{d}t⩽M_{n+1}{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}\mathrm{d}t=M_{n+1}{[-\frac{(x-t{)}^{n+1}}{(n+1)!}]}_a^x=M_{n+1}\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{.}$$

Cas $x<a$. On échange les bornes : $R_n(x)=-{\displaystyle {\int }_x^a\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t}$, donc

$$\mid R_n(x)\mid ⩽{\int }_x^a\frac{{\mid x-t\mid }^n}{n!}\mid f^{(n+1)}(t)\mid \mathrm{d}t⩽M_{n+1}{\int }_x^a\frac{(t-x{)}^n}{n!}\mathrm{d}t=M_{n+1}{\left[\frac{(t-x{)}^{n+1}}{(n+1)!}\right]}_x^a=M_{n+1}\frac{(a-x{)}^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{.}$$

Dans les deux cas, $\mid R_n(x)\mid ⩽M_{n+1}{\displaystyle \frac{{\mid x-a\mid }^{n+1}}{(n+1)!}}$, ce qui est l'inégalité annoncée. $\mathrm{\square }$

Taylor-Young contre Taylor-Lagrange

Les deux formules donnent le même polynôme, celui de Taylor, mais elles ne disent pas la même chose du reste, et l'on ne peut jamais remplacer l'une par l'autre.

Taylor-Young est locale. Elle s'écrit avec un $o$, valable seulement « quand $x$ tend vers $a$ ». Elle a une hypothèse faible ($f$ de classe ${\mathcal{C}}^n$, ou même seulement $n$ fois dérivable en $a$) et sert à calculer : limites, équivalents, position d'une courbe par rapport à sa tangente, nature d'un point critique. Elle est incapable de fournir le moindre encadrement numérique : le $o$ ne contient aucune information chiffrée à distance finie.

Taylor-Lagrange est globale. Elle s'écrit avec une inégalité valable pour tout $x$ de l'intervalle, aussi loin de $a$ que l'on veut. Elle a une hypothèse plus forte ($f$ de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$) et sert à majorer : erreur d'approximation, calcul approché avec précision garantie, convergence d'une suite de sommes vers une valeur exacte. En contrepartie, elle exige de savoir majorer $\mid f^{(n+1)}\mid$, ce qui n'est pas toujours facile.

Un moyen mnémotechnique : Taylor-Young répond à la question « comment se comporte $f$ tout près de $a$ ? », Taylor-Lagrange à la question « de combien puis-je me tromper si j'utilise le polynôme en un $x$ donné ? ».

Applications

Extension aux fonctions à valeurs complexes

Définition et linéarité

Une fonction $f:[a,b]\to \mathbb{C}$ s'écrit de manière unique $f=\mathrm{Re}(f)+i\mathrm{Im}(f)$, où $\mathrm{Re}(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$ sont des fonctions à valeurs réelles, et $f$ est continue si et seulement si ces deux fonctions le sont. La définition de l'intégrale s'ensuit naturellement.

Démonstration du point 1 pour $\lambda$ complexe. Écrivons $\lambda =\alpha +i\beta$ avec $\alpha ,\beta$ réels et $g=u+iv$ avec $u=\mathrm{Re}(g)$, $v=\mathrm{Im}(g)$. Alors

$$\lambda g=(\alpha +i\beta )(u+iv)=(\alpha u-\beta v)+i(\alpha v+\beta u),$$

donc, par définition puis par linéarité réelle,

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_a^b\lambda g}& {\displaystyle ={\int }_a^b(\alpha u-\beta v)+i{\int }_a^b(\alpha v+\beta u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\alpha {\int }_a^{b}u-\beta {\int }_a^{b}v+i(\alpha {\int }_a^{b}v+\beta {\int }_a^{b}u)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\alpha +i\beta )({\int }_a^{b}u+i{\int }_a^{b}v)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda {\int }_a^{b}g\mathrm{.}}\end{array}$$

Les points 2, 3 et 4 s'obtiennent en appliquant le résultat réel correspondant à la partie réelle et à la partie imaginaire. $\mathrm{\square }$

Majoration du module

Démonstration. La fonction $\mid f\mid =\sqrt{\mathrm{Re}(f{)}^2+\mathrm{Im}(f{)}^2}$ est continue à valeurs réelles, donc le membre de droite a un sens.

Notons $J={\displaystyle {\int }_a^{b}f\in \mathbb{C}}$. Si $J=0$, l'inégalité est évidente puisque le membre de droite est positif (positivité, $a⩽b$). Supposons donc $J\mathrm{\ne }0$ et écrivons $J$ sous forme trigonométrique :

$$J=r{e}^{i\theta },r=\mid J\mid >0,\theta \in \mathbb{R}\mathrm{.}$$

Multiplions par $e^{-i\theta }$, qui est une constante complexe : la linéarité complexe donne

$$r=e^{-i\theta }J={\int }_a^b{e}^{-i\theta }f(t)\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Le nombre $r$ est réel, donc il est égal à sa partie réelle, et la partie réelle d'une intégrale est l'intégrale de la partie réelle :

$$r=\mathrm{Re}(r)=\mathrm{Re}({\int }_a^b{e}^{-i\theta }f(t)\mathrm{d}t)={\int }_a^b\mathrm{Re}\text{\hspace{0.17em}⁣}(e^{-i\theta }f(t))\mathrm{d}t\mathrm{.}$$

Or, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{Re}(z)⩽\mid z\mid$. Donc, pour tout $t$,

$$\mathrm{Re}\text{\hspace{0.17em}⁣}(e^{-i\theta }f(t))⩽\mid e^{-i\theta }f(t)\mid =\mid e^{-i\theta }\mid \mid f(t)\mid =\mid f(t)\mid \mathrm{.}$$

Ces deux fonctions étant continues à valeurs réelles et les bornes dans le bon ordre, la croissance de l'intégrale donne

$$\mid {\int }_a^{b}f\mid =r={\int }_a^b\mathrm{Re}\text{\hspace{0.17em}⁣}(e^{-i\theta }f(t))\mathrm{d}t⩽{\int }_a^b\mid f(t)\mid \mathrm{d}t\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

L'astuce à retenir est la rotation : on ramène l'intégrale, nombre complexe quelconque, à un réel positif en la multipliant par $e^{-i\theta }$, ce qui permet enfin d'utiliser la croissance, qui n'a de sens que sur $\mathbb{R}$.

Ce qui n'a plus de sens

$\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : tout énoncé de la section 3 qui fait intervenir une inégalité entre valeurs de la fonction disparaît. Il faut savoir précisément ce qui tombe :

• la positivité et la croissance : écrire « $f⩾0$ » ou « $f⩽g$ » pour des fonctions à valeurs complexes n'a aucun sens ;
• le théorème de la moyenne (existence de $c$ tel que ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$) : il est faux. Contre-exemple : ${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }{e}^{it}\mathrm{d}t=0}$, alors que $e^{ic}\times 2\pi$ n'est jamais nul ;
• l'étude du signe de l'intégrale, la comparaison de deux intégrales.

Ce qui survit : la linéarité (améliorée, puisque les scalaires peuvent être complexes), la relation de Chasles, la majoration du module, le théorème fondamental, l'intégration par parties, le changement de variable (avec $\phi$ à valeurs réelles), et l'inégalité de Taylor-Lagrange. Survit également le théorème de l'intégrale nulle sous la forme du point 3 du paragraphe 3.5 : si $f$ est continue à valeurs complexes et ${\displaystyle {\int }_a^b\mid f\mid =0}$ avec $a<b$, alors $f=0$, car $\mid f\mid$ est continue positive.

Applications

La démonstration est mot pour mot celle du paragraphe 7.2 : la formule de Taylor avec reste intégral s'obtient par la même récurrence (l'intégration par parties vaut pour les fonctions à valeurs complexes), et la majoration du reste utilise cette fois la majoration du module au lieu de l'inégalité triangulaire réelle. Seule la croissance était propre au cas réel, et elle n'intervient pas.

Comparaison somme-intégrale

L'encadrement de base

Les sommes de Riemann donnent la limite d'une somme dont le pas tend vers $0$. La technique de cette section répond à une autre question : encadrer une somme finie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)}$, dont les termes sont pris aux entiers, par des intégrales. L'outil tient en une ligne, et repose sur la monotonie.

Démonstration. Supposons $f$ décroissante. Pour tout $t\in [k,k+1]$, la décroissance donne $f(k+1)⩽f(t)⩽f(k)$. Les bornes étant dans le bon ordre, la croissance de l'intégrale s'applique aux fonctions constantes $f(k+1)$ et $f(k)$, dont les intégrales sur $[k,k+1]$ valent $f(k+1)\times 1$ et $f(k)\times 1$. Le cas croissant est analogue. $\mathrm{\square }$

La figure illustre exactement cet encadrement pour $f(t)={\displaystyle \frac{1}{t}}$, décroissante, et $k$ allant de $1$ à $4$. Sur chaque intervalle $[k,k+1]$, le grand rectangle, de hauteur ${\displaystyle \frac{1}{k}}$, contient le domaine sous la courbe, et le petit rectangle, de hauteur ${\displaystyle \frac{1}{k+1}}$, y est contenu :

$$\frac{1}{k+1}⩽{\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{t}⩽\frac{1}{k}\mathrm{.}$$

Méthode

Exemple : les sommes harmoniques

Un second exemple, cas croissant

Ce qu'il faut retenir

Les définitions à savoir redonner. Subdivision d'un segment et son pas ; fonction en escalier et subdivision adaptée ; intégrale d'une fonction en escalier ; valeur moyenne ; somme de Riemann.

Les théorèmes à connaître avec leurs hypothèses exactes.

1. Toute fonction continue sur un segment est intégrable ; la construction par encadrement entre fonctions en escalier est admise.
2. Linéarité, relation de Chasles (sans condition d'ordre après extension), positivité et croissance (avec $a⩽b$).
3. Inégalité triangulaire intégrale et inégalité de la moyenne (avec $a⩽b$).
4. $f$ continue, positive, d'intégrale nulle sur $[a,b]$ avec $a<b$ $⟹$ $f=0$. À savoir redémontrer.
5. Théorème de la moyenne : ${\displaystyle {\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)}$ pour un certain $c\in [a,b]$.
6. Convergence des sommes de Riemann ; démonstration exigible dans le cas lipschitzien, avec la majoration en ${\displaystyle \frac{K(b-a{)}^2}{2n}}$.
7. Théorème fondamental : $x\mapsto {\displaystyle {\int }_a^{x}f}$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et de dérivée $f$. À savoir redémontrer.
8. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; ${\displaystyle {\int }_a^{b}f=G(b)-G(a)}$.
9. Inégalité de Taylor-Lagrange, et la distinction locale/globale avec Taylor-Young.
10. Cas complexe : linéarité pour un scalaire complexe et majoration du module, avec l'astuce de la rotation par $e^{-i\theta }$.

Les réflexes.

• Une intégrale est une aire algébrique : contrôler le signe attendu avant et après le calcul.
• La variable est muette : jamais la même lettre pour une borne et pour la variable d'intégration.
• Avant toute inégalité, vérifier que la borne du bas est inférieure à celle du haut.
• Devant une intégrale non calculable : majorer, ne pas calculer, en encadrant d'abord la fonction.
• Devant une somme de $n$ termes indexée par ${\displaystyle \frac{k}{n}}$ : penser somme de Riemann.
• Devant une somme de termes $f(k)$ avec $f$ monotone : penser comparaison somme-intégrale.
• Devant une fonction définie par une intégrale à bornes variables : introduire une primitive, ne jamais chercher à calculer l'intégrale.
• Devant une intégrale sur un intervalle centré en $0$ : tester la parité avant de calculer.
• Devant $e^{ax}\cos (bx)$ : passer par le complexe.

Les erreurs classiques à ne pas commettre.

• Utiliser la croissance ou l'inégalité triangulaire avec $b<a$.
• Écrire ${\displaystyle {\int }_a^{b}fg=\left({\int }_a^{b}f\right)\left({\int }_a^{b}g\right)}$, ou ${\displaystyle \int \frac{1}{f}=\frac{1}{\int f}}$.
• Appliquer ${\left[G\right]}_a^b$ alors que $f$ n'est pas continue sur tout le segment $[a,b]$ (le cas ${\displaystyle {\int }_{-1}^1\frac{\mathrm{d}t}{t^2}}$).
• Conclure « $f=0$ » d'une intégrale nulle sans avoir vérifié la continuité et la positivité.
• Oublier de justifier les hypothèses de régularité dans une intégration par parties ($u$, $v$ de classe ${\mathcal{C}}^1$) ou un changement de variable ($\phi$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ à valeurs dans le domaine de continuité).
• Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
• Confondre Taylor-Young (locale, avec un $o$, pour calculer) et Taylor-Lagrange (globale, avec une inégalité, pour majorer).
• Parler de positivité, de croissance ou de valeur moyenne pour une fonction à valeurs complexes.