Devoir surveillé — Algèbre linéaire

Consignes générales. Durée : 3 h 40. Calculatrice interdite. Les exercices 1 à 4 sont indépendants entre eux et indépendants de l'exercice 5, qui est un problème en trois parties enchaînées. La clarté et la rigueur de la rédaction entrent dans la notation : tout théorème invoqué doit être cité avec ses hypothèses, et chacune d'elles doit être vérifiée sur l'objet auquel on l'applique.

On note $E={\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, qui est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $9$, et l'on considère l'application

$$\mathrm{\Phi }:M⟼M-\mathrm{t}\mathrm{r}(M)I_3\mathrm{.}$$

1. (0,25 pt) Démontrer que $\mathrm{\Phi }$ est un endomorphisme de $E$.

2. (0,25 pt) Calculer $\mathrm{\Phi }\left(I_3\right)$, puis $\mathrm{\Phi }(M)$ lorsque $\mathrm{t}\mathrm{r}(M)=0$. En déduire que $\{1,-2\}\subseteq \mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\Phi })$. Peut-on déjà affirmer l'égalité ?

3. (0,75 pt) Démontrer que ${\mathrm{\Phi }}^2+\mathrm{\Phi }-2{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E=0$, où ${\mathrm{\Phi }}^2=\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Phi }$.

4. (0,25 pt) En déduire que $\mathrm{\Phi }$ est diagonalisable et que $\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\Phi })\subseteq \{1,-2\}$, sans calculer aucun polynôme caractéristique. Expliquer en une phrase pourquoi le calcul de ce polynôme caractéristique serait ici impraticable.

5. (1 pt) Déterminer $E_1(\mathrm{\Phi })$ et $E_{-2}(\mathrm{\Phi })$, ainsi que la dimension de chacun. En déduire $E=E_1(\mathrm{\Phi })\oplus E_{-2}(\mathrm{\Phi })$, puis ${\chi }_{\mathrm{\Phi }}$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Phi })$, toujours sans calculer de déterminant.

6. (0,25 pt) L'endomorphisme $\mathrm{\Phi }$ est-il inversible ? Le cas échéant, exprimer ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$ à l'aide de $\mathrm{\Phi }$ et de ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_E$.

Dans les questions 1 à 4, $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$. Son polynôme caractéristique, unitaire de degré $3$, s'écrit

$${\chi }_A(X)=X^3-e_1{X}^2+e_{2}X-e_3\mathrm{.}$$

Comme tout polynôme non constant est scindé sur $\mathbb{C}$, on peut écrire ${\chi }_A=(X-{\lambda }_1)(X-{\lambda }_2)(X-{\lambda }_3)$, où ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$, ${\lambda }_3$ sont les valeurs propres de $A$ comptées avec leur multiplicité. En développant ce produit, on obtient

$$e_1={\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=\mathrm{t}\mathrm{r}(A),e_2={\lambda }_1{\lambda }_2+{\lambda }_1{\lambda }_3+{\lambda }_2{\lambda }_3,e_3={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=\det A\mathrm{.}$$

On admet enfin le résultat établi sur la fiche d'exercices : pour tout entier $k⩾1$,

$$\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^k\right)={\lambda }_1^k+{\lambda }_2^k+{\lambda }_3^k\mathrm{.}$$

1. (0,25 pt) Démontrer que $\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^2\right)=e_1^2-2e_2$.

2. (0,5 pt) Écrire la relation fournie par le théorème de Cayley-Hamilton, puis en déduire que

$$\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^3\right)=e_1\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^2\right)-e_2\mathrm{t}\mathrm{r}(A)+3e_3\mathrm{.}$$

3. (1 pt) On suppose désormais que

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=3,\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^2\right)=21,\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^3\right)=57.$$

Déterminer $e_2$, puis $e_3$, puis ${\chi }_A$ sous forme factorisée, en cherchant une racine entière évidente. En déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$, justifier que $A$ est diagonalisable, et préciser une matrice diagonale à laquelle $A$ est semblable.

4. (0,75 pt) On revient au cas général, et l'on se demande si les nombres $\mathrm{t}\mathrm{r}\left(A^k\right)$, pour $k⩾1$, déterminent la matrice $A$ à similitude près. On quitte ici la dimension $3$ : la question se pose pour une matrice carrée de taille quelconque, et le contre-exemple le plus court vit dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$. On pose donc

$$U=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

  a. Calculer $V^k$ pour tout $k⩾1$, et en déduire que $\mathrm{t}\mathrm{r}\left(U^k\right)=\mathrm{t}\mathrm{r}\left(V^k\right)$ pour tout $k⩾1$.

  b. Démontrer que $U$ et $V$ ne sont pourtant pas semblables, puis conclure : que les traces des puissances déterminent-elles, et que ne déterminent-elles pas ?

Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. On leur associe la matrice de ${\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ écrite par blocs

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right),$$

et l'on note $u$ l'endomorphisme de ${\mathcal{M}}_{4,1}(\mathbb{R})$ canoniquement associé à $M$. Toute colonne de ${\mathcal{M}}_{4,1}(\mathbb{R})$ s'écrit par blocs $\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$ avec $X,Y\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, et l'on pose

$$F_{+}=\{\left(\begin{array}{c}X\\ X\end{array}\right);X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})\},F_{-}=\{\left(\begin{array}{c}X\\ -X\end{array}\right);X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})\}\mathrm{.}$$

1. (0,5 pt) On admet que $F_{+}$ et $F_{-}$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal{M}}_{4,1}(\mathbb{R})$, chacun de dimension $2$. Démontrer que ${\mathcal{M}}_{4,1}(\mathbb{R})=F_{+}\oplus F_{-}$, puis expliciter la décomposition d'une colonne $\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$ quelconque.

2. (1 pt) Démontrer que $F_{+}$ et $F_{-}$ sont stables par $u$. En notant $(e_1,e_2)$ la base canonique de ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$, écrire la matrice de l'endomorphisme induit par $u$ sur $F_{+}$ dans la base $(\left(\begin{array}{c}{e}_1\\ e_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{e}_2\\ e_2\end{array}\right))$, puis celle de l'endomorphisme induit sur $F_{-}$ dans la base analogue.

3. (0,75 pt) En déduire qu'il existe $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_4(\mathbb{R})$ telle que

$$P^{-1}MP=\left(\begin{array}{cc}A+B& 0_2\\ 0_2& A-B\end{array}\right),$$

puis que $\det M=\det (A+B)\times \det (A-B)$ et $\mathrm{S}\mathrm{p}(M)=\mathrm{S}\mathrm{p}(A+B)\cup \mathrm{S}\mathrm{p}(A-B)$. On vérifiera au passage, sur la matrice $\left(\begin{array}{cc}{0}_2& I_2\\ I_2& 0_2\end{array}\right)$, que la formule $\det A\det D-\det B\det C$ est fausse en général, et l'on expliquera d'où vient réellement le résultat obtenu ici.

4. (1 pt) Application numérique. On prend

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Déterminer $\mathrm{S}\mathrm{p}(A+B)$ et $\mathrm{S}\mathrm{p}(A-B)$, en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(M)$ avec la multiplicité de chaque valeur propre ainsi que $\det M$, et justifier que $M$ est diagonalisable.

5. (0,5 pt) Revenant au cas général, la matrice $M$ est-elle diagonalisable pour tout choix de $A$ et de $B$ ? Justifier par une condition nécessaire et suffisante portant sur $A+B$ et $A-B$, puis donner un exemple où $M$ n'est pas diagonalisable.

Deux corps solides sont en contact l'un avec l'autre. On note $x(t)$ et $y(t)$ leurs écarts de température par rapport à la température de l'air ambiant, exprimés en kelvins, à l'instant $t⩾0$ exprimé en heures. Le premier corps reçoit d'une résistance chauffante une puissance constante et échange de la chaleur avec le second ; le second échange de la chaleur avec le premier et en perd vers l'air ambiant. Les deux corps n'ayant pas la même capacité thermique, un même flux de chaleur ne les fait pas varier à la même vitesse : c'est pourquoi le terme d'échange n'intervient pas avec le même coefficient dans les deux équations. Dans un système d'unités adapté, les lois de l'échange thermique conduisent au système

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\prime }}(t)=-2(x(t)-y(t))+8\\ y^{\mathrm{\prime }}(t)=(x(t)-y(t))-2y(t)\end{array}$$

avec les conditions initiales $x(0)=1$ et $y(0)=1$. On pose $X(t)={}^t\left(\begin{array}{cc}x(t)& y(t)\end{array}\right)$.

1. (0,25 pt) Vérifier que le système s'écrit $X^{\mathrm{\prime }}=AX+B$ avec

$$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& -3\end{array}\right),B={}^t\left(\begin{array}{cc}8& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

2. (0,5 pt) Démontrer qu'il existe une unique colonne constante $X_e$ telle que la fonction constante $t⟼X_e$ soit solution du système, et la calculer. Interpréter physiquement.

3. (0,5 pt) Calculer ${\chi }_A$, en déduire $\mathrm{S}\mathrm{p}(A)$, déterminer une base de chaque sous-espace propre, puis écrire $P\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{R})$ et $D$ diagonale telles que $AP=PD$.

4. (1 pt) On pose $Y=P^{-1}(X-X_e)$. Démontrer que $X$ est solution du système si et seulement si $Y^{\mathrm{\prime }}=DY$, puis en déduire l'unique solution vérifiant les conditions initiales de l'énoncé.

5. (1 pt) Déterminer $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x(t)$ et $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }y(t)$. Parmi les deux exponentielles qui apparaissent dans la solution, laquelle gouverne le retour à l'équilibre lorsque $t$ devient grand ? Étudier enfin les variations de $y$ sur $[0,+\mathrm{\infty }[$, et commenter le comportement du second corps. On ne demande pas la valeur numérique du minimum.

En optique géométrique, un rayon lumineux qui se propage au voisinage de l'axe d'un système est repéré, dans un plan donné, par sa distance algébrique $y$ à l'axe, comptée positivement d'un côté de l'axe et négativement de l'autre, et par l'angle orienté $\theta$ qu'il fait avec cet axe. On lui associe la colonne $X={}^t\left(\begin{array}{cc}y& \theta \end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$. Chaque élément traversé agit alors linéairement sur $X$ : la propagation en ligne droite sur une longueur $L>0$ et la réflexion sur un miroir sphérique concave de rayon $R>0$ sont décrites respectivement par les matrices

$$T_L=\left(\begin{array}{cc}1& L\\ 0& 1\end{array}\right),S_R=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{2}{R}& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$

Une cavité est formée de deux miroirs se faisant face, séparés par la distance $L$. Un aller-retour complet y est décrit par une matrice $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, et l'état du rayon après $n$ allers-retours est $M^n{X}_0$. On dira que la cavité est stable lorsque, pour tout rayon initial $X_0$, les coefficients de la suite de colonnes ${\left(M^n{X}_0\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ restent bornés : le rayon ne s'échappe jamais du dispositif.

Le problème établit que la stabilité se lit presque entièrement sur un seul nombre, la trace de $M$.

On utilisera librement le résultat suivant, établi en première année : pour toute matrice $N=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, on a $N^2=(a+d)N-(ad-bc)I_2$.

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Partie A — La trace décide

Dans toute cette partie, $M\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ vérifie $\det M=1$, et l'on pose $t=\mathrm{t}\mathrm{r}(M)$.

A.1 (0,25 pt) Établir que ${\chi }_M(X)=X^2-tX+1$, puis que $M$ est inversible, avec $M^{-1}=t{I}_2-M$.

A.2 (1 pt) On suppose $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }>2$. Démontrer que $M$ possède deux valeurs propres réelles distinctes, de la forme $\lambda$ et ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ avec $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }>1$, et que $M$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. En déduire qu'il existe une colonne $X_0$ non nulle telle que les coefficients de $M^n{X}_0$ ne soient pas tous bornés.

A.3 (1 pt) On suppose $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<2$. Démontrer que ${\mathrm{S}\mathrm{p}}_{\mathbb{R}}(M)=\mathrm{\varnothing }$, que ${\mathrm{S}\mathrm{p}}_{\mathbb{C}}(M)=\{\lambda ,\bar{\lambda }\}$ avec $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }=1$, et que $M$ est diagonalisable dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$. En écrivant $M=Q\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\lambda ,\bar{\lambda })Q^{-1}$ et en admettant que chaque coefficient de $M^n$ est alors de la forme $\alpha {\lambda }^n+\beta {\bar{\lambda }}^n$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres complexes indépendants de $n$, en déduire que les quatre coefficients de $M^n$ restent bornés lorsque $n$ décrit $\mathbb{N}$.

A.4 (0,75 pt) On suppose $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }=2$ et l'on pose $\epsilon ={\displaystyle \frac{t}{2}}\in \{1,-1\}$. Démontrer que $\mathrm{S}\mathrm{p}(M)=\{\epsilon \}$, puis que la matrice $N=M-\epsilon I_2$ vérifie $N^2=0_2$. En déduire que, pour tout $n⩾1$,

$$M^n={\epsilon }^n{I}_2+n{\epsilon }^{n-1}N,$$

et conclure quant au caractère borné des coefficients de $M^n$, en distinguant selon que $M$ vaut $\epsilon I_2$ ou non.

A.5 (0,75 pt) Récapituler les cas précédents, à raison d'une ligne par cas — il y en a quatre —, en précisant à chaque fois le spectre, la réduction possible et le comportement de $M^n$. Énoncer enfin le critère de stabilité obtenu, sans oublier le cas où la seule donnée de $t$ ne suffit pas à conclure.

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Partie B — La cavité à deux miroirs

Les deux miroirs ont pour rayons $R_1>0$ et $R_2>0$ et sont distants de $L>0$. Un aller-retour, décompté à partir du premier miroir, est décrit par

$$M=S_{R_1}{T}_L{S}_{R_2}{T}_L\mathrm{.}$$

On admet le résultat du calcul de ce produit de quatre matrices :

$$M=\left(\begin{array}{cc}1-{\displaystyle \frac{2L}{R_2}}& 2L-{\displaystyle \frac{2L^2}{R_2}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{R_1}}(1-{\displaystyle \frac{2L}{R_2}})-{\displaystyle \frac{2}{R_2}}& -{\displaystyle \frac{2}{R_1}}(2L-{\displaystyle \frac{2L^2}{R_2}})+1-{\displaystyle \frac{2L}{R_2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

B.1 (0,5 pt) Vérifier que $\det T_L=\det S_R=1$, en déduire $\det M=1$ sans aucun calcul de produit, puis contrôler le coefficient de position $(2,1)$ de la matrice admise ci-dessus en effectuant le seul produit $S_{R_2}{T}_L$.

B.2 (0,75 pt) On pose $g_1=1-{\displaystyle \frac{L}{R_1}}$ et $g_2=1-{\displaystyle \frac{L}{R_2}}$. Démontrer que

$$\mathrm{t}\mathrm{r}(M)=4g_1{g}_2-2.$$

B.3 (0,5 pt) En déduire que la condition $\mid \mathrm{t}\mathrm{r}(M)\mid <2$ équivaut à $0<g_1{g}_2<1$, puis énoncer le critère de stabilité obtenu.

B.4 (0,75 pt) On suppose les deux miroirs identiques : $R_1=R_2=R$. Discuter la stabilité de la cavité selon la valeur de $L\in ]0,+\mathrm{\infty }[$, sans oublier les deux valeurs de $L$ pour lesquelles le critère de B.3 ne tranche pas. Pour $L=R$, on calculera $M$ explicitement et l'on en déduira la stabilité ; pour l'autre valeur, on admettra que $M=\left(\begin{array}{cc}-3& -4R\\ 4\mathrm{/}R& 5\end{array}\right)$ et l'on conclura.

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Partie C — Une cavité qui referme le rayon

C.1 (0,75 pt) On prend $R_1=R_2=2$ et $L=1$, dans une même unité de longueur. Calculer $M$, vérifier que $\det M=1$ et $\mathrm{t}\mathrm{r}(M)=-1$, puis démontrer, sans calculer $M^2$ ni $M^3$, que $M^3=I_2$.

C.2 (0,75 pt) Interpréter ce résultat pour le rayon lumineux. Cette cavité est-elle stable au sens de la partie A ? Vérifier la cohérence avec le critère de la partie B.