Matrices et déterminants

Le chapitre de calcul matriciel s'était ouvert sur un aveu : le produit de deux matrices était défini par une formule qui paraissait arbitraire, et nous avions promis que sa raison profonde apparaîtrait plus tard. Ce chapitre tient cette promesse. Nous allons voir qu'une matrice n'est pas un tableau de nombres que l'on a décidé d'étudier pour lui-même : c'est l'écriture d'une application linéaire dans un couple de bases, et le produit matriciel n'est rien d'autre que la composition des applications, lue à travers cette écriture. Toutes les bizarreries du calcul matriciel s'expliquent alors d'un coup : la non-commutativité, parce que composer dans un sens ou dans l'autre ne donne pas la même chose ; l'existence de diviseurs de zéro, parce que deux applications non nulles peuvent s'annihiler ; la condition de compatibilité des tailles, parce qu'on ne compose que des applications aux espaces emboîtés.

Le mouvement du chapitre est un aller-retour permanent entre deux points de vue. D'un côté, les applications linéaires : objets géométriques, indépendants de toute base, avec lesquels on raisonne. De l'autre, les matrices : objets numériques, dépendants d'un choix de bases, avec lesquels on calcule. Le dictionnaire entre les deux, une fois installé, permet de choisir à chaque instant le côté le plus commode. Une question de rang se résout par le pivot, donc du côté matriciel ; une question d'inversibilité se résout par le théorème du rang, donc du côté des applications. Savoir traduire est la compétence centrale de ce chapitre, et c'est aussi celle que les concours évaluent en premier.

Ce dictionnaire dépendant d'un choix de bases, une question se pose immédiatement : que devient la matrice quand on change de base ? C'est l'objet des matrices de passage et des formules de changement de base, dont il faut dire tout de suite qu'elles sont le lieu de l'erreur la plus fréquente de l'année, à savoir la confusion entre $X=P{X}^{\mathrm{\prime }}$ et $X^{\mathrm{\prime }}=PX$. Elles ouvrent surtout une perspective nouvelle : puisqu'un même endomorphisme s'écrit différemment selon la base choisie, autant chercher la base dans laquelle il s'écrit le plus simplement possible. Un calcul réputé pénible, comme celui de $A^n$, devient alors immédiat. C'est le premier exemple d'une idée qui structurera toute la seconde année.

La seconde moitié du chapitre construit le déterminant. L'ambition est la suivante : associer à $n$ vecteurs d'un espace de dimension $n$ un unique scalaire qui vaut zéro exactement lorsque la famille est liée. Un tel nombre répond d'un seul calcul à toutes les questions de liberté, de base, d'inversibilité et de bijectivité. Il en existe un, il est unique une fois la base fixée, et il possède une interprétation géométrique limpide en dimension $2$ et $3$ : une aire orientée, un volume orienté. Nous admettrons son existence, comme le programme y autorise, mais nous en tirerons absolument tout : caractérisation des bases, des automorphismes, des matrices inversibles, et des méthodes de calcul efficaces.

Une remarque de méthode pour finir. Le déterminant est un outil de décision, pas un outil de résolution. Il dit si une matrice est inversible, il ne donne pas son inverse ; il dit si une famille est une base, il ne fournit pas les coordonnées. Devant un exercice, le réflexe correct est donc : question par oui ou par non, on calcule un déterminant ; question demandant un objet explicite, on fait un pivot. Confondre les deux fait perdre beaucoup de temps.

Les notations suivantes valent pour tout le chapitre. La lettre $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et ses éléments sont des scalaires, notés $\lambda$, $\mu$. Les espaces vectoriels sont notés $E$, $F$, $G$, et sont de dimension finie sauf mention contraire ; leurs vecteurs sont notés $x$, $y$, $x_1,\dots ,x_p$. Une base de $E$ est notée $e=(e_1,\dots ,e_p)$, une base de $F$ est notée $f=(f_1,\dots ,f_n)$, une base de $G$ est notée $g$. Les applications linéaires sont notées $u$, $v$ ; l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ est $\mathcal{L}(E,F)$, celui des endomorphismes de $E$ est $\mathcal{L}(E)$, l'identité de $E$ est ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$, le noyau et l'image de $u$ sont $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}u$ et $\mathrm{I}\mathrm{m}u$, son rang est $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)$. Les matrices sont notées $A$, $B$, $P$, $Q$, l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes est ${\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, et ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ si $n=p$ ; la matrice identité est $I_n$, l'ensemble des matrices inversibles de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est le groupe linéaire ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{K})$, et la transposée de $A$ est ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}A$. La matrice d'un vecteur, d'une famille, d'une application linéaire, d'un endomorphisme sont notées ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(x)$, ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(x_1,\dots ,x_p)$, ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)$, ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u)$, et la matrice de passage de $e$ à $e^{\mathrm{\prime }}$ est $P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$. Le déterminant dans la base $e$ est ${\det }_e$. Enfin, le carré $\mathrm{\square }$ marque la fin d'une démonstration.

Matrice d'un vecteur, d'une famille, d'une application linéaire

La colonne des coordonnées d'un vecteur

Tout part d'une remarque déjà connue : dans un espace de dimension finie muni d'une base, un vecteur est entièrement déterminé par la liste de ses coordonnées, et cette liste est unique. Il suffit de décider de l'écrire verticalement.

Matrice d'une famille de vecteurs

Retenez la règle de lecture, qui vaut pour tout le chapitre : un vecteur occupe une colonne. Le nombre de lignes est donc la dimension de l'espace, et le nombre de colonnes le nombre de vecteurs de la famille.

Matrice d'une application linéaire

C'est la définition centrale du chapitre. Elle repose sur un résultat du chapitre précédent, qu'il faut avoir présent à l'esprit : une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. Il suffit donc, pour coder $u$, de coder les vecteurs $u(e_1),\dots ,u(e_p)$, ce que l'on sait faire dès qu'on dispose d'une base de l'espace d'arrivée.

L'isomorphisme entre applications linéaires et matrices

Nous avons construit une application qui, à une application linéaire, associe une matrice. Cette section démontre que ce codage est parfait : rien ne se perd, rien ne se répète, et il transporte toutes les opérations.

L'application $u\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)$ est un isomorphisme

Démonstration. Linéarité. Soient $u,v\in \mathcal{L}(E,F)$ et $\lambda \in \mathbb{K}$. Notons $A=(a_{i,j})={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)$ et $B=(b_{i,j})={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(v)$. Pour tout $j$,

$$(\lambda u+v)(e_j)=\lambda u(e_j)+v(e_j)=\lambda \sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{f}_i+\sum _{i=1}^n{b}_{i,j}{f}_i=\sum _{i=1}^n(\lambda a_{i,j}+b_{i,j})f_i\mathrm{.}$$

Par unicité des coordonnées dans la base $f$, la $j$-ième colonne de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(\lambda u+v)$ est donc la $j$-ième colonne de $\lambda A+B$. Ceci valant pour tout $j$, on a $\mathrm{\Phi }(\lambda u+v)=\lambda \mathrm{\Phi }(u)+\mathrm{\Phi }(v)$.

Injectivité. Soit $u\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Phi }$, c'est-à-dire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)=0$. Alors pour tout $j$, la colonne des coordonnées de $u(e_j)$ est nulle, donc $u(e_j)=0_F$. Ainsi $u$ s'annule sur tous les vecteurs de la base $e$ ; comme une application linéaire est déterminée par ces images, $u$ est l'application nulle. Donc $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{\Phi }=\{0\}$ et $\mathrm{\Phi }$ est injective.

Surjectivité. Soit $A=(a_{i,j})\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$. Posons, pour $j\in \{1,\dots ,p\}$, le vecteur $w_j={\sum }_{i=1}^n{a}_{i,j}{f}_i$ de $F$. D'après le théorème de définition d'une application linéaire par les images d'une base, il existe une unique $u\in \mathcal{L}(E,F)$ telle que $u(e_j)=w_j$ pour tout $j$. Par construction, ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)=A$.

Dimension. $\mathrm{\Phi }$ étant un isomorphisme, $\dim \mathcal{L}(E,F)=\dim {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})=np$. $\mathrm{\square }$

Coordonnées de l'image d'un vecteur

Démonstration. Écrivons $x={\sum }_{j=1}^p{x}_j{e}_j$, de sorte que $X$ est la colonne des $x_j$. Par linéarité de $u$, puis en remplaçant chaque $u(e_j)$ par son expression dans la base $f$ :

$$u(x)=\sum _{j=1}^p{x}_{j}u(e_j)=\sum _{j=1}^p{x}_j\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{f}_i\mathrm{.}$$

Les deux sommes étant finies, on peut les échanger et regrouper selon $i$ :

$$u(x)=\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^p{a}_{i,j}{x}_j\right)f_i\mathrm{.}$$

Par unicité des coordonnées dans la base $f$, la $i$-ième coordonnée de $u(x)$ vaut ${\sum }_{j=1}^p{a}_{i,j}{x}_j$. Or c'est exactement le coefficient d'indice $i$ de la colonne $AX$, par définition du produit matriciel. Donc $Y=AX$. $\mathrm{\square }$

Matrice d'une composée

Voici le théorème qui explique la définition du produit matriciel.

Démonstration. Notons $p=\dim E$, $n=\dim F$, $m=\dim G$, puis $A=(a_{k,j})={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B=(b_{i,k})={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{f,g}(v)\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{K})$. Le produit $BA$ est bien défini et appartient à ${\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{K})$, qui est le format attendu.

Fixons $j\in \{1,\dots ,p\}$ et calculons l'image du $j$-ième vecteur de la base de départ :

$$(v\circ u)(e_j)=v(u(e_j))=v\left(\sum _{k=1}^n{a}_{k,j}{f}_k\right)=\sum _{k=1}^n{a}_{k,j}v(f_k),$$

la dernière égalité venant de la linéarité de $v$. En remplaçant chaque $v(f_k)$ par son expression dans la base $g$, puis en échangeant les deux sommes finies :

$$(v\circ u)(e_j)=\sum _{k=1}^n{a}_{k,j}\sum _{i=1}^m{b}_{i,k}{g}_i=\sum _{i=1}^m\left(\sum _{k=1}^n{b}_{i,k}{a}_{k,j}\right)g_i\mathrm{.}$$

Par unicité des coordonnées dans la base $g$, le coefficient d'indice $(i,j)$ de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,g}(v\circ u)$ vaut ${\sum }_{k=1}^n{b}_{i,k}{a}_{k,j}$, c'est-à-dire précisément le coefficient d'indice $(i,j)$ de $BA$. $\mathrm{\square }$

Isomorphismes et matrices inversibles

Démonstration. Sens direct. Supposons $u$ bijective, et posons $B={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{f,e}(u^{-1})$. Comme $u^{-1}\circ u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et $u\circ u^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F$, la propriété sur les composées donne

$$BA={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,e}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=I_n\text{et}AB={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{f,f}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)=I_n,$$

car la matrice de l'identité dans un couple formé deux fois de la même base est $I_n$. Donc $A$ est inversible, d'inverse $B$.

Sens réciproque. Supposons $A$ inversible et notons $v$ l'unique application linéaire de $F$ dans $E$ de matrice $A^{-1}$ dans le couple $(f,e)$, dont l'existence est garantie par la surjectivité de $\mathrm{\Phi }$. Alors

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,e}(v\circ u)=A^{-1}A=I_n={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,e}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E),$$

et l'injectivité de $\mathrm{\Phi }$ donne $v\circ u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$. De même $u\circ v={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F$. Donc $u$ est bijective, de réciproque $v$. $\mathrm{\square }$

Application linéaire canoniquement associée à une matrice, rang

La section précédente allait des applications vers les matrices. Renversons le sens : partons d'une matrice nue, sans espace ni base donnés, et attachons-lui une application linéaire canonique. C'est ce qui permettra de parler du noyau, de l'image et du rang d'une matrice.

Définition et identification

Dans tout ce qui suit, on identifie ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ et ${\mathbb{K}}^n$ : un $n$-uplet $(x_1,\dots ,x_n)$ et la colonne de ses coordonnées dans la base canonique sont considérés comme le même objet. Cette identification est licite parce que l'application qui envoie un $n$-uplet sur sa colonne est un isomorphisme, et on ne s'en privera pas.

Lecture directe sur les colonnes et sur les lignes

Démonstration. Point 1. Soit $X$ de coefficients $x_1,\dots ,x_p$. En développant le produit matriciel colonne par colonne,

$$AX=x_1{C}_1+x_2{C}_2+\cdots +x_p{C}_p\mathrm{.}$$

Cette identité, que l'on vérifie en comparant le coefficient d'indice $i$ des deux membres, tous deux égaux à ${\sum }_j{a}_{i,j}{x}_j$, dit exactement que $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$, ensemble des $AX$, est l'ensemble des combinaisons linéaires des colonnes, c'est-à-dire $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(C_1,\dots ,C_p)$.

Point 2. Le coefficient d'indice $i$ de $AX$ vaut ${\sum }_{j=1}^p{a}_{i,j}{x}_j$, et dire que $AX=0$ c'est dire que ces $n$ scalaires sont tous nuls. $\mathrm{\square }$

Démonstration. C'est le théorème du rang appliqué à $u_A:{\mathbb{K}}^p\to {\mathbb{K}}^n$, dont l'espace de départ est de dimension $p$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Posons $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)$. L'image de $u$ est engendrée par les $u(e_j)$, donc $\mathrm{r}\mathrm{g}(u)$ est le rang de la famille $(u(e_1),\dots ,u(e_p))$. Or l'application $y\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_f(y)$ est un isomorphisme de $F$ sur ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, et un isomorphisme conserve le rang d'une famille. Cette famille a pour images les colonnes de $A$, dont le rang est $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)$ d'après le point 1 ci-dessus. $\mathrm{\square }$

Les caractérisations de l'inversibilité

Démonstration. L'endomorphisme $u_A$ de ${\mathbb{K}}^n$ a pour matrice $A$ dans la base canonique. D'après la section 2, $A$ est inversible si et seulement si $u_A$ est bijective. Or ${\mathbb{K}}^n$ est de dimension finie et $u_A$ est un endomorphisme : injectivité, surjectivité et bijectivité sont donc trois propriétés interchangeables, conséquence du théorème du rang.

Le point 2 dit que $u_A$ est injective. Le point 3 dit que $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)={\mathbb{K}}^n$, c'est-à-dire que $u_A$ est surjective. Le point 4 dit que $\dim \mathrm{I}\mathrm{m}(A)=n=\dim {\mathbb{K}}^n$, ce qui, pour un sous-espace de ${\mathbb{K}}^n$, revient à $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)={\mathbb{K}}^n$, donc encore à la surjectivité. Les quatre assertions sont donc bien la même. Enfin, une famille de $n$ vecteurs de ${\mathbb{K}}^n$ est une base dès qu'elle est génératrice, par le théorème du bon cardinal. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Supposons $BA=I_n$ et soit $X\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$, c'est-à-dire $AX=0$. En multipliant à gauche par $B$ :

$$X=I_{n}X=(BA)X=B(AX)=B\cdot 0=0.$$

Donc $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)=\{0\}$, et la propriété précédente assure que $A$ est inversible. En multipliant alors l'égalité $BA=I_n$ à droite par $A^{-1}$, on obtient $B=A^{-1}$.

Point 2. Supposons $AC=I_n$. Pour tout $Y\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$, on a $Y=I_{n}Y=A(CY)$, donc $Y\in \mathrm{I}\mathrm{m}(A)$. Ainsi $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)={\mathbb{K}}^n$, c'est-à-dire $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=n$, et $A$ est inversible. En multipliant $AC=I_n$ à gauche par $A^{-1}$, on obtient $C=A^{-1}$. $\mathrm{\square }$

Opérations élémentaires et calcul du rang

Rappelons les trois opérations élémentaires sur les colonnes, avec les conditions qui les rendent licites :

$$C_i\leftrightarrow C_j(i\mathrm{\ne }j),C_i\leftarrow \lambda C_i(\lambda \mathrm{\ne }0),C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j(i\mathrm{\ne }j),$$

et les trois opérations analogues sur les lignes, notées avec la lettre $L$.

Démonstration. Point 1. L'image est le sous-espace engendré par les colonnes. Or échanger deux vecteurs d'une famille ne change pas le sous-espace engendré, puisque l'ensemble des combinaisons linéaires est le même. Multiplier un vecteur par $\lambda \mathrm{\ne }0$ non plus : toute combinaison faisant intervenir $C_i$ avec le coefficient $\mu$ s'obtient à partir de $\lambda C_i$ avec le coefficient $\mu \mathrm{/}\lambda$. Enfin, en notant $C_i^{\mathrm{\prime }}=C_i+\lambda C_j$ avec $j\mathrm{\ne }i$, chacun des vecteurs de la nouvelle famille appartient au $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}$ de l'ancienne, et réciproquement puisque $C_i=C_i^{\mathrm{\prime }}-\lambda C_j$. Les deux $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}$ sont donc égaux par double inclusion.

Point 2. Les lignes de $A$ fournissent les équations du système $AX=0$. Les trois opérations élémentaires sur les lignes sont précisément celles du pivot de Gauss, dont on sait qu'elles remplacent un système par un système ayant exactement les mêmes solutions : échanger deux équations, multiplier une équation par un scalaire non nul, ajouter à une équation un multiple d'une autre. L'ensemble des solutions, c'est-à-dire $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$, est donc inchangé.

Point 3. Pour les colonnes, c'est immédiat : l'image est conservée, donc sa dimension aussi. Pour les lignes, le noyau est conservé, donc sa dimension ; le théorème du rang, $\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=p-\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$, où $p$ est le nombre de colonnes et n'est pas modifié par une opération sur les lignes, donne alors la conservation du rang. $\mathrm{\square }$

Changements de bases

Nous savons maintenant qu'une matrice code une application linéaire, à condition de fixer les bases. Reste la question naturelle : si l'on change de base, comment le code change-t-il ?

Matrice de passage

Démonstration. Par définition, la $j$-ième colonne de ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }},e}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$ est la colonne des coordonnées, dans la base d'arrivée $e$, de l'image du $j$-ième vecteur de la base de départ $e^{\mathrm{\prime }}$, c'est-à-dire de ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E(e_j^{\mathrm{\prime }})=e_j^{\mathrm{\prime }}$. C'est donc ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(e_j^{\mathrm{\prime }})$, la $j$-ième colonne de $P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$.

L'identité étant un isomorphisme, sa matrice est inversible d'après la section 2, et

$$(P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}{)}^{-1}=({\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }},e}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E){)}^{-1}={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,e^{\mathrm{\prime }}}\left({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E^{-1}\right)={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,e^{\mathrm{\prime }}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=P_{e^{\mathrm{\prime }}\to e}\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Effet sur les coordonnées d'un vecteur

Démonstration. Appliquons la formule $Y=AX$ de la section 2 à l'application ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E:E\to E$, vue avec la base $e^{\mathrm{\prime }}$ au départ et la base $e$ à l'arrivée. Sa matrice est ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }},e}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=P$. La colonne du vecteur de départ $x$ dans la base $e^{\mathrm{\prime }}$ est $X^{\mathrm{\prime }}$, celle du vecteur d'arrivée ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E(x)=x$ dans la base $e$ est $X$. La formule donne donc $X=P{X}^{\mathrm{\prime }}$. La seconde égalité s'obtient en multipliant à gauche par $P^{-1}$. $\mathrm{\square }$

Effet sur la matrice d'une application linéaire

Démonstration. Écrivons $u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F\circ u\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ et lisons cette composée en changeant de base à chaque étape :

$$E\text{ muni de }{e}^{\mathrm{\prime }}\stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E}{\to }E\text{ muni de }e\stackrel{u}{\to }F\text{ muni de }f\stackrel{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_F}{\to }F\text{ muni de }{f}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$

La propriété sur les composées, appliquée deux fois, donne

$${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }},f^{\mathrm{\prime }}}(u)={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{f,f^{\mathrm{\prime }}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)\times {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)\times {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }},e}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)\mathrm{.}$$

Or ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }},e}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}=P$ et ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{f,f^{\mathrm{\prime }}}({\mathrm{i}\mathrm{d}}_F)=P_{f^{\mathrm{\prime }}\to f}=Q^{-1}$. D'où $A^{\mathrm{\prime }}=Q^{-1}AP$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. C'est le cas particulier $F=E$, $f=e$, $f^{\mathrm{\prime }}=e^{\mathrm{\prime }}$ de la propriété précédente, pour lequel $Q=P$. $\mathrm{\square }$

Matrices semblables

Démonstration. Réflexivité. $A=I_n^{-1}A{I}_n$, et $I_n$ est inversible.

Symétrie. Si $B=P^{-1}AP$ avec $P$ inversible, alors en multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{-1}$ on obtient $A=PB{P}^{-1}=(P^{-1}{)}^{-1}B(P^{-1})$, et $P^{-1}$ est inversible.

Transitivité. Si $B=P^{-1}AP$ et $C=Q^{-1}BQ$ avec $P$, $Q$ inversibles, alors

$$C=Q^{-1}{P}^{-1}APQ=(PQ{)}^{-1}A(PQ),$$

et $PQ$ est inversible comme produit de matrices inversibles. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Sens réciproque. Si $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme dans deux bases, la formule de changement de base donne $B=P^{-1}AP$ avec $P=P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$ inversible : elles sont semblables.

Sens direct. Supposons $B=P^{-1}AP$ avec $P$ inversible. Prenons $E={\mathbb{K}}^n$, $e$ sa base canonique, et $u=u_A$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$, de sorte que ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u)=A$. Notons $e^{\mathrm{\prime }}$ la famille des $n$ colonnes de $P$ : comme $P$ est inversible, ces colonnes forment une base de ${\mathbb{K}}^n$, et par construction $P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}=P$. La formule de changement de base donne alors ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e^{\mathrm{\prime }}}(u)=P^{-1}AP=B$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Comme $P$ est inversible, $u_P$ est bijective, donc $\mathrm{I}\mathrm{m}(AP)=\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$ : en effet, tout $APX$ est dans $\mathrm{I}\mathrm{m}(A)$, et réciproquement $AY=AP(P^{-1}Y)$. Ensuite, $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{-1}(AP))=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(AP)$, car $P^{-1}Z=0$ ne se produit que pour $Z=0$. Le théorème du rang donne alors

$$\mathrm{r}\mathrm{g}(B)=n-\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(P^{-1}AP)=n-\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(AP)=\mathrm{r}\mathrm{g}(AP)=\mathrm{r}\mathrm{g}(A)\mathrm{.}$$

Point 2. C'est le point 1 combiné à la caractérisation « inversible si et seulement si le rang vaut $n$ ».

Point 3. Récurrence sur $k$. Pour $k=0$, les deux membres valent $I_n$. Si $B^k=P^{-1}{A}^{k}P$, alors

$$B^{k+1}=B^{k}B=\left(P^{-1}{A}^{k}P\right)\left(P^{-1}AP\right)=P^{-1}{A}^k\left(P{P}^{-1}\right)AP=P^{-1}{A}^{k+1}P\mathrm{.}\mathrm{\square }$$

Chercher une base dans laquelle la matrice est simple

Systèmes linéaires revisités

Tout ce qui précède éclaire d'un jour nouveau les systèmes linéaires du premier semestre.

Démonstration. L'égalité entre l'ensemble des solutions et $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$ est la définition même du noyau ; c'est donc un sous-espace vectoriel. La dimension résulte du théorème du rang, $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=p$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Dire que $AX=B$ a une solution, c'est dire que $B$ est de la forme $AX$, c'est-à-dire $B\in \mathrm{I}\mathrm{m}(A)$. La description de l'image par les colonnes a été établie en section 3. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Si $X\in \mathcal{S}$, alors $A(X-X_0)=AX-A{X}_0=B-B=0$, donc $X-X_0\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$ et $X\in X_0+\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)$. Réciproquement, si $X=X_0+X_h$ avec $A{X}_h=0$, alors $AX=A{X}_0+A{X}_h=B+0=B$. $\mathrm{\square }$

Systèmes de Cramer

Démonstration. Si $AX=B$, alors en multipliant à gauche par $A^{-1}$ on obtient $X=A^{-1}B$ : il y a au plus une solution. Réciproquement, $A(A^{-1}B)=(A{A}^{-1})B=B$ : cette colonne est bien solution. $\mathrm{\square }$

Déterminant d'une famille de vecteurs

Changement de sujet, en apparence. Nous cherchons un nombre attaché à $n$ vecteurs d'un espace de dimension $n$, qui détecte les familles liées. Le lien avec ce qui précède apparaîtra très vite.

Applications linéaires par rapport à chaque variable, applications alternées

Dans toute cette section, $E$ désigne un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$, et l'on considère des applications définies sur $E^n$, c'est-à-dire des applications qui prennent en entrée $n$ vecteurs de $E$ et rendent un scalaire.

Démonstration. Fixons deux indices $i<j$ et des vecteurs quelconques aux autres places, que nous ne réécrirons pas. Notons $\phi (a,b)$ la valeur de $f$ lorsqu'on met $a$ à la place $i$ et $b$ à la place $j$. L'hypothèse « alternée » donne $\phi (a,a)=0$ pour tout $a$. Appliquons-la à $a=x+y$ :

$$0=\phi (x+y,x+y)\mathrm{.}$$

Développons par linéarité par rapport à la $i$-ième variable, puis par rapport à la $j$-ième :

$$\phi (x+y,x+y)=\phi (x,x)+\phi (x,y)+\phi (y,x)+\phi (y,y)\mathrm{.}$$

Or $\phi (x,x)=0$ et $\phi (y,y)=0$, toujours par hypothèse. Il reste

$$0=\phi (x,y)+\phi (y,x),\text{soit}\phi (y,x)=-\phi (x,y),$$

ce qui est exactement l'antisymétrie. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Remplaçons $x_k$ par $x_k+{\sum }_{j\mathrm{\ne }k}{\lambda }_j{x}_j$. Par linéarité en la $k$-ième variable,

$$f(\dots ,x_k+\sum _{j\mathrm{\ne }k}{\lambda }_j{x}_j,\dots )=f(x_1,\dots ,x_n)+\sum _{j\mathrm{\ne }k}{\lambda }_{j}f(\dots ,x_j,\dots ),$$

où dans le terme d'indice $j$ le vecteur $x_j$ occupe la place $k$. Ce terme comporte donc deux fois le vecteur $x_j$, aux places $j$ et $k$ : il est nul car $f$ est alternée. Seul subsiste $f(x_1,\dots ,x_n)$.

Point 2. Si la famille est liée, l'un de ses vecteurs, disons $x_k$, est combinaison linéaire des autres : $x_k={\sum }_{j\mathrm{\ne }k}{\lambda }_j{x}_j$. Par linéarité en la $k$-ième variable, $f(x_1,\dots ,x_n)={\sum }_{j\mathrm{\ne }k}{\lambda }_{j}f(\dots ,x_j,\dots )$, et chacun de ces termes est nul comme ci-dessus. $\mathrm{\square }$

Le déterminant dans une base

Expressions en dimension 2 et 3

Démonstration. Développons par bilinéarité :

$${\det }_e(x_1,x_2)=ab{\det }_e(e_1,e_1)+ad{\det }_e(e_1,e_2)+cb{\det }_e(e_2,e_1)+cd{\det }_e(e_2,e_2)\mathrm{.}$$

Les termes extrêmes sont nuls car ${\det }_e$ est alternée. Il reste $ad{\det }_e(e_1,e_2)+cb{\det }_e(e_2,e_1)$, soit, par antisymétrie et normalisation, $ad-cb$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Le principe est le même qu'en dimension $2$ : on développe par trilinéarité, ce qui produit $27$ termes de la forme $a_{i,1}{a}_{j,2}{a}_{k,3}{\det }_e(e_i,e_j,e_k)$. Tous ceux où deux indices coïncident sont nuls, car ${\det }_e$ est alternée : il n'en reste que $6$, ceux où $(i,j,k)$ parcourt les trois indices dans un ordre ou dans un autre. Chacun se ramène à $\pm {\det }_e(e_1,e_2,e_3)=\pm 1$ par échanges successifs, un échange changeant le signe. On obtient les six termes annoncés, avec un signe $+$ pour $(1,2,3)$, $(2,3,1)$, $(3,1,2)$ et un signe $-$ pour $(3,2,1)$, $(1,3,2)$, $(2,1,3)$. $\mathrm{\square }$

Interprétation géométrique

En dimension $2$ et $3$ sur $\mathbb{R}$, le déterminant a un sens géométrique très concret, qu'il faut avoir en tête pour comprendre ce que l'on calcule.

Sur la figure, $u=(3,1)$ et $v=(1,2)$. La formule d'ordre $2$ donne

$${\det }_e(u,v)=\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =3\times 2-1\times 1=5,$$

et l'aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs vaut effectivement $5$ unités d'aire. Le résultat est positif : la famille $(u,v)$ est orientée dans le sens direct, ce que l'on vérifie sur le dessin en allant de $u$ vers $v$ par le plus court chemin, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Changement de base pour le déterminant

Démonstration. L'application ${\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}$ est $n$-linéaire et alternée. D'après le théorème admis, elle est donc égale à ${\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}(e_1,\dots ,e_n)\times {\det }_e$, ce qui est la première formule.

Appliquons-la maintenant à la famille $(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }})$ :

$$1={\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }})={\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}(e_1,\dots ,e_n)\times {\det }_e(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }}),$$

la première égalité étant la normalisation de ${\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}$. Un produit valant $1$, aucun des deux facteurs n'est nul. $\mathrm{\square }$

Caractérisation des bases

Démonstration. Sens direct. Supposons que $x=(x_1,\dots ,x_n)$ soit une base de $E$. La formule de changement de base entre $e$ et $x$ donne

$${\det }_x(e_1,\dots ,e_n)\times {\det }_e(x_1,\dots ,x_n)=1,$$

donc ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)$ est non nul, comme facteur d'un produit égal à $1$.

Sens réciproque, par contraposée. Supposons que $(x_1,\dots ,x_n)$ ne soit pas une base. Comme cette famille compte exactement $n=\dim E$ vecteurs, le théorème du bon cardinal assure qu'elle n'est pas libre : elle est donc liée. Or nous avons vu qu'une application $n$-linéaire alternée s'annule sur toute famille liée, et ${\det }_e$ en est une. Donc ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)=0$. $\mathrm{\square }$

Déterminant d'un endomorphisme

Démonstration. Formule de transport. Considérons l'application

$$f:(x_1,\dots ,x_n)⟼{\det }_e(u(x_1),\dots ,u(x_n))\mathrm{.}$$

Elle est $n$-linéaire : à la $k$-ième place, $y\mapsto u(y)$ est linéaire et ${\det }_e$ est linéaire en sa $k$-ième variable, donc la composée l'est. Elle est alternée : si $x_i=x_j$ avec $i\mathrm{\ne }j$, alors $u(x_i)=u(x_j)$ et ${\det }_e$, étant alternée, s'annule. D'après le théorème admis, $f=f(e_1,\dots ,e_n)\times {\det }_e$, ce qui est exactement la formule de transport.

Indépendance vis-à-vis de la base. Soit $e^{\mathrm{\prime }}$ une autre base de $E$. Utilisons successivement la formule de changement de base, la formule de transport, puis à nouveau le changement de base :

$${\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}(u(e_1^{\mathrm{\prime }}),\dots ,u(e_n^{\mathrm{\prime }}))={\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}(e_1,\dots ,e_n)\times {\det }_e(u(e_1^{\mathrm{\prime }}),\dots ,u(e_n^{\mathrm{\prime }})),$$

puis, par la formule de transport appliquée à la famille $(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }})$,

$${\det }_e(u(e_1^{\mathrm{\prime }}),\dots ,u(e_n^{\mathrm{\prime }}))={\det }_e(u(e_1),\dots ,u(e_n))\times {\det }_e(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$

En combinant les deux,

$${\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}(u(e^{\mathrm{\prime }}))={\det }_e(u(e))\times \underset{=1}{\underbrace{{\det }_{e^{\mathrm{\prime }}}(e_1,\dots ,e_n)\times {\det }_e(e_1^{\mathrm{\prime }},\dots ,e_n^{\mathrm{\prime }})}}={\det }_e(u(e)),$$

le produit souligné valant $1$ d'après la section 6. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. $\det ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)={\det }_e(e_1,\dots ,e_n)=1$ par normalisation.

Point 2. Fixons une base $e$. En appliquant deux fois la formule encadrée ci-dessus,

$$\det (v\circ u)={\det }_e(v(u(e_1)),\dots ,v(u(e_n)))=\det (v)\times {\det }_e(u(e_1),\dots ,u(e_n))=\det (v)\det (u)\mathrm{.}$$

Point 3. $\det (\lambda u)={\det }_e(\lambda u(e_1),\dots ,\lambda u(e_n))$. Le facteur $\lambda$ sort de chacune des $n$ variables par linéarité, ce qui produit ${\lambda }^n$.

Point 4. L'endomorphisme $u$ est bijectif si et seulement si la famille $(u(e_1),\dots ,u(e_n))$ est une base de $E$ : en effet, l'image de $u$ est engendrée par cette famille de $n$ vecteurs, donc $u$ est surjective si et seulement si cette famille est génératrice, donc une base par le bon cardinal ; et en dimension finie, un endomorphisme surjectif est bijectif. Or, d'après la section 6, cette famille est une base si et seulement si ${\det }_e(u(e_1),\dots ,u(e_n))=\det (u)$ est non nul.

Si $u$ est bijective, le point 2 appliqué à $u^{-1}\circ u={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$ donne $\det (u^{-1})\det (u)=1$, d'où le résultat. $\mathrm{\square }$

Déterminant d'une matrice carrée

Démonstration. Notons $A={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u)$ et $\epsilon$ la base canonique de ${\mathbb{K}}^n$. La $j$-ième colonne $C_j$ de $A$ est ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(u(e_j))$. Or l'application $x\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(x)$ est un isomorphisme de $E$ sur ${\mathbb{K}}^n$ qui envoie $e_j$ sur le $j$-ième vecteur de $\epsilon$. L'application $(x_1,\dots ,x_n)\mapsto {\det }_{\epsilon }({\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(x_1),\dots ,{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_e(x_n))$ est alors $n$-linéaire alternée sur $E^n$ et vaut $1$ en $(e_1,\dots ,e_n)$ : par unicité, c'est ${\det }_e$. En l'évaluant en $(u(e_1),\dots ,u(e_n))$, on obtient $\det (A)=\det (u)$. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Point 1. Les colonnes de $I_n$ sont les vecteurs de la base canonique, et ${\det }_e(e_1,\dots ,e_n)=1$.

Point 2. C'est la définition : $\det (A)$ est ${\det }_e$ évalué en la famille des colonnes, et ${\det }_e$ est $n$-linéaire alternée.

Point 3. Les endomorphismes canoniquement associés vérifient $u_{AB}=u_A\circ u_B$, car $(AB)X=A(BX)$. Le point 2 de la section 7 donne alors $\det (AB)=\det (u_A)\det (u_B)=\det (A)\det (B)$.

Point 4. Multiplier $A$ par $\lambda$ multiplie chacune des $n$ colonnes par $\lambda$ ; le facteur sort $n$ fois.

Point 5. $A$ est inversible si et seulement si $u_A$ est un automorphisme, ce qui équivaut à $\det (u_A)=\det (A)\mathrm{\ne }0$. Dans ce cas, le point 3 appliqué à $A{A}^{-1}=I_n$ donne $\det (A)\det (A^{-1})=1$.

Point 6. Admis ; la démonstration n'est pas au programme. $\mathrm{\square }$

Démonstration. Par multiplicativité,

$$\det (B)=\det (P^{-1})\det (A)\det (P)=\frac{1}{\det (P)}\det (A)\det (P)=\det (A),$$

le passage à l'avant-dernière expression étant licite car $\det (P)\mathrm{\ne }0$. $\mathrm{\square }$

Calcul pratique des déterminants

Nous savons ce qu'est un déterminant ; il reste à savoir le calculer efficacement. Deux outils suffisent : les opérations élémentaires, qui créent des zéros, et le développement selon une ligne ou une colonne, qui fait baisser l'ordre.

Effet des opérations élémentaires

Démonstration. L'échange de deux colonnes change le signe : c'est l'antisymétrie. La multiplication d'une colonne par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ : c'est la linéarité par rapport à cette colonne. Enfin, ajouter à une colonne un multiple d'une autre ne change rien : c'est le point 1 de la propriété des applications $n$-linéaires alternées, établi en section 6. $\mathrm{\square }$

Déterminant d'une matrice triangulaire

Démonstration. Traitons le cas triangulaire supérieur, par récurrence sur $n$, en utilisant le développement selon la première colonne énoncé ci-dessous. Pour $n=1$, $\det ((t_{1,1}))=t_{1,1}$. Supposons le résultat vrai à l'ordre $n-1$ et soit $T$ triangulaire supérieure d'ordre $n$. Sa première colonne est ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\begin{array}{cccc}{t}_{1,1}& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$. Le développement selon cette colonne ne conserve qu'un terme :

$$\det (T)=(-1{)}^{1+1}{t}_{1,1}{\mathrm{\Delta }}_{1,1}=t_{1,1}{\mathrm{\Delta }}_{1,1},$$

où ${\mathrm{\Delta }}_{1,1}$ est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne. Cette matrice est triangulaire supérieure d'ordre $n-1$, de coefficients diagonaux $t_{2,2},\dots ,t_{n,n}$ ; l'hypothèse de récurrence donne ${\mathrm{\Delta }}_{1,1}=t_{2,2}\cdots t_{n,n}$, d'où le résultat.

Le cas triangulaire inférieur s'en déduit : ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}T$ est alors triangulaire supérieure de mêmes coefficients diagonaux, et $\det (T)=\det ({}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}T)$. $\mathrm{\square }$

Développement selon une ligne ou une colonne

Méthodes de calcul

Méthodes à retenir et erreurs classiques

Méthodes

Erreurs classiques

1. Confondre $X=P{X}^{\mathrm{\prime }}$ et $X^{\mathrm{\prime }}=PX$. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre. La matrice de passage $P_{e\to e^{\mathrm{\prime }}}$ transforme les nouvelles coordonnées en anciennes. En cas de doute, testez sur $x=e_1^{\mathrm{\prime }}$ : la colonne $X^{\mathrm{\prime }}$ vaut ${}^t\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$, et $P{X}^{\mathrm{\prime }}$ doit redonner la première colonne de $P$.
2. Croire que $\det (A+B)=\det (A)+\det (B)$. Absolument faux. Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne prise séparément, ce qui est très différent. Contre-exemple minimal : $A=B=I_2$ donnent $\det (A+B)=\det (2I_2)=4$, alors que $\det A+\det B=2$.
3. Croire que $\det (\lambda A)=\lambda \det (A)$. La bonne formule est $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det (A)$, car le facteur $\lambda$ sort de chacune des $n$ colonnes.
4. Multiplier une ligne par $\lambda$ dans un calcul de déterminant sans compenser. Le résultat est alors multiplié par $\lambda$. Si l'on écrit $L_2\leftarrow 3L_2-L_1$ pour éviter les fractions, il faudra diviser le résultat final par $3$. Notez cette dette au moment où vous la contractez, jamais à la fin.
5. Utiliser les opérations élémentaires comme dans un pivot de rang. Dans un calcul de rang, échanges et multiplications sont gratuits ; dans un calcul de déterminant, ils coûtent un signe ou un facteur. Ce sont deux régimes différents et il faut savoir dans lequel on se trouve.
6. Ranger les images en lignes au lieu de colonnes dans ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u)$. On obtient la transposée et tout l'exercice est faux, sans aucun signe visible d'erreur.
7. Écrire ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,g}(v\circ u)={\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{e,f}(u){\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{f,g}(v)$, dans le mauvais ordre. La matrice de la seconde application se place à gauche ; le plus souvent, les formats ne s'emboîtent même pas, ce qui doit alerter.
8. Parler du déterminant d'une matrice non carrée, ou d'une famille de $p$ vecteurs dans un espace de dimension $n\mathrm{\ne }p$. Cela n'a aucun sens ; c'est le rang qu'il faut invoquer.
9. Appliquer la règle de Sarrus à un déterminant d'ordre $4$. Elle n'est valable qu'en dimension $3$.
10. Oublier que le théorème du rang fait intervenir le nombre de colonnes, c'est-à-dire la dimension de l'espace de départ : $\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A)+\mathrm{r}\mathrm{g}(A)=p$, et non $n$.
11. Conclure d'un déterminant nul qu'une matrice est nulle, ou d'un déterminant égal à celui d'une autre matrice qu'elles sont semblables. Le déterminant est un invariant, il ne caractérise pas la matrice.

Tableau récapitulatif